初二數學教案-八年級數學四邊形性質探索

1、第四章四邊形性質探索本章綜合解說學習目標經歷特殊四邊形性質的探索過程，豐富從事數學活動的體驗，進一步培養(yǎng)推理能力，增強簡單邏輯推理意識，掌握說理的基本方法。掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，了解它們之間的關系。探索并掌握平行四邊形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的有關性質和常用判別方法。，探索并了解多邊形的內角和與外角和公式，了解多邊形的概念。通過探索平面圖形的密鋪，了解三角形、四邊形、正六邊形可以密鋪，能運用這三種圖形進行簡單的密鋪設計。學法建議四邊形和三角形一樣，也是基本的平面圖形，在前面，“空間與圖形”有關知識的基礎上，探索并掌握四邊形的基本性質，進一步學習說理和進行簡單推理

2、，將為同學們空間與圖形后繼內容的學習打下基礎，作為第三學段“四邊形”的主要內容，本章主要從多種角度引導同學們探索四邊形的性質，重點研究平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形等四邊形的有關性質和常用判別方法，并進行簡單推理，而對于嚴密的論證問題，將放置到今后幾冊再研究。在已經掌握平行線和相交線的有關幾何事實以及初步的觀察、操作等活動經驗的基礎上，本章按照“先特殊多邊形（四邊形），再一般的多邊形的密鋪”的設計思路，利用各種手段（包括直觀操作，圖形的平移、旋轉和軸對稱，以及簡單的說理和初步的推理），比較系統(tǒng)的研究特殊四這形的基礎性質和常用判別方法；探究多邊形的內角、外角和，研究平面圖形的密鋪；同時，結

3、合具體內容進一步學習簡單推理。具體地，本章首先能過拼圖引入平行四邊形，逐步探索平行四邊形的對邊、對角、對角線的有關性質以及平行四邊形的常用判別方法；然后，借助直觀或現(xiàn)實的情境分別探索并研究菱形、矩形、正方形、梯形等特點四邊形的有關性質和常用判別方法；最后，通過“多邊形廣場”等實情境，比較自然引導同學們進行多邊形內角和、外角和的探索活動，并在平面圖形的密鋪中進一步強化同學們對多邊形內角和及其有關幾何事實的認識。在呈現(xiàn)具體內容時，教科書力圖為同學們提供生動有趣的現(xiàn)實情境，并安排了觀察、操作、交流等活動，旨在進一步深化同學們對四邊形性質的理解，以及對視圖、畫圖等操作技能的掌握，豐富同學們的數學活動經

4、驗和體驗，并在學習中有意識的培養(yǎng)學生積極的情感、態(tài)度，促進良好數學觀的養(yǎng)成。呈現(xiàn)形式上，教材力求突出圖形性質過程，讓同學們通過圖形變化和簡單推理等自主探索出圖形的有關性質，再現(xiàn)圖形性質豐富多彩的探索過程，進一步發(fā)展同學們的合情推理能力，而不是簡單的“告訴”，此外，本章注重推理形式多樣化，既有“一”式的推理，也有結合語言文學、圖形標示的推理，在直觀的基礎上進一步學習說理和初步的推理，體現(xiàn)直觀與簡單推理的融合，既希望同學們進一步體會推理的含義（尤其是逐步養(yǎng)成步步有據的推理意識），也希望同學們通過四邊形性質的探索過程逐步掌握推理最基本的方式方法。1四邊形的性質教材分析1、學習目標與要求（1）掌握平行

5、四邊形的定義及有關概念。B圖4-1-1C（2）探索并掌握平行四邊形對邊相等、對角相等、對角線互相平分的性質。（3）掌握平行線間的距離處處相等的結論，并能地行簡單的應用。2、新知識點全解（1）平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形，如圖4-1-1，表示為，ABCD。平行四邊形不相鄰的兩個頂點的連線段叫做它的對角線。線段AC就是二ABCD的一條對角線。注：平行四邊形的表示方法一定要按順序來寫，習慣上按逆時針寫出。(2)平行四邊形的性質：平行；四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對角線互相平分，如圖4-1-2用幾何語言表示為，四邊形ABCD是平行四邊形.AB=CD,AD=C

6、B；或乙BACZDCB/ABC/CB;或OA=/OC,OB=OD(3)平行線間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線上的距離相等，這個距離稱為平行線之間的距離。平行線間的距離處處相等。如圖4-1-3。“ab,AC_b,BD_b,ACBD.注：可以在一條平行線上選取一點做另一條平行線的垂線段，垂線段的長度叫做兩平行線間的距離也隨之確定下來，它不隨垂線的位置的改變而改變，是個定值。3.課內問題探究P84(1)(2)P84做一做能重合；四邊形P85議一議如果已知平行四邊形一個內角的度數，能確定其他三個內角的度數。例如：如圖414,已知平行四邊形ABCD中，乂B=60,因為A

7、B/CD,所以A+-B=1800,所以A=120,同理，因為AD/BC,所以C+B=180,所以C=120,-C+/D180,所以/D=60。P86做一做1.共4對三角形全等，它們分別是AOD三COB,AOB三COD,ABD三：CDB,ADC二CBAOA=OC,OB=OD,AD=CD,DA=BC.2可采用度量、折紙、旋轉等方法進行驗證。P87想一想一樣長。拼出平行四邊形，交流略。平行且相等，理由略。ABCD相對的邊相等，相對的角相等。P87議一議略。典型例題講解例1、ABCD的周長為30cm,它的對角線AC和BD相交于O,且厶AB的周長比BOC的周長大5cm,貝VAB=cm。點撥依題意可畫出草

