高中數(shù)學(xué)圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用

1、圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過焦點(diǎn)，則稱此弦為焦點(diǎn)弦。圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點(diǎn)（向量）、焦半徑和焦點(diǎn)弦長等有關(guān)知識(shí)。焦點(diǎn)弦是圓錐曲線的“動(dòng)脈神經(jīng)”，集數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和解題策略于一體，倍受命題人青睞，在近幾年的高考中頻頻亮相，題型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題，也有作為大題進(jìn)行考查的。本文介紹圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦問題的幾個(gè)重要公式及應(yīng) 用，與大家交流。定理1?已知點(diǎn)F是離心率為白的圓錐曲線C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的弦刃3與二的焦點(diǎn)所在衿日二3的軸的夾角為巴且州=根譏無之D。（1）當(dāng)焦點(diǎn)尸內(nèi)分弦時(shí)，有見十1 ; （2）m

2、gs日=+1當(dāng)焦點(diǎn)甘外分弦工3時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），有兄T。證明？設(shè)直線）是焦點(diǎn)F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，點(diǎn)43在直線1上的射影分別為A，用，點(diǎn)刀在AFBF三目二直線眼上的射影為旭。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，明四，又加=/竭讓1）,所以所以?當(dāng)焦點(diǎn)產(chǎn)內(nèi)分弦AB時(shí)ABF BF如圖1,8S日二匚oh建如圖1,8S日二匚oh建48二型J一3用Hk十名Fa+DE 尸 寅 a-D八十1。?當(dāng)焦點(diǎn)產(chǎn)外分弦上B時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）如圖2,cos 如圖2,cos 3 二 cos 乙MAB =二 +竭=AB AF-BF建F絲國十二一兄十1X+1- R COK & -（用1川a-D ,所以 1圖2評(píng)注？特別要注意焦點(diǎn)外分

3、焦點(diǎn)弦（此時(shí)曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點(diǎn)弦時(shí)公式的不同，這一點(diǎn)很容易不加區(qū)別而出錯(cuò)。C:三一匚=1匕。力0）例1（ 2009年高考全國卷II理科題）已知雙曲線 金 6的右焦點(diǎn)為嚴(yán)，過嚴(yán)且斜率為右的直線交U于兩點(diǎn)。若依=4，則D的離心率為（）一 16廠e cos 60 = & =解？這里尢=匕領(lǐng)日=，所以日二6。口，又乩=4，代入公式得4十1 ,所以 5 ,故選工。C7- +- 1（d 8 0）例2 （2010年高考全國卷II理科第12題）已知橢圓出 匕的離心率為小 _ _工。過右焦點(diǎn)且斜率為封匕. ）的直線于C相交于兩點(diǎn)，若麗=3詬，則上=（?）S COS & 解？這里N =3 ,2 ,設(shè)直線工B

4、的傾斜角為8 ,代入公式得22 ,所以cos6 =的,所以上=tmH =，2 ,故選8。例3 （08高考江西卷理科第15題）過拋物線爐=2沙8。）的焦點(diǎn)F作傾斜角為3仃的M =直線，與拋物線交于乂田兩點(diǎn)（點(diǎn)工在尸軸左側(cè)），則有仔3 圖3解 如圖3,由題意知直線與拋物線的地稱軸的夾角色二6,當(dāng)點(diǎn)工在尸軸左側(cè)時(shí),網(wǎng)54-1陽1 /I a 1C0S qQ = I -設(shè)四 ，又岑=1,代入公式得N十1 ,解得為=3 ,所以叼 M例4 （2010年高考全國卷I理科第16題）已知F是橢圓U的一個(gè)焦點(diǎn)，田是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段方刃的延長線交二于點(diǎn)口，且麗二2而，則口的離心率為COS 0 = = g解？設(shè)直線

5、不。與焦點(diǎn)所在的軸的夾角為日，則 BF & ，又且=2 ,代入公式得 一 3,所以一 TOC o 1-5 h z 二-乙二13）。3:0）例5 （自編題）已知雙曲線 的離心率為3 ,過左焦點(diǎn)廣且斜率為。的直線交D的兩支于48兩點(diǎn)。若|瓦4| 二 3忸|,則亡=地鼻+1& = 曰 =解？這里3 , = 3,因直線上B與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公式,砧用/+1 日一#1一_ COS 8 _COS g 太E3H 一 _代入公式得33-1,所以 2所以H=為所以3 0定理2?已知點(diǎn)F和直線上是離心率為它的圓錐曲線仃的焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距(焦點(diǎn) 到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離)為尸。過點(diǎn)F的弦與曲線D的焦點(diǎn)所在的軸的

