《14.2.1 平方差公式》同步練習(xí) 2022-2023學(xué)年人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)（Word版含答案）

1、平方差公式同步練習(xí)一、選擇題。1如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（83212，165232，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過2017的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（）A255054B255064C250554D2550242已知一個(gè)圓的半徑為Rcm，若這個(gè)圓的半徑增加2cm，則它的面積增加（）A4cm2B（2R+4）cm2C（4R+4）cm2D以上都不對(duì)3下列運(yùn)用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤的是（）A（b+a） （ab）a2b2B（m2+n2）（m2n2）m4n4C（23x） （3x2）9x24D（2x+1）（2x1）2x214若a2b2，a+b，則a

2、b的值為（）ABC1D25下列各式能用平方差公式計(jì)算的是（）A（2x+y）（2y+x）B（x+1）（x1）C（xy）（x+y）D（3xy）（3x+y）二、填空題。6閱讀下文，尋找規(guī)律，并填空：已知x1，計(jì)算：（1x）（1+x）1x2（1x）（1+x+x2）1x3（1x）（1+x+x2+x3）1x4（1x）（1+x+x2+x3+x4）1x5觀察上式，并猜想：（1x）（1+x+x2+xn） 7計(jì)算：2008201020092 8若A（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1），則A的個(gè)位數(shù)字是 9計(jì)算： 10計(jì)算：（1） ；（2） 三、解答題。11觀察探索：（x1）（x+1）x2

3、1（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51（1）根據(jù)規(guī)律寫出第個(gè)等式： ；（2）求27+26+25+24+23+22+2的值；（3）請(qǐng)求出22018+22017+22016+22+2的個(gè)位數(shù)字12通過計(jì)算我們知道：（a1）（a+1）a21（a1）（a2+a+1）a31（a1）（a3+a2+a+1）a41（1）請(qǐng)根據(jù)以上計(jì)算規(guī)律填空：（a1）（an+an1+a3+a2+a+1） （2）根據(jù)上述規(guī)律，請(qǐng)你求出32018+32017+33+32+3+1的個(gè)位上的數(shù)字13探索（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1

4、）（x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51（1）試寫出第五個(gè)等式；（2）試求26+25+24+23+22+2+1的值；（3）判斷22017+22016+22015+22+2+1的值的個(gè)位數(shù)字是幾14閱讀下文件，尋找規(guī)律：已知x1，計(jì)算：（1x）（1+x）1x2（1x）（1+x+x2）1x3（1x）（1+x+x2+x3）1x4（1x）（1+x+x2+x3+x4）1x5（1）觀察上式猜想：（1x）（1+x+x2+x3+xn） （2）根據(jù)你的猜想計(jì)算：1+2+22+23+24+22018214+215+210015閱讀下面的材料并填空：（1）（1+）1，反過來，得1（1

5、）（1+）（1）（1+）1，反過來，得1（1）（1+） （1）（1+）1，反過來，得1 利用上面的材料中的方法和結(jié)論計(jì)算下題：（1）（1）（1）（1）（1）（1）平方差公式同步練習(xí)參考答案與試題解析一、選擇題。1如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如（83212，165232，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過2017的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（）A255054B255064C250554D255024【分析】由（2n+1）2（2n1）28n2017，解得n252，可得在不超過2017的正整數(shù)中，“和諧數(shù)”共有252個(gè)，依此列式計(jì)算即可求解【解答】

6、解：由（2n+1）2（2n1）28n2017，解得n252，則在不超過2017的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為3212+5232+50525032505212255024故選：D【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式，弄清題中“和諧數(shù)”的定義是解本題的關(guān)鍵2已知一個(gè)圓的半徑為Rcm，若這個(gè)圓的半徑增加2cm，則它的面積增加（）A4cm2B（2R+4）cm2C（4R+4）cm2D以上都不對(duì)【分析】半徑為Rcm的圓的面積是S1R2，若這個(gè)圓的半徑增加2cm，則其面積是S2（R+2）2，用增加后的圓的面積減去增加前圓的面積，利用平方差公式計(jì)算即可【解答】解：S2S1（R+2）2R2，（R+2R）（R+2+R