8、圖以幫助分析，尋得解題思路解：由題意畫出草圖如圖4-1-5所以，由題意可得(OA+OB+AB)(OB+OC+BC)=5又OA=OC,OB=OB故有AB-BC-5設AB=xcm，貝UBC=(x-5)cm又AB=CD,AD=BC,圖4-1-5且AB+BC+CD+DA=30即，2（AB+BC）=30.2（x+x-5）=30解得x=10cm答案：10本例主要應用了平行四邊形ABCD的對邊AB=CD,AD=BC以及對角線互相平分（OA=OC）的性質，同時結合題設條件建立方程（或方程組）便可順利求解，其中依題意畫出大致圖形是解決幾何證明（或計算）的重要思想方法，應注意領會。例1跟蹤練習已知平行四邊形ABC

9、D的對角線相交于點O,它的周長為10cm,ABCD的長比；ABO的周長多2cm,則AB=cm.例2、如圖4-1-6，四邊形ABCD是平行四邊形，且BD_AB,AB=12，AC=26，求BD、AD、BC、及DC的長。解：平行四邊形對角線互相平分，于是1OA=AC，AD=132在RrABO中，OB=sAO2-AB2=713-122=5所以BD=2OB=10在RrABD中，AD=一AB2BD2=1221CF=一244=261由于平行四邊形對邊相等，于是得DC=AB=12，BC=AD=261例2跟蹤練習。AC、BD為平行四邊形ABCD點O,若OA=10,OB=6,AB=8,求AD和BC的長。例3、如圖

10、4-1-7所示，二ABCD的對角線AC、BD相交于（1）線段AB經過怎樣平移才能得到線段CD?線段（2）AAOB經過怎樣的運動可以得到也COD？解：（1）線段AB向右平移BC的長可得到線段CD，線段向右上平移AB的長可得到線段AD；（2）AOB經繞點O旋轉180可得到COD。識別幾何圖形的變化是分析和解決幾何問題的關鍵。例3跟蹤練習。如圖4-1-8，AC為平行四邊形ABCD的對角線，ABC按什么方向平移時，才能得到二DCE?這是四邊形ACED是怎樣的四邊形，為什么？例4、如圖4-1-9，平行四邊形ABCD中，EF/AB，GH/AD，EF與GH相交于點O（1）圖中有哪些相等的線段？（2）圖中有多

11、少個平行四邊形（平行四邊形ABCD除外）？解（1）由平行四邊形行，知AB/CD，AB/BC。又EF/AB，GH/AD所以AB/EF/DC，AD/GH/BC。因此AE=OH=BF，ED=OG=FC，AD=HG=DC。AH=EO=DG，HB=OF=GC，AB=EF=DC。OBC能能過平移得到線AD嗎?BCA圖4-1-E圖4-1-9（2）平行四邊形有：一AHOE，二HBFO二EOGD，OFCG，ABFE，ABFE，二EFCD，AHGD，口HBCD共8個。例4跟蹤練習。如圖4-1-10:平行四邊形ABCD中，EF/AD，GH/CD，GH/MN,GH,MN交EF于O,Q,T圖中共有多少個平行四邊形？例5

12、、如圖4-1-11，所示，二ABCD的對角線相交于點O,直線EF經過點O與AB,CD相交于E、F,AM_EF于M,CN_EF于N,貝UAM與CN是否相等？請說明理由。點撥經觀察可知AM與CN是相等的，事實上，由OA=OC,AM_EF于M,CN_EF于N，即.AME=/CNF=90。，以及CON=/AOM可知.AOM故AM=CN。解：AM與CN相等，理由如下：AC、BD為平行四邊形ABCD的對角線，且AC、BD相交于點.OA=OC又AM_EF于M,CN_EF于N,/AMECNF=900.又.AOMCONAOM三CON.AM=CN過關練習精選.AM=CD例5跟蹤練習。如圖4-1-12所示，在圏4-

13、1-10可知.：AOM三CON,CX圖4-1-11做EF/DA，交DB延長線于點F,明理由。ABCD中，延長，AB至E,使BE=AB,則EF與BC能夠相等嗎？試說1、填空題(1)(2)(3)長為EOO平行四邊形ABCD的周長為已知平行四邊形ABCD中，在平行四邊形ABCD中，A的平分線分BC成4cm和3cm兩條線段，則平行四邊形20cm，若AB=6cm，貝UBC=A比.B小30,則.C的度數是ABCD的周cm。已知平行四邊形的周長為20cm,一條對角線把它分成兩個三角形的周長都是18cm,則這條對角是cm.在平行四邊形ABCD中，對角線AC長為10cm,CAB=30。，AB=6cm，則此平行上

14、邊形的面積為2cm.2、選擇題平行四邊形不具備的性質是()A、對邊平行B、對邊平行且相等C、對角線互相平分D、對角線互相垂直某平行四邊形對角線長x、y，一邊長為12,則x與y的值可能是()A、8和14B、10和12C、18和20D、10和34（9）從平行四邊形的一個銳角的頂點引另兩邊的垂線，兩垂線夾角為135，則此平行四邊形四個角分別是（）A、15、135、45、135B、50、135、50、135C、45、45、135、135D、都不對（1）平行四邊形ABCD的四個角度數的比.A：.B：.C：.D可能是（）A、2：5:2:5B、3：4:4：3C、4：4：3：2D、2：3:5：6（11）由等腰

15、三角形底邊上任一點（端點除外）作兩腰的平行線，則所成的平行四邊形的周長等于等腰三角形的（）A、周長B、一腰的長C、周長的一半D、兩腰的和（12）有以下四個說法兩點的距離、點到直線的距離、兩條平行線間的距離，都是指某種線段的長如果兩點的位置固定，那么它們的距離是一定的如果一點和一條直線的位置大定，那么它們的距離是定值兩條平行線間的距離不一定總是相等其中正確的說法的個數是（）個A、1B、2C、33、如圖4-1-13所示，已知平行四邊形ABCDAE平分DAB，交DC于E,AD=5cm，AB=8cm，求EC的長。CF_BD，4、如圖4-1-14所示，BD是廠ABCD的對角線，AE_BD，垂足分別為E、

