《獨(dú)立性檢驗(yàn)》教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明(董凱)

1、新課標(biāo)教材人教 A 版數(shù)學(xué)2-3 ( 選修 )第三章統(tǒng)計(jì)案例獨(dú)立性檢驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明大同一中董凱一、內(nèi)容與內(nèi)容解析獨(dú)立性檢驗(yàn)為新課標(biāo)教材中新增加的內(nèi)容.雖然本節(jié)是新增內(nèi)容，理論比較復(fù)雜，教學(xué)時(shí)間也不長(zhǎng)(1-2課時(shí) ) ，但由于它貼近實(shí)際生活，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中， 地位不可小視. 在近幾年各省新課標(biāo)高考試題中，本節(jié)內(nèi)容屢屢出現(xiàn)， 而且多以解答題的形式呈現(xiàn)，其重要性可見(jiàn)一斑.獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用問(wèn)題背景分析分類變量該內(nèi)容是前面學(xué)生在數(shù)學(xué)3( 必修 ) 中的統(tǒng)計(jì)知識(shí)的進(jìn)一步應(yīng)用，并與本冊(cè)課本前面提到的事件的獨(dú)立性一節(jié)關(guān)系緊密，此外還涉及到與數(shù)學(xué)2-2 ( 選修 ) 中講到的“反證法”類似的思

2、想.等高條形2 2 列聯(lián)表圖允許犯錯(cuò)誤的概率立的上界獨(dú)性本小節(jié)的知識(shí)內(nèi)容如右圖。“獨(dú)立性檢驗(yàn)”是在考察兩統(tǒng)計(jì)量 K 2檢驗(yàn)個(gè)分類變量之間是否具有相關(guān)性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分類變量的概念，并給出了考察兩個(gè)分類變量分類觀測(cè)值 k變量臨界值 k0之間是否相關(guān)的一種簡(jiǎn)單的思路，即借助等高條形圖的方法，隨后引出相對(duì)更精確地解決辦法獨(dú)立性檢驗(yàn)。獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，建立在統(tǒng)計(jì)思想、假設(shè)檢驗(yàn)思想( 小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生) 等基礎(chǔ)之上，通常按照如間的在“犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)” 關(guān)系前提下，兩分類變量有/無(wú)關(guān)2下步驟對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理：明確問(wèn)題確定犯錯(cuò)誤概率的上界及K 2 的臨界值k0 收集

3、數(shù)據(jù)整理數(shù)據(jù)制列聯(lián)表計(jì)算統(tǒng)計(jì)量K的觀測(cè)值 k 比較觀測(cè)值k 與臨界值k0 并給出結(jié)論 .本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟.二、目標(biāo)與目標(biāo)解析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是主要有：理解分類變量 ( 也稱屬性變量或定性變量) 的含義，體會(huì)兩個(gè)分類變量之間可能具有相關(guān)性；通過(guò)對(duì)典型案例（吸煙和患肺癌有關(guān)嗎?）的探究，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求22 列聯(lián)表）的基本思想、方法、步驟及應(yīng)用。鼓勵(lì)學(xué)生體驗(yàn)用多種方法( 等高條形圖法與獨(dú)立性檢驗(yàn)法) 解決同一問(wèn)題，并對(duì)各種方法進(jìn)行比較。讓學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)方法有更深刻的認(rèn)識(shí)，體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用的廣泛性，進(jìn)一步體會(huì)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性（如統(tǒng)計(jì)可能犯

