剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)課件

1、第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)Rotation of a Rigid Body第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)任何物體可以視為質(zhì)點(diǎn)系。剛體是一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系，是不同于質(zhì)點(diǎn)的一種理想模型。分割剛體得到的可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)考慮的物塊稱為質(zhì)元。剛體上各質(zhì)元的相對(duì)位置在任何情況下都不變。剛體受力時(shí)可以忽略形狀和體積變化的物體。質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)服從質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。研究剛體的運(yùn)動(dòng)，關(guān)于質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)定律都適用。第五章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)3-1 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的描述Motions of a Rigid Body轉(zhuǎn)軸 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上所有質(zhì)元都繞同一條固定直線做 平動(dòng)剛體上任何兩點(diǎn)的連線始終保持平行的運(yùn)動(dòng)。1.剛體運(yùn)動(dòng)的分類平動(dòng)時(shí)所有質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)完全相同，

2、可用剛體的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)代替整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)。 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的只有一點(diǎn)始終保持不動(dòng)。圓周運(yùn)動(dòng)；且各質(zhì)元的角速度相同。5-1 剛體的運(yùn)動(dòng) 角速度剛體上任一質(zhì)元圓周運(yùn)動(dòng)的角速度。 角加速度剛體上任一質(zhì)元圓周運(yùn)動(dòng)的角加速度。.描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量 角量與線量的關(guān)系： 為矢量，方向規(guī)定為沿軸線的方向，用右手螺旋定則判斷。 ?5-1 剛體的運(yùn)動(dòng)關(guān)于剛體角速度和角加速度的積分關(guān)系：如果是勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，即角加速度不變，則0到t時(shí)間內(nèi)的角位移3-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis 力矩的定義 （對(duì)點(diǎn)）設(shè)O為慣性系中的某一固定

3、點(diǎn)，由它指向質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為 ，則該質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的力矩 為的大?。?-6 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（對(duì) z 軸）是合外力矩在z軸的分量5-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律選擇轉(zhuǎn)軸上任何一點(diǎn)OR 作為 和 的參考點(diǎn)。軸向總力矩：任意質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理：z 方向的分量式：力矩：5-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律軸向總角動(dòng)量：質(zhì)元 i 的角動(dòng)量：z 方向的分量式：引入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（對(duì) z 軸）角動(dòng)量：5-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律3-2-3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算Computation of Moment of inertia意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性大小的量度。特性：（1）與質(zhì)量有關(guān)。（2）與質(zhì)量對(duì)軸的分布有關(guān)

4、。（3）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。計(jì)算：（1）質(zhì)點(diǎn)系（2）質(zhì)量連續(xù)分布產(chǎn)生 。對(duì)一定的 ，5-3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 例1 求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。 例2 求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為 l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為r 寬為dr 的薄圓環(huán),J 與 l 無關(guān).即,實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2.解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx例3 求質(zhì)量均勻分布的細(xì)棒對(duì)（1）對(duì)通過質(zhì)心垂直于細(xì)棒；（2）通過端點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。棒長為 ，質(zhì)量為 。 注意：3-2-4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用Applicatio

5、ns of the Law of Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis 規(guī)范的解題思路：分析題意，確定哪些物體是剛體，哪些是質(zhì)點(diǎn)，及其與問題關(guān)系。選擇坐標(biāo)系和角量的參考方向，對(duì)剛體列出轉(zhuǎn)動(dòng)定律方程，對(duì)質(zhì)點(diǎn)列出牛頓定律方程，并列出角量與線量的關(guān)系，再求解。畫隔離體受力分析圖，確定對(duì)剛體有力矩貢獻(xiàn)的力和質(zhì)點(diǎn)的受力及其關(guān)系。認(rèn)物體看運(yùn)動(dòng)查受力列方程分析剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，找出相關(guān)的線量( )和角量( )。5-4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 例1 一不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩，跨過一質(zhì)量為m半徑為 r、軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體

6、，如圖所示?；喴暈閯蛸|(zhì)圓盤。試求物體的加速度和繩中的張力。解：m1和m2是質(zhì)點(diǎn)，m是定軸剛體。應(yīng)用舉例：不妨設(shè)m1 m2。因繩不可伸長，有 ，剛體角加速度a。m1 m2m1 m2列方程：m注意：解得 練習(xí) 一長為1 m的均勻直棒可繞過其一端且與棒垂直的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。抬起另一端使棒向上與水平面成60，然后無初轉(zhuǎn)速地將棒釋放。已知棒對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，其中m和l分別為棒的質(zhì)量和長度。求： (1) 放手時(shí)棒的角加速度； (2) 棒轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)的角加速度。提示：利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律3.2.2.1 質(zhì)點(diǎn)和剛體的角動(dòng)量引入角動(dòng)量的意義：和動(dòng)量一樣，角動(dòng)量服從守恒定律，因此它是力學(xué)中最重要的物理量之一。1

7、.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量 角動(dòng)量的定義： （對(duì)點(diǎn)）設(shè)一質(zhì)點(diǎn)具有動(dòng)量 ，由慣性系中某一固定點(diǎn)O指向它的位置矢量為 ，則該質(zhì)點(diǎn)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量 為的大小：的方向：垂直于 和 構(gòu)成的平面。右手螺旋法則3-6 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量軸向總角動(dòng)量：質(zhì)元 i 的角動(dòng)量：角動(dòng)量：2.剛體的角動(dòng)量對(duì)z軸的角動(dòng)量5-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律3.2.2.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：3.2.2.3 對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒守恒質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理：如果 常量。對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律：如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一固定軸的合外力矩為零，則對(duì)該定軸的總角動(dòng)量保持不變。說明： 適用于剛體（J 不變）、剛體組和質(zhì)點(diǎn)系（J 變）。 對(duì)定軸的

8、角動(dòng)量守恒是普遍的質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒定律的特例。 定律是對(duì)定軸，不是對(duì)點(diǎn)的。5-6 對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒 例1 某人手握著啞鈴，兩臂伸開，坐在以一定角速度轉(zhuǎn)動(dòng)著的轉(zhuǎn)椅上。此人把兩臂收回，使（人、轉(zhuǎn)椅和啞鈴構(gòu)成的系統(tǒng)）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減為原來的一半。試問：角速度增加多少？ 冰上旋轉(zhuǎn) 解 對(duì)該系統(tǒng)而言，外力有：三者的重力和軸承對(duì)椅的支撐力。它們均不對(duì)軸產(chǎn)生力矩，故系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。 例2 工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA=10kgm2，B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JB=20kgm2 。開始時(shí)A輪的轉(zhuǎn)速為600 r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速。AACBACB3.2.3 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能Work and Energy of a Rotational Rigid Body1.力矩的功 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能力矩的功本質(zhì)也是力對(duì)位移的累積。表現(xiàn)為力矩對(duì)角位移的累積。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能是指剛體