16、F在圖中，根據題意補全圖形。試問：AABE與CDF能全等嗎？請說明理由。（要求：用文字表述兩種設計5、已知ABCD，試用兩種方法將此平行四邊形的周長分成相等的兩部分,方法，并畫出圖形）能力升華新中考指向標1.（25天津市中考試題）如圖GH/AD,EF與GH交于點0,有（）（A）7個（C）9個4-1-15，在一ABCD中，EF/AB,則該圖中的平行四邊形的個數共（B）8個（D）11個圖4-1-15H2、（24山東省聊城市中考試題）用兩塊全等的含3的三角板拼成形狀不同的平行四邊形，最多可以拼成（）A、1個B、2個C、3個D、4個3、（25河北省中考試題）已知：如圖4-1-15，在矩形ABCD中，E

17、,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點。若AB=2,AD=4，則圖圖4-1-16中陰影部分的面積為C.6(2005杭州中考題)如圖4-1-17，在平行四邊形ABCD中,/B=110,延長AD至F延長CD至E,連接EF,則/E+ZF的值為()110(B)30(C)50(D)70答案與提示跟蹤練習(1)3cm;(2).BC=AD=：4-13;(3右平移AD的長，ACED是平行四邊形，由平移性質2得一組對邊平行且相等(4)18個(5)EF二BC.提示先證AADC三AEBF,得EF二AD又AD=BC,故EF=BC。過關練習精選1、填空題4cm(2)750(3)20cm或22cm(4)18cm

18、(5)302、選擇題D(8)C(9)A(10)A(11)D(12)C3、EC=3cm提示：AE平分/DAB，又CD/AB,/DAE=/DAE,AD=DE=5cm,AB=CD=8cm，故EC=3cm。4、略5、方法一：取一組對邊中點的連線，即將,_ABCD的周長分成相等的兩部分；方法二：過對角線交點的其他任一直線均能將此_ABCD的周長分為相等的兩部分(圖略)。能力升華新中考指向標C2。C3。B4。D教材習題解答P85隨堂練習1、(1)56,124(2)25302、對邊可以通過平移相互得到，平移的距離等于另一組對邊的長。P85習題4.11、1320,480,3cm2、1250,3403、線段AB

19、與CD,BC,AD,AC都是相等的線段；ABC,ADC；BAC；ACD；ACB；DAC等都是彼此相等的角(本題答案不惟一)。P88隨堂練習1、其他各邊的長度都是5cm，兩條對角線的長分別為6cm,8cm。P89習題4.21、50cm2、AD=33cm;AC=12cm3、9P89試一試1、18002、平行四邊形的判別教材分析1、學習目標與要求經歷平行四邊形條件的探索過程，在有關活動中發(fā)展同學們的合情推理意識、主動探究的習慣，使同學們逐步掌握說理的基本方法。探索并掌握平行四邊形的判別條件：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊

20、形。2、新知識點全解平行四邊形的判別方法：判別一：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，如圖AB/CD,AD/BC,.四邊形ABCD是平行四邊形。判別二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，如圖-AB=CD，AD=BC，.四邊形ABCD是平行四邊形。判別三：一組對邊平行且相等的四邊形，是平行四邊形，如圖AB/CD，ABF=CD，四邊形ABCD是平行四邊形。判別四：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，如圖OA=OC，OB=OD，四邊形ABCD是平行四邊形。(2)在使用平行四邊形的判別方法時應注意的幾個問題：4-2-1。4-2-1。圖4-2-2我們目前所研究的四邊形均指平面圖形，即四邊形的四

21、個頂點在同一個平面內，這是要注意的。對于不能判別平行四邊形的問題，可以通過舉反例的形式加以否定。如“有一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”，這個結論是不正確的，如等腰梯形。平行四邊形的性質及判定的作用直接運用平行四邊形的性質去求角的度數、線段的長度，去證明角相等或互補，證明線段相等或倍分等。通過判定一個四邊形是平行四邊形平判定直線平行等。先判定一個四邊形是平行四邊形，然后再借助平行四邊形的性質去解決某些問題。解決生活中的一些實際問題。3.課內問題探究P89方法一理由：方法二理由：P91做一做AC與BD,P92議一議不一定。如圖4-2-3等腰梯形。CD/AB,AD=BC,四邊形AB

22、CD不是平行四邊形，它是一個等腰梯形。典型例題講解例1.如圖4-2-4所示，匚O為ABCD對角線AC中點，EF經過點0交AD于E，交BC于F，連BE,DF。(ABE與DCF能全等嗎？請說明理由。(2)四邊形BEDF是平行四邊形嗎？你能說出幾種不同的理由來？點撥(1)可先得到厶AOECOF故，AE=CF再借助平行四邊形的性質不難得到ABEACDF；(2)四邊形BEDF是平行四邊形，可按平行四邊形的幾種判定方針來試試。解：(1)vAD/CD/EAO=/FCO又OA=OC/AOEMCOF故厶AOEACOF二AE=CF又四邊形ABCD是平行四邊形。兩條對角線互相平行的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相

23、等的四邊形是平行四邊形AB與CD，CD與EF，CE與DF分別平行。圖4-2-34-2-4AB=CD/BAEKDCF在厶ABE和厶CDF中rAB=CD-/BAE=/DCF-AE=CFABEACDF（2）四邊形BEDF是平行四邊形.理由一：由已經得到AE=CF又因為AD=BC所以DE=BF而AD/BC,即DE/BF故四邊形BEDF為平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）理由二：由得到AE=CF,BE=DF故有DE=BF,BE=DF所以四邊形BEDF為平行四邊形.（兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形）理由三：邊BD,ACBD必互相平分，從而BD必經過點0,所以0D=0B又由（1）得到AO

