廣義相對論課堂一課件

1、廣義相對論課堂21Schwarzschild時空軌道2011.11.25課程安排復習內容：討論內容：慣性系斜交坐標測量意義新內容：Schwarzschild時空應用下次課：經典檢驗測驗發(fā)草稿紙助教課后發(fā)調查表測驗目的了解大家的學習困難、不足、效果確保掌握重點和難點改進動鐘變慢誤導嗎？動=速度不為零=鐘尺測量速度=相對于坐標鐘加速鐘d2=-2dt2雙生子佯謬=為什么反過來不可以？鐘尺網格Marzke-Wheeler坐標實驗不需理論引入鐘尺網格試圖在球面上構造全局性慣性系skew坐標測地線非測地線，除赤道圈換成也用測地線，赤道圈上某一點P=第二極點O 相對于北極點O OO大圓上坐標失效，無能區(qū)分不

2、同點非全局！對比極點（，）坐標簡并、類似勻加速系直線+曲線網格三種理論4種鐘尺網格理論參考系（慣性v、加速）坐標系（正交、非正交）鐘與鐘、尺與尺鐘與尺不同網格之間跨系事件坐標符號意義？事件之間差值微分、差分？牛頓相對靜止同步化剛性t,x,y,zdt與tSR慣性系Lorentz坐標慣性系skew坐標加速系正交加速系非正交相對靜止t,x,y,zt,x,y,z或t,x,y,zGR任意正交(史瓦西為例)任意非正交：Cookt,r,無非是將平直時空（事件集合）用網格劃分網格點標記數學的威力Einstein求助重要的是數學表達了什么物理第一個活動慣性斜交坐標系寫在紙上不要太潦草上交我查看多留空白、隔行寫方

3、便批改盡量文字說明你的推理要點、步驟測量鐘與尺相對運動平直時空坐標網格三位一體慣性系skew坐標鐘的世界線尺子原點刻度的世界線和鐘的世界線重合嗎？類時、切矢量類空=尺子延展方向、分量表達與坐標網格的關系線元和度規(guī)i方向的基準尺子相對基準鐘運動不是j方向另選尺子相對不動的總能做到嗎？Cook沒講到：鐘尺相對運動線元存在時空交叉項基準鐘尺相對運動？轉盤系Schwarzschild時空Eddington-Finkelstein坐標Kerr時空Boyer-Lindquist坐標未解之謎：Kerr環(huán)奇點轉動宇宙Godel度規(guī)應用進一步可探討對比習題7.21Cook雷達回波、t,x坐標下第二個活動勻加速正

4、交坐標系勻加速正交坐標系完美類比平面幾何及坐標系歐式平面幾何半曲線正交原點同心射線+同心圓距離平方和都是尺子延展空間線閔氏平直時空同心“圓”距離平方減鐘尺世界線+尺子延展類空線第四點：測地線方程（組） 徑向方程測試粒子和光線的測地運動三個初積分運動常數守恒量單位質量粒子能量e(因為在遠處)， 無量綱, 物理意義!單位質量粒子角動量L(因為L=rv)所有的軌道都是在某一個過球心平面上運動：1。直觀地看，任何偏離平面的運動都受到非向心力，破壞了球對稱2。教材9.22，L=0，初始d/d=0，則以后沿測地線處處為d/d=0， =Const.在一個平面上3. 解測地線方程，附錄B，LightmanP4

5、04可以證明平面運動是穩(wěn)定的,小擾動后回坐標軸重新取向，約定在赤道面上討論=/2第三個初積分，四速度歸一/0化，即線元四速度只有三個非零分量，利用三個初積分方程，可用e,L表達第五點：有效勢機械能=徑向動能+有效勢能（勢能+角向動能=離心勢能）牛頓情況有效勢與徑向方程量綱,t, *c,M*G/c*c,L/c引入M為單位的r,L;粒子寫成牛頓力學機械能守恒的形式9.32,系列方程對非測地線運動也成立，即-1=u*u，只是e,L不再是守恒量，無法利用勢能曲線簡單分析第二項為橫向動能=離心勢能,由離心力導出，方向與引力相反,d-dt第四項為相對論修正項，吸引，相對論引力比牛頓強，本質因為光速極限（由

6、EP=-1=u*u)利用（有效）勢能曲線分析運動軌道及其穩(wěn)定性，平方項總是大于等于0圖形，牛頓（二三項）和相對論的有效勢，分別主導小、中、大R曲線形狀，R-0,R-特殊點，微分畫出曲線給定M，首先按照角動量分類牛頓L=0徑向可到達r=0,實際情況星體表面阻擋外力，不再有機械能守恒分析；徑向遠離，E0可逃逸到無窮遠（勢能為0)，E0)或拋物線(E=0)2。E0,V-L2/R3-;R-,V-1/R-0;中間V-L2/2R22.0=V,R01,02=;L4；隨L分別為減函2R0143.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下標指的是V最小最大RminRmax;L3.46;Vmax給出

