多目標(biāo)決策基本概念、決策方法和模型

1、多目標(biāo)決策基本概念、決策方法和模型13.1 基本概念13.2 決策方法13.3 多目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)決策分析模型13.4 有限個(gè)方案多目標(biāo)決策問(wèn)題的分析方法13.5 層次分析法（AHP）思考與練習(xí)13.1 基本概念 例13.1 房屋設(shè)計(jì)。某單位計(jì)劃建造一棟家屬樓,在已經(jīng)確定地址及總建筑面積的前提下,作出了三個(gè)設(shè)計(jì)方案,現(xiàn)要求根據(jù)以下5個(gè)目標(biāo)綜合選出最佳的設(shè)計(jì)方案： (1） 低造價(jià)（每平方米造價(jià)不低于500元,不高于700元） (2） 抗震性能（抗震能力不低于里氏5級(jí),不高于7級(jí)）；(3） 建造時(shí)間（越快越好）；(4） 結(jié)構(gòu)合理（單元?jiǎng)澐?、生活設(shè)施及使用面積比例等設(shè)計(jì)合理）；(5） 造型美觀（評(píng)價(jià)越高越好

2、）。這三個(gè)方案的具體評(píng)價(jià)如表所示。 表13.1 三種房屋設(shè)計(jì)方案的目標(biāo)值1 多目標(biāo)決策問(wèn)題的基本特點(diǎn)例就是一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題。類似的例子可以舉出很多。多目標(biāo)決策問(wèn)題除了目標(biāo)不止一個(gè)這一明顯的特點(diǎn)外,最顯著的有以下兩個(gè)特點(diǎn)：目標(biāo)間的不可公度性和目標(biāo)間的矛盾性。所謂目標(biāo)間的不可公度性, 是指各個(gè)目標(biāo)沒有統(tǒng)一的度量標(biāo)準(zhǔn),因而難以直接進(jìn)行比較。例如房屋設(shè)計(jì)問(wèn)題中,造價(jià)的單位是元/平方米,建造時(shí)間的單位是年,而結(jié)構(gòu)、造型等則為定性指標(biāo)。所謂目標(biāo)間的矛盾性, 是指如果選擇一種方案以改進(jìn)某一目標(biāo)的值,可能會(huì)使另一目標(biāo)的值變壞。如房屋設(shè)計(jì)中造型、抗震性能的提高,可能會(huì)使房屋建造成本提高。 2 多目標(biāo)問(wèn)題的三個(gè)

3、基本要素一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題一般包括目標(biāo)體系、備選方案和決策準(zhǔn)則三個(gè)基本因素。目標(biāo)體系是指由決策者選擇方案所考慮的目標(biāo)組及其結(jié)構(gòu)。備選方案是指決策者根據(jù)實(shí)際問(wèn)題設(shè)計(jì)出的解決問(wèn)題的方案。有的被選方案是明確的、有限的,而有的備選方案不是明確的,還有待于在決策過(guò)程中根據(jù)一系列約束條件解出。 決策準(zhǔn)則是指用于選擇方案的標(biāo)準(zhǔn)。通常有兩類： 一類是最優(yōu)準(zhǔn)則,可以把所有方案依某個(gè)準(zhǔn)則排序；另一類是滿意準(zhǔn)則,它犧牲了最優(yōu)性,使問(wèn)題簡(jiǎn)化,把所有方案分為幾個(gè)有序的子集,如“可接受”與“不可接受”,“好的”、“可接受的”、“不可接受的”與“壞的”。 3 幾個(gè)基本概念1） 劣解和非劣解劣解：如某方案的各目標(biāo)均劣于其它目

4、標(biāo),則該方案可以直接舍去。這種通過(guò)比較可直接舍棄的方案稱為劣解。非劣解：既不能立即舍去,又不能立即確定為最優(yōu)的方案稱為非劣解。非劣解在多目標(biāo)決策中起非常重要的作用。 圖13.1 劣解與非劣解單目標(biāo)決策問(wèn)題中的任意兩個(gè)方案都可比較優(yōu)劣,但在多目標(biāo)時(shí)任何兩個(gè)解不一定都可以比較。如圖所示,希望f1和f2兩個(gè)目標(biāo)越大越好,則方案A和B、方案D和E相比就無(wú)法簡(jiǎn)單定出其優(yōu)劣。但是方案E和方案I比較,顯然E比I劣。而對(duì)方案I和H來(lái)說(shuō),沒有其它方案比它們更好。而其它的解,有的兩對(duì)之間無(wú)法比較,但總能找到令一個(gè)解比它們優(yōu)。I、H這一類解就叫非劣解,而A、B、C、D、E、F、G叫作劣解。如果能夠判別某一解是劣解,

