函數(shù)最值和極值的解法及其在生活當(dāng)中的應(yīng)用

1、摘要 I摘要 II編號(hào)5? * 1施滋修i醫(yī)Sichuan University foNationalities本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題 目：函數(shù)最值和極值的解法及其在生活當(dāng)中的應(yīng)用系部名稱：數(shù)學(xué)系專業(yè)名稱：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí):2009級(jí)本科2班學(xué)生姓名:xxx學(xué) 號(hào)：xxx指導(dǎo)教師：xxx 職稱/學(xué)歷： 副教授成評(píng)價(jià)方式指導(dǎo)教師評(píng)閱人答辯小組最終評(píng)定績(jī)及比例評(píng)價(jià)（60%）評(píng)價(jià)（20%）評(píng)價(jià)（20%）成績(jī)等級(jí)評(píng)成績(jī)定折算后成績(jī)?cè)u(píng)定等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)：“優(yōu)”（90分以上）；良”（8089）;中”（7079） 及格”（6069）;不及格”（60以下）.年 月 日數(shù)學(xué)系四川民族學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

2、摘要數(shù)學(xué)應(yīng)用是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要任務(wù).本論文將通過函數(shù)最值和極值的相關(guān)定 義、聯(lián)系、區(qū)別以及最值與極值的求解方法，并系統(tǒng)的闡述函數(shù)最值和極值，這是及其重 要而且基礎(chǔ)的函數(shù)性質(zhì)，使其讓大家意識(shí)到函數(shù)最值和極值問題是與實(shí)際問題有著密切 關(guān)系的.最后可以運(yùn)用出函數(shù)最值和極值的知識(shí)，解決實(shí)際生活中的相關(guān)的問題.首先提出函數(shù)最值和函數(shù)最值相關(guān)理論的定義 .又給出了函數(shù)極值的三個(gè)充分條件 （即第一充分條件、第二充分條件、第三充分條件 ）和函數(shù)最值與上（下）確界的關(guān)系； 其次給出了函數(shù)極值和函數(shù)最值的一些求解方法 （如極值的一般求法、利用極值的第一、 第二、第三的充分條件求極值和最值的導(dǎo)數(shù)一般求法、轉(zhuǎn)換法

3、、幾何法、參數(shù)法、以及 不等式的證明等）；然后利用這些方法對(duì)一些實(shí)際生活中的一些問題加以解決 （如路程于 經(jīng)費(fèi)的問題、用固定的材料制作體積最大的容積、在物理學(xué)中變阻器消耗最大電功率、 凸函數(shù)的極小值等的一些問題），還有生活中的一些關(guān)于最值和極值的一些現(xiàn)象；最后是 總結(jié)了函數(shù)最值和極值對(duì)實(shí)際生活中起到了一定的影響，并對(duì)以后函數(shù)最值和極值的進(jìn)一步發(fā)展和研究積極的重要作用.該論文中涉及到的實(shí)際應(yīng)用主要可以分為有以下幾點(diǎn)：.最值在實(shí)際生活路程與經(jīng)費(fèi)、一定材料制作出最大體積的容器 ；.極值在生活現(xiàn)象中（變阻器消耗最大電功率等）；.最值與極值聯(lián)系于區(qū)別.關(guān)鍵詞：最值；極值；應(yīng)用.摘要iii摘要iiiABS

4、TRACTMathematics application mathematics teaching is one of the important tasks.This paper will be through the function the most value and the extreme values of the of the related definition,contact,difference and the most value of extremum solution,and systematically discusses the function value an

5、d extreme,this is and its important and basic function properties,make its let everybody realize function is most value and extreme value problem is with the actual problem has the close relationship.Finally can use the most value and the function extreme value knowledge,solve practical life related

6、 problems.First put forward the function value and the value function of the related theory of definition,and gives the function extreme three sufficient conditions (i.e.the first full condition,the second full condition,the third sufficient conditions) and the function value and the upper(lower)sup

7、remum relations;We present the function extreme value and function of the most value of somesolving met hods(such as the extreme values of the general method,using the extreme values of the first,second,third sufficient conditions for extreme value and the value of the derivative general method,conv

8、ersion method,the geometric method,parameter method,and inequality proof,etc.),Then use these methods to some real life some of the problems solved(such as the distance to the problem of funds,with the fixed material production volume,the largest volume in physics rheostat consumption maximum power

9、and convex functionssuch as minimumproblems),and some of the life of the most value of some phenomenon;Rinally summarizes the most value and extreme to real life have a certain influence on the later function is most value of further development and research of positive important role.This paper inv

10、olves the actual application of the main can be divided into the following:.The most value in the real life journey and funds,certain produce the largest volume of container;.Extreme in life phenomenon(rheostat consumption maximum electric power,etc.);.The most value and extreme link in difference.

