物理大二上20章

1、基本內容：1. 簡諧振動的基本物理量。2. 旋轉矢量法。簡諧振動的基本特征，一維簡諧振動的運動方程。同方向、同頻率的兩個簡諧振動的合成規(guī)律。2振動（vibration）是自然界中最普遍的一種運動形式。物體在平衡位置附近做往復的周期性運動，稱為機械振動。電流、電壓、電場強度和磁場強度圍繞某一平衡值做周期性變化，稱為電磁振動或電磁振蕩。一般地說，任何一個物理量的值不斷地經過極大值和極小值而變化的現(xiàn)象，稱為振動。雖然各種振動的具體物理機制可能不同，但是作為振動這種運動的形式，它們卻具有共同的特征。3簡諧振動阻尼振動受迫振動（有阻尼）20.1 簡諧振動（Simple Harmonic Motion S

2、HM） 1、定義 Acos( t )x這種用時間的正弦或余弦函數來描述的振動，稱為簡諧振動（SHM）。諧振動方程x 可以是位移、電流、場強、溫度4xt5xt6xt7xt8xt9xt10 xt11xt12xt13xt14xt15xt16xt17xt18xt19xt20 xt21xt22xt23xt24xt25xt26xt27xt28xt29xt30簡諧振動的三個特征量litude） ：(1) 振幅 A （振動物體離開平衡位置的最大距離。(2) 圓(角)頻率：2s時間內物體所作完全振動的次數。2 T固有周期 固有頻率 2 (3) 初相 (phase) T( t ) 決定振動物體的運動狀態(tài)，稱為位相

3、。 是t=0 時的位相，稱為初相。31質點作簡諧振動時，其速度、加速度也隨時間作周期性變化。dx) vn s(i t 速度)v An s(i t mdtd2 x Avm) am cos( t 加速度a2Acos( t )d t 2 2aaAx、 、am2A 2ax A AxotT-A- A-2A 0a 0 0 0 0加速 0 035v3、旋轉矢量旋轉矢量Att = 0參考圓 t+Aoxx設一質點沿圓心在O點、半徑為A的圓周做勻速運動，其角速度為。以圓心O為原點，設質點的徑矢經過與x軸夾角為 的位置開始計時，則在任一時刻t，此徑矢與x軸的夾角為 t+，而質點在x軸上的投影坐標為：x = A co

4、s( t + ) ，為簡諧運動！36v旋轉矢量旋轉矢量 Att = 0參考圓 t+Aoxxx = A cos( t +振幅)旋轉矢量的長度旋轉的角速度矢量與 x 軸的夾角 t=0時與 x 軸的夾角矢量端點的線速度圓頻率(角頻率)位相初位相振動速度(上負下正)37確定和研究振動旋轉矢量很方便tAt = 0A t+ox參考圓xx = A cos( t + )nce)eefercle of r(cirv0 0則由左圖給出0338相的概念在比較兩個頻率相同的諧振動步調時很有用！位相差t 2) ( t 1)2 同一時刻的位相差(x1到達同一狀態(tài)的時間差：x1Ao-At tT ttx221 t 22 11

5、位相超前與若 2 10,稱 x2比 x1超前(x1比 x2)。39同相和反相當 = 2k , ( k =0,1,2,),兩振動步調相同,稱為同相；當 = (2k+1) , ( k =0,1,2,),兩振動步調相反 , 稱為反相x。xA1 A2o- A2-A1反相A1 A2t - A2-A1同相x1x1xTtT2ox24020.2 簡諧運動的動力學d2x xa 2d t 2d2x m xF ma m2d t 2一個作簡諧運動的質點所受的沿位移方向的合外力與它對平衡位置的位移成正比而反向。該力稱為恢復力。d2xd2xk mF ma md t 2x kx2或x 0md t 2質點在與對平衡位置的位移

6、成正比而反向的合外力作用下的運動就是簡諧運動。這就是簡諧運動的動力學定義，上右式就是動力學方程。2固有角頻率kmk 2,T m41固有周期簡諧振動的實例擺球相對平衡位置的角位移為時：（1）單擺（取逆時針方向為擺球正方向）F=mg sin= ma= md 2mldt 22dg sin 所以d t 2ll當很小時， sin，d 2g 0則ld t 2Fd 2mgg 0令 2，得dt 2l42所以單擺的運動在擺角很小時是簡諧振動，其周期為：lT 2 g利用該式可測重力加速度。單擺的諧振動表達式為： m cos ( t )其中m 為最大角位移，即角振幅。43（2）穩(wěn)定平衡位置附近的微振動是簡諧振動證明