24、EACOF所以OE=OF,故四邊形BEDF為平行四邊形.（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）理由四：由厶ABEACDF得到/AEB=/CFD,AD/BC,所以/AEB=/EBF,所以/EBF=/DFC所以DE/DF,又BF/DE，故四邊形BEDF為平行四邊形.（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）判別四邊形為平行四邊形的方法一般較多,通常根據題設條件和圖形特征選擇較為簡捷的方法是上策可不必面面俱到，否則可能會弄巧成拙例1跟蹤練習如圖4-2-5所示，ABCD的對角線AC、BD交于0、EF經過點0交AD、CB的延長線于E、F，貝UDE與EF相等嗎?說明理由。圖4-2-5例2.如圖4-2-6,直

25、線Ii/I2,A、B在Ii上,E、F、GH在12上,且EF=FG=GH,AB=2EF連接AEAF、BGBH,圖中有幾個平行四邊形?說說你的理由解：四邊形AEGB和四邊形AFHB都是平行四邊形，理由是解：四邊形AEGB和四邊形AFHB都是平行四邊形，理由是：因為:EF=FG=GH,EG=FH=2EF|AB=2EF,故EG=FH=AB.由AB/EG,AB=EG得到四邊形AEGB是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）由AB/FH,AB=FH,得到四邊形AFHB是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）例2跟蹤練習如圖4-2-7所示，在laBCD中，E、G是AD的三等分點、

26、F、H是BC的三等分點，則圖中的平行四邊形有個，它們是EFGH圖4-2-6圖4-2-7Li例3、如圖4-2-8所示，口ABCD中,E、F、分別為ADBC的中點,AF與BE交于G,DF與CE交于H,則四邊形EGFH能夠是平行四邊形嗎？請說明理由，點撥觀察本例的圖形特征，發(fā)現(xiàn)解題策略應是先說明-四邊形AFCE四邊形BFDE為平行四邊形，從而得到GF/EH,GE/FH,BF圖4-2-8則四邊形GFHE為平行四邊形。解：四邊形EGFH是平行四邊形。理由：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD/BC,AD=BC又E、F公別為ADBC的中點，所以AE=DEBF=FC于是AE/FC，AE=FCED/BF，

27、ED=BF圖429所以四邊形AFCEBFDE都是平行四邊形。于是GF/EH，GE/FH，所以四邊形GFHE是平行四邊形。例3跟蹤練習如圖4-2-9所示，一ABCD中，AC是對角線，DN_AC于N,BM_AC于M，連BN、DM，四邊形BMDN是平行四邊形嗎？請說明理由。過關練習精選1填空題。用兩個全等的三角形，拼成的四邊形，有下列說法：一定是平行四邊形；TOC o 1-5 h z可能是平行四邊形；一定不是平行四邊形；其中正確的說法是。已知：四邊形ABCD中,AD/BC，分別添加下列條件：AB/CD:AB=CDAD=BC.A=/C;.BC，能使四邊形ABCD為平行四邊形的條件的序號是。四邊形ABC

28、D中，AB=CD請你補充一個條件，使四邊形ABCD為平行四邊形，你所補充的條件是(只順填寫一人你認為正確的結論即可)2、選擇題不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是()AAB=CDAD=BCB、AB/CD,AB=CDC、AB=CD,AD/BCD、AB/CD,AD/BC若A、B、C是不在同一直線上的三點，則以這三點為頂點畫平行四邊形，可以畫()A、1個B、2個C、3個D、4個下面給出了四邊形ABCD中，/A/B、/C、/D的度數之比，其中能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是()A1:2:3：4B、2：2：3：3C、2：3：3：2D、2：3：2:3下列說法錯誤的是()A、一組對邊平行且相等的四

29、邊形是平行四邊形B兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形C對角線相等且互相垂直的四邊形是平行四邊形D兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形ABC中，AB=8,BC=5,CA=6，以其中的兩邊為邊，另一邊為對角畫線畫平行四邊形，可畫平行四邊形()個。A、1個B、2個圖4210C、3個D、4個3如圖4-2-10所示，AB=CD=EF，且AB/CD,EF/CD，那么四邊形ABEF是平行四邊形嗎？說說你的理由。4、如圖4-2-11,ABC中，AB=AC，點D在BC上，DE/AC交AB于E。DF/AB交AC于F，若AB=12cm，求DE+DF的長。E圖42115、如圖4-2-12所示，在.ABCD中，AC的

30、平行線MN交DA延長線于M,交DC延長線于N，交AB、BC分別于P、Q試指出圖中的平行四邊形個數，并說明理由。MP與QN能相等嗎？6、如圖4-2-13所示，ABC為等邊三角形，PABC內任一點,PD/AB交BC于D，PE/AC交于E，PE/AC交AB于F，若厶ABC周長為18cm，試求PE+PD+PE的值。圖4213能力升華新中考指向標1、（2004年陜西省中考試題）已知：如圖口ABCC中，AB=4cmAD=7cm于點E,交CD的延長線于點F,9-2-16，在（2005年重慶中考試題）如圖4-2-16，在/ABCD中，AECD,CF丄BD,垂足分別為E、F,求證.BAE=DCF。圖4-2-16