5、則可淘汰之。如果是非劣解,因?yàn)闆]有別的解比它優(yōu),就無(wú)法簡(jiǎn)單淘汰。倘若非劣解只有一個(gè),當(dāng)然就選它。問(wèn)題是在一般情況下非劣解遠(yuǎn)不止一個(gè),這就有待于決策者選擇。 對(duì)于m個(gè)目標(biāo),一般用m個(gè)目標(biāo)函數(shù)f1(x), f2(x), , fm(x)刻畫,其中x表示方案,而x的約束就是備選方案范圍。最優(yōu)解：設(shè)最優(yōu)解為x*,它滿足fi(x*)fi(x) i=1, 2, , n （）2） 選好解在處理多目標(biāo)決策時(shí),先找最優(yōu)解。若無(wú)最優(yōu)解,就盡力在各待選方案中找出非劣解,然后在非劣解之間權(quán)衡,從中找出一個(gè)比較滿意的方案。這個(gè)比較滿意的方案就稱為選好解。單目標(biāo)決策主要是通過(guò)對(duì)各方案兩兩比較,即通過(guò)辨優(yōu)的方法來(lái)求得最優(yōu)方案

6、。而多目標(biāo)決策除了需要辨優(yōu)以確定哪些方案是劣解或非劣解外,還需要通過(guò)權(quán)衡的方法來(lái)求得決策者認(rèn)為比較滿意的解。權(quán)衡的過(guò)程實(shí)際上就反映了決策者的主觀價(jià)值和意圖。 13.2 決策方法13.2.1 化多目標(biāo)為單目標(biāo)的方法1. 主要目標(biāo)優(yōu)化兼顧其它目標(biāo)的方法 設(shè)有m個(gè)目標(biāo)f1(x),f2(x),fm(x),xR均要求為最優(yōu),但在這m個(gè)目標(biāo)中有一個(gè)是主要目標(biāo),例如為f1(x),并要求其為最大。在這種情況下,只要使其它目標(biāo)值處于一定的數(shù)值范圍內(nèi),即 fifi(x)fii=2, 3, , m就可把多目標(biāo)決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化為下列單目標(biāo)決策問(wèn)題：R=x|fifi(x)fi, i=2, 3, , m; xR （）例13.

7、2 設(shè)某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品以供應(yīng)市場(chǎng)的需要。生產(chǎn)兩種產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)、原料等消耗定額及其質(zhì)量和單位產(chǎn)品利潤(rùn)等如表所示。在制定生產(chǎn)計(jì)劃時(shí),工廠決策者考慮了如下三個(gè)目標(biāo)： 計(jì)劃期內(nèi)生產(chǎn)產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為最大； 為滿足市場(chǎng)對(duì)不同產(chǎn)品的需要,產(chǎn)品A的產(chǎn)量必須為產(chǎn)品B的產(chǎn)量的倍； 為充分利用設(shè)備臺(tái)時(shí),設(shè)備臺(tái)時(shí)的使用時(shí)間不得少于11個(gè)單位。表13.2 產(chǎn)品消耗、利潤(rùn)表顯然,上述決策問(wèn)題是一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題,今若將利潤(rùn)最大作為主要目標(biāo),則后面兩個(gè)目標(biāo)只要符合要求即可。這樣,上述問(wèn)題就可變換成單目標(biāo)決策問(wèn)題,并可用線性規(guī)劃進(jìn)行求解。設(shè)x1為產(chǎn)品A的產(chǎn)量,x2為產(chǎn)品B的產(chǎn)量,則將利潤(rùn)最大作為主要目標(biāo),其它兩

