2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市高一6月考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市高一6月數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點為（）ABCDA【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可；【詳解】解：因為，所以，所以，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標為；故選：A2如果一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是如圖所示的直角梯形，其中，,.則原平面圖形的面積為（）ABCDA作出原平面圖形，然后求出面積即可【詳解】，則是等腰直角三角形，又，在直角坐標系中作出原圖形為：梯形，高，其面積為故選：A方法點睛：本題考查斜二測法畫平面圖形直觀圖，求原圖形的面積，可能通過還原出原

2、平面圖形求得面積，也可以通過直觀圖到原圖形面積的關(guān)系求解：直觀圖面積為，原圖形面積為，則3已知，則（）ABCDD【分析】由，得，再由,可得，即可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，解得又因為，所以，所以故選：D4若，則（ ）A1B2C3D4C【詳解】 ,所以 原式，故選C.點睛：三角恒等變換的主要題目類型是求值，在求值時只要根據(jù)求解目標的需要，結(jié)合已知條件選用合適的公式計算即可本例應(yīng)用兩角和與差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角關(guān)系式使得已知條件可代入后再化簡，求解過程中注意公式的順用和逆用. 本題主要考查兩角和與差的公式.5在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，則（）ABCD1

3、A【分析】根據(jù)三角形面積公式及余弦定理化簡條件求角，由此可求.【詳解】因為，又，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，所以，所以，故選：A.6如圖，四邊形ABCD四點共圓，其中BD為直徑，則的面積為（）ABCDC【分析】先在利用余弦定理求出邊，再利用正弦定理求出直徑，進而利用直角三角形求出、，再利用三角形的面積公式進行求解.【詳解】在中，因為，所以由余弦定理，得，由正弦定理，得；在和中，又，所以的面積為.故選：C.7在ABC中，|AB|4，且|CA|CB|，則ABC面積的最大值是A2B4C6D8B設(shè)，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理求出，可得，根據(jù)面積公式可得，令，根據(jù)輔助角公式可得，其中，由可求得結(jié)果.

4、【詳解】設(shè)，設(shè)，則，由余弦定理得，顯然，令，則，所以，其中，所以，解得所以，此時，滿足所以故選：B本題考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查了輔助角公式，二、多選題8有如下命題，其中錯誤的命題是（）A若直線，且，則直線與平面的距離等于平面、間的距離B若平面平面，點，則點到平面的距離等于平面、間的距離C兩條平行直線分別在兩個平行平面內(nèi)，則這兩條直線間的距離等于這兩個平行平面間的距離D兩條異面直線分別在兩個平行平面內(nèi)，則這兩條直線間的距離等于這兩個平行平面間的距離C【分析】根據(jù)線線距離、線面距離、面面距離定義逐項判斷可得答案.【詳解】對于A，若直線，且，則直線與平面的距離等于平面、間的距離，

5、故A正確；對于B，若平面平面，點，則點到平面的距離等于平面、間的距離，故B正確；對于C，當兩條平行直線所在的平面與兩個平行平面垂直時則這兩條直線間的距離等于這兩個平行平面間的距離，當兩條平行直線所在的平面與兩個平行平面不垂直時，則這兩條直線間的距離不等于這兩個平行平面間的距離，故C錯誤；對于D， 兩條異面直線分別在兩個平行平面內(nèi)，則異面直線間的距離等于這兩個平行平面間的距離，異面直線間距離往往轉(zhuǎn)化為平行平面間的距離，故D正確.故選：C.9下列關(guān)于直線，點，與平面的關(guān)系推理正確的是（）A，B，C，D，ABD【分析】對于選項A，可推出，所以選項A正確；對于選項B，兩點必定在與交線上，所以可得到，所

6、以選項B正確；對于選項C，點可以在直線與平面的交點處，即，所以選項C錯誤；對于選項D，必定在平面內(nèi)，所以可得到，所以選項D正確；【詳解】解：由題意可知，對于選項A，兩點均在直線上，且，兩點均在平面內(nèi)，則可推出，所以選項A正確；對于選項B，兩點既在內(nèi)，又在內(nèi)，則必定在與交線上，所以可得到，所以選項B正確；對于選項C，點在直線上，但是直線不在平面內(nèi)，則點可以在直線與平面的交點處，即，所以選項C錯誤；對于選項D，點在直線上，直線在平面內(nèi)，則必定在平面內(nèi)，所以可得到，所以選項D正確；故選：ABD10已知正方體的棱長為，則（）A正方體的外接球體積為B正方體的內(nèi)切球表面積為C與異面的棱共有4條D三棱錐與三

7、棱錐體積相等ACD【分析】對于A、B：正方體外接球的半徑,內(nèi)切球的半徑，代入球體的體積和表面積公式計算；對于C：根據(jù)異面直線的定義進行判定；對于D：利用等體積轉(zhuǎn)換處理【詳解】正方體外接球的半徑,內(nèi)切球的半徑正方體的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為A正確，B不正確；與異面的棱有，共有4條，C正確；，則三棱錐與三棱錐的高，底面積，故體積相等，D正確；故選：ACD11在數(shù)學(xué)史上，為了三角計算的簡便并且更加追求計算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作，定義為角的余矢，記作，則下列命題正確的是（）ABC若，則D函數(shù)的最大值為BC【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可得A錯誤，B正確；化簡已知等式得