31、rJ圖4-2-17圖4-2-183、(2005年哈爾濱市中考試題)如圖4-2-17,.；ABC中，./ACB=90，點D、E分別為AC,AB中點，點F在BC延長線上，且.CDF=.A。求證：四邊形DECF為平行四邊形。4、如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O,將厶AOD平移至BEC的位置，則圖中與OA相等的其它線段有()。(A)1條(B)2條(C)3條(D)4條答案與提示跟蹤練習DE=BF理由：可直接證明DOEBOF，也可先得到四邊形DEBF為平行四邊形。6，SBFE、”BCD、/ZEFHG、CEFCD、OGHCDBHG四邊形BMDN是平行四邊形，理由：AD/BC，AD=BC

32、及DN_AC，BM_ACTJGCADN也CBM，于是DN=BM，又DN/BM，所以四邊形BMDN為平行四邊形。過關練習精選1、填空題(2)或或(3)AB/CD或AD=BC等2、選擇題(5)C(6)C(7)D(8)C(9)C3、四邊形ABEF是平行四邊形，理由是ABEF是四邊形ABEF平行且相等的一組對邊。4、12cm。5、三個，他們是QBCD、匚AMQC匚APNC;由可得MQ=ACNP=AC于是MQ=PN從而MP=QN6、6cm提示：延長FP交BC于M延長EP交AB于N,故有PE=MCPF=PN=BDPD=PM=D從而PE+PF+PD=BC=6CM能力升華-新中考試指向標1、32、證：BADC

33、F(AAS根據全等三角形對應角相等得證。3、先證：DAE二DCE得.A=/DCE,又A=/CDF,DCE=/CDF,.DF/EC,又幕DE/CF四邊形DECF為平行四邊形。4、B教材習題解答P90隨堂練習1、(1)OA與OC、OB與OD分別相等，理由是：線段AC、BD分別是四邊形ABCD的兩條對角線，它們互相平分。(2)四邊形BFDE是平行四邊形，理由是：四邊形BFDE的兩條對角線EF、BD互相平分(即OE=OF，OB=OD)P90習題4.31、四邊形DEBF是平行四邊形，理由是：DF、EB是四邊形DEBF的一組平行且相等的對邊。2、四邊形EFGH是平行四邊形，理由是：在四邊形ABCD中，對角

34、線AC、BD互相平分，1111EO=-AO=OC=OG，F(xiàn)O=BO=DO=HO，即四邊形EFGH的兩條對角線EG、FH互相平分2222P92隨堂練習1、如果相等的兩組邊分別是對邊，那么這個四邊形是一定是平行四邊形；如果相等的邊分別是鄰邊，那么這個四邊形未必是平行四邊形。2、圖中的平行四邊形有：平行四邊形A1A2A5A3，平行四邊形A2A4A5A3,平行四邊形A2A5A6A3理由不惟一，可以是：這三個四邊形的兩組對邊分別是全等三角形的以應邊，它們分別彼此相等。P92習題4.41、四邊形ABCD是平行四邊形，判別方法有多種，如：(1)由/DCA=/BAC得AB/CD;再結合AB=CD即可判定四邊形

35、ABCD是平行四邊形。(2)在厶ABC,CDA中，由已知條件以及AC=CA，可得ABCCDA(邊角邊)，因而DA=BC,根據“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”即可判定四邊形ABCD是平行四邊形。(3)在厶ABC,CDA中，由已知條件以及AC=CA，可得ABCCDA(邊角邊)，因而/DAC=BCA,得AD/CB;再結合/DCA=/BAC，得AB/CD，即可判定四邊形ABCD是平行四邊形。當然還可以連接另一條對角線，通過三角形全等推行兩條對角線互相平分，再加以判斷。2、有6個平行四邊形，設圖形的中心點為點0,6個平行四邊形分別是平行四邊形FAB0、平行四邊形ABCD、平行四邊形CDE0、平行

36、四邊形DEF0、平行四邊形EFA0，理由不惟一，可以是：這些正三角形的邊都相等，因而每一個四邊形的兩組對邊分別相等。3、菱形教材分析1、學習目標與要求經歷探索菱形的性質和判別條件的過程，在操作活動和觀察、分析過程中發(fā)展同學們的主動探索習慣和初步的審美意識，進一步了解和體會說理的基本方法。了解菱形的現(xiàn)實應用和常用判別條件圖4-3-12、新知識點全解(1)菱形：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，菱形的性質：菱形的四條邊都相等，兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角，如圖4-3-1四邊形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD(3)菱形的判別方法：判別一：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，如圖4

37、-3-1,/AB=AD-ABCD是菱形。判別二：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，如圖4-3-1。/AC_BDZABCD是菱形。判別三：四條邊都相等的四邊形是菱形，如圖4-3-1。/AB=BC=CD=AD四邊形ABCD是菱形。菱形的其它知識菱形是軸對稱圖形，有2條對稱軸。菱形的面積公式=邊長X高=對角線乘積的一半。2.課內問題探究P93問題解答圖中的衣帽架中有菱形P93問題解答AB=BC=CD=AD,0A=0C,0B=0D;BAC=/DAC=/BCA=DCA,ABD=CBD=“ADB=/CDB等。等腰三角形有厶ABD,厶BCD,ABC,ADC直角三角形有也AB0QAD03CB0,也CD0對角線

38、AC,BD相互垂直平分。P93想一想(1)是，有兩條對稱軸，互相垂直。(2)折紙略，道理是對角線互相垂直且平分。P94議一議四條邊相等的四邊形是菱形P95試一試是菱形，這個思辨性的兩組對邊分別在紙條的邊緣上，他們彼此平行，所以它是平行四邊形。典型例題講解例1、菱形ABCD中,/A=1200，如果它的一條對角線長為8cm，求菱形ABCD的邊長。點撥由條件“它的一條以對角線長為8cm”可以知道；線段AC或BD之長為8cm,因而應有兩種可能情況，應予以討論，同時借助菱形的性質便可得到解題思路(如圖解：(1)如圖4-3-2所示，當AC=8cm時，有/DAC=-/BAD=60形，所以29-3-20,/B