8、個(gè)目標(biāo)可作為約束條件,其數(shù)學(xué)模型如下：max z=4x1x22x1+4x212(設(shè)備臺(tái)時(shí)約束)3x1+3x212(原料約束)x1x2=0(目標(biāo)約束)2x1+4x211(目標(biāo)約束)x1, x20 （） s.t.2. 線性加權(quán)和法 設(shè)有一多目標(biāo)決策問(wèn)題,共有f1(x),f2(x),fm(x)等m個(gè)目標(biāo),則可以對(duì)目標(biāo)fi(x)分別給以權(quán)重系數(shù)i（i=1,2,m）,然后構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)如下： （） 計(jì)算所有方案的F(x)值,從中找出最大值的方案,即為最優(yōu)方案。在多目標(biāo)決策問(wèn)題中,或由于各個(gè)目標(biāo)的量綱不同,或因有些目標(biāo)值要求最大而有些要求最小,則可首先將目標(biāo)值變換成效用值或無(wú)量綱值,然后再用線性加權(quán)

9、和法計(jì)算新的目標(biāo)函數(shù)值并進(jìn)行比較,以決定方案的取舍。3. 平方和加權(quán)法 設(shè)有m個(gè)目標(biāo)的決策問(wèn)題,現(xiàn)要求各方案的目標(biāo)值f1(x),f2(x),fm(x)與規(guī)定的m個(gè)滿意值f*1,f*2,f*m的差距盡可能地小,這時(shí)可以重新設(shè)計(jì)一個(gè)總的目標(biāo)函數(shù)：（）并要求min F(x),其中i是第i(i=1, 2, , m)個(gè)目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)。 4. 乘除法 當(dāng)有m個(gè)目標(biāo)f1(x),f2(x),fm(x)時(shí),其中目標(biāo)f1(x),f2(x),fk(x)的值要求越小越好,目標(biāo)fk+1(x),fm(x)的值要求越大越好,并假定fk+1(x),fm(x)都大于0。于是可以采用如下目標(biāo)函數(shù)：并要求min F(x)。 （）

10、5. 功效系數(shù)法設(shè)有m個(gè)目標(biāo)f1(x),f2(x),fm(x),其中k1個(gè)目標(biāo)要求最大,k2個(gè)目標(biāo)要求最小。賦予這些目標(biāo)f1(x), f2(x),fm(x),以一定的功效系數(shù)di(i=1, 2, , m),0 di 1。當(dāng)?shù)趇個(gè)目標(biāo)達(dá)到最滿意時(shí), di =1；最不滿意時(shí), di =0; 其它情形, di則為0、1之間的某個(gè)值。描述di與fi(x)關(guān)系的函數(shù)叫作功效函數(shù),用di=F(fi)表示。不同性質(zhì)或不同要求的目標(biāo)可以選擇不同類型的功效函數(shù),如線性功效函數(shù)、指數(shù)型功效函數(shù)等。圖所示為線性功效函數(shù)的兩種類型。圖13.2(a)所示為要求目標(biāo)值越大越好的一種類型,即fi值越大, di也越大。圖（b

11、）為要求目標(biāo)值越小越好的一種類型,即fi越小, di越大。 圖13.2 線性功效函數(shù) (a) 目標(biāo)值愈大愈好的類型；(b) 目標(biāo)值愈小愈好的類型 記maxfi(x)=fimax, minfi(x)=fimin,若要求fi(x)越大越好,則可設(shè)di(fimin) =0,di(fimax)=1,第i個(gè)目標(biāo)的功效系數(shù)di的值為 （）若要求fi(x)越小越好,則可設(shè)di(fimin)=1,di(fimax)=0,第i個(gè)目標(biāo)的功效系數(shù)di的值為 （）同理,對(duì)于指數(shù)型功效函數(shù)的兩種類型,亦可類似地確定di的取值。當(dāng)求出n個(gè)目標(biāo)的功效系數(shù)后,即可設(shè)計(jì)一個(gè)總的功效系數(shù),設(shè)以 （）作為總的目標(biāo)函數(shù),并使得D最大

