2021-2022學(xué)年陜西省西安市長安區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年陜西省西安市長安區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，集合，則（）ABCDB【分析】化簡得，再分析即可【詳解】由題意，因為表示所有偶數(shù)，能表示所有整數(shù)，故故選：B2牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過一定時間t分鐘后的溫度T滿足，h稱為半衰期，其中是環(huán)境溫度若，現(xiàn)有一杯80的熱水降至75大約用時1分鐘，那么水溫從75降至55，大約還需要（參考數(shù)據(jù)：，）（）A3.5分鐘B4.5分鐘C5.5分鐘D6.5分鐘C【分析】根據(jù)已知條件代入公式計算可得，再把該值代入，利用對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式即可求解.【詳解】解：由題意，由一杯80的熱水

2、降至75大約用時1分鐘，可得，所以，又水溫從75降至55，所以，即，所以，所以，所以水溫從75降至55，大約還需要分鐘.故選：C.3已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則函數(shù)的最小正周期是（）ABCDC【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可得，由偶函數(shù)性質(zhì)可得，化簡整理可得，即可求出最小正周期.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以， 因為為偶函數(shù)，所以，則，則，即，所以，即，則，所以的最小正周期是4.故選：C.4已知平面向量滿足，且與的夾角為，則的最大值為（）AB6CD8A【分析】根據(jù)向量減法的三角形法則，構(gòu)造出三角形后運用余弦定理得到關(guān)于的方程，由判別式大于等于0可得的最大值.【詳解】根據(jù)題意和向量減法的三角形法

3、則，可構(gòu)建如圖所示三角形.所以，設(shè)，在中根據(jù)余弦定理化簡得有正解，又因為二次函數(shù)對稱軸，所以只需要判別式即可，解得，所以.故選：A.5某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖均為等腰直角三角形，則該幾何體的表面積為（）ABCDD【分析】由三視圖可知該幾何體是一個正四棱錐，且底面邊長為2，高為1，從而可求出其表面積【詳解】因為該幾何體的三視圖中，正視圖與側(cè)視圖均為等腰直角三角形，俯視圖為邊長為2的正方形，所以該幾何體是一個正四棱錐，且底面邊長為2，高為1，如圖所示，所以其表面積為，故選：D6若，則（）ABCDA【分析】根據(jù)二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解即可【詳解】因為，顯然，故，故選

4、：A7數(shù)列中，若，則（）A3B5C4D6D【分析】令，求得，得到數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列中，令，可得，即，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，又由，解得.故選：D.8若兩個正實數(shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（）ABCDC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式求得的最小值為，把不等式有解，轉(zhuǎn)化為，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，正實數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，即的最小值為，又由不等式有解，可得，即，解得或，即實數(shù)的取值范圍為.故選：C.9在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任意一點到直線的距離的最

5、小值為（）ABC DC【分析】利用點到直線的距離公式，求得點到直線的距離，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】設(shè)曲線上任意一點，則 可得點到直線的距離為 由于，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以點到直線的距離最小距離為.故選：C.10在ABC中，已知，則ABC的形狀是（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形D【分析】由正弦的和差角公式可化簡得，再運用正弦定理將邊化為角，根據(jù)正弦的二倍角公式化簡，可得出三角形的角的關(guān)系，可判斷出三角形的形狀.【詳解】由得，即得，即，再由正弦定理可得，即，所以，所以，即，解得或，即或，所以的形狀為等腰三角形或直角三角形。故選：D.本題主要

6、考查正弦的和差角公式，正弦定理的應(yīng)用，正弦的二倍角公式，關(guān)鍵在于運用相應(yīng)的公式進(jìn)行三角形的邊角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一邊或角，屬于中檔題.11在平面中，過定點作一直線交軸正半軸于點，交軸正半軸于點，面積的最小值為（）ABCDC【分析】設(shè)直線的截距式，再根據(jù)面積公式結(jié)合基本不等式求解最小值即可【詳解】易得直線不經(jīng)過原點，故設(shè)直線的方程為，因為直線過定點，故，所以，故.當(dāng)時等號成立故故選：C12已知菱形的邊長為3，沿對角線折成一個四面體，使平面垂直平面，則經(jīng)過這個四面體所有頂點的球的體積為（）ABCDA【分析】設(shè)球心為，則，可得，求出，可得，即可求出球的體積【詳解】是的中點，由題意可知： 平面 ,如圖所示，

7、設(shè)球心為，在平面中的射影為，是的中點，則，, 所以，球的體積為故選：A13已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，則=（）ABCDA【分析】將變?yōu)椋纯傻?，利用裂項求和的方法可得，即可求得答?【詳解】因為,，所以，所以，又 ，故，故選：A14設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，使對一切實數(shù)均成立，則稱為“函數(shù)”.給出下列函數(shù)：；是定義在上的奇函數(shù)，且對一切實數(shù)有.其中是“函數(shù)”的個數(shù)為（）A2個B3個C4個D5個B【分析】對,直接根據(jù)“函數(shù)”定義分析即可.對,代入有恒成立, 不存在故不是“函數(shù)”；對,舉反例當(dāng)時不成立即可.對,代入化簡可得恒成立,再根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可.對, 取,即可證明恒成立,故是

