復變和積分課件函數(shù)

1、第三復變函數(shù)的積第三復變函數(shù)的積復變函數(shù)積分的定義、性質及其計-基本定原函數(shù)與不定積積分公3.1 復變函數(shù)3.1 復變函數(shù)積分的定義、性質及其計1變函數(shù)積分的定有向曲設簡單光滑（分段光滑）曲線Cz(tz()為起點z(為終點z() z() 為正向（2） z( z(C 為簡單閉曲線，則逆時針為正向為復平面上起點為 A 終點B 的有向設定義 單光為復平面上起點為 A 終點B 的有向設定義 單光滑（分段光滑）曲線，函數(shù) w f(z) 定義，分點Az0 ,z1,zn1, B把C n個小弧段zk1 之間的弧段上任取一點 (k 1,n，作和式nnS f(k f(k)(zk zk1kk記 max|，則當 0時

2、，若不論分點與k 如何1kS趨于同一極限，則稱該極限值f(zC 的積分，記nf(z)dz limf(k k注意f 注意f (z)dz表示沿曲線C 正向的積分Cf (z)dz 表示f(z)dz 表示沿閉曲C 正向的積分C反向的積分復變函數(shù)積分的計f (z) u(x, y復變函數(shù)積分的計f (z) u(x, yiv(x, y在曲線C 上連續(xù)C 的方程設z z(t) x(t(t，f (z)dz C udxvdyiC vdxudy C (uiv)(dxidy) u x(t),y(t) iv x(t),y(t)x (t)iy (t) f z(t)注意（1）f(z在曲線C上連續(xù)注意（1）f(z在曲線C上連

3、續(xù)是積分C fz)dz存在的充分條件（2）若C 分段光滑且C C1 Cn ，f(z)dzf (z)dzf (z)dz C1n（3）f z)dz C (uiv)(dxidy反映了復積分與二元實函數(shù)第二類曲線積分的關系f z(t)（4）f (z)dz 則反映了復積分與定積分的關系，是計算復積分的常用方法例 計算C zdz，其中曲線C1 為點0到34i的直線段4x2例 計算C zdz，其中曲線C1 為點0到34i的直線段4x2C2 為y 上0到34i的一段9C1：z(3(0t1)；C2 ：z 3t(0t 解(34i)271zdz (3 4i)t(3 4i)dt 12i 20171zdz (3t 4t

4、 i)(38ti)dt 22ydx xdy知積分與路徑無關0zdz C xdx ydy例 計算C zdz（1）曲線C為點0到1i的直線段C 為0例 計算C zdz（1）曲線C為點0到1i的直線段C 為0到1的直線段C1 和1到1i的直線段C2 接成的折線(0t （1）11zdz (1i)t(1i)dt tdt 00(0t1)；C2：z 1(0t （2）C1 ：z 11zdz C zdzzdz tdt (1it)idt10012關zdz C xdx ydyiC (y)dx xdy積分與路徑計算z n為整數(shù)曲線C z0 例)n0Cr 0為半徑的正向圓計算z n為整數(shù)曲線C z0 例)n0Cr 0為

5、半徑的正向圓周，即|zz0 |r的正向(0 2C ：z 解ireid rn1ei(n1)i(z r)nC000nnzdz 1dz 2|z|C例，其中 為的正向zCC復變函數(shù)積分的性（1）復變函數(shù)積分的性（1）C f (z)dz C f (z)dz（2）C a f (z)dz f(z)dz，其a為常數(shù)（3）Cf (z) g(z)dz C f(z)dzC g(z)dzf (z)| （4）設曲線C Lmax， C | f (z)|ds MLf (z)dz-基本定基本定）f(z在以-基本定基本定）f(z在以簡單閉-線C為邊界的有界閉區(qū)DD上連續(xù)，f (z)dz 例 設C 為|z|2的正向， dz 0z