12、。從上述計(jì)算D的公式可知,D的數(shù)值介于0、1之間。當(dāng)D=1時(shí),方案為最滿意, D=0時(shí),方案為最差。另外,當(dāng)某方案第i目標(biāo)的功效系數(shù)di=0時(shí),就會(huì)導(dǎo)致D=0,這樣人們也就不會(huì)選擇該方案了。13.2.2 重排次序法 例13.3 設(shè)某新建廠選擇廠址共有n個(gè)方案m個(gè)目標(biāo)。由于對(duì)m個(gè)目標(biāo)重視程度不同,事先可按一定方法確定每個(gè)目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)。若用fij表示第i個(gè)方案的第j個(gè)目標(biāo)的目標(biāo)值，則可列表如表所示。表13.3 n個(gè)方案的m個(gè)目標(biāo)值 （1） 無(wú)量綱化。為了便于重排次序,可先將不同量綱的目標(biāo)值fij變成無(wú)量綱的數(shù)值yij。變換的方法是：對(duì)目標(biāo)fj,如要求越大越好,則先從n個(gè)待選方案中找出第j個(gè)目標(biāo)的

13、最大值確定為最好值,而其最小值為最差值。即并相應(yīng)地規(guī)定 fibjyibj=100 fiwjyiwj=1而其它方案的無(wú)量綱值可根據(jù)相應(yīng)的f的取值用線性插值的方法求得。 對(duì)于目標(biāo)fi,如要求越小越好,則可先從n個(gè)方案中的第j個(gè)目標(biāo)中找出最小值為最好值,而其最大值為最差值?？梢?guī)定fibjyibj=1,fiwjyiwj=100。其它方案的無(wú)量綱值可類似求得。這樣就能把所有的fij變換成無(wú)量綱的yij。(2) 通過(guò)對(duì)n個(gè)方案的兩兩比較,即可從中找出一組“非劣解”,記作B,然后對(duì)該組非劣解作進(jìn)一步比較。(3) 通過(guò)對(duì)非劣解B的分析比較,從中找出一個(gè)“選好解”,最簡(jiǎn)單的方法是設(shè)一新的目標(biāo)函數(shù)iB （） 若F

14、i值為最大,則方案i為最優(yōu)方案。13.2.3 分層序列法分層序列法是把目標(biāo)按照重要程度重新排序,將重要的目標(biāo)排在前面,例如已知排成f1(x),f2(x),fm(x)。然后對(duì)第1個(gè)目標(biāo)求最優(yōu),找出所有最優(yōu)解集合,用R1表示,接著在集合R1范圍內(nèi)求第2個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解,并將這時(shí)的最優(yōu)解集合用R2表示,依此類推,直到求出第m個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解為止。將上述過(guò)程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述,即 i=1, 2, , m-1; R0=R (13.11) 這種方法有解的前提是R1,R2,Rm-1等集合非空,并且不止一個(gè)元素。 但這在解決實(shí)際問(wèn)題中很難做到。于是又提出了一種允許寬容的方法。所謂“寬容”, 是指當(dāng)求解后一目標(biāo)最優(yōu)時(shí),

15、不必要求前一目標(biāo)也達(dá)到嚴(yán)格最優(yōu),而是在一個(gè)對(duì)最優(yōu)解有寬容的集合中尋找。這樣就變成了求一系列帶寬容的條件極值問(wèn)題,也就是 i=1, 2, , m-1; R0=R (13.12) 13.3 多目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)決策分析模型多目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)決策分析模型可表述為： 假設(shè)有n個(gè)目標(biāo),m個(gè)備選方案（A1, A2, , Am）,第i個(gè)備選方案Ai面臨li個(gè)自然狀態(tài),這li個(gè)自然狀態(tài)發(fā)生的概率分別為pi1, pi2, , pili；方案Ai在其第k個(gè)自然狀態(tài)下的n個(gè)后果值分別為 (1) ik, (2) ik, , (n) ik。如圖所示。圖13.3 多目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)型決策模型各方案中各目標(biāo)的期望收益值分別為(13.13)這樣,便把

16、有限個(gè)方案的多目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為有限方案的多目標(biāo)確定型決策問(wèn)題： （13.14) 13.4 有限個(gè)方案多目標(biāo)決策問(wèn)題的分析方法13.4.1 基本結(jié)構(gòu)這一問(wèn)題可表述為：從現(xiàn)有的m個(gè)備選方案A1, A2, , Am中選取最優(yōu)方案（或最滿意方案）,決策者決策時(shí)要考慮的目標(biāo)有n個(gè)：G1, G2, , Gn。決策者通過(guò)調(diào)查評(píng)估得到的信息可用表表示（其中aij表示第i個(gè)方案的第k個(gè)后果值）。表13.4 有限個(gè)方案多目標(biāo)決策問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)顯然這一表式結(jié)構(gòu)可用矩陣表示為這個(gè)矩陣稱為決策矩陣,它是大多數(shù)決策分析方法進(jìn)行決策的基礎(chǔ)。決策準(zhǔn)則為（）其中j為第j個(gè)目標(biāo)的權(quán)重。 （） 13.4.2 決策矩陣的規(guī)