7、：在 x =0附近將勢能函數展開mEpfxfxx0對微振動，可只取到x2項，且取Ep(0)=044 dE d 2 Ep 0, p 0 dx 0 d x20 dEp 1 d2Ep E (x) E (0) x x2 pp dx 2 dx200則有即，穩(wěn)定平衡位置附近的微振動是簡諧振動。微振動實例：原子核內質子和中子的振動、原子和分子的振動、固體晶格格點的振動等。451 2p 1E( x ) dEx 2 kx 2p2 d x2 02k dE p 02 d x 0 d E p ( x ) d 2 E p f x kxxd xd x 2 0 0例 題 分 析一長度為l，勁度系數為K的均勻輕彈簧分割成長度

8、為l1和l2的兩部分，且l1=n l2，n為整數，則相應的勁度系數K1和K2分別為 和 。一勁度系數為k的彈簧截成三等份，取出其中兩根，把它們并聯(lián)，下面掛一質量為m的物體，則振動系統(tǒng)的頻率為 。兩相同的彈簧，勁度系數為k。(1)把它們串聯(lián)起來，下面掛一質量為m的物體，則振動系統(tǒng)的周期為 ； (2)把它們并聯(lián)起來，下面掛一質量為m的物體，則振動系統(tǒng)的周期為 。一質量為m的物體掛在勁度系數為k的輕彈簧下面，振動頻率為。若把此彈簧分割成兩等份， 將物體m1.2.3.4.掛在分割后的一彈簧下，則振動圓頻率是。46對彈簧振子的兩點說明設兩個彈簧彈性系數分別為k1和k2當它們串聯(lián)時，等效彈性系數為k1*k

9、2/(k1+k2)；當它們并聯(lián)時，等效彈性系數為k1+k2。對一長為l、截面積為S的棒，兩端以力F拉之，伸長，定律給出F/S=Y*l / l ，Y僅取決于材料性質，稱為楊氏模量，此式可以寫成F=(Y * S/l)* l，顯然，量YS/l=K。對長為l的彈簧截取其半，S不變，K必然變成2K.1.2.4720.3 簡諧運動的能量以水平彈簧振子為例，：1 1mAnsi(2t2動能：222Em)k2 1k2x 1 kA2cos (2tE)勢能：p22 k)( 2應用mE112機械能E： kA22 mAEkP2簡諧振動系統(tǒng)的總機械能守恒，不隨時間改變！EA2 簡諧振動系統(tǒng)的總能量與振幅的平方成4正8比E

10、EpEk(1/2)kA2EEp EktoTx能量時間關系曲線系統(tǒng)勢能的平均值： 1 1 kA211 kA 2cos 2 (t )dtTTEpE dtpTT2040Ek Ep 1 E2所以49注：阻尼振動受迫振動為選學內容，不在者大家了解！范圍。有5020.7 簡諧振動的同方向、同頻率的簡諧振動的x1=A1cos( t + 1)x2=A2cos( t + 2 )三角函數可行但麻煩，利用向量圖求得x = x1+ x2 =A cos( t + )合振動 :其頻率仍為 。合振動也是簡諧振動,A振幅 1Ac2osA2 (212AAA2)21A2A12sinAsin A初相 arctan11122cos1

11、 A c2 o5s1 2A1x2兩種特殊情況：(1)若兩分振動同相1 = 2k2(k=0,1,2,)則 A=A1+A2 ,合振幅最大，兩分振動相互加強。(2)若兩分振動反相1 = (2k+1)2(k=0,1,2,)則 A=|A1A2|,合振幅最小，兩分振動相互減弱。此時，若 A1=A2 , 則 A=0。2 1(3)當相差為其它值時，合振幅在A1+A2與|A1A2|之間。52同方向、不同頻率的簡諧振動的x1=Acos( 1 t +)，x2=Acos( 2 t +)設分振動x = x1+ x2則合振動cAos( 2 2 t1 2)1t cos()得x22不是簡諧振動。但當 2 1 2+ 1時，合振

12、動的振幅2 Acos2 1隨 t 緩慢變化，角頻率為t，1222合振動可看作振幅緩慢、周期變化的簡諧振動。這時出現(xiàn)的合振動的振幅時大時小的現(xiàn)象叫做“拍”（beat） 。時間內振動加強或| 1 2|減弱的次數叫拍頻v。53拍1x1t2x2t= 1 - 2 xtv拍 | 1542|拍頻:時間內合振動加強或減弱的次數.例 題 分 析兩個同方向、同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為20cm，與第一個簡諧振動的位相差為- 1 =/6，若第一個簡諧振動的振幅為10c3m=17.3cm，則第二個簡諧振動的振幅是多少？第一、二兩個簡諧振動的相位差1-2 為多少？55互相垂直的簡諧振動的（選學內容）（1）x y

13、軌跡為橢圓。yx不同，橢圓形狀、旋向不同。 = /4 = /2 = 3/4 = 0yQPx = = 5/4 = 3/2 = 7/4（-3/4）（-/2）（-/4）56 = = 0yx、象限SHM = -/4、象限SHM= /4PQyx左旋）y超前x右旋（以為界，決定超前、57（2） 1 m ，m,為n正整數2n軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線 如圖yx達到最大的次數Axxy達到最大的次數yy x例如左圖： 3A x-A222y應用：測定未知頻率- A15810yx y2 1x3 13 2 3 = 0：= 0yyyyyx8428590阻尼振動相比無阻尼振動 (例如彈簧，電感線圈)，任何系統(tǒng)總還要受到阻力的作