39、=60,ABC為等邊三角AB=AC=BC=8cm即菱形ABCD的邊長為8cm(3)如圖4-3-2所示，當BD=8cm時，連接AC交BD于0,/AC丄BD，且，OB=ODOA=odAC/ADO=/CDO=丄/ADC22/A=1200,/ADC=/A=1800/ADC=600,/ADO=300在RtADO中，/ADO=300,OD=4cm,AD2=AO2AO=IaD,3AD2=16,AD=8、3243圖4-3-2例1跟蹤練習菱形周長為20cm,兩鄰角比為1:2,求較短對角線的長例2、如圖4-3-3所示，已知的垂直平分線交AD于E,交則四邊形AECF是菱形嗎？請說明理由。點撥要判斷四邊形AECF是否

40、是菱形形，則需要了解它是否有滿足成為菱形的條件存在，通常有三種途徑予以判別，但在具體題目時，可根據目特征，選取較為簡捷的方法即可，因而本例可以從“對角線互相垂直平分”解四邊形AECF是菱形。四邊形ABCE為平行四邊形。AE0CFABCD的對角線ACBC于F，交AC于O,圖4-3-3中尋找解題思路。AE/CF,/EAO=/FCO又EF是AC的垂直平分線，OA=OCEF_AC于是在RtAOE與RtCOF中/EAO=OA=OC/FCO/AOE=/COF=90AOECOF,OE=OF，又tOA=OCEFAG四邊形AECF為菱形，(對角線互相垂直平分的四邊形是菱形)AFD圖4-3-4在RtABE中，由A

41、B2=AE2+BE2=12(IaB)2=1+丄AB2得,24AB=2、33S四邊形abcd=CDXAF=2.33233說明：本題還可能過EA=ECFA=FC及厶AOECOF的所得的AE=CF，得到四條邊都相等，從而四邊形AECF為菱形的結論，需要注意的是：EF是AC的垂直平分線只能得到EA+EC，F(xiàn)A=FC，千萬不要出現(xiàn)AE=AF，CE=CF的錯誤結論，這一點很容易疏忽。例2跟蹤練習如圖4-3-5所示，廠ABCD中，AE是/BAD的平分線，交BC于E,EF/AB交AD于F，試問四邊形ABEF是菱形嗎？請說明理由例3、將寬度為1的紙條交叉重疊部分為四邊形ABCD(1)四邊形ABCD為菱形嗎？為什

42、么？(2)若/ABC=600，求四邊形ABCD的面積，點撥(1)由于AD/BC,AB/CD，故四邊形ABCD是平行四邊形，再過A作AE丄BC于E,AF丄CD于F,因為AE=AF=1，不難得到ABEADF，從而AB=AD,故四邊形ABCD是菱形，圖4-3-5(2)可由/ABC=600及AE=1求出邊長AB，禾U用S四邊形abcd=底X高，得出它的面積。解：(1)四邊形ABCD是菱形。理由：由題意可知，AB/CD,AD/BC，故四邊形ABCD為平行四邊形。所以/B=/D。過A作AE丄BC于E,AF丄CD于F。因為AE=AF=1,/AEB=/AFD=9(J,又/B=ZC所以ABFAADF,AB=AD

43、。所以四邊形ABCD是菱形。(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)因為/ABC=600,AE丄BC于E,AE=1,所以/BAE=300,所以BE=-AB2E說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，其對角線互相垂直平分，因而在計算菱形的面積時，既可按照平行四邊形的面積計算方法得到，也可用兩條對角線的積的一半得到結果，至于選用哪種方法，應根據題目特點合理取舍，例3跟蹤練習如圖4-3-6,將長方形紙片ABCD沿EF對折，使點B與點D重合,則所得四邊形EBFD是什么四邊形？說明你的理由？過關練習精選1、填空題菱形與平行四邊形共同具有的特征是：兩條對角線，菱形具有而一般平行四邊形不具有的特征是：兩條地角線，每一條

44、對角線，各邊(2)要證明一個四邊形是菱形，可以先證明這個四邊形是，再證明(只需填寫一種方法即可)菱形ABCD的周長為40cm，對角線AC的長為10cm，則/ABC=/BAC=(4)菱形的兩條對角線長分別是8cm和6cm則菱形的周長是cm。(5)菱形ABCD中，AE、AF分別垂直平分BC、CD，則/EAF=。(6)菱形的一個內角為1200，平分這個內角的一條對角線長為12cm，則菱形的周長為(7)如圖，菱形ABCD的高DE垂直平分邊AB，且AB的長為4cm,那么對角BD=cm,AC=cm。2、選擇題TOC o 1-5 h z菱形的兩條對角線將它分成全等的直角三角形的個數是()A、4個B、3個C、

45、2個D、1個能判定一個四邊形是菱形的條件是()A、兩條對角線分別平分一組對角B、一組鄰邊形等，一組對角相等C、一組鄰邊相等，對角互相平分D、一組鄰過相等，一條對角線平分一組對角(10)在菱形ABCD中，若/ADC=120,則BD:AC等于()A、3:2B、.3:3C、1:2D、：.3:1(11)菱形的兩條對角線長分別是6cm和8cm，則菱形的邊長是(A、10cmB、7cmC、5cmD、4cmDC3、如圖4-3-7，ABCD對角線AC與BD相交于O,且AC=4,BD=2.3，邊長AB=AC與BD有怎樣的位置關系？四邊形ABCD是菱形嗎？說說你的理由4、已知：在RtABC中，AD是高線，BE平分/