17、范化1 向量規(guī)范化令（）這種變換把所有目標(biāo)值都化為無(wú)量綱的量,且都處于(0,1)范圍內(nèi)。但這種變換是非線性的,變換后各屬性的最大值和最小值并不是統(tǒng)一的,即最小值不一定為0,最大值不一定為1,有時(shí)仍不便比較。2 線性變換如目標(biāo)為效益（目標(biāo)值愈大愈好）,可令 （）顯然0bij1。如目標(biāo)為成本（目標(biāo)值愈小愈好）,令 （）同樣有0bij1。這種變換是線性的,變換后的相對(duì)數(shù)量和變換前相同。 3 效用值法把每一目標(biāo)的各后果值轉(zhuǎn)化為效用值。4其它變換在決策矩陣中如果既有效益目標(biāo)又有成本目標(biāo),則采用上述變換就產(chǎn)生了困難,因?yàn)樗鼈兊幕c(diǎn)不同。這就是說(shuō),變換后最好的效益目標(biāo)和最好的成本目標(biāo)有不同的值,不便于比較。

18、如果把成本目標(biāo)變換修改為 （） 這樣基點(diǎn)就可以統(tǒng)一起來(lái)。一種更復(fù)雜的變換是,對(duì)于效益,令（） （） 對(duì)于成本,令 13.4.3 確定權(quán)的方法1老手法首先,選聘一批對(duì)所研究的問(wèn)題有充分見解的L個(gè)老手（即專家或有豐富經(jīng)驗(yàn)的實(shí)際工作者）,請(qǐng)他們各自獨(dú)立地對(duì)n個(gè)目標(biāo)Gi（i=1, 2, , n）給出相應(yīng)的權(quán)重。設(shè)第j位老手所提供的權(quán)重方案為 w1j, w2j, , wnjj=1, 2, , L （）它們滿足wij0, i=1, 2, , n, , 則匯集這些方案可列出如表所示的權(quán)重方案表。 表13.5 老手法所得到的權(quán)重方案表表中 設(shè)給定允許0,檢驗(yàn)由上式確定的各方差估值。如果上述各方差估值的最大者不

19、超過(guò)規(guī)定的,即若 i=1, 2, , n j=1, 2, ,L 則說(shuō)明各老手所提供的方案沒有顯著的差別,因而是可接受的。此時(shí),就以w1, w2, , wn作為對(duì)應(yīng)各目標(biāo)G1, G2, , Gn的權(quán)重。如果上式不滿足,則需要和那些對(duì)應(yīng)于方差估值大的老手進(jìn)行協(xié)商,充分交換意見,消除誤解（但不交流各老手所提出的權(quán)重方案）,然后,讓他們重新調(diào)整權(quán)重,并將其再列入權(quán)重方案表。重復(fù)上述過(guò)程,最后得到一組滿意的權(quán)重均值作為目標(biāo)的權(quán)重。2 環(huán)比法這種方法先隨意把各目標(biāo)排成一定順序,接著按順序比較兩個(gè)目標(biāo)的重要性,得出兩目標(biāo)重要性的相對(duì)比率環(huán)比比率,然后再通過(guò)連乘把此環(huán)比比率換算為都以最后一個(gè)目標(biāo)為基數(shù)的定基比