6、C復合閉設簡單閉曲線,C1 ,復合閉設簡單閉曲線,C1 ,，其中C1 ,Cn 互不相交互不包含，且均在C0 ，CC 01n順,為復合閉路，并規(guī)定C的正向為C 逆時針01n針定理 3.2（復合閉路定理）設多連通區(qū)域 D 的邊界為合閉路C 定理 3.2（復合閉路定理）設多連通區(qū)域 D 的邊界為合閉路C C f(zDD上01n續(xù)，（1）f (z)dz f(z)dzf (z)dzf (z)dzC01n（2） f(z)dz01n閉路變形原在區(qū)D的函數(shù) f (z) 沿閉曲線的閉路變形原在區(qū)D的函數(shù) f (z) 沿閉曲線的積分，不因閉曲在 D 內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值例 設曲線C為包z0 的任意一條正向簡單

7、閉曲線，n為nn(z(z)n)n|r00C的正向圓周|z其中Cr 為在2z1|z|例，其中 為包的正2z1|z|例，其中 為包的正向簡2閉曲線2z1 1 解一zz2z1dz 1dzz dzzzz0，0 使正向圓解二C1：|z|r1， C2 ：|z0，0 使正向圓解二C1：|z|r1， C2 ：|z1|互不相交、互不包含，且均在 ，2z1dz 2z12z1 z zzzzz1dz dzz1z1zzCCCC1122積分公積分公式積分公式）f(z在區(qū)D，C定理積分公積分公式積分公式）f(z在區(qū)D，C定理D內(nèi)任意一條正向簡單閉曲線C 所圍區(qū)域 Dz0 ，1f (z)2i zf (z ) 00C例 設C

8、為|z|4的正向，2Cdz 2i212zz2z1|z|例，其中 為包的正向簡2閉曲線解三0，2z1|z|例，其中 為包的正向簡2閉曲線解三0，0 使正向圓C1：|z|r1， C2 ：|z1|互不相交、互不包含，且均在 ，2z1dz 2z12z1 z z zzzz2i2z12i2z14z1zzz函數(shù)的高階導f(z在區(qū)Df(z在區(qū)D定理有任意階導數(shù)，n!f 函數(shù)的高階導f(z在區(qū)Df(z在區(qū)D定理有任意階導數(shù)，n!f (z)2i(z)(n)(f，(n1,2,0)n0C所圍區(qū)域 其中C D 內(nèi)任意一條正向簡單閉曲線 D，例 設C 為|z|2的正向，cos (z(4)1cos dz (5zCez例 計

9、算dz，其中C 為不經(jīng)z 0z z(zez例 計算dz，其中C 為不經(jīng)z 0z z(zC的任意一條正向簡單閉曲線（1）z 0z 1C 外，ezdz z(zC（2）z 0在C z 1在C 外，ezezC2dz z(z(z3z（3）若z 1C z 0在C 外，2iezezz(z（3）若z 1C z 0在C 外，2iezezz(zdz 2zCz0r2 0（4）z0z 1均在C 正向圓周C1：|z|r1C2：|z1|r2互不相交互不包含且均C ，ezezezCdz z(zz(zz(z 2iei i(e3.3函數(shù)與不定積,z1 D3.3函數(shù)與不定積,z1 D ，則對任意 f (z在單連通區(qū)D 若C1、C

10、2 均是z0 為起點z1 為終點的分段光滑曲線，f(z)dz f (z)dz12z0 為起點，z1 為終點的積分與路徑無關僅依賴于記,z1 z1f (z)dzD f(z在單連通區(qū)D定理D f(z在單連通區(qū)D定理則對于任z D F(z) zf()dz0F(z) f (zDf (z在單連通區(qū)D內(nèi)連續(xù)，f (z沿定理 意閉曲線的積分為零，定z0 D，則對于任zDzf()dF(z) z0F(z) f (zD為區(qū)域若對于任zD ，有D定義 設(z為區(qū)域若對于任zD ，有D定義 設(z) f (z) ，則稱(zf(zD內(nèi)的一個原函數(shù)，定f(z在單連通區(qū)D（1）對于任意常數(shù) zf()d F(z) z0f(z的原函數(shù)（2）若G(z) 為 f (z) 的一個原函數(shù)，zf()dG(z)G(z ) 0z0注意f (z) 的原注意f (z) 的原函數(shù)的一般表達式也稱f(z的不定積分， f (z)dz即z f (z)dzC為任意常數(shù)f()d z0i例 z 1z i的直線段，11tan z解i11tan 1dz tan ztani例 z 1z i的直線段，11tan z解i11tan 1dz tan zt