46、ABC交AC于E,交AD與G,過E作EF丄BC于F,連GF，請問四邊形AGFE是什么四邊形？為什么？5、先閱讀下面題目及解答過程，再根據要求問題。已知，如圖4-3-8所示，在ABCD中，/ABC的平分線與AD交于F,AE和BF相交于O,則四邊形ABEF為菱形，理由是：(7)四邊形ABCD是平行四邊形,AD/BC,/ABE+/BAF=180。AFDAE、BF分別是/BAF、/ABF的平分線,111=2/BAF，/3=/4=一/ABE21_(/BAF+ZABE-/ABE2i+z3=1A0B=9fAEBF圖4-3-8.四邊形ABEF是菱形。問：(一)上述理由是否正確？答(二)如有錯誤，指出在第O步到

47、第步說理錯誤，應在第步后添加如下說理過程:能力升華新中考指向標1、(2005年南通市中考試題)如圖4-3-9所示，四邊形ABCD為菱形，對角線AC、BD交與點O,0E/DC交BC于點E。AD=6cm，貝U0E的長為()。(A)6cm(B)4cm(C)3cm(D)2cm.E圖43-3圖4-3-112、(2004作EF/BC3、(2004E、F分別是(1)求證:(2)過點ZBCD=130答案與提示例題跟蹤練習5cm四邊形ABEF是菱形，理由：因為AE平分ZBAD所以ZBAE=ZFAE又AF/EB，所以ZFAE=/AEB所以BA=BE又AF/BE,AB/EF，所以四邊形ABEF是菱形。3.四邊形EB

48、FD是菱形。提示：.EBD三AFCD.DE=DF,進而可證。過關練習精選1、填空題互相平分互相垂直垂直平分另一條對角線相等平行四邊形其對角線互相垂直600600(4)20(5)600(6)48cm2、選擇題(8)A(9)C(10)B(11)C113、AC丄BD,理由是：在彷BCD中對角線AC與BD互相平分，所以OAjAC=2OBjBD=J3，在22AOB中,aBoA+oB，所以/AOB=90于AC丄BD。四邊形ABCD是菱形，理由是：四邊形ABCD是平行四這形，又AC丄BD所以四邊形ABCD是菱形。(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)4、四邊形AGEF是菱形。提示：在RtABC中AD丄BC,/

49、BAC=90，所以/C=ZBAD又BE是/ABC的平分線，所以/ABC2CBE而/ACE=BAGz+ABG/AEGMC+ZCBE所以/AGEAEG所以AE=AG又EF丄BC于F,BE為/ABC的平分線，所以EF=EA=GA又EF/AG,故四邊形AGEF是菱形。5、()上述說理過程不正確。(二)，添加過程為TZAOBZAOF,Z1=Z2,AO=A0故厶AOBAOF,aOE=OA,四邊形ABEF是菱形。能力升華新中考指向標1、C2、D3、(1)略(2)1000教材習題解答P95習題4.56cm是，由厶A0D,A0B,C0B,C0D全等，可知AD=AB=CB=CD,所以四邊形ABCD是菱形。4、矩形

50、、正方形教材分析1、學習目標與要求經歷探索矩形、正方形有關性質和判別條件的過程，在直觀操作活動和簡單的說理過程中發(fā)展同學們初步的合情推理能力、主動探究習慣，逐步掌握說理的基本方法。探索并掌握矩形、正方形的有關性質，以及矩形、正方形的常用判別條件，2、新知識點全解(1)矩形：有一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形。(2)矩形的性質：矩形具有平行四邊形的所有性質。矩形的對角線相等，四個角都是直角。如圖4-4-1四邊形ABCD是矩形，AC=BD矩形的判別方法：判別一：對角線相等的平行四邊形是矩形，如圖4-4-1,/AC=BDABCD是矩形判別二：三個角是直角的四邊形是矩形，如圖4-4-1判別三：有一個

51、角是直角的平行四邊形是矩形，如圖4-4-1/ZABC=90佰BCD是矩形正方形：一組鄰邊相等的矩形是正方形，如圖4-4-2。/AB=AD矩形lZABCD是正方形D_CJAB4-4-1正方形的性質：正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的所有性質，即邊：兩組對邊分別平行、四條邊都相等；角：四個角都是直角；對角線：對角線互相平分、垂直且相等。(6)正方形的判別方法：一組鄰邊相等的矩形是正方形。對角線互相垂直的矩形是正方形。一個角是直角的菱形是正方形。對角線相等的菱形是正方形。3.課內問題探究P96問題解答(1)(2)(3)P97想一想是矩形。隨著.的變化，兩條對角線的長度也在發(fā)生變化。當.越大時，它所對

52、的對角線也在增大,另一條對角線則在變短。當.是銳角時，它所對的對角線小于另一條對角線；當一條對角線。當.是直角時，平行四邊形變成矩形，此時兩條對角線的長度相等。:是鈍角時，它所對的對角線大于另理由：如圖4-4-3，:一-ABCD中,AB=CD,BD=CA,：BAD=.QDA(邊邊邊),BADCDA，又對邊AB與CD平行可知，.BAD與.CDA互補,從而.BAD為直角，因而平行四邊形ABCD是矩形。P97議一議(1)矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸。(2)如圖4-4-3，在矩形ABCD中，對角線ACBD相交于點0,1Rt.ABC中，BO是斜邊上的中線，由于BO=DO并且BD=AC,BO2DB圖4