20、率,最后再歸一化為權(quán)重。設(shè)某決策有五個(gè)目標(biāo),下面按順序來(lái)求其權(quán)重,見表。 表13.6 用環(huán)比法求權(quán)重表第二列是各目標(biāo)重要性的環(huán)比比率,是按順序兩兩對(duì)比而求得的,它可以通過(guò)向決策者或?qū)＜易稍兌玫健＠缭摿械谝粋€(gè)數(shù)值為2,它表示目標(biāo)A對(duì)決策的重要性相當(dāng)于目標(biāo)B的2倍；第2個(gè)數(shù)字為0.5,它表明目標(biāo)B對(duì)決策的重要性值相當(dāng)于目標(biāo)C的一半,其余類推。第三列的數(shù)據(jù)是通過(guò)第二列計(jì)算得到的,即以目標(biāo)E（排在最后的目標(biāo)）對(duì)決策的重要性為基數(shù),令其重要性為1,由于目標(biāo)D的重要性相當(dāng)于E目標(biāo)的倍,所以換算為定基比率仍是1.5,即11.5=1.5,由于目標(biāo)C的重要性相當(dāng)于目標(biāo)D的3倍,所以目標(biāo)C的重要性相當(dāng)于目標(biāo)E

21、的倍,即目標(biāo)的定基比率為4.5,其余類推。把各目標(biāo)的重要性比率換算更為以目標(biāo)E為基數(shù)的定基比率后,求得這些比率的總和為13.75,即第三列的合計(jì)數(shù),然后把第三列中各行的數(shù)據(jù)分別除以這個(gè)合計(jì)數(shù)就得到了歸一化的權(quán)重值,列于表的最后一列。值得注意的是,上述方法的前提是決策者對(duì)于各目標(biāo)間相對(duì)重要性的認(rèn)識(shí)是完全一致的,沒有矛盾,可實(shí)際上決策者對(duì)各目標(biāo)相對(duì)重要性的認(rèn)識(shí)有時(shí)不完全一致,致使這種方法不適用。一般可改用權(quán)的最小平方法或下面其它方法。 3 權(quán)的最小平方法這種方法也是把各目標(biāo)的重要性作成對(duì)比較,如把第i個(gè)目標(biāo)對(duì)第j個(gè)目標(biāo)的相對(duì)重要性的估計(jì)值記作aij（i, j=1, 2, , n）,并近似地認(rèn)為就是

22、這兩個(gè)目標(biāo)的權(quán)重wi和wj的比wi/wj。如果決策人對(duì)aij（i, j=1, 2, , n）的估計(jì)一致,則aij=wi/wj,否則只有aij wi/wj,即aijwj-wi0?？梢赃x擇一組權(quán)w1, w2, , wn,使 為最小,其中wi（i=1, 2, , n）滿足 ,且wi0。如用拉格朗日乘數(shù)法解此有約束的優(yōu)化問(wèn)題,則拉格朗日函數(shù)為將上式對(duì)wk微分,得到(13.26) k=1, 2, , n (13.27)式（）和 構(gòu)成一個(gè)非齊次線性方程組,有n+1個(gè)未知數(shù),可求得一組惟一的解。式（）也可寫成矩陣形式： Bw=m （13.28)式中w=w1 w2 wnT, m=- - -T 4 強(qiáng)制決定法例

23、13.4 考慮一個(gè)機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)方案決策,設(shè)其目標(biāo)有：靈敏度、可靠性、耐沖擊性、體積、外觀和成本共6項(xiàng),首先畫一個(gè)棋盤表格如表所示。其中打分所用列數(shù)為15（如目標(biāo)數(shù)為n,則打分所用列數(shù)為n(n-1)/2）。在每個(gè)列內(nèi)只打兩個(gè)分,即在重要的那個(gè)目標(biāo)行內(nèi)打1分,次要的那個(gè)目標(biāo)行內(nèi)打0分。該列的其余各行任其空著。表13.7 機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)方案選優(yōu)決策中權(quán)重的計(jì)算13.5 層次分析法（AHP）13.5.1 多級(jí)遞階結(jié)構(gòu)用層次分析法分析的系統(tǒng),其多級(jí)遞階結(jié)構(gòu)一般可以分成三層,即目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層。目標(biāo)層為解決問(wèn)題的目的,要想達(dá)到的目標(biāo)。準(zhǔn)則層為針對(duì)目標(biāo)評(píng)價(jià)各方案時(shí)所考慮的各個(gè)子目標(biāo)（因素或準(zhǔn)則）,可以逐

