關于細菌繁殖的數(shù)學建模

1、關于大草履蟲的種群數(shù)量增長研究在放有10ml培養(yǎng)液的培養(yǎng)瓶中放入10只大草履蟲，然后每隔一天統(tǒng)計一次大草履蟲的數(shù)量。其種群增長表格和曲線如下：12345678910111213141516171818294771119175257351-441!)135605956296416!)165.6660662培養(yǎng)時間（h）0大草履蟲（個）10模型的建立根據(jù)假設可知，N二1，增長率r二1，繁殖i代后細菌的數(shù)量為N，繁殖i+1代后細菌的數(shù)量為N，則有i+1N=（1+r）Ni+ii（丄丿模型的求解代入以上數(shù)據(jù)根據(jù)等差數(shù)列公式即可解得：(2)N=2ii當t=72h時，.t72x60i=At20代入（2）即可

2、得，72h細菌的數(shù)量：繁殖n代后細菌數(shù)量為2n個。N=2216216由于環(huán)境阻力的限制，當細菌增長到一定數(shù)量時，其繁殖會受到一定影響。查閱資料可知，經(jīng)過一定時間，在各種因素作用下，種群數(shù)量增長會趨于穩(wěn)定,其數(shù)量時間關系圖象呈“s”型曲線。521.模型的建立由于環(huán)境阻力的限制，當細菌增長到一定數(shù)量時，其繁殖會受到一定影響。查閱資料可知，經(jīng)過一定時間，在各種因素作用下，種群數(shù)量增長會趨于穩(wěn)定,其數(shù)量時間關系圖象呈“s”型曲線。令R=r+1，由前兩問可得，種群數(shù)量與時間成等比數(shù)列的形式增長，離散Malthus差分方程如下N=RN（3）i+1i以此我們得到第一模型的指數(shù)函數(shù)圖象與題目中數(shù)據(jù)描點：圖1指

3、數(shù)增長模擬圖由圖象分析可知，在一定空間內(nèi)，由于環(huán)境阻力，細菌數(shù)量的增長會趨于穩(wěn)定，而不是呈現(xiàn)“J”型指數(shù)增長，因此，以上模型存在很大的誤差，即單純地用Malthus模型對本題進行分析存在一定的局限性。對此，進行如下分析與修正：早期細菌增長規(guī)律：R=1，種群數(shù)量保持穩(wěn)定；0R1,因為空間、食物等資源的有限性以及種群自身的密度制約效應，說明在模型（3）中引入密度制約的效應，即在凈增長率R中考慮種間競爭的影響，下面幾何直觀我們給出一個具有密度制約效應的離散單種群模型的嚴格推到過程。由題目數(shù)據(jù)分析、查閱資料，可知酵母菌每小時內(nèi)繁殖一次，建立起時間與種群數(shù)量的關系式：t+1N圖2比率h與N的函數(shù)關系Nt

4、t+1在圖2中給出了比率N與N的函數(shù)關系。圖5-2-1中的點A所表示生物/Nt意義可以這樣理解：當種群數(shù)量非常小的時候，種群之間的相互競爭非常小甚至沒有，此時凈增長率R不需要任何的修改。因此，模型N=RN，當種群數(shù)量t+1t非常小的時，關系仍然成立。重新改寫成該方程得到N1-Nt+1然而，隨著種群數(shù)量的增加，種群之間的競爭越來越強，這使得精確的凈增長率被這種競爭而修正，并且一定存在一點使得競爭強到種群的數(shù)量不再增長，此時即有N/N充分接近1。設此時的種群數(shù)量達到種群的環(huán)境容納量K，即為圖2中的點B+。由圖2知，當種群數(shù)量從A點到B點時，比值N也有一定的增加。為了/N簡單起見，我們直接假設比值%

5、與竹具有如圖2中的直線關系，該直線的方程式為t+1=aN+b（5）Ntt+1522模型的求解本題以酵母菌為例，由題目中酵母菌數(shù)量變化表，對數(shù)據(jù)進行分析，先取前17組數(shù)據(jù)，分別求出N與N.，處理后可得到如下表格：t與/N表2酵母菌增長情況以小時計的時間t觀察到的酵母菌生物量Nt生物量的變化N1Nt+10100.5561180.6212290.6173470.6624710.59751190.68061750.68172570.73283510.79694410.860105130.916115600.941125950.946136290.981146410.985156510.99216656

6、0.99417660根據(jù)最小二乘法的擬合原理，取a、b為使得函數(shù)E(a,b)=2(f(N)-x)2值TOC o 1-5 h zttt=1最小時的值。其中令x是n=t時NJ的數(shù)值。t/n用matlab進行線性擬合川100200300400500600O21ii8160-1oO700residuals0.50-0.510100200300400500600700圖3擬合直線圖由此可得的關于N的解析式為：TOC o 1-5 h z/Ntt+1 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 佯=0.0006189N+0.58766(6) HYPERLINK l bookmark18 o Current Document Ntt+1根據(jù)以上解析式(6),我們可以看出，隨著種群數(shù)量N越來越大，N.越/N來越大，則種群的增長率r