人大版線(xiàn)性代數(shù)課后習(xí)題答案

1、第1章 矩 陣習(xí) 題 一 (B)1、證明：矩陣A與所有n階對(duì)角矩陣可交換的充分必要條件是A為n階對(duì)角矩陣.證明：先證明必要性。若矩陣A為n階對(duì)角矩陣. 即令n階對(duì)角矩陣為：A=, 任何對(duì)角矩陣B設(shè)為，則AB=，而B(niǎo)A=，所以矩陣A與所有n階對(duì)角矩陣可交換。再證充分性，設(shè) A=，與B可交換，則由AB=BA，得：=，比較對(duì)應(yīng)元素，得 ，。又，所以 ，即A為對(duì)角矩陣。2、證明：對(duì)任意矩陣A，和均為對(duì)稱(chēng)矩陣.證明：()T=(AT)TAT=AAT，所以，為對(duì)稱(chēng)矩陣。 ()T=AT (AT)T=ATA，所以，為對(duì)稱(chēng)矩陣。3、證明：如果A是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣，且滿(mǎn)足，則A=O.證明：設(shè) A=，其中，均為

2、實(shí)數(shù)，而且。由于，故A2=AAT=0。取A2的主對(duì)角線(xiàn)上的元素有 ， （i=1,2,n）因?yàn)?，均為?shí)數(shù)，故所有=0，因此A=O。4、證明：如果A是奇數(shù)階的反對(duì)稱(chēng)矩陣，則detA=0.證明：設(shè) A=為奇數(shù)階反對(duì)稱(chēng)矩陣，即n為奇數(shù)，且 =-，i,j=1,2,n，從|A|中每行提出-1，得 |A|=-|A|（因?yàn)閚為奇數(shù)，且|AT|=|A|），故得|A|=0。5、設(shè)A、B、C均為n階矩陣，且滿(mǎn)足ABC=E，則下列各式中哪些必定成立，理由是什么？（1）BCA=E； （2）BAC=E； （3）ACB=E；（4）CBA=E； （5）CAB=E。答：第(1),(5)必定成立。因?yàn)锳BC=E，說(shuō)明是的逆矩陣，

3、AB是的逆矩陣，則(1),(5)必定成立。但是由于可能有，所以其他的不一定成立。6、設(shè)A、B均為n階可逆矩陣，則下列各式中有哪些一定成立？為什么？（1） ； （2）；（3）（k為正整數(shù)）； （4） （k為正整數(shù)）；（5） ； （6）；（7） ； （8）。答：一定成立的有(1),(3),(4),(5),(7)。7、已知，令，求（n為正整數(shù)）.解：因?yàn)? =，其中 =3，所以 =。8、計(jì)算行列式 解：用表示所給的行列式，把分成兩個(gè)行列式相加：將右邊第一個(gè)行列式的第一列加到第二、第四列，用乘第一列后加到第三列；將第二個(gè)行列式變成三階行列式后再拆成兩個(gè)三階行列式相加，。9、設(shè)A為m階方陣，B為n階方陣

4、，且，。如果 ，求detC.解：把C通過(guò)mn次的相鄰換行之后，即可把C化為C1，且 故=。10、證明：n階行列式（1）;（2）.證明：（1）令所給的矩陣為Dn，并按第一列展開(kāi)得 ，所以= =。 （2）令所給的行列式為Dn，并按第一列分成兩個(gè)行列式相加，然后對(duì)第一個(gè)行列式從第一列開(kāi)始，每列乘-b后往下一列加，即得Dn=+ =+bDn-1= =。11、證明：n階行列式（1） ;（2）.證明：（1）令，則有 ，xy=1。而且由于，故，從而由第十題的結(jié)果直接得 Dn=。（2）令所給的矩陣為Dn，按第一列展開(kāi)，并應(yīng)用（1）的結(jié)果，得Dn=。12、設(shè)A是n階矩陣，求證：。證明：由的定義可知 ，兩邊取行列式

5、，得。下面進(jìn)行討論。1）若detA 0，則由上式立即就有 。2）若detA 0，且 A = O，則 0，因而det= 0 ，結(jié)論成立。3）若detA 0，且 A O，此時(shí)必有det= 0。因?yàn)槿鬱et 0，則可逆，于是在O兩邊左乘，得A = O，與A O矛盾。即此時(shí)結(jié)論也成立。證畢。13、設(shè)A、B、C、D均為n階矩陣，且，AC=CA.求證： 證明：因?yàn)?，所以矩陣A可逆。根據(jù)矩陣的乘法，有 =又AC=CA，因此， = = =。14、設(shè)3階矩陣A、B滿(mǎn)足關(guān)系式 ，其中 求B.解：因?yàn)?所以， B=。15、設(shè)4階矩陣 ，且矩陣A滿(mǎn)足關(guān)系式，其中E是4階單位矩陣。試將上式化簡(jiǎn)并求出矩陣A .解： 。而

6、= ，再利用矩陣初等變換即可求出。所以A=。第1章矩 陣1、設(shè)，求解：；。2、設(shè)矩陣滿(mǎn)足，其中，求解：設(shè) ，則，。利用矩陣相等的定義可得：。3、某石油公司所屬的三個(gè)煉油廠在1997年和1998年生產(chǎn)的4種油品的產(chǎn)量如下表（單位：萬(wàn)噸）產(chǎn) 油 量 品煉油廠1997 年1998年 58 27 15 4 72 30 18 5 65 25 14 3 63 25 13 5 90 30 20 7 80 28 18 5（1）作矩陣和分別表示三個(gè)煉油廠1997年和1998年各種油品的產(chǎn)量；（2）計(jì)算與，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義；（3）計(jì)算，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義。解：（1）， ；（2），其經(jīng)濟(jì)意義表示三個(gè)煉油廠1997年和

7、1998年兩年各種油品產(chǎn)量的和。 ，其經(jīng)濟(jì)意義表示三個(gè)煉油廠在1997年和1998年兩年之間各種油品產(chǎn)量的變化量。（3），其經(jīng)濟(jì)意義表示三個(gè)煉油廠在1997年和1998年兩年各種油品的平均產(chǎn)量。4、計(jì)算下列矩陣的乘積（1）； （2）；（3） ； （4）； （5） ； （6）； （7）。解：（1）。 （2）。 （3） 。 （4）。 （5）。 （6）。（7）。V41V71yV315、如圖，考慮邊長(zhǎng)為2的正方形：設(shè)其頂點(diǎn)和各邊中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 V61V81用矩陣分別左乘給定的V51xV21V11O正方形各頂點(diǎn)和各邊中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)得到的點(diǎn)依次為試作出由這些點(diǎn)構(gòu)成的平面圖形；（2）考慮矩陣 分別在當(dāng)和時(shí)，

8、用左乘原正方形各頂點(diǎn)和各邊中點(diǎn)的坐標(biāo)，若設(shè)所得到的點(diǎn)的坐標(biāo)和分別作出由這兩組點(diǎn)構(gòu)成的平面圖形。解：(1) 以的坐標(biāo)為列構(gòu)造28矩陣V，令則矩陣W的每一列依次為的坐標(biāo)。如圖所示。yW2OW5W6W3W1OxW8W7W4(2) 令則矩陣U的每一列依次為的坐標(biāo)，如下圖所示。U3yU6U7U2U4U5U8U1xO 令y則矩陣的每一列依次為點(diǎn)的坐標(biāo)。如圖所示。U 4U 8U 1xOU 7U 5U 6U 3U 26、設(shè)某港口在某月份出口到3個(gè)地區(qū)的兩種貨物的數(shù)量以及它們一單位的價(jià)格、重量和體積如下表：出 地口 區(qū) 量貨物北美 歐洲 非洲單位價(jià)格（萬(wàn)元）單位重量 單位體積 2000 1000 800 120

9、0 1300 500試?yán)镁仃嚦朔ㄓ?jì)算：經(jīng)該港口出口到3個(gè)地區(qū)的貨物價(jià)值、重量、體積分別各為多少？經(jīng)該港口出口的貨物總價(jià)值、總重量、總體積為多少？解：（1）=其中第一、二、三列分別表示北美、歐洲、非洲；第一、二、三行分別表示價(jià)值、重量、體積。（2）=其中第一、二、三行分別表示總價(jià)值、總重量、總體積。7、設(shè)A,B均為階對(duì)稱(chēng)矩陣，試判定下列結(jié)論是否正確，并說(shuō)明理由。（1）為對(duì)稱(chēng)矩陣；（2）為對(duì)稱(chēng)矩陣（為任意常數(shù)）；（3）為對(duì)稱(chēng)矩陣。證明：令n階對(duì)稱(chēng)矩陣A=，其中，i=1,2,n ， j=1,2,n; n階對(duì)稱(chēng)矩陣A=，其中，i=1,2,n ， j=1,2,n;正確。顯然A+B =，又，其中i=1,

10、2,n ， j=1,2,n;所以 =，即 A+B為對(duì)稱(chēng)矩陣。（2）正確。顯然kA=，又，其中i=1,2,n , j=1,2,n;所以 =，即kA為對(duì)稱(chēng)矩陣。（3）錯(cuò)誤。設(shè)對(duì)稱(chēng)矩陣A和B分別為： ， ；所以，顯然AB不為對(duì)稱(chēng)矩陣。8、求所有與可交換的矩陣（1）； (2) 。解：（1）顯然與A可交換的矩陣必為二階方陣，設(shè)為X，并令，又 ， ，由可交換條件AX=XA，可得b=0,（其中為任意常數(shù)），即 。（2）顯然與A可交換的矩陣必為三階方陣，設(shè)為X，并令，又 ， ，由可交換條件XA=AX，可得d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,（其中a,e,i,b,f均為任意常數(shù)），即 。9、設(shè)矩

11、陣與矩陣均可交換，求證：與也可交換，且。證明：因?yàn)榫仃嘇與矩陣可交換，即，所以 =+=+=，即矩陣與可交換。又 ，即矩陣與也可交換。所以由有：=。10、計(jì)算（其中n為正整數(shù)）（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5） ； （6）；解：（1）=。（2）=。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)然成立。假定n=k時(shí)成立，即。再證n=k+1時(shí)也成立。（3）=，可用數(shù)學(xué)歸納法證明之。（4）當(dāng)n=1時(shí)，值為原矩陣；當(dāng)n=2時(shí)，；當(dāng)n=3時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。（5）=；（6），由直接計(jì)算可知A2=4E。由此進(jìn)一步得知：11、設(shè)為階矩陣。試分別求,與的第行第列。解：的第行第列為， 的第行第列為， 的第行第列為。1

12、2、設(shè)，對(duì)于階矩陣，定義其中為階單位矩陣。（1）如果，求；解：依定義得：。（2）如果，求.解：依定義得：=+=。13、寫(xiě)出下列圖的鄰接矩陣，并分別計(jì)算各鄰接矩陣的平方。解：（1）設(shè)鄰接矩陣為A，則 A=，A2=。（2）設(shè)鄰接矩陣為A，則 A=，A2=。14、設(shè)為同階矩陣，且滿(mǎn)足。求證：的充分必要條件是.證明：先證明必要性：由于，故 （1）如果A2=A，即 由此得B2=E再證充分性：若B2=E，則由（1）式可知， 。 所以，的充分必要條件是。 15、設(shè)為階矩陣，稱(chēng)的主對(duì)角線(xiàn)上所有元的和為的跡，記作，即。求證：當(dāng)均為階矩陣時(shí)，有（1）（2）（3）（4）。 證明：（1）因?yàn)锳，B為階矩陣，所以A+B

13、也為n階矩陣，并設(shè)A+B=根據(jù)矩陣加法的定義，可知：,所以因此，=+，即。（2）因?yàn)锳為階矩陣，所以kA也為n階矩陣，并設(shè)kA =。根據(jù)矩陣加法的定義，可知：,所以。因此，=，即。（3）令A(yù)T=根據(jù)矩陣轉(zhuǎn)置的定義可知，又 ，所以 =，即： 。（4）令A(yù)B=C=，AB=D=，其中 ， 。顯然，當(dāng)時(shí)，于是，即。16、計(jì)算下列行列式（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5） ； （6）；（7） ； （8）。解：（1）=1。（2）=12。（3）第一列乘-1加到第二列，并從第二列提取1000，得=6123000。（4）從第二行提取2之后，跟第一行互換，得=8。（5）把第二、三、四行均加到第一行，并在

14、第一行中提取8，得=512。（6）把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取10，得=160。（7）這是一個(gè)第二行元素為1、2、3、4的范得蒙行列式，因此=12。（8）最后一列乘以-1后，加到第一列，并按最后一行展開(kāi)，得=192。17、解方程（1） ； （2）。解：（1）=1。即解方程，因此x=3或-1。 （2）=（x+2）（x-1）=0。所以方程的解為：x=1或2。18、設(shè)3階行列式，計(jì)算下列行列式：（1）； （2） 。解：（1）=+ =+=8+0=8。（2）=+ =0 =8。19、計(jì)算下列行列式（1）；（2）；（3）； （4）；（5）。解：（1）=。（2）將第二、三、四列展開(kāi)得：原式=

15、+=0。（3）=+ =。（4）按第一列展開(kāi)=+=。（5）按最后一列展開(kāi)=+=。20、證明：（1）；（2）。證明：（1）=+ =- =+ =2。（2） =+ = =。21、計(jì)算下列n階行列式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）各列都加到第一列后，再?gòu)牡谝涣兄刑崛。蝗缓?，第一行乘?1后加到其余各行，得=（） =（） =。（2）=，顯然，當(dāng)n=1時(shí)，原行列式的值為。當(dāng)n=2時(shí)， =。當(dāng)時(shí)，將第2行到第n行的元素減去第一行相應(yīng)的元素，得到 = 。 然后，將各行的公因子提出得=0（因?yàn)橛袃尚械脑厥窍嗟鹊模?。所以，綜合有：當(dāng)n=1時(shí)， 原式= ， 當(dāng)n =2時(shí)， 原式=， 當(dāng)n3時(shí)，

16、原式=0。（3）設(shè)所給的行列式為D，從最后一列依次往前一列加，得D=。（4）設(shè)所給的行列式為D，把各行都加到第一行，并在第一行中提取n1，得D=。（5） 設(shè)所給的行列式為D，把第一列加到第二列，依次把第j-1列加到到第j列（j=1,2，n），得D=。22、解方程（1）；（2）。解：（1）將所給的行列式的第一行乘以1，加到其他行，得= =0。所以x=1，2，n-1。（2）將所給的行列式的最后一列分別乘以加到第n，n-1，1列，得= =0。所以。23、證明（1） （其中）；（2） （其中）；（3） （）。證明：（1）將行列式的第一行的-1倍分別加到其余各行，然后提出各列的公因子， 再把各列加到第一

17、列，得原式= =，再將第2列到第n列的各元素依次加到第1列上去即得原式= 。 （2）用乘第i列（）分別加到第一列，得原式=。（3）從第n行起，各行的x倍依次加到上面一行，所得到的行列式再按第一行展開(kāi)得D=。24、利用分塊矩陣的乘法，計(jì)算AB（1），其中；（2），其中，。解：（1）AB=其中E2B11=B11，E2B12=B12，A22E2=A22， A21B11=， A21B12=， A22B22=，所以AB=。 （2）AB=，其中A1B1=9， A2B2=9， A3B3=9。所以 AB=。25、設(shè)A是3階矩陣，且detA=-2，若將A按列分塊，其中為A的第j列，（j=1，2，3），求下列行列

18、式：（1）；（2）。解：（1）因?yàn)?。所以=4。（2）因?yàn)?。所以=6。26、設(shè)A是矩陣，將其按行分為m塊 ，其中為A的第i行（），對(duì)于m階單位矩陣E，也將其按行分為m塊，其中為E的第i行（），試由EA=A證明： （）。 證明：EA=A=所以= ，即（）。27、判斷下列矩陣是否可逆，若可逆，利用伴隨矩陣求其逆矩陣.（1） ； （2）；（3）； （4）。解：（1）令所給的矩陣為A，因?yàn)閐etA=-2,不為零，所以此矩陣可逆。其伴隨矩陣為 A*=，所以其逆矩陣為 =。（2）令所給的矩陣為A，因?yàn)閐etA=0,所以此矩陣不可逆。（3）令所給的矩陣為A，因?yàn)閐etA=0,所以此矩陣不可逆。 （4）令所

19、給的矩陣為A， 因?yàn)閐etA=6,不為零，所以此矩陣可逆。 其伴隨矩陣為 A* =， 所以其逆矩陣為 =。28、利用行初等變換法求下列矩陣的逆矩陣.（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5）。解：（1） 。所以，此矩陣的逆矩陣為。（2） ，所以，其逆矩陣為。（3） ，所以，其逆矩陣為。 （4） ，所以，其逆矩陣為。（5）所以，其逆矩陣為。29、求解下列矩陣方程（1）；（2）；（3）；（4）AX+B=X， 其中。解：（1）因?yàn)?，所以，X=。（2）因?yàn)?，所以X= =。（3）因?yàn)?，所以X=。（4）因?yàn)锳X+B=X，所以X= (E-A)-1B，又 EA=，因此，X=。30、設(shè)A為n階矩陣，且存在正

20、整數(shù)，使。求證：E-A可逆，且.證明：作以下乘法 = = =從而EA為可逆矩陣，而且 。31、已知n階矩陣A，滿(mǎn)足，求證：A可逆，并求.證明：因?yàn)?，即，所以?，從而，A為可逆矩陣，而且。32、如果矩陣A可逆。（1）求證：也可逆，并求。（2）設(shè)，求.（1）證明：因?yàn)榫仃嘇可逆，所以，即從而，A*為可逆矩陣。而且 =。（2）解：因?yàn)閨A|=10，所以， = 。33、設(shè)A為3階矩陣，為A的伴隨矩陣，且已知，求行列式的值.解：因,故=。34、證明：如果A為可逆對(duì)稱(chēng)矩陣，則也是對(duì)稱(chēng)矩陣.證明：因?yàn)锳為可逆對(duì)稱(chēng)矩陣，即有 AT=A，AA-1=E，由此可得 ，或 =E。即是A的逆矩陣。由逆矩陣的唯一性得

21、=，即為對(duì)稱(chēng)矩陣。35、設(shè)A、B、C為同階方陣，其中C為可逆矩陣，且滿(mǎn)足，求證：對(duì)任意正整數(shù)m，有.證明：因?yàn)?，所? 。36、求下列分塊矩陣的逆矩陣（1），其中，；（2），其中，；（3），其中，.解：（1）因?yàn)?，所?。又 ，因此 。（2）因?yàn)?，其?，所以 。（3）因?yàn)?，其?， ，所以 。37、求下列矩陣的秩（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5） ； （6）。解：（1），所以，此矩陣的秩為1。 （2）令A(yù)=，因?yàn)閐etA=12，不為零。所以，此矩陣的秩為3。 （3），所以，此矩陣的秩為1。（4），所以，此矩陣的秩為2。（5），所以，此矩陣的秩為3。 （6），所以，此矩陣的秩為3。

22、第五章二 次 型習(xí) 題 五（B）1、設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，如果對(duì)任一n維列向量，都有，試證：A=O。證明：因?yàn)榫仃嘇為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，設(shè)為 A=，其中(i,j=1,2,n).令 X=,由已知得，二次型 =+=0。首先取，(i=1,2,n)則 ，(i=1,2,n)即主對(duì)角線(xiàn)上的元素都為零。其次，取， 又，有 ，因，A為對(duì)稱(chēng)矩陣，所以 (i=1,2,n；j=1,2,n)因此 A=O。2、試證：二次型 =+為正定二次型。證明：此二次型的矩陣為 A=，顯然A1=20,A2=30,An=n+10，因此，此二次型為正定二次型。3、設(shè)n元二次型 =+其中(i=1,2,n)為實(shí)數(shù)。試問(wèn)：當(dāng)(i=1,2,n)滿(mǎn)足何

23、種條件時(shí)，二次型為正定二次型。解：由題設(shè)條件知，對(duì)于任意的，有。其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) 此方程組僅有零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式 =，所以當(dāng)時(shí)，為正定二次型。4、已知A為反對(duì)稱(chēng)矩陣，試證：為正定矩陣。證明：因?yàn)锳為反對(duì)稱(chēng)矩陣，所以，因此 =。所以為正定矩陣。5、設(shè)A是一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，試證：對(duì)于實(shí)數(shù)t，當(dāng)t 充分大時(shí)，tE+A為正定矩陣。證明：設(shè)A的特征值為且為實(shí)數(shù)，取，則tE+A的特征值為全部大于零。因此，當(dāng)時(shí)，tE+A為正定矩陣。6、設(shè)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且detA0，試證：必存在n維列向量，使得。證明：因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且detA0,因此A為正定矩陣。9、設(shè)為n階正定矩陣。求證A的任一主子

24、式都大于零。證明：首先，令A(yù)k為A的任一個(gè)k階主子式， Ak=由于A是正定的，故二次型 對(duì)任意不全為零的實(shí)數(shù)，都有 ，從而對(duì)不全為零的實(shí)數(shù)，有 （即在中除外其余變量全取0），但是，對(duì)變量為而矩陣為Ak的二次型來(lái)說(shuō)，有 =故g為正定二次型，從而Ak為正定的。故|Ak|0。10、設(shè)A為n階正定矩陣，證明A+E的行列式大于1。證明：因?yàn)锳為正定矩陣，不妨設(shè)A的特征值分別為且，則A+E的特征值為且，從而有 |A+E|=。11、設(shè)矩陣A=，矩陣，其中k為實(shí)數(shù)，E為單位矩陣，求對(duì)角矩陣，使B與相似，并求k為何值時(shí)，B為正定矩陣。解： =因此，A的特征值為0，2，2。記對(duì)角矩陣 D=。因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，故

25、存在正交矩陣P，使得 ，所以 =。于是 = = ；由此可得=。因此當(dāng)時(shí)，即所有特征值均大于零時(shí)，B為正定矩陣。12、設(shè)A為mn實(shí)矩陣，E為n階單位矩陣，已知矩陣，試證：當(dāng)時(shí)，矩陣B為正定矩陣。證明：因?yàn)?=B，所以，B為對(duì)稱(chēng)矩陣。對(duì)于任意的實(shí)n維列向量X，有 =當(dāng)時(shí)，有0 , ,因此當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，有，即B為正定矩陣。13、設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A為m階正定矩陣，B為mn實(shí)矩陣，試證BTAB為正定矩陣的充分必要條件是矩陣B的秩r(B)=n.證明：必要性。設(shè)BTAB為正定矩陣，則對(duì)任意的實(shí)n維列向量，有 即 于是，因此只有零解，從而r(B)=n。充分性。因=，即為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。若r(B)=n，則線(xiàn)性方程組

26、只有零解。從而對(duì)任意實(shí)n維列向量有。又A為正定矩陣，所以對(duì)于，有，于是當(dāng)時(shí)，有 ，故為正定矩陣。14、在R3中，將下述二次方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，并判斷曲面類(lèi)型。（1）；（2）。解：（1）設(shè) A=，X =。則該二次方程可記為 。由，可得A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量： ， ， ，。將特征向量單位化，得 ，。取正交矩陣 B =，則 。設(shè)X=BY，其中Y=。原二次方程化為 ，即 （1）令，則（1）式可化為 。用平面截此曲面，截痕為橢圓；用平面截此曲面，截痕為雙曲線(xiàn)；用平面截此曲面，截痕為雙曲線(xiàn)，由次可知，此曲面為單葉雙曲面。（2）類(lèi)似題（1）的做法，可把原二次方程化為： 此曲面為雙葉雙曲面。15、已知二次曲

27、面方程可以經(jīng)過(guò)正交變換 =化為橢圓柱面方程。求a，b的值和正交矩陣P。解：設(shè)X=，Y=， A=，B=，則原二次曲面方程可表示為，橢圓柱面方程為，此問(wèn)題即尋求一正交變換X=PY，把原二次型化為已知的標(biāo)準(zhǔn)形。因此，由已有的標(biāo)準(zhǔn)形，可知矩陣A的3個(gè)特征值分別為，由，可得，。由矩陣A的特征值，可求得對(duì)應(yīng)的特征向量： ， ， ，。將各個(gè)特征向量單位化得： ，。故 。第二章555線(xiàn) 性 方 程 組習(xí) 題 二 (A)1、用克拉默的法則解下列線(xiàn)性方程組（1）解： 設(shè) A= ，由于abc0，則detA=-5abc。故方程組有唯一解。又detB=5abc，,=-5abc，detB=-5abc，從而 x= =-a

28、， x=b， x=c。(2) 解： 設(shè) A= 由于ab且a- ，detA=（ab）(2a+b) 0。故方程組有唯一解。又 detB=（ab），detB=（ab），detB=（ab），方程組的解為。（3）解： 設(shè) A= ，則detA=16，detB=128，detB=48，detB=96，detB=0，從而 x=-8 ，x=3 ，x=6 ，x=0 。2、當(dāng)k取何值時(shí)，下列齊次線(xiàn)性方程組僅有零解 （1）解： 方程組的系數(shù)行列式為detA=635k，由克拉默法則知k時(shí) ， detA0 ，方程組僅有零解。（2）解： 方程組的系數(shù)行列式為detA=（k+1）(k4)，由克拉默法則知k1且k4時(shí) ，det

29、A0 ，方程組僅有零解。3、用消元法解下列線(xiàn)性方程組 (1) 解：設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換= 所以與原方程組等價(jià)的方程組為于是原方程組的解為。(2) 解：設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換= 由最后得到的梯形矩陣最后一行知方程組無(wú)解。（3） 解：設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換= 。最后得到的梯形矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為則方程組的解為（c為任意常數(shù)）。4、當(dāng)k為何值時(shí)，下面的齊次線(xiàn)性方程組有非零解？并求出此非零解。 解： 齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式為 detA=-(15+5k)。 當(dāng)detA=0時(shí)，齊次線(xiàn)性方程組有非零解 即k=3時(shí) 方程組有非零解。 當(dāng)k=3時(shí)方程組為 設(shè)方程

30、組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換= 。最后得到的梯形矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為則方程組的解為 （c為任意常數(shù)）。5、當(dāng)k為何值時(shí)，下面的線(xiàn)性方程組無(wú)解？有解？在有解時(shí)，求出方程組的解。 解：設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換 = 得到的梯形方程組為當(dāng)k=4時(shí) 方程組無(wú)解。當(dāng)k4時(shí) 方程組的解為（c為任意常數(shù)）。6、當(dāng)a為何值時(shí)，下面的線(xiàn)性方程組無(wú)解？有唯一解？有無(wú)窮多個(gè)解？在有解時(shí)，求出方程組的解。解： 設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換=當(dāng)a=3時(shí)， 方程組無(wú)解。當(dāng)a3且a2時(shí)， 方程組有唯一解。最后得到的梯形矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為，則方程組的解為 。當(dāng)a=2時(shí)， 方程組有無(wú)窮多個(gè)解。此時(shí)梯形

31、矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為 則方程組的解為（c為任意常數(shù)）。7、判定下列各組中的向量是否可以表示為其余向量的線(xiàn)性組合。若可以，試求出其表示式 （1）=(4，5，6)T，=（3，-3，2）T，=（-2，1，2）T，=（1,2,-1）T ；解： 設(shè)=k+k+k 則k,k,k是方程組 的解。設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換 = 。最后得到的梯形矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為，則方程組的解為 ，=2+3+4。(2)=(-1，1，3,1)T，=（1，2，1,1）T，=（1，1，1,2）T，=（-3,-2,1,-3）T； 解： 設(shè)=k+k+k 則k,k,k是方程組 的解。設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換=。由

32、梯形矩陣的最后一行知方程組無(wú)解。不能表示為，的線(xiàn)性組合。（3）=(1，0，-)T，=（1，1，1）T，=（1，-1，-2）T，。解：設(shè)=k+k+k 則k,k,k是方程組 的解。設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換 =。最后得到的梯形矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為。 k,k,k不唯一。令 k=0，則k= ， k=，=+0。8、設(shè)=（1+，1，1）T，=（1，1+，1）T，=（1,1, 1+）T，=(0，)T，為值時(shí)（1）不能由，的線(xiàn)性表出（2）可由，的線(xiàn)性表出，并且表示方法唯一（3）可由，的線(xiàn)性表出，并且表示方法不唯一解： 設(shè)=k+k+k 則k,k,k是方程組 的解。設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換

33、= 。（1）當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩不相等時(shí) ，不能由，的線(xiàn)性表出。則=3。（2） 當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩都為3時(shí)，可由， 的線(xiàn)性表出，并且表示方法唯一。則0且3。（3） 當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩相等且都小于3時(shí)，可由，的線(xiàn)性表出，并且表示方法不唯一。 則=0。9、判定下列各向量組是線(xiàn)性相關(guān)，還是線(xiàn)性無(wú)關(guān)：（1）=（3，2，0）T，=（-1，2，1）T； 解： 設(shè)k+k=0 ， 則k,k,是方程組 的解。 顯然 k=k=0，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。（2）=（1，1，-1，1）T，=（1，-1，2，-1）T，=（3,1,0，1）T； 解 設(shè)k+k+k=0 則k,k,

34、k是方程組 的解 。 設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換 =。由于方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩且小于4，所以方程組有非零解，因此，線(xiàn)性相關(guān)。（3）=（2，1，3）T，=（-3，1，1，）T，=（1,1,-2）T。解： 設(shè)k+k+k=0 則k,k,k是方程組 的解。設(shè)方程組的增廣矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等變換= 。最后得到的梯形矩陣對(duì)應(yīng)的梯形方程組為 ， 顯然 k=k=k=0，所以，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。10、 設(shè)向量組=（a，2，1）T，=（2，a，0，）T，=（1,-1,1）T，試確定a為何值時(shí)，向量組線(xiàn)性相關(guān)。解： 設(shè)k+k+k=0， 則k,k,k是方程組 的解。 則，線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，有： detA=

35、=0。即 （a+2）（a-3）=0，由此得 a=2或3時(shí) ，線(xiàn)性相關(guān)。11、 設(shè)，為R中的3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量。試判定下列各向量組是否線(xiàn)性無(wú)關(guān)，說(shuō)明理由，并給出幾何解釋。（1）=-， =-， =-； 解： +=0， ，線(xiàn)性相關(guān)。幾何意義： ， ，以其中一個(gè)為起點(diǎn)組成一個(gè)封閉的三角形。 （2）=+， =+， =+；解： 設(shè)k+k+k=0， 則k,k,k是方程組 的解 。顯然k=k=k=0，所以， ，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。 幾何意義：， ，異面。 （3）=+， =-， = +。 解： +-=0， ， ，線(xiàn)性相關(guān)。幾何意義：三角形兩邊之和等于第三邊。12、 設(shè)向量組，線(xiàn)性無(wú)關(guān)（s2）試證明下列各向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。（

36、1），+，,+；證明： 設(shè)k+k（+）+k（+）=0 , 則 ( k+k+k)+ (k+ k+k)+k=0, 向量組，線(xiàn)性無(wú)關(guān) , 解得k=k=k=0， ，+，,+ 線(xiàn)性無(wú)關(guān)。（2）-+,-+, +- ； 證明： 設(shè)k（-+）+k（-+）+k（+ +-）=0 , 則( -k+k+k)+( k-k+k)+ ( k+k+k-k)=0。 向量組，線(xiàn)性無(wú)關(guān)， ， ( k+k+k)=s ( k+k+k)， k+k+k=0。又 k= k+k+k+k+k (i=1,2, ,s) 2k= k+k+k+k+k ， k=0。-+,-+, +-線(xiàn)性無(wú)關(guān) 。、 判定下列各組中給定的兩個(gè)向量組是否等價(jià)。（1）=（1，0

37、）T，=（0，1）T與=（1，2）T， =（-1，1）T； 解： = ，而 =，所以= ，即兩個(gè)向量組等價(jià)。（2）=（1，1）T，=（0，-1）T與=（2，2）T， =（0，0）T。解： = ，而=0，所以，不能由，的線(xiàn)性表出。故兩個(gè)向量組不等價(jià)。、已知向量組，與，滿(mǎn)足證明，與，等價(jià)。證明： =，且=4，所以 =，即，與，等價(jià)。、設(shè)n維向量組=（1，0，0）T，=（1，1，0，0）T，=（1，1， ，1）T，求證向量組，與n維標(biāo)準(zhǔn)向量=（1，0，0）T，=（0，1，0，0）T，=（0，0，1）T等價(jià)。 證明： =， =+， =+， =。 又 =1， = ，向量組，與n維標(biāo)準(zhǔn)向量組，等價(jià)。、設(shè)向

38、量組，線(xiàn)性無(wú)關(guān) （r 2）,任取r-1個(gè)數(shù)k，k，k構(gòu)造向量組， ， ，其中=+k(i=1,2,r-1).求證， ，線(xiàn)性無(wú)關(guān) 。解： 設(shè) ， 又 =+k (i=1,2,r-1),所以 ，又向量組，線(xiàn)性無(wú)關(guān)， l= l= = l= 0。 ， ，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。、設(shè)向量組， (s1)中 ，0，并且不能由，線(xiàn)性表出，i=2,3, ，s ，求證向量組，線(xiàn)性無(wú)關(guān) 。證明：假設(shè)向量組，線(xiàn)性相關(guān)，則存在不全為零數(shù)k，k，k使得k+k+k=0 。 設(shè)等式中從右往左第一個(gè)不為零的數(shù)為 k，即 k=k=k=0。于是等式變?yōu)閗+k+k= 0。 若 i=1，則k=0，從而=0，與0矛盾，故i1，于是 = ，這與不能由，線(xiàn)性

39、表出矛盾。所以向量組，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。、設(shè)向量可由向量組， 線(xiàn)性表出，但不能由， 線(xiàn)性表出。證明， 與，等價(jià)。證明：設(shè)= k+k+k , 又不能由， 線(xiàn)性表出 ,所以 k0。于是有 =。向量組，顯然能由向量組，線(xiàn)性表出，而又能由，線(xiàn)性表出，因而，也能由向量組，線(xiàn)性表出，所以， 與，等價(jià)。、證明n維向量組，線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是任意 n維向都可以表示為量，的線(xiàn)性組合。證明：設(shè)=（k，k，k）為任一n維向量，則有 = k+k+k ，于是任一n維向量可由單位向量組線(xiàn)性表示。必要性：因?yàn)閚維向量，可由單位向量組線(xiàn)性表示，即有n階方陣K使得（，）=（，）K，又，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故R（，）=n，于是有R（K）R（，

40、）=n，但R（K） n，因此R（K）=n，所以K可逆，并有（，）=（，）K，即，都能由，線(xiàn)性表示。又任一n維向量可由單位向量組線(xiàn)性表示。所以任一n維向量都能由，線(xiàn)性表示。充分性：若任意 n維向量都可以表示為向量組，的線(xiàn)性組合，則向量=（1，0，0）T，=（0，1，0，0）T，=（0，0，1）T都可以由向量組，的線(xiàn)性表示。而向量組，顯然可以由向量組，線(xiàn)性表示，所以向量組，與向量組，等價(jià)，所以向量組，線(xiàn)性無(wú)關(guān)。、設(shè)向量組，的秩為r ( r 0 則向量組，含有非零向量，又向量組，可由向量組， ， 線(xiàn)性表出 ，所以向量組， ，也含有非零向量，此時(shí)設(shè)向量組，的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為C：， ;設(shè)向量組， ，的一

41、個(gè)極大無(wú)關(guān)組為D：，。則C可由D線(xiàn)性表示，又C，D線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以r（，） r（， ，）。顯然向量組， ，可由向量組， ，線(xiàn)性表示，又向量組，可由向量組， ，線(xiàn)性表出，所以向量組， ，可由向量組， ，線(xiàn)表示，因此向量組， ，與向量組， ，等價(jià)，所以r（， ，）= r（， ，）。、設(shè)A，B均為mn矩陣，求證r（A+B） r（A）+ r（B）。證明： 將A，B分別按列分塊為 A=（，）， B=（， ，）， 則 A+B=（+，+，+）。顯然+，+，+可由， ，線(xiàn)性表出。設(shè)C：，為A的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，D：，為B的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，E：+，+，+為A+B的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。則E可由C，D線(xiàn)性表出，從而有r ，

42、 即r（+，+，+） r（，）+r（， ，） r（A+B） r（A）+ r（B）。23 、設(shè)A=（a） ， B=（b），求證r（AB） min（r（A），r（B）。證明： 分別將B與AB按行分塊為 B= ， AB=。 則由矩陣的乘法有 = ，即有 r=a+a+a。表明AB的行向量可由B的行向量組線(xiàn)性表出，因此r（AB） r（B）。再將A與AB按列分塊為A= （，）， AB=（，）， 則由矩陣的乘法有（，）= （，） ， 即有，表明AB的列向量可由A的列向量組線(xiàn)性表出。所以 r（AB） r（A），于是有r（AB） min（r（A），r（B）。、 設(shè)向量組I：，；II： ， ，；III： ， ，；

43、的秩分別為 r，r，r，求證：max（r，r） r r+ r。證明： 如果r，r中有等于零的，結(jié)論顯然。下面討論r0， r0。設(shè)IV：，；，； V： ， 分別為向量組I，II，III的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。顯然V可由IV線(xiàn)性表出又V線(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以r r+r。又由于，和，都可由V線(xiàn)性表示，所以r r，r r，因此max（r，r） r， max（r，r） r r+ r 。、設(shè)向量組，可由向量組， ， 線(xiàn)性表出，且r（，）=r（， ，），求證， ，也可由，線(xiàn)性表出。證明： 設(shè)，和，分別為向量組，和向量組， ，的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，又，可由， ， 線(xiàn)性表出，所以，可由，。又r（，）= r（， ，）, ，和，等價(jià)

44、,，和， ，等價(jià),， ，也可由，線(xiàn)性表出。、設(shè)A為mn矩陣，B為ns矩陣。證明AB=O的充分必要條件是B的每個(gè)列向量均為齊次線(xiàn)性方程組AX=0的解。證明：將B按列分塊為 B=（， ，）。必要性 若AB =O，即A（， ，）=0 ， 則A=0， B的每個(gè)列向量均為齊次線(xiàn)性方程組AX=0的解。充分性：若A=0 則A（， ，）=0， 即AB=O。、設(shè)A為mn矩陣，且r（A）=r n，求證：存在秩為n - r的n(n r) 矩陣B，使得AB=O 。證明：因?yàn)閞（A）= r n，所以以A為系數(shù)的齊次線(xiàn)性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系有n-r個(gè)向量，則以這n-r個(gè)解向量為列，再添上r個(gè)全是零的列，設(shè)所得矩陣為B，則矩陣B的秩為n-r，且AB=O。、設(shè)A為n階矩陣，并且AO，求證：存在一個(gè)n階矩陣BO使AB=O的充分必要條件是detA=0 。證明：將B按列分塊為 B =（， ，）。必要性， 若AB=O， 即A（， ，）=O ，又 BO，所以，以A為系數(shù)的齊次線(xiàn)性方程組AX=0有非零解，因而detA=0。充分性， 若detA=0， 則以A為系數(shù)的齊次線(xiàn)性方程組AX=0有非零解。 若r（A）= r 0)通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，求的值及