24、層細(xì)分。方案層即解決問(wèn)題的方案。 圖13.4 遞階層次結(jié)構(gòu)例13.5 某城市鬧市區(qū)域的某一商場(chǎng)附近,由于顧客過(guò)于稠密,常常造成車輛阻塞以及各種交通事故。市政府決定改善鬧市區(qū)的交通環(huán)境。經(jīng)約請(qǐng)各方面專家研究,制定出三種可供選擇的方案：A1：在商場(chǎng)附近修建天橋一座,供行人橫穿馬路；A2：同樣目的,在商場(chǎng)附近修建一條地下行人通道；A3：搬遷商場(chǎng)。試用決策分析方法對(duì)三種備選方案進(jìn)行選擇。這是一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題。在改變鬧市區(qū)交通環(huán)境這一總目標(biāo)下,根據(jù)當(dāng)?shù)氐木唧w情況和條件,制定了以下5個(gè)分目標(biāo)作為對(duì)備選方案的評(píng)價(jià)和選擇標(biāo)準(zhǔn)：C1：通車能力；C2：方便過(guò)往行人及當(dāng)?shù)鼐用?；C3：新建或改建費(fèi)用不能過(guò)高；C4：

25、具有安全性；C5：保持市容美觀。其層次結(jié)構(gòu)如圖所示。遞階層次結(jié)構(gòu)建立的合適與否,對(duì)于問(wèn)題的求解起著關(guān)鍵的作用。但這在很大程度上取決于決策者的主觀判斷。這就要求決策者對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)、問(wèn)題所包含的要素以及相互之間的邏輯關(guān)系有比較透徹的理解。圖13.5 改善市區(qū)交通環(huán)境的層次結(jié)構(gòu)13.5.2 判斷矩陣 判斷矩陣是層次分析法的基本信息,也是計(jì)算各要素權(quán)重的重要依據(jù)。1. 建立判斷矩陣設(shè)對(duì)于準(zhǔn)則H,其下一層有n個(gè)要素A1,A2,An。以上一層的要素H作為判斷準(zhǔn)則,對(duì)下一層的n個(gè)要素進(jìn)行兩兩比較來(lái)確定矩陣的元素值,其形式如下： H A1 A2 Aj An A1 a11 a12 a1j a1n A2 a21

26、a22 a2j a2n Ai ai1 ai2 aij ain An an1 an2 anj annaij表示以判斷準(zhǔn)則H的角度考慮要素Ai對(duì)Aj的相對(duì)重要程度。若假設(shè)在準(zhǔn)則H下,要素A1,A2,An的權(quán)重分別為w1, w2, , wn, 即W=w1 w2 wnT,則aij=wi/wj。 矩陣 稱為判斷矩陣。2. 判斷尺度 判斷矩陣中的元素aij是表示兩個(gè)要素的相對(duì)重要性的數(shù)量尺度,稱做判斷尺度，其取值如表所示。（） 表13.8 判斷尺度的取值 由表可知：若Ai比Aj重要,則aij=wi/wj=5,反之,若Aj比Ai重要,則aij=1/aji=1/5。13.5.3 相對(duì)重要度及判斷矩陣的最大特征

27、值max的計(jì)算在應(yīng)用層次分析法進(jìn)行系統(tǒng)評(píng)價(jià)和決策時(shí),需要知道Ai關(guān)于H的相對(duì)重要度,也就是Ai關(guān)于H的權(quán)重。我們的問(wèn)題歸結(jié)為：已知 求W=w1 w2 wnT。知W是矩陣A的特征值為n的特征向量。當(dāng)矩陣A的元素aij滿足aii=1, 時(shí),A具有惟一的非零最大特征值max,且max（） 由于判斷矩陣A的最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量即為W,為此,可以先求出判斷矩陣的最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量,再經(jīng)過(guò)歸一化處理,即可求出Ai關(guān)于H的相對(duì)重要度。求法如下：(1) 用計(jì)算方法中的乘冪法等方法求。(2) 用方根法求：然后對(duì)W=w1 w2 wnT進(jìn)行歸一化處理,即 i=1, 2, , n 其結(jié)果就是Ai關(guān)于H的