11、Keywords: the most value;extreme;application. # IVABSTRACT目錄 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 第一章引言1 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)史的發(fā)展 1 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 數(shù)學(xué)函數(shù)極值和最值的用途 2 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 函數(shù)極值和最值的作用 2 HYPERLINK

12、l bookmark16 o Current Document 第二章 函數(shù)極值的相關(guān)理論 3 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 函數(shù)極值的定義3 HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 極值的充分條件3 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 函數(shù)極值的求解方法 4 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 第三章.函數(shù)最值的相關(guān)理論 7 HYPERLINK l bookmark32 o Current Docum

13、ent 函數(shù)最值的定義7 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 函數(shù)最值的求解方法 8 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 第四章函數(shù)極值和函數(shù)最值的區(qū)別和聯(lián)系 12 HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 區(qū)別12 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 聯(lián)系12 HYPERLINK l bookmark58 o Current Document 最值和極值的聯(lián)系與區(qū)別 13 HYPERLINK l bookma

14、rk60 o Current Document 第五章極值的應(yīng)用13 HYPERLINK l bookmark62 o Current Document 極值在生活方面的常識(shí) 13 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 利用最優(yōu)條件解最值 13 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 數(shù)學(xué)極值問題在物理中的應(yīng)用 14 HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 第六章最值的應(yīng)用15 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document

15、實(shí)際生活路程與經(jīng)費(fèi)的問題 15 HYPERLINK l bookmark74 o Current Document 極值和最值在生活中的運(yùn)用 17 HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 最值用于實(shí)際生活中 18 HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 第七章結(jié)論20 HYPERLINK l bookmark80 o Current Document 參考文獻(xiàn)21 HYPERLINK l bookmark82 o Current Document 致謝22 第一章引言第一章引言數(shù)學(xué)及其數(shù)學(xué)史的發(fā)展數(shù)學(xué)方法和

16、數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會(huì)，經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系.對(duì)于深刻 認(rèn)識(shí)作為科學(xué)的數(shù)學(xué)本身，即全面了解整個(gè)人類文明的發(fā)展都具有重要的意義.數(shù)學(xué)由早期公元前6世紀(jì)的起源到公元前6世紀(jì)一一16世紀(jì)的初等數(shù)學(xué)時(shí)期，經(jīng)歷一個(gè)世紀(jì)到 17世紀(jì)一一18世紀(jì)的近代數(shù)學(xué)時(shí)期，直到1820世一一現(xiàn)在的現(xiàn)在數(shù)學(xué)時(shí)期.從歷史上 看，數(shù)學(xué)中的原始概念一一物品數(shù)和量及幾何圖形的概念一一只是人在現(xiàn)實(shí)世界中，通過實(shí)際運(yùn)用而后抽象的結(jié)果，而決不是在人腦里從純粹思維中產(chǎn)生出來的.幾何學(xué)主要 是起源于計(jì)算物體的面積與體積、測(cè)量高度與距離.幾何圖形也主要產(chǎn)生于人類生活中 的仿造物體的形狀而制造工具的實(shí)踐活動(dòng)，即模仿自然界物題的形狀來

17、制造人們發(fā)展和 生存所必然的生活器具和生產(chǎn)用具.在十七世紀(jì)，歐洲航海業(yè)與工業(yè)的迅速發(fā)展，以前創(chuàng) 建的幾何方法已不能滿足實(shí)際需要，笛卡爾等將代數(shù)法與幾何法進(jìn)行了一系列有機(jī)地結(jié) 合,從中發(fā)現(xiàn)了可以將代數(shù)方法應(yīng)用到幾何問題的研究，從而一種新的數(shù)學(xué)學(xué)說就一一”解析幾何”地產(chǎn)生了 .在十八、十九世紀(jì)，由于大地測(cè)量、力學(xué)和工程等方面的需 要；隨之產(chǎn)生了幾何畫法、微分幾何和射影幾何.在十九世紀(jì)二十年代產(chǎn)生的非洲和歐 洲的幾何學(xué)，雖然是從純理論中產(chǎn)生的，但進(jìn)一步發(fā)展是在找到實(shí)際應(yīng)用之后的.從幾何 學(xué)的起源和發(fā)展來看：數(shù)學(xué)是以完全確定的現(xiàn)實(shí)的基本量的代表物和自然物形狀的代表 物作為研究的對(duì)象，在研究時(shí)又完全舍其

18、具體內(nèi)容和質(zhì)的特點(diǎn)，僅保留其純粹形態(tài)量的關(guān)系和空間形式的特點(diǎn).由此可見：數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展是建立在實(shí)際需要基礎(chǔ)之上的 ，是 在實(shí)踐中逐步被發(fā)現(xiàn)，并隨著實(shí)踐的深入而發(fā)展、完善的.數(shù)學(xué)大師陳省身認(rèn)為：一個(gè)數(shù)學(xué)家的目的，是要了解數(shù)學(xué).歷史上數(shù)學(xué)的進(jìn)展不外兩 途：增加對(duì)于已知材料的了解和推廣范圍.即以下兩種發(fā)展規(guī)律：從已知概念、定理出發(fā)，把已知的數(shù)學(xué)知識(shí)作為特殊情況，并以此來建立更廣泛的 數(shù)學(xué)概念和定理的方法.從函數(shù)概念的形成和發(fā)展來看：由于羅馬時(shí)代的丟番圖對(duì)代數(shù) 學(xué)中的不定方程對(duì)已有相當(dāng)?shù)难芯浚瘮?shù)概念至少在那是已經(jīng)萌芽.自哥白尼的天文學(xué) 革命以后，運(yùn)動(dòng)就成了文藝復(fù)興時(shí)期科學(xué)家共同感興趣的問題 ，函數(shù)