7、），4（R+1），它的面積增加4（R+1）cm2故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式，比較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是熟悉圓的面積公式3下列運(yùn)用平方差公式計(jì)算，錯(cuò)誤的是（）A（b+a） （ab）a2b2B（m2+n2）（m2n2）m4n4C（23x） （3x2）9x24D（2x+1）（2x1）2x21【分析】根據(jù)平方差公式，即可解答【解答】解：A（b+a）（ab）a2b2，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B（m2+n2）（m2n2）m4n4，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)不符合題意；C（23x）（3x2）9x24，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)不符合題意；D（2x+1）（2x1）4x21，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差

8、公式，解決本題的關(guān)鍵是熟記平方差公式4若a2b2，a+b，則ab的值為（）ABC1D2【分析】根據(jù)a2b2（a+b）（ab），a+b即可求得ab的值【解答】解：a2b2（a+b）（ab），a+b，ab，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)5下列各式能用平方差公式計(jì)算的是（）A（2x+y）（2y+x）B（x+1）（x1）C（xy）（x+y）D（3xy）（3x+y）【分析】能用平方差公式進(jìn)行因式分解的式子的特點(diǎn)是：兩項(xiàng)平方項(xiàng)，符號(hào)相反，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法【解答】解：A、（2x+y）（2y+x）不符合平方差公式的特點(diǎn)，不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)

9、誤；B、（x+1）（x1）（y+x）（yx），不符合平方差公式的特點(diǎn)，不能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、（xy）（x+y）符合平方差公式的特點(diǎn)，能用平方差公式計(jì)算，故本選項(xiàng)正確；D、（3xy）（3x+y）不符合平方差公式的特點(diǎn)，不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算的能力，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解題的關(guān)鍵二、填空題。6閱讀下文，尋找規(guī)律，并填空：已知x1，計(jì)算：（1x）（1+x）1x2（1x）（1+x+x2）1x3（1x）（1+x+x2+x3）1x4（1x）（1+x+x2+x3+x4）1x5觀察上式，并猜想：（1x）（1+x+x2

10、+xn）1xn+1【分析】根據(jù)平方差公式和所給出的式子的特點(diǎn)，找出規(guī)律，寫出答案即可【解答】解：（1x）（1+x+x2+xn）1xn+1；故答案為：1xn+1【點(diǎn)評(píng)】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，關(guān)鍵是根據(jù)平方差公式找出本題的規(guī)律，是一道基礎(chǔ)題7計(jì)算：20082010200921【分析】先變形，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，最后求出即可【解答】解：原式（20091）（2009+1）20092200921200921，故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式，能靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵8若A（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1），則A的個(gè)位數(shù)字是5【分析】將A進(jìn)行化

11、簡(jiǎn)，確定出個(gè)位數(shù)字即可【解答】解：A（21）（2+1）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1）（221）（22+1）（24+1）（216+1）（232+1）（241）（24+1）（216+1）（232+1）（2161）（216+1）（232+1）（2321）（232+1）2641，212，224，238，2416，個(gè)位上數(shù)字以2，4，8，6循環(huán)，64416，個(gè)位上數(shù)字為6，則A個(gè)位數(shù)字為5，故答案為：5【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式，以及尾數(shù)特征，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵9計(jì)算：2【分析】在原式的前面添上2，即可連續(xù)運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而得出計(jì)算結(jié)果【解答】解：22+2+2

12、+2+2+2+2故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平方差公式的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是在原式的前面添上2，便于運(yùn)用平方差公式10計(jì)算：（1）3；（2）399【分析】（1）先化成指數(shù)相同的冪相乘，再利用積的乘方的性質(zhì)的逆用計(jì)算即可；（2）先寫成20與的和與差的積，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算【解答】解：（1）（）100（3）101，（）100（3）100（3），（3）100（3），3；（2）原式（20+）（20），400，399【點(diǎn)評(píng)】本題考查了積的乘方的性質(zhì)的逆用和平方差公式，整理成性質(zhì)和公式的形式是解題的關(guān)鍵三、解答題。11觀察探索：（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（

13、x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51（1）根據(jù)規(guī)律寫出第個(gè)等式：（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61；（2）求27+26+25+24+23+22+2的值；（3）請(qǐng)求出22018+22017+22016+22+2的個(gè)位數(shù)字【分析】（1）根據(jù)探索材料規(guī)律寫出第個(gè)等式；（2）把27+26+25+24+23+22+2變形為2（26+25+24+23+22+2+1），再根據(jù)探索材料規(guī)律得到原式2（21）（26+25+24+23+22+2+1），依此即可求解；（3）把22018+22017+22016+22+2變形為2（22017+22016+22+2+1），再