8、“函數(shù)”.【詳解】時,由,恒成立,故是“函數(shù)”；時,即,時即恒成立,而,故不存在,不是“函數(shù)”；時,故在時不成立,不是“函數(shù)”；時,時左右相等,時即恒成立.,即可,是“函數(shù)”；由是定義在上的奇函數(shù),則.取,則,即恒成立,即可,是“函數(shù)”.綜上,“函數(shù)”的個數(shù)為3個.故選：B本題主要考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用,需要根據(jù)函數(shù)滿足的關(guān)系式,結(jié)合已知函數(shù)的值域進(jìn)行分析,或者舉出反例.屬于中檔題.二、填空題15不等式的解集為_【分析】將等價轉(zhuǎn)化為或，解不等式組可得答案.【詳解】原不等式等價于或，解得 或 ，故16直線關(guān)于直線的對稱直線方程為_【分析】先求得兩直線的交點坐標(biāo)，然后在任取一點，求得其關(guān)于直線的對

9、稱點，即可求得答案.【詳解】聯(lián)立和直線，求得它們的交點為,在直線取點，設(shè)其關(guān)于的對稱點為，則 ，解得，故直線關(guān)于直線的對稱的直線為AC,其斜率為 ，直線方程為，即，故17已知、滿足，則的最小值是_1.5【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可求出.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，其中表示點與連線的斜率，由圖可知，直線的斜率最小，聯(lián)立方程，解得，所以.故答案為.18在中，若，的面積為，角B的平分線交AC于點D，且，則_【分析】根據(jù)面積關(guān)系可得，再利用余弦定理即可求出.【詳解】設(shè)三角形的三邊分別為，則，所以，又，所以，由余弦定理，即.故答案為.19在銳角三角形中，則的最小

10、值是_【分析】由已知結(jié)合三角函數(shù)恒等變換公式可得，再由為銳角三角形，可求出，而，令（），換元化簡可求出其最小值【詳解】因為在中，,所以，所以，所以，因為為銳角三角形，所以，所以，所以因為為銳角三角形，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，令（），則因為，所以，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為，故20如圖所示，在正方體中，點E是棱上的一個動點，平面交棱于點F.給出下列四個結(jié)論：存在點E，使得 /平面；存在點E，使得 平面；對于任意的點E，平面平面 對于任意的點E，四棱錐的體積均不變其中，所有正確結(jié)論的序號是_.【分析】根據(jù)線面平行和線面

11、垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可【詳解】解：當(dāng)為棱上的中點時，此時也為棱上的中點，此時；滿足平面成立，正確平面，若存在點，使得平面，則，則矩形，是正方形或菱形，在正方體中，則矩形，不可能是正方形或菱形，不可能存在點，使得平面，錯誤連結(jié)，則平面，而平面，平面平面，成立，正確四棱錐的體積等于，設(shè)正方體的棱長為1，無論，在何點，三角形的面積為為定值，三棱錐的高，保持不變?nèi)切蔚拿娣e為為定值，三棱錐的高為，保持不變?nèi)忮F和三棱錐體積為定值，即四棱錐的體積等于為定值，正確故 三、解答題21已知數(shù)列的前項和滿足(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知_，求數(shù)列的前項和從下列三個條件中

12、任選一個，補充在上面問題的橫線中，然后對第（2）問進(jìn)行解答條件： ；注：如果選擇多個條件分別解答，以第一個解答計分(1)(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）由，利用，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）分別選擇條件，求得數(shù)列的通項公式，結(jié)合乘公比錯位相減法、裂項法和分類討論，進(jìn)而求得數(shù)列的前項和.【詳解】(1)解：因為在數(shù)列中，當(dāng)時，；當(dāng)時，又因為也滿足，所以數(shù)列的通項公式為(2)解：選擇條件：由，可得，兩式相減得，故選擇條件：由（1）知，所以.選擇條件：因為，當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，綜上所述：數(shù)列的前項和.22在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知，(1)求角的大小；(2)求取值范圍(1)

13、(2)【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合和的余弦公式和二倍角公式化簡可得即可求出；（2）利用正弦定理化邊為角，由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】(1)由可得，化簡可得，即，又因為三角形為銳角三角形，所以(2)根據(jù)正弦定理，可得，故，又因為，所以23如圖所示，在四棱錐中，平面，底面ABCD滿足ADBC，E為AD的中點，AC與BE的交點為O(1)設(shè)H是線段BE上的動點，證明：三棱錐的體積是定值；(2)求四棱錐的體積；(3)求直線BC與平面PBD所成角的余弦值(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）證明平面，由于H是線段BE上的動點，即可證明三棱錐的體積是定值；（2）平面，說明是四棱錐的高，根據(jù)棱錐的體積

14、公式即可求得答案；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量的夾角公式結(jié)合三角函數(shù)同角的關(guān)系求得答案.【詳解】(1)因為底面為梯形，ADBC，E為AD的中點，且，所以四邊形為平行四邊形，則 ，又平面，平面，所以平面，又因為H為線段上的動點，的面積是定值，從而三棱錐的體積是定值(2)因為平面，所以，結(jié)合，所以，又因為，且E為的中點，所以四邊形為正方形，所以，結(jié)合，則平面，連接，則，因為平面，所以，因為，所以是等腰直角三角形，O為斜邊上的中點，所以，且，所以平面，所以是四棱錐的高，又因為梯形的面積為，在中，所以(3)以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，則，設(shè)平面的法向量為，則 ，即 ，則 ，令，得到，設(shè)與平面所成的角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為24已知二次函數(shù).（1）若，試判斷函數(shù)零點個數(shù)；（2）是否存在，使同時滿足以下條件：對任意，且；