7、給定e粒子的俘獲截面4. d2V/dR2=0按單位質量角動量分類L=l/M1.L0逃逸，其余投入或回落2.L=3.46,同上拐點R=L2/2處=V不穩(wěn)定圓周軌道3.3.46L4,最高點不穩(wěn)定+最低點穩(wěn)定圓周束縛(Vmin4,+散射軌道0Vmax第六點：有效勢曲線分析原理勢能曲線的分析原理d/d徑向方程后，得到dr/d=0或d2r/d2=-V=有效力，所以碰到勢壘會反彈；散射和束縛由d2r/d2連續(xù)性仍然有d2r/d2=-V=有效力；問題：在=V， dr/d=0是否可以保持圓周運動？答：不會1。仍然有效力不為0,V0;牛頓情況，某個高度上，速度大（?。┯趫A周速度，離心力大（?。┯谝Γp曲（拋物

8、）（橢圓）；測地線方程d2r/d2-r_tt(ut)2-r_(u)2-r_rr(ur)2勢能曲線的分析原理：續(xù)2.Cauchy定解，運動方程總是二階微分方程（例如從變分原理看L(v,x)，所有力學都是從牛頓力學比擬而來），初始位置確定（靜態(tài)時空）則時空點確定，初始三個速度確定，則定解。即L, 決定了一條且僅僅一條測地線（當然，不一定遍歷，如一開始就在V最高點則只有從RR_max過來的圓周運動部分）所以，任意力學中勢能曲線可以看成地面上起伏山坡（無磨擦無空氣阻力）上粒子運動，地面支承力重力有效力，即所謂勢能曲線分析反省3問題1、這部分你是否學到了什么？或者你認為最有用的是什么？如果不是，請問哪些

9、你沒學到？如果不確定，請解釋原因。2、課中哪點你覺得最不清楚？或有最大問題？3、不清楚的原因是講課不夠清楚？缺少提問的機會？你事先沒有準備？缺乏課堂討論？其他？回補+進一步牛頓力學練習題鏈條滑落光滑球面時速度常引力場中光滑錐面上運動最低點Zeldovich相對論天體物理庫侖力場第六點：軌道類型六個量四個變量,t,r,兩兩組合數6種，5個速度（三個固有速度兩個坐標速度）1個形狀量（寫成楊輝三角4層4321）僅取決于三個方程：e,L,徑向方程徑向運動dd0，Const. ，無角動量L=0,V=-1/R僅牛頓勢，d=dr/2(+1/r)，1/2徑向自由下落，取負號，=0, e=1,無窮遠e=dt/d

10、=1靜止，解得教材用r=0定標，到黑洞講；從某個r到2M，粒子固有時有限；從無窮遠當然無限坐標時間，從某個r到2M無限，r-2M，9.40最后一項-+，這是史瓦西坐標在近2M出錯的一個跡象例子9.1，徑向逃逸（到無窮遠0漸近靜止,e=1）速度，在施瓦希坐標半徑R處靜止觀者（只有ut不為零）測量V,E=mV(LIF中消除引力影響，觀者自身標架為LIF中隨動標架），g_tt*ut=e=1圓周軌道不穩(wěn)定圓周軌道3Mr_max6M隨L增大而增，L=3.46最小，三個施瓦西半徑定義坐標角速度，實測設計：遙遠一圈靜止鐘(同步化），接受圓周運動粒子徑向光脈沖，因為圓對稱，不同光線受的引力時間膨脹一樣，測出t；圓弧長/圓周長V=0+=V=9.45，也適用于非穩(wěn)定圓周軌道得到與Kepler第三定律（圓周軌道）相同形式，不是固有時角速度，在無窮遠回到Kepler束縛軌道的形狀方程，橢圓函數，u=1/R后，補齊量綱，常數項為牛頓能量高階小量從內轉折點r_1（近星點）到外轉折點r_2 （遠星點） ，再回到內轉折點1圈turn一般1圈后2不閉合，順著軌道轉動方向進動（相對論修正項為正），每圈進動角相同（因為球對稱）2，不閉合的主軸進動橢圓；但對一組E(L)，m圈后=n(2)閉合，mn，習題13近日點進動圖9.5不同L（勘誤）和E，參數取值邊界為穩(wěn)定和不