絕對(duì)值三角不等式以及其應(yīng)用

1、關(guān)于絕對(duì)值三角不等式及其應(yīng)用第一張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月關(guān)于絕對(duì)值還有什么性質(zhì)呢?表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離.|a|AaOx|a|=一、復(fù)習(xí)回顧幾何意義:絕對(duì)值的性質(zhì):第二張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明:10 .當(dāng)ab0時(shí), 20. 當(dāng)ab0時(shí), 綜合10,20知定理成立.第四張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月探究 你能根據(jù)定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的其他關(guān)系嗎？ |a-b|a|+|b|, |a|-|b|a+b|,

2、|a|-|b|a-b|. 如果a, b是實(shí)數(shù)，那么 |a|-|b|ab|a|+|b|什么時(shí)候等號(hào)成立？第六張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理2 如果a, b, c是實(shí)數(shù)，那么 |a-c|a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時(shí)，等號(hào)成立。證明：根據(jù)絕對(duì)值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時(shí)，等號(hào)成立。第七張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用第八張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證:證明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3

3、(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3=5.所以 |2x+3y-2a-3b|5.典例分析第九張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2:兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工,這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū),每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次,要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處?第十張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月分析:如果生活區(qū)建于公路路碑的第x km處,兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和為S(x) km.那么S(x)=2(|x-10|+|x

4、-20|)故實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題:當(dāng)x取何值時(shí),函數(shù)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.解:設(shè)生活區(qū)應(yīng)該建于公路路碑的第x km處,兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和為S(x) km,則:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)第十一張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月S(x)=2(|x-10|+|x-20|)我們先來(lái)考察它的圖像:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)=OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)60-4x0 x10201020第十二張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10

5、|+|x-20|=|x-10|+|20-x|(x-10)+(20-x)|=10當(dāng)且僅當(dāng)(x-10)(20-x)0時(shí)取等號(hào).又解不等式: (x-10)(20-x)0 得: 10 x20故當(dāng)10 x20時(shí), 函數(shù)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取最小值20.OxS102030204060S(x)=2(|x-10|+|x-20|)第十三張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a，bR）的 定義域?yàn)?1，1，且|f(x)|的最大值為M. (1)證明： |1+b|M; (2)當(dāng) 時(shí)，試求出f（x）的解析式. 由|f(x)|在-1，1上的最大值為M 建立不

6、等式M|f（1）|，M|f（0）|，M |f（-1）|是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.第十四張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（1）證明 M|f（-1）|=|1-a+b|，M|f（1）|=|1+a+b|，2M|1-a+b|+|1+a+b|（1-a+b）+（1+a+b）|=2|1+b|，M|1+b|.（2）證明 依題意，M|f（-1）|，M|f（0）|，M|f（1）|，又f（-1）=|1-a+b|，|f（1）|=|1+a+b|，|f（0）|=|b|，4M|f（-1）|+2|f（0）|+|f（1）|=|1-a+b|+2|b|+|1+a+b|（1-a+b）-2b+（1+a+b）|=2，第十五張，PPT共二十

7、頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（3）解第十六張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 證明含有絕對(duì)值的不等式，其思路有兩種：（1）恰當(dāng)運(yùn)用|a|-|b|ab|a|+|b|進(jìn)行放縮，并注意不等號(hào)的傳遞性及等號(hào)成立的條件；（2）把含有絕對(duì)值的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式，再利用比較法、綜合法及分析法進(jìn)行證明.第十七張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 例4 設(shè)f(x)=ax2+bx+c，當(dāng)|x|1時(shí)，總有 |f(x)|1,求證：|f（2）|8. 證明 方法一 當(dāng)|x|1時(shí),|f（x）|1， |f（0）|1，即|c|1. 又|f（1）|1，|f（-1）|1， |a+b+c|1，|a-b+c|1. 又|a+b+c|+|a-b+c|+2|c| |a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|， 且|a+b+c|+|a-b+c|+2|c|4， |a|2.第十八張，PPT共二十頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月|2b|=|a+b+c-（a-b+c）|a+b+c|+|a-b+c|2，|b|1，|f（2）|=|4a+2b+c|=|f（1）+3a+b|f（1）|+3|a|+|b|1+6+1=8，即|f（2）|8.方法二 當(dāng)|x|