53、-4-3BDAC.2P98想一想正方形有四條對稱軸。P99做一做只要保證剪口線與折痕成450即可。P99議一議四者關系是：如圖4-4-4。對角線相籌平行四一俎鄰邊相等序對甬線垂直典型例題講解例1、如圖4-4-5，在矩形ABCD中，對角線ACBD相交于點O,已知AC=6cm/BOC=12&b求(1)ZACB的度數；(2)ABBC的長度。OB=O,上解：(1)在矩形ABCD中，對角線AC與BD互相平分且相等，于是1所以/OCBMOBC故/ACBh(180-120)=302矩形ABCD中，/ABC=9(5,又/ACB=3，因此30角所對直角圖4-4-4AD、圖4-4-5邊1AB等于斜邊AC的一半，即

54、AB=丄AC=3cm。2例1跟蹤練習。如圖4-4-6，矩形ABCD周長為16,EF丄CE,EF=CE,DE=2,求AE的長圖4-4-6例2、如圖4-4-7所示，BCD中，DECE分別是/ADC/BCD的平分線，它們相交于E,AF、BF分別是/DAB/CBA的平分線它們相交于F,又DE與AF交于G,CE與BF交于H,則四邊形GEHF是什么四邊形？請說明理由。點撥:本例可由兩直線平行，同旁內角互補以及四個角平分線，得到四邊形GEHF的四個內角均為90，從而可知其必為矩形。解：四邊形GEHF是矩形。/AB/CD/ADC+ZDAB=18又DGAG分別為/ADCZDAB的平分線。TOC o 1-5 h

55、z HYPERLINK l bookmark16 11Z2=ZADCZ3=ZDAB HYPERLINK l bookmark229 22 HYPERLINK l bookmark97 11Z2+Z3=（ZADC+ZDAB=X180=90 HYPERLINK l bookmark82 22.DGA=90又BC/AD，DECE分別為ZADCZBCD的平分線 HYPERLINK l bookmark107 11Z1+Z5=（ZADC+ZBCD=一X180=90 HYPERLINK l bookmark99 22E=900同理可得到ZF=ZFHE=90所以四邊形GEHF是矩形，（四個角都是直角的四邊形

56、是矩形）說明：判定一個四邊形是否是矩形，除了對角線相等的平行四邊形是矩形外，還可依據定義等予以判斷,正如本例一樣，但通常仍以簡捷方便為好，應合理選適當方法。例2跟蹤練習。矩形的邊長為10cm和15cm,其中一內角平分線分長邊為兩部分，這兩部分是（）A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm例3、如圖4-4-8所示，在正方形ABCD各邊上截取AE=BF=CG=DH連接AF、BGCHDE,依次相交于NP、QM,試說明由此所圍成的四邊形是否是正方形？為什么？點撥本題要求同學們利用正方形的性質并結合題目特征對所圍成的四邊形做出合理判斷，如果它是一個正方形，則需要從四邊

57、和四角中找等量關系，也可先說明它是平行四邊形，再補充“一組鄰邊相等”和“-個角是直角”的條件，從而也可說明它是正方形，本例剛好采用后一種解題思路得到結論。1)DQMPGNBCF圖4-4-8解：四邊形MNPQ是正方形。/AD=BC=AB=CD,AE=BE=CG=DH。AH=BE=CF=DG。又AH/FC四邊形AFCH是平行四邊形。又BE/DG四邊形BEDG是平行四邊形。MIN/PQMQ/NF。四邊形MNP健平行四邊形。vZDAE玄CDH=90,AD=CDAE=DHAEDADHC/DQC=90,(2)RtAM醫(yī)RtDQCRtDHdRtCGPDM=CQDQ=CPMQ=PQ(3)由(1)、(2)、(3

58、)可知，四邊形MNP健正方形。說明：本例在得到MQ=PQ6過程中，兩次運用全等方法判定出厶AMD與DQCDHQWCGF全等，這不容易，它要求同學們又比較清晰的頭腦，敏捷思維才能得到，同時，判定一個四邊形是否為正方形，既要說明它是矩形，又要證出它為菱形才行，不可片面。例3跟蹤練習。如圖4-4-9所示，正方形ABCD勺對角線ACBD相交于0,E為0B上一點，DF丄CE于F,交0C于G試問0E與0G能相等嗎？為什么?過關練習精選1、填空題兩條對角線的四邊形是矩形；兩條對角線的四邊是菱形；兩條對角線的四邊形是正方形。TOC o 1-5 h z矩形ABCD的邊AB的中點為P,且/DPC是直角，則ADAB

59、。圖4-4-10如圖4-4-10，矩形ABCC中，AB=3BC=4EAC,貝yBE=,CE=。E是正方形對角線AC上一點，且AE=ABZABE=。正方形ABCD中,E為BC上一點，BE丄AECD于F,貝UAE:BF=。在正方形ABCC中，對角線BD長為20cm,P是AB上任意一點，則點P到AC,BD的距離之和為O2、選擇題正方形具有而矩形不具有的性質是()A.對角線互相平分B.對角線相等C.四個角相等D.對角線互相垂直用兩個全等的直角三角形，一定能拼成下列圖形中的()等腰三角形；平行四邊形；菱形；矩形；正方形A.B.C.D.對角線相等的四邊形是()A.菱形B.矩形C.平行四邊形D.無法確定已知

60、正方形ABCD中,BD是對角線,BE平分ZDBC交DC于E,若CE=1,則AB=()A.2B.、2C.2+1D.2.2在正方形ABCD中的對角線BD上取一點E,使BE=BC(如圖4-4-11所示),作EF丄BD交CD于F,試問圖中線段DEEF、FC能相等嗎？如果相等，請說明理由。A圖4-4-11B4、已知：如圖4-4-12示，將矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C處,BC/交AD于E,AD=8AB=4,求厶BED的面積。C圖4-4-125、如圖4-4-13所示，已知正方形ABCD中,M是AB的中點，E是AB延長線上的一點，MNLDM且交/CBE的平分線于N。試問線段DM與MN能否相等？說