8、到，將所求式子化簡為正余弦齊次式，由此可配湊出求得結(jié)果，知C正確；利用誘導(dǎo)公式化簡整理得到，由此可知最大值為，知D錯誤.【詳解】對于A，A錯誤；對于B，B正確；對于C，C正確；對于D，當時，D錯誤.故選：BC.關(guān)鍵點點睛：本題考查了三角函數(shù)的新定義的問題，解題關(guān)鍵是能夠充分理解已知所給的定義，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正余弦齊次式的求解等知識來判斷各個選項.12已知三棱錐的所有棱長都為2，且球O為三棱錐的外接球，點M是線段BD上靠近D點的四等分點，過點M作平面截球O得到的截面面積為S，則S的可能取值為（）ABCDBC【分析】求出三棱錐的外接球半徑，可知截面面積的最大值為，當球心到截面的距離最大時

9、，截面面積最小，此時球心到截面的距離為，截面圓的半徑的最小值為，進而可求出截面面積的最小值，然后可得答案【詳解】因為三棱錐是正四面體，棱長為2，所以將其放置于正方體中，可得正方體的外接球就是三棱錐的外接球，因為三棱錐的棱長為2，所以正方體的棱長為，可得外接球直徑為，所以，所以截面面積的最大值為，因為點M是線段BD上的點，所以當球心到截面的距離最大時，截面面積最小，此時球心到截面的距離為，為等腰三角形，過點作的垂線，垂足為，由，得，所以，則所得截面半徑的最小值為，所以截面面積的最小值為，所以截面面積的范圍為故選：BC三、填空題13已知sin，3，則tan_.-3【分析】根據(jù)角的范圍，求出cos后

10、代入公式tan計算即可.【詳解】由sin，3，得cos，從而tan-3.故-314已知函數(shù)，在區(qū)間上有_個零點.【分析】由三角恒等變換公式化簡，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點個數(shù)求解【詳解】令，函數(shù)的圖象如圖所示由圖可知，兩個函數(shù)在區(qū)間上有6個交點，即在區(qū)間上有6個零點故615在中，角所對的邊分別為，且，則的取值范圍是_.（1，3）【分析】由三角形的內(nèi)角范圍可得0A，cosA1，運用正弦定理和三角函數(shù)的二倍角的正弦公式和余弦公式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍【詳解】由B3A，可得CAB4A，由0B，0C， 可得0A，則cosA1，=2cos2A+cos2A4cos2A1，由cosA1，可得cos2A

11、1，即有14cos2A13，則的取值范圍為（1，3），故（1，3）關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是將利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角A的函數(shù)，注意角的范圍16如圖，點A是半徑為1的半圓O的直徑延長線上的一點，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊，則四邊形的面積的最大值為_.設(shè)，表示出的面積及的面積，進而表示出四邊形的面積，并化簡所得面積的解析式為正弦函數(shù)形式，再根據(jù)三角函數(shù)的有界性進行求解【詳解】四邊形的面積的面積的面積，設(shè)，則的面積的面積， 四邊形的面積，故當，即時，四邊形的面積最大值為，故方法點睛：應(yīng)用余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)

12、的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.四、解答題17已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位.(1)若z是純虛數(shù)，求實數(shù)m的值：(2)若，設(shè)，試求的值.(1)(2)【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)相等的意義即可求解.【詳解】(1)若z是純虛數(shù)，則，解得；(2)若，則 ， ，；綜上，.18（1）已知，且是第三象限角，求的值；（2）已知，求及的值（1）（2）【分析】（1）求出cos，利用余弦和角公式即可求；（2）根據(jù)正切的和差角公式即可求.【詳解】（1），且是第三象限角，.（2），.19已知，其中，(1)求的最小正周期和最小值；(2)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，求的

13、值(1)最小正周期為，最小值為(2)【分析】（1）向量內(nèi)積展開后利用倍角公式和輔助角公式整理成正弦型函數(shù)，并根據(jù)正弦函數(shù)圖像性質(zhì)得解；（2）根據(jù)函數(shù)值先求出，利用正弦定理將邊化角，結(jié)合，以及兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式解出答案.【詳解】(1)的最小正周期為，的最小值為，函數(shù)的最小值為(2)，或，或（舍去)，20已知：直四棱柱所有棱長均為2，.在該棱柱內(nèi)放置一個球，設(shè)球的體積為，直四棱柱去掉球剩余部分的體積為.(1)求三棱錐的的表面積；(2)求的最大值.（只要求寫出必要的計算過程，不要求證明）(1)；(2).【分析】（1）求出三棱錐的的各個面的面積即得解；（2）設(shè)直四棱柱的體積為，當球半徑R最大時

14、，最大時，取到最大值，求出最大值即得解.【詳解】(1)解：因為直四棱柱，所以 ，為三棱錐的的高， 由，所有棱長為2，為等邊三角形，所以，中，中，過作于，.(2)解：設(shè)直四棱柱的體積為，所以,所以當最大時，取到最大值，即求棱柱內(nèi)放置一個球體積最大，即球半徑R最大，若球與棱柱側(cè)切，則半徑R即為菱形的內(nèi)切圓半徑，連接與交于點，中，若球與棱柱上、下底切，則半徑為，所以球半徑最大為，此時球體積最大，.，此時.21已知的內(nèi)角，的對邊分別為，且.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理,將角化邊,即可得到三邊關(guān)系,進而轉(zhuǎn)化成余弦定理形式求解.（2）用二倍角公式降冪，然后利用輔助角公式合并，根據(jù)角的范圍求解.【詳解】(1)及，化簡得，又，.(2)由（1）可得為銳角三角形，且，.，故的取值范圍為.22在ABC中，Q為ABC內(nèi)