冪級數(shù)概述和運(yùn)算要求

1、冪級數(shù)概述和運(yùn)算要求2一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 二、冪級數(shù)及其收斂域 三、冪級數(shù)的運(yùn)算 3一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一般概念1.定義: 前面講過常數(shù)項(xiàng)級數(shù),其各項(xiàng)均為一個(gè)常數(shù).若講各項(xiàng)改變?yōu)槎x在區(qū)間I上的一個(gè)函數(shù),便為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。42.收斂點(diǎn)與收斂域:5函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和余項(xiàng)(x在收斂域上)注意函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂問題.3.和函數(shù):(定義域是?)6例如, 等比級數(shù)它的收斂域是它的發(fā)散域是或有和函數(shù) 7解由達(dá)朗貝爾判別法原級數(shù)絕對收斂.9原級數(shù)發(fā)散.收斂;發(fā)散;101、定義:二、冪級數(shù)及其收斂性 下面著重討論的情形, 即2、收斂性對于冪級數(shù),要解決兩個(gè)問題：(1) 如何求出

2、它的收斂域？(2) 如何求出收斂域內(nèi)的和函數(shù)？ 從冪級數(shù)的形式不難看出,任何冪級數(shù)在x=0處總是收斂的.而對的點(diǎn)處,冪級數(shù)的斂散性如何呢?先看下列定理.幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域13證明14由(1)結(jié)論幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域15推論16規(guī)定問題如何求冪級數(shù)的收斂半徑?開區(qū)間 叫做冪級數(shù) 的收斂區(qū)間.定義: 正數(shù)R稱為冪級數(shù) 的收斂半徑.收斂域可能是收斂區(qū)間是含在收斂域內(nèi)的最大開區(qū)間。冪級數(shù)的收斂域？冪級數(shù)的收斂區(qū)間，17證明18（1）由比值審斂法,19定理證畢.例1 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散解缺少奇次冪的項(xiàng)級數(shù)收斂,例2 求冪級數(shù)的收斂半徑。級數(shù)發(fā)散,收斂

3、半徑為另解前者收斂,后者發(fā)散所以收斂半徑為R=1/2,收斂區(qū)間為(，0.5)解缺少偶次冪的項(xiàng)級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,級數(shù)發(fā)散,原級數(shù)的收斂區(qū)間為例3 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間.解：令 t = (x1), 考慮即 |x 1|2, 1 x 2時(shí), 原級數(shù)發(fā)散在端點(diǎn)處, x = 1, x = 3, 故收斂區(qū)間為1, 3)另解 利用比值判別法故收斂區(qū)間為1, 3)，收斂半徑為2三、冪級數(shù)的運(yùn)算1、代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)加減法(其中（2） 乘法(其中柯西乘積（3） 除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)它們的收斂半徑均為但是其收斂半徑只是 2、冪級數(shù)的和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，并且積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，并且求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.解兩邊積分得解解設(shè)其和函數(shù)為s(x)，則在例5