4、錯(cuò)誤，原因可能是收集的數(shù)據(jù)樣本容量小或樣本采集不合理，也可能是理論上的漏洞，如在一次實(shí)驗(yàn)中，我們假設(shè)小概率事件不發(fā)生，這一點(diǎn)本身就值得質(zhì)疑）.其中第 2 條是重點(diǎn)目標(biāo)，也是課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出的教學(xué)要求之一.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析基于對(duì)學(xué)生已有數(shù)學(xué)水平的分析，在本節(jié)新學(xué)內(nèi)容時(shí)，有以下幾點(diǎn)是初學(xué)者不易理解或掌握的：K 2 的結(jié)構(gòu)比較奇怪，來(lái)的也比較突然，學(xué)生可能會(huì)提出疑問(wèn).關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的處理，要首先利用好前面對(duì)“比例”或者兩個(gè)分類變量“獨(dú)立”的分析。借助兩件事獨(dú)立的定義以及樣本容量較大時(shí)可以用頻率近似表示概率，可以得到aaanabac，考慮到近似造成的誤差，aaa nabac未必恰好為0，但不會(huì)太大

5、，于是這個(gè)值的平方占概率乘積的比例aaa nabacaaabac2應(yīng)該較小。.由于A, B; A, B; A, B; A, B四對(duì)事件的獨(dú)立具有等價(jià)性，故加和之后2aa2bb2cc2ddaabbccddabacbabdcacddbdcnabacnbabdncacdndbdc應(yīng)該很小，而將此式化簡(jiǎn)之后即得 K 2 的表達(dá)式n(adbc) 2(ab)( ac)( db)( dc)(這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程是我借鑒人教B 版教材相應(yīng)章節(jié)知識(shí)內(nèi)容獲悉的).另，由此可知K 2 越小說(shuō)明兩件事越“獨(dú)立”，因此當(dāng)它小于臨界值時(shí)有利于說(shuō)明二者獨(dú)立，大于或等于臨界值時(shí)，有利于說(shuō)明二者相關(guān).如何理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想？這個(gè)

6、問(wèn)題需要和反證法做一個(gè)對(duì)比，學(xué)生可以通過(guò)完成表格( 印在學(xué)案上 ) 以對(duì)二者的基本思想作比較并加以區(qū)別。表格內(nèi)容如下：反證法思想用于獨(dú)立性檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)思想證明結(jié)論成立判斷分類變量X與 Y 之間是否有關(guān)目標(biāo)結(jié)果只有一種情況：結(jié)論成立構(gòu)造H 0 ：結(jié)論成立兩種H 1 ：結(jié)論的反面成立情況理論矛盾雙方不可能同時(shí)成立結(jié)果有兩種可能：有關(guān)或無(wú)關(guān)H 0 ： X 與 Y 之間無(wú)關(guān) ( 獨(dú)立 )H 1 ： X 與 Y 之間有關(guān)在一次試驗(yàn)中，小概率事件( 觀測(cè)值 k 大于等依據(jù)但是有且只有一個(gè)成立于臨界值k0 ) 幾乎是不可能發(fā)生的確定置信水平，找到臨界值k0假設(shè)操作H 0 的反面H 1 成立提出原假設(shè)H 0

7、 ，并假設(shè)2H 0 成立，推導(dǎo)矛盾，從而步驟H 1 不成立計(jì)算統(tǒng)計(jì)量K的觀測(cè)值 k由H 1 不成立說(shuō)明H 0 成立通過(guò)比較 k 與k0 的大小給出結(jié)論：k 小則獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟是什么？有利于H 0 成立， k 大有利于H 1 成立由于教材一邊解決問(wèn)題，一邊做講解，因此結(jié)題思路顯得有點(diǎn)散。然而細(xì)心提煉則不難總結(jié)出步驟，具體可大致分為 4 個(gè)階段： 提出原假設(shè)H 0 : 兩個(gè)分類變量獨(dú)立( 無(wú)關(guān) ) ，備擇假設(shè)H 1 : 兩個(gè)分類變量有關(guān)，并假設(shè)H 0 成立；確定允許犯錯(cuò)誤的概率的上界，找到臨界值k0 ；在H 0 下，計(jì)算K 2 的觀測(cè)值 k ；若kk0 , 此時(shí)小概率事件發(fā)生，我們認(rèn)為在一次