14、根據(jù)探索材料規(guī)律得到原式2（21）（22017+22016+22+2+1），得出原式220192，研究22019的末尾數(shù)字規(guī)律，進(jìn)一步解決問題依此即可求解【解答】解：（1）第個(gè)等式是：（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61；（2）27+26+25+24+23+22+22（22017+22016+22+2+1）2（21）（26+25+24+23+22+2+1）2（271）282254；（3）22018+22017+22016+22+22（22017+22016+22+2+1）2（21）（22017+22016+22+2+1）2（220181）220192，21的個(gè)位數(shù)字是2，22的個(gè)位

15、數(shù)字是4，23的個(gè)位數(shù)字是8，24的個(gè)位數(shù)字是6，25的個(gè)位數(shù)字是2，2n的個(gè)位數(shù)字是以2、4、8、6四個(gè)數(shù)字一循環(huán)201945043，所以22019的個(gè)位數(shù)字是8，220192的個(gè)位數(shù)字是6故答案為：（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式，乘方的末位數(shù)字的規(guī)律，尾數(shù)特征，注意從簡(jiǎn)單情形入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題12通過計(jì)算我們知道：（a1）（a+1）a21（a1）（a2+a+1）a31（a1）（a3+a2+a+1）a41（1）請(qǐng)根據(jù)以上計(jì)算規(guī)律填空：（a1）（an+an1+a3+a2+a+1）an+11（2）根據(jù)上述規(guī)律，請(qǐng)你求出32018+32017+3

16、3+32+3+1的個(gè)位上的數(shù)字【分析】（1）通過計(jì)算先找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得結(jié)論；（2）先把32018+32017+33+32+3+1乘以（31）變形為（1）中規(guī)律的形式，計(jì)算出結(jié)果再找到3n的個(gè)位數(shù)字變化規(guī)律，得結(jié)論【解答】解：（1）由以上計(jì)算規(guī)律可知：（a1）（an+an1+a3+a2+a+1）an+11；故答案為：an+11；（2）32018+32017+33+32+3+1（31）（32018+32017+33+32+3+1）（320191）因?yàn)?13，329，3327，3481，35的個(gè)位數(shù)字為3，36的個(gè)位數(shù)字為9，37的個(gè)位數(shù)字為7，38的個(gè)位數(shù)字為1所以32019的個(gè)位數(shù)字是7所以

17、原式的個(gè)位數(shù)字是3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，特殊數(shù)的個(gè)位數(shù)字特點(diǎn)題目難度較大解決本題的關(guān)鍵是把（2）變形為（1）的規(guī)律通項(xiàng)13探索（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41（x1）（x4+x3+x2+x+1）x51（1）試寫出第五個(gè)等式；（2）試求26+25+24+23+22+2+1的值；（3）判斷22017+22016+22015+22+2+1的值的個(gè)位數(shù)字是幾【分析】（1）利用規(guī)律得出第五個(gè)等式即可；（2）原式變形后，利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；（3）原式變形后，利用得出的規(guī)律計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷【解答】解：（1）第五個(gè)等

18、式（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）x61；（2）原式（21）（25+25+24+23+22+2+1）271127；（3）原式（21）（22017+22016+22015+22+2+1）220181，則個(gè)位上數(shù)字是413【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，尾數(shù)特征，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵14閱讀下文件，尋找規(guī)律：已知x1，計(jì)算：（1x）（1+x）1x2（1x）（1+x+x2）1x3（1x）（1+x+x2+x3）1x4（1x）（1+x+x2+x3+x4）1x5（1）觀察上式猜想：（1x）（1+x+x2+x3+xn）1xn+1（2）根據(jù)你的猜想計(jì)算：1+2+22+23+24+22018214+215+2100【分析】（1）依據(jù)變化規(guī)律，即可得到（1x）（1+x+x2+x3+xn）1xn+1（2）依據(jù)（1）中的規(guī)律，即可得到1+2+22+23+24+22018的值；將214+215+2100寫成（1+2+22