6、夾角為式日e(030r),AB 二 則有證明？設(shè)點(diǎn)兒昆尸在準(zhǔn)線上上的射影分別為A風(fēng)H，過點(diǎn)尸作軸況V的垂線交直線AF 網(wǎng)=田=于點(diǎn)次，交直線3用于點(diǎn)M。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，陶 所以AP = SBF=B(1)當(dāng)焦點(diǎn)F內(nèi)分弦力時(shí)。如圖4,=刑十 |wg=,忸/| = |用M-網(wǎng)”-網(wǎng)3日。網(wǎng)4(p+網(wǎng)g網(wǎng)網(wǎng)=央-附m電所以較長焦半徑陽二工，較短焦半徑平1+/ Ct 所以較長焦半徑陽二工，較短焦半徑平1+/ Ct 9AB所以= 11+ 忸可=一絲一 4-一絲一= 1 一口8客61十者8客02ep1 32 cos2 &(2)當(dāng)焦點(diǎn)F外分弦且3時(shí)(此時(shí)曲線為雙曲線)如圖5,如圖5,所以所以AF=e

7、(AFcqs&- P BF = e(p-F |cos &)所以較長焦半徑I I0P較短焦半徑所以叩G COS+1綜合（所以較長焦半徑I I0P較短焦半徑所以叩G COS+1綜合（1）71= I= *（2）知，較長焦半徑 卜宓3日,較短焦半徑1十息白。焦點(diǎn)弦的弦長公式為特別地，當(dāng)曲線為無心曲線即為拋物線時(shí)，焦準(zhǔn)距聲就是徑之半，較長焦半徑網(wǎng)二一已網(wǎng)二一已1-cqs6 ,較短焦半徑-網(wǎng)二1十80焦點(diǎn)弦的弦長公式為有心曲線即為橢圓或雙曲線時(shí)，焦準(zhǔn)距為11211 2cos日r +,注？由上可得，當(dāng)焦點(diǎn)下內(nèi)分弦便時(shí)，有加I即 吵忸可31p o當(dāng)112_ J_ 1 2cos 6焦點(diǎn)戶外分弦工F時(shí)，有叫M加印

8、廣網(wǎng)尸0例6 （2009年高考福建卷理科第13題）過拋物線/= 2中雙蘆。）的焦點(diǎn)尸作傾斜角為4y的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，若線段3的長為8,則戶二解？由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長公式為網(wǎng)二勿 解？由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長公式為網(wǎng)二勿 g疝力451 ，解得r = 2a 二+= 1（2 A 0）_例7 （2010年高考遼寧卷理科第20題）已知橢圓口 b的右焦點(diǎn)為產(chǎn)， 經(jīng)過戶且傾斜角為60的直線,與橢圓相交于不同兩點(diǎn)乩3,已知萬=2而（1）求橢圓的離心率；（2）（1）求橢圓的離心率；（2）若AB= 4 ,求橢圓方程。解？ （1）這里日二 50兄=2,由定理1的公式得2e = -,d = 2e = -,d = 6

9、0 AB(2)將 3154，代入焦點(diǎn)弦的弦長公式得,l-(1):cosa6Ci 455,/5/5P二一c二一a 八。官即 二2,所以2（ y）二8,又設(shè)二2七”業(yè)，代入得上=1 ,所以2所以2口與，所以/二次一i=5 ,故所求橢圓方程為9例8 （2007年重慶卷第16題）過雙曲線一/二的右焦點(diǎn)f作傾斜角為10挈的直線, 交雙曲線于HQ兩點(diǎn)，則附悶的值為FPFQ =解？易知義口均在右支上，因?yàn)?&=21=道,離心率居二我，點(diǎn)準(zhǔn)距 7 因傾斜角為1U竽，所以6 = 7。FPFQ =1+穹1- cos26l-2s7- l-Q+ccslSCT) （由2007年重慶卷第16題改編）過雙曲線爐一爐=4的右

10、焦點(diǎn)F作傾斜角為二。.的直線，交雙曲線于尸值兩點(diǎn)，則附卜悶的值為_J2解？因?yàn)?離心率總=陋，點(diǎn)準(zhǔn)距2=1=,因傾斜角為150;所以 m 注意到f，Q分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得，I叫忸口卜%型= A- = 8近住日一1 3。，日+1 e cos3 9- 1 2cos3 30 -1 o例10? (2007年高考全國卷I )如圖6,已知橢圓3.2 1的左、右焦點(diǎn)分別為國用， 過E的直線交橢圓于瓦刀兩點(diǎn)，過外的直線交橢圓于凡仃兩點(diǎn)，且力C_LD 0求四邊形面 積的最小值。解？由方程可知，”43-72 解？由方程可知，”43-72 ,則 由=2白 。設(shè)直線方。與x軸的夾角為白，因?yàn)閬VC3。，所以直線曲7與x軸的夾角為90.一日。代入弦長公式得,即二T g 3-d 日即二T g 3-d 日,AC =2ep4j3l-/gl(9(TY) 九故四邊形的面積為,249625249625(3-cos3 &)(?- s