8、試驗(yàn)中，小概率事件是不可能發(fā)生，所以假設(shè)H 0 出錯(cuò)，從而接受H 1 ；若kk0 時(shí)，我們沒(méi)有充分理由拒絕H 0 ，也就沒(méi)辦法接受H 1 了. 其中兩個(gè)步驟屬平級(jí)關(guān)系，可以調(diào)換次序.為什么在最后表達(dá)結(jié)論的時(shí)候要出現(xiàn)“在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)XX 的前提下”這樣的詞.這也是初學(xué)者較難理解的問(wèn)題，原因就在于獨(dú)立性檢驗(yàn)的過(guò)程中存在一個(gè)小小的漏洞，就是假設(shè)“在一次實(shí)驗(yàn)中，小概率事件不發(fā)生”，而事實(shí)上，小概率事件是可能發(fā)生的( 用反證法，如果始終不發(fā)生，就是不可能事件了) ， 而正是因?yàn)檫@一點(diǎn)點(diǎn)漏洞，導(dǎo)致獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的，但是犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)太大，我們就把犯錯(cuò)誤的最大概率等同于小概率事件發(fā)生的概

9、率了。至于小概率事件所對(duì)應(yīng)的臨界值，則屬于大學(xué)的研究范疇，在此不必做過(guò)多解釋 .四、教學(xué)特點(diǎn)與預(yù)期效果分析教學(xué)特點(diǎn) 用學(xué)案輔助教學(xué)由于本節(jié)內(nèi)容較散，理論部分較難，故需教師精心設(shè)計(jì)學(xué)案，提前發(fā)放給學(xué)生，以提高學(xué)生的預(yù)習(xí)效率. “問(wèn)題串”為主， “講授式”為輔的教學(xué)模式在最初定奪本節(jié)課教學(xué)模式時(shí)比較為難，一方面，按照新課標(biāo)的理念，注重學(xué)生自主探究為主，教師僅僅是引導(dǎo)者 ( 實(shí)踐證明這有利于學(xué)生學(xué)會(huì)“學(xué)習(xí)”，尤其是提高自學(xué)能力和合作學(xué)習(xí)能力) ，然而另一方面，本節(jié)內(nèi)容理論難度較大，而且涉及到很多大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，憑高中學(xué)生的數(shù)學(xué)水平難以完成自主探究. 因此，在理論部分，還得需要教師講，教師的“講授”成

10、為了無(wú)奈的選擇. 不過(guò)好在課程標(biāo)準(zhǔn)中，不要求學(xué)生掌握這部分深?yuàn)W的理論，只要體會(huì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的操作步驟. 因此，最終定下來(lái)的教學(xué)模式是“問(wèn)題串為主， 講授式為輔”的模式.在“問(wèn)題串”的指引下，學(xué)生研究出解決問(wèn)題所需要收集的數(shù)據(jù)，并自行研究課本上給出的解題過(guò)程，提煉出解決問(wèn)題的操作步驟，然后再由教師講解操作規(guī)程背后的理論依據(jù). 游戲式導(dǎo)入本節(jié)課采用“有獎(jiǎng)競(jìng)猜”的游戲方式作為課堂導(dǎo)入，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 獎(jiǎng)品為本節(jié)課的錄像光盤(pán)，也有一定的紀(jì)念意義. 充滿生活氣息的數(shù)學(xué)課堂在課程標(biāo)準(zhǔn)理念下，“數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用”地位空前提高，教材中引入、例題甚至是課后習(xí)題的編寫(xiě)， 都有大量生活的影子. 而本節(jié)課獨(dú)立性檢驗(yàn)正是一個(gè)貼近生活的數(shù)學(xué)范疇，它可以解決兩件撲朔迷離事情之間到底有關(guān)還是無(wú)關(guān)的問(wèn)題. 因此本課從引入( 吸煙與患肺癌) 到例題 ( 禿頂與心臟