等差數(shù)列前項(xiàng)和最值

1、關(guān)于等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值第一張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:形式1:形式2:復(fù)習(xí)回顧第二張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月一、常用數(shù)列的求和方法：(3)裂項(xiàng)法：設(shè)an是等差數(shù)列，公差d0新課講授第三張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 (4)倒序相加法：用于與首末兩端等距離的和相等。第四張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月.將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式 看作是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)有什么特點(diǎn)？ Sn是關(guān)于n的二次式，常數(shù)項(xiàng)為零。（d可以為零）則 Sn=An2+Bn令新課講授第五張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 結(jié)論1：若數(shù)列an的

2、前n項(xiàng)和為Sn=pn2+qn，(p,q為常數(shù))是關(guān)于n的二次式，則數(shù)列an是等差數(shù)列。an是等差數(shù)列Sn=pn2+qn(p,q為常數(shù),d=2p)當(dāng)d0時(shí),Sn是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)若C0，則數(shù)列an不是等差數(shù)列。若C=0，則an為等差數(shù)列；結(jié)論2：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常數(shù)）當(dāng)d=0時(shí),Sn=na1不是二次函數(shù)第六張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月問題與思考第七張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第八張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月第九張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 例1 若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)和為34，最后三項(xiàng)和為14

3、6，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列共有_項(xiàng)。13 例2 已知數(shù)列an中Sn=2n2+3n，求證：an是等差數(shù)列.第十張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例1、若等差數(shù)列an前4項(xiàng)和是2，前9項(xiàng)和是6，求其前n 項(xiàng)和的公式。，解之得：解：設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，則有：第十一張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè) Sn= an2 + bn，依題意得：S4=2, S9= 6,即解之得：另解：第十二張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題例1.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法1由S3=S11得 d=2當(dāng)n=7時(shí),

4、Sn取最大值49.第十三張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題例1.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=20當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對(duì)稱軸為7n113Sn第十四張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題例1.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=2當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由得第十五張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于202

5、2年6月a7+a8=0等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題例1.已知等差數(shù)列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值時(shí),Sn取最大值.解法4由S3=S11得當(dāng)n=7時(shí),Sn取最大值49.a4+a5+a6+a11=0而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=20a70,a80第十六張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月解:由S3=S11得d，S3 = S11，問：這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)的和最大？第十七張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例2：已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1= 21，公差d=2，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最大值。S11最大為121的前n項(xiàng)和為 ,當(dāng)n為何值時(shí)， 最大

6、，s22最大數(shù)列 的通項(xiàng)公式 an=-8n+48已知 求：例3設(shè)等差數(shù)列第十八張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月求等差數(shù)列前n項(xiàng)的最大(小)的方法方法1:由 利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸求得最值及取得最值時(shí)的n的值.方法2:利用an的符號(hào)當(dāng)a10,d0時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正,此時(shí)所有正項(xiàng)的和為Sn的最大值,其n的值由an0且an+10求得.當(dāng)a10時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù),此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的和為Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.第十九張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí):已知數(shù)列an的通項(xiàng)為an=26-2n,要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大,則n的值為( )A.12 B.13

7、 C.12或13 D.14C第二十張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng)d0時(shí),Sn是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)則 Sn=An2+Bn令小結(jié) Sn是關(guān)于n的二次式，常數(shù)項(xiàng)為零。（d可以為零）第二十一張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 結(jié)論1：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=pn2+qn，(p,q為常數(shù))是關(guān)于n的二次式，則數(shù)列an是等差數(shù)列。an是等差數(shù)列Sn=pn2+qn(p,q為常數(shù),d=2p)若C0，則數(shù)列an不是等差數(shù)列。若C=0，則an為等差數(shù)列；結(jié)論2：設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常數(shù)）小結(jié)第二十二張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論:3：等差數(shù)列前n項(xiàng)和不一定是關(guān)于n的二次函數(shù)：（1）當(dāng)d0是，sn是項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù)，且不含常數(shù)項(xiàng)；（2）當(dāng)d=0是，sn=na1,不是項(xiàng)數(shù)n 的二次函數(shù)。 反之，關(guān)于n的