14、用，此時振動叫阻尼振動。阻尼振動中，振動系統(tǒng)要不斷克服阻力做功，所以能量不斷減少，振幅也不斷減小，故被稱為減幅振動。當物體的運動速度不太大時，介質對運動物體的阻力與速度成正比：質量為m的振動物體，在彈性力和上述阻力作用下運動方程為2mdxdxkxdt 2dt2故建立微分方程： d x 2dx 02 x600dt 2dt令2 k,(為振動系統(tǒng)固有頻率 )0m02 ，( 為阻尼系數 )mf dx,(其中 為正的常數 )rdt該阻尼振動(欠阻尼 體系的振動特征（方程的解）(阻尼振動表達式)et :隨時間變化的振幅,隨時間指數減小TA e-t0阻尼周期t很明顯，阻尼振動周期比振動系61統(tǒng)的固有周期要長

15、。T 2 2 2 20 x A0et cost 0 2 2 其中00T 2 22、三種阻尼形式 2 21) 欠（弱）阻尼： 00阻尼振動周期比振動系統(tǒng)的固有周期要長。2) 過阻尼： 0 x物體以非周期運動的方式慢慢回到平衡位置。3) 臨界阻尼： 0物體剛剛能做非周期性運動，最后也回到平衡位置。和過阻尼相比，這種周期性運動回到平衡位臨界阻尼過阻尼0t欠阻尼置的時間最短。因此當物體偏離平衡位置時，如果要它在不發(fā)生振動的情況下，最快地恢復到平衡位置，常62施加臨界阻力的方法。用T 2 2欠（弱）阻尼： 0 2 20在欠（弱）阻尼情況下，振動振幅隨時間指數減小， tA A e即振幅0由于振幅不斷減小，

16、振動能量也不斷減小，又因振動能量和振幅平方成正比，所以：能量E E0e2t其中E0為起始能量。能量減小到起始能量的1/e所經歷的時間為： 1 2時間常數時間常數可以作為阻尼振動的特征時間，也稱為鳴響時63間。阻尼越小，時間常數越大，鳴響時間越長。3、品質因數 Q值品質因數描述受迫阻尼振動體系(例如彈簧，電感線圈)與無阻尼簡諧振動的接近程度，用Q表示：64Q 2 t時刻體系的能量每周期損失的能量2E t E t E t T （3）計算公式 固有頻率無阻尼阻尼系數 （ ） 時間常數頻率其中固有頻率，阻尼系數 Q值65Q2 0T02證 明：66x A0e t cost 0 2 2 00E(t) 1

17、kA2 1 kA2e2 t1 kA2e t22020其中 1 為時間常數,表達能量衰減快慢， T2E(t) E(t T ) 1 kA2et 1eT 1 kA2et T2020Q 2E(t) 0指數展開：1-TT/)2 +E(t)E(t T )02受迫振動1、受迫振動的概念cos 在驅動力H的t作用下系統(tǒng)的振動 受迫振動。穩(wěn)定時系統(tǒng)振動的頻率 = 驅動力的頻率維持受迫振動的周期性外力叫做驅動力。物體做受迫振動的頻率等于驅動力的頻率，而跟振動物體的固有頻率無關。67為簡單起見，設驅動力是隨時間按余弦規(guī)律變化的簡諧H cos t力由于同時受到彈性力和阻力的作用，其運動方程為：m d 2 x kx d

18、x H cos tdt 2 kdt2 h H 2令：0mmmd 2 x 2 dx 2 x h cos t上式可寫為：0dt 2dt方程解為： 2 2t Acos(t ) tx A ecos00 068 et cos 2t2 AxAcos()t00 0隨時間很快衰減為零所以，受迫振動可以看成兩個振動穩(wěn)定時的振動方程的。第一項是減幅的振動，一段時間后減弱到可忽略不計；后一項表示振幅不變的振動，即受迫振動達到穩(wěn)定時的等幅振動。在達到穩(wěn)定態(tài)時，系統(tǒng)振動方程為：xcAos()t（可以證明，此振幅的角頻率就是驅動力的角頻率）69A = h穩(wěn)定時的振幅為：(2 2)24 2 2+0求A 的極值條件得：A 2202r =0相應的最大振幅：hA r 222較小0在弱阻尼即0下可以看出，當r=0，即驅動力頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率時，振幅最大。該較大pO現(xiàn)象稱為。7002、的意義和規(guī)律在弱阻尼即 0的情況下，當= 0時，系統(tǒng)的振動速度和振幅都達到最大值 。應用： 聲、光、電、原子、工程技術核磁；微波爐（電磁頻率接近水分子的振動頻率）；隊伍整齊過橋；輪船在風浪