28、相對(duì)重要度。最大特征值max為其中（AW) i為向量AW的第i個(gè)元素。(3) 用和積法求： 將判斷矩陣每一列歸一化； 列歸一化后的判斷矩陣按行相加得 再對(duì)其正規(guī)化處理即可。max的求法同方根法。13.5.4 相容性判斷判斷矩陣的三個(gè)性質(zhì)中的前兩個(gè)容易被滿足,第三個(gè)“一致性”則不易保證。如所建立的判斷矩陣有偏差,則稱為不相容判斷矩陣,這時(shí)就有AW=maxW若矩陣A完全相容,則有max=n,否則maxn。這就提示我們可以用max -n的大小來(lái)度量相容的程度。 度量相容性的指標(biāo)為C.I.(Consistence Index), C.I. (13.31) 一般情況下,若C.I. 0.10,就可認(rèn)為判斷

29、矩陣A有相容性,據(jù)此計(jì)算的W是可以接受的,否則重新進(jìn)行兩兩比較判斷。判斷矩陣的維數(shù)n越大,判斷的一致性將越差,故應(yīng)放寬對(duì)高維判斷矩陣一致性的要求,于是引入修正值R.I.,見表13.9,并取更為合理的C.R. 作為衡量判斷矩陣一致性的指標(biāo)。C.R.= （） 表13.9 相容性指標(biāo)的修正值 13.5.5 綜合重要度的計(jì)算在計(jì)算了各層次要素對(duì)其上一級(jí)要素的相對(duì)重要度以后,即可自上而下地求出各層要素關(guān)于系統(tǒng)總體的綜合重要度（也叫做系統(tǒng)總體權(quán)重）。其計(jì)算過(guò)程如下：設(shè)有目標(biāo)層A、準(zhǔn)則層C、方案層P構(gòu)成的層次模型（對(duì)于層次更多的模型,其計(jì)算方法相同）,準(zhǔn)則層C 對(duì)目標(biāo)層A的相對(duì)權(quán)重為方案層 n個(gè)方案對(duì)準(zhǔn)則層

30、的各準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重為 （） l=1, 2, , n （） 這n個(gè)方案對(duì)目標(biāo)而言,其相對(duì)權(quán)重是通過(guò)權(quán)重與 (l=1, 2, , n)組合而得到的,其計(jì)算可采用表格式進(jìn)行（見表）。表13.10 綜合重要度的計(jì)算13.5.6 算例假設(shè)某高校正在進(jìn)行教師的評(píng)優(yōu)工作,需考慮的指標(biāo)有學(xué)識(shí)水平、科研能力和教學(xué)工作。學(xué)識(shí)水平主要通過(guò)發(fā)表論文的級(jí)別和數(shù)量來(lái)評(píng)價(jià)?？蒲心芰νㄟ^(guò)在研項(xiàng)目和已完成項(xiàng)目的情況進(jìn)行評(píng)判。教學(xué)工作分兩種情況,對(duì)于任課教師,根據(jù)教學(xué)工作量和學(xué)生反映情況打分；對(duì)于非任課教師,從日常工作量和質(zhì)量方面評(píng)估?，F(xiàn)應(yīng)用層次分析法對(duì)待評(píng)教師的綜合素質(zhì)進(jìn)行評(píng)價(jià)。 整個(gè)層次結(jié)構(gòu)分為三層,最高層即問(wèn)題分析的總目標(biāo),即要評(píng)選出優(yōu)秀教師；第二層是準(zhǔn)則層,包括上述的三種指標(biāo)；第三層是方案層,即參加評(píng)優(yōu)的教師。假設(shè)對(duì)五位候選教師進(jìn)行評(píng)優(yōu)工作,其中P2、P3和P4為任課教師,需要從學(xué)識(shí)水平、科研能力和教學(xué)工作三方面評(píng)估其綜合素質(zhì)；教師P5是科研人員,學(xué)校對(duì)其沒有教學(xué)任務(wù),故只需從前兩個(gè)方面衡量；教師P1是行政人員,沒有科研任務(wù),只需從學(xué)識(shí)水平和教學(xué)工作兩方面衡量。各位教師在三個(gè)指標(biāo)上表現(xiàn)不同,建立這種層次結(jié)構(gòu)后，問(wèn)題分析歸結(jié)為各位教師相對(duì)于總目標(biāo)的優(yōu)先次序。(1) 建立遞階層次結(jié)構(gòu),如圖所示。圖13.6 教師評(píng)優(yōu)的遞階層次結(jié)構(gòu)(2)