19、概念有了力學(xué)來源.四川民族學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 四川民族學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） #然后由萊布尼茨、達(dá)朗貝爾、歐拉、柯西，一直到黎曼，經(jīng)過一步一步地?cái)U(kuò)充，才發(fā)展為 以集合論為基礎(chǔ)的一般性概念，成為應(yīng)用廣泛的一般理論.在已知的數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)獨(dú)立的、新的理論的方法.如牛頓、萊布尼茲以 無限小的極限作為基礎(chǔ)建立了微積分學(xué)；康托爾著眼超越數(shù)建立了集合理論；鮑耶、羅 巴切夫斯基建立了與歐幾里得幾何學(xué)性質(zhì)截然不同的非歐幾里得幾何學(xué) .數(shù)學(xué)函數(shù)極值和最值的用途作為函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要分支和基本工具，函數(shù)極值和最值在數(shù)學(xué)與其它科學(xué)技術(shù) 領(lǐng)域，諸如數(shù)學(xué)建模、路程與經(jīng)費(fèi)、物理電路中電器消耗的功率

20、、最優(yōu)化問題、最優(yōu)化 方案的問題等學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用.不僅如此，函數(shù)極值理論在保險(xiǎn)、價(jià)格策劃、航海、航空和航天等眾多領(lǐng)域中也是最富表現(xiàn)性和靈活性，并起著不可替代的數(shù)學(xué)工具的 作用.函數(shù)極值和最值的作用許多實(shí)際問題最終都?xì)w結(jié)為函數(shù)極值或最值問題，生活中遇到的實(shí)際問題，可以通過數(shù)學(xué)的知識(shí)建立一些函數(shù)模型和數(shù)學(xué)幾何模型的形式，表示為函數(shù)形式.而在求解具體問題時(shí)往往需要應(yīng)用到極值和最值的求解，來為我們的生活生產(chǎn)做保證！由此可見，研 究函數(shù)極值和最值，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的理論基礎(chǔ)，是生活生產(chǎn)中的必備工具.它為 我們對(duì)于數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究起到了很大的幫助；同時(shí)，它對(duì)于其它相關(guān)學(xué)科的理解、學(xué)習(xí)與應(yīng)用也

21、起著十分重要的作用，更對(duì)其他學(xué)科領(lǐng)域的展開有很大的促進(jìn)作用.函數(shù)的極值和最值不僅是函數(shù)重要的基礎(chǔ)性質(zhì)，在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中也有著重要的應(yīng) 用，對(duì)于不同類型的問題，我們應(yīng)有一個(gè)系統(tǒng)而簡(jiǎn)便的方法，巧妙地運(yùn)用進(jìn)而達(dá)到熟練地 掌握這些方法.而恰恰這些方法的終極解決，都?xì)w結(jié)于對(duì)函數(shù)極值和最值的求解.下面, 就讓我們系統(tǒng)的歸納和展示，函數(shù)極值和最值的相關(guān)問題及在生活實(shí)際中的各種應(yīng)用 ！第二章函數(shù)極值的相關(guān)理論 四川民族學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文) 第二章函數(shù)極值的相關(guān)理論函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)f(x)在X0附近有定義,如果對(duì)X0附近的所有的點(diǎn),都有f(x) f(Xo)，則 f(Xo)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值.

22、如果附近所有的點(diǎn),都有f (x) A f (Xo)，則f (Xo)是函 數(shù)f (X)的一個(gè)極小值,極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.費(fèi)馬定理3 (設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)Xo的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)X?？蓪?dǎo).若點(diǎn)X。為f的極值 點(diǎn)則必有：f(x) =0)：可導(dǎo)的極值點(diǎn)一定是穩(wěn)定點(diǎn)，穩(wěn)定點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)也不 一定是穩(wěn)定點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn).數(shù)學(xué)函數(shù)的一種穩(wěn)定值，即一個(gè)極大值或一個(gè)極小值，極值點(diǎn) 只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)中取得.若函數(shù)f在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，且X。為f的極值點(diǎn)，則f (X。)=。，這就是說可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn) 取極值的必要條件是(設(shè))=。.極值的充分條件定理1 (極值的第一充分條件)1設(shè)f在點(diǎn)X。連續(xù)，在

23、某鄰域U。(x。/)內(nèi)可導(dǎo).(1 )若當(dāng) xW (x。6,X。)時(shí) f (x) w。，當(dāng) x三(x0,x。+6)時(shí) f (X)至。，則 f 在點(diǎn) Xo取得 極小值.(2)若當(dāng) xYx。一)時(shí) