簡(jiǎn)明微積分教案0304曲率doc

1、教案0304課程機(jī)電數(shù)學(xué)課題曲率授課對(duì)象機(jī)電類(lèi)專(zhuān)業(yè)二年制高職生課時(shí)2教材簡(jiǎn)明微積分 主編：李亞杰，高等教育出版社教學(xué) 目標(biāo)認(rèn)知 目標(biāo)1、了解曲率與曲率圓定義；2、掌握曲率與曲率半徑的計(jì)算能力 目標(biāo)1、掌握曲率與曲率半徑的計(jì)算；2、綜合運(yùn)用曲率與曲率半徑的計(jì)算方法解決專(zhuān)業(yè)中的問(wèn)題；3、逐步提高數(shù)學(xué)思維能力與分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。素質(zhì) 目標(biāo)提高數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方法；提高應(yīng)用數(shù)學(xué)分析問(wèn) 題和解決專(zhuān)業(yè)課問(wèn)題的能力。教學(xué) 重點(diǎn)1、與曲率相關(guān)的概念；2、有關(guān)曲率、曲率半徑的計(jì)算教學(xué) 難點(diǎn)曲率概念的理解教學(xué) 思路在對(duì)曲率定義感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)圖形分析、啟發(fā)、探究，講解與曲率相關(guān)的概念、

2、計(jì)算公式；典型例題結(jié)合練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)；通過(guò)弧形工件的加工原理例題的導(dǎo)入，使學(xué)生在分析求解的過(guò)程中體會(huì)曲率知識(shí)在專(zhuān)業(yè)課中 的應(yīng)用，提高運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。學(xué)習(xí)效果 評(píng)價(jià)方式作業(yè)反饋與提問(wèn)教學(xué)過(guò)程步 驟教/學(xué)活動(dòng)教學(xué)內(nèi)容時(shí)間(分)010203教師舉出 實(shí)際生活 中的例子 使學(xué)生對(duì) 所學(xué)有直 觀了解， 并板書(shū) PPT教師啟發(fā) 學(xué)生通過(guò) 觀察圖形 得出結(jié)論教師講解 給出定義 PPT在實(shí)際問(wèn)題中，需要考慮曲線(xiàn)的彎曲程度，我們用曲率來(lái)表 示曲線(xiàn)的彎曲程度.一、曲率的概念弓1例橋梁的彎曲程度在設(shè)計(jì)鐵路和高速公路彎道時(shí)，要考慮彎道處的彎曲程度； 在建筑工程梁的設(shè)計(jì)中，對(duì)梁的彎

3、曲程度必須有一定的限制.要解決這個(gè)問(wèn)題，我們引入卜面概念.如圖3-11所示的小弧段 AB ,若其弧長(zhǎng)是 s ,設(shè)有一動(dòng)點(diǎn) 從A沿著弧段移到 B點(diǎn)，相應(yīng)地這動(dòng)點(diǎn)的切線(xiàn)也沿著弧段轉(zhuǎn)動(dòng)， 在弧段兩端點(diǎn)的切線(xiàn)構(gòu)成了一個(gè)角，該角稱(chēng)為轉(zhuǎn)角.從圖3-11( a)可以看出，曲線(xiàn)彎曲程度大的，轉(zhuǎn)角也大；從 圖3-11(b)可以看出，在轉(zhuǎn)角相等的情況下，曲線(xiàn)弧長(zhǎng)較短的， 彎曲程度較大.結(jié)論：曲線(xiàn)的彎曲程度與轉(zhuǎn)角成正比，與弧長(zhǎng)成反比(a)(b)圖 3-11根據(jù)上面認(rèn)識(shí)，為定量地研究曲線(xiàn)的彎曲程度，給出下面定 義.定義 設(shè)A和B是曲線(xiàn)y f(x)上的兩點(diǎn)，如果當(dāng)A點(diǎn)沿 著曲線(xiàn)移近B點(diǎn)時(shí)，弧段AB的長(zhǎng)是 s,轉(zhuǎn)角是，則

4、稱(chēng)為AB的平均曲率，記作K.若平均曲率的極限lim存在，則稱(chēng)該極限為曲線(xiàn)ss 0 sy f (x)在點(diǎn)A處的曲率，記作K ,即K lim s 0 si二、曲率的計(jì)算曲率反映了曲線(xiàn)的彎曲程度，曲率大的，彎曲程度高；反之,曲率小的彎曲程度小計(jì)算曲率的公式，即.下面給出用函數(shù)f (x)的一、二階導(dǎo)數(shù)04學(xué)生思考050607教師指出教師舉例 啟發(fā)講解 引導(dǎo)學(xué)生 參與計(jì)算 過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生 求解，及 時(shí)糾錯(cuò)教師注重分析過(guò)程為后面應(yīng)ds對(duì)于直線(xiàn),1.對(duì)于直線(xiàn), / |y |1 y/若方程為若方程為32 -2y axy axb , b,則直線(xiàn)的曲率為何？由于 y/ a , y0 ,則K 0,即直線(xiàn)的彎曲程度是

5、零(直線(xiàn)不彎曲)x x(t)2.如果曲線(xiàn)以參數(shù)方程()形式給出，由參數(shù)方程的y y(t)求導(dǎo)計(jì)算，得出在給定點(diǎn)處曲率的計(jì)算公式為,/ / ,| xt ytxt yt |3/2/212xtyt (2)例1橋梁的彎曲程度一一 的截線(xiàn)為拋物線(xiàn)，其方程是y引例的解決 若某一橋梁橋面2x2 ,求它在點(diǎn)A(1, 1)處的曲率.y/ 2xy/2,代入曲率計(jì)算公式(1)x23522 求曲線(xiàn)求導(dǎo), / / |x y4aa(ta(1sint)cost)2、525在任意點(diǎn)處的曲率(a 0)./x/y公/x y/|3/2/2 2x y 2a(1cost)asin t ,/x/y|a2(1.tsin 23拋物線(xiàn)求導(dǎo)，得

6、代入公式(1),得ax2 y/a sin t ； a cost.(2)cost) cost22a sin 113222.22a (1 cost) a sin t2bx c上哪一點(diǎn)處的曲率最大?2ax b, y/ 2a.用問(wèn)題做 好鋪墊08教書(shū)板書(shū)講解PPT TOC o 1-5 h z K |y/l|2a|K3-3 ./2 c2 c1 y 21 (2ax b) 2因?yàn)镵的分子是常數(shù)| 2a |,所以只要分母最小，K就最大. 容易看出，當(dāng)2ax b 0,b 一.即x 時(shí)，K的分母最小，因而 K有最大值| 2a | .而 2abx一所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn).因此，拋物線(xiàn)在頂點(diǎn)處的2a曲率最大.三、曲

7、率圓與曲率半徑設(shè)曲線(xiàn)y f(x)在點(diǎn)M(x, y)處的曲率為K(K 0).在點(diǎn)M處的曲線(xiàn)的法線(xiàn)上，在凹1_的一側(cè)取一點(diǎn)D,使|DM| .以D為圓心，為半徑K作圓(圖3-12所示)，這個(gè)圓叫做曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的曲率圓，曲率圓的圓心D叫做曲線(xiàn)在點(diǎn)M 處的曲率中心，曲率圓的半徑 叫做曲線(xiàn)在點(diǎn) M處的曲率半徑.由上述規(guī)定可知，曲率圓與曲線(xiàn)在點(diǎn)M處有相同的切線(xiàn)和曲率，且在點(diǎn) M臨近有相同的凹向.因此，在實(shí)際問(wèn)題中，常常 用曲率圓在點(diǎn) M臨近的一段圓弧來(lái)近似代替曲線(xiàn)弧，以使問(wèn)題 簡(jiǎn)化.曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的曲率K(K 0)與曲線(xiàn)在M處的曲率半徑 有如下關(guān)系：這就是說(shuō)：曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的曲率 互為倒

8、數(shù).09教師舉例 將學(xué)生思 維深入例4弧形工件的加工原理設(shè)工件內(nèi)表面的截線(xiàn)為拋物線(xiàn)2y 0.4x (圖3-13所不)，現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面.問(wèn)用直徑多大的砂輪才比較合適？解為了在磨削時(shí)不使砂輪與工件接觸處附近的那部分磨教師指出去太多，砂輪的半徑應(yīng)小大于拋物線(xiàn)上各點(diǎn)處曲率半徑中的最小專(zhuān)業(yè)常識(shí)值.由例3可知，拋物線(xiàn)在其頂點(diǎn)處曲率最大，也就是說(shuō)，拋物線(xiàn)在其頂點(diǎn)處的曲率半徑最小 .因此，只需求出拋物線(xiàn) y 0.4x210注重考慮在頂點(diǎn)0（0, 0）處的曲率半徑.由問(wèn)題思想y/0.8x , y/0.8,有 y/(0) 0,y/ (0) 0.8.和思路，將其代入公式（1）,得學(xué)生計(jì)算K 0.8,求解因而求得拋物線(xiàn)y 0.4x2頂點(diǎn)處的曲率半徑1一 1.25, K所以選用砂輪的半徑不得超過(guò)1.25單位長(zhǎng)，即直徑不得超過(guò)2.5單位長(zhǎng).11學(xué)生練習(xí)1.求曲線(xiàn)y x3 1在點(diǎn)（1,1）處的曲率.能力訓(xùn)練 xa cost,2. 求曲線(xiàn)(a 0, b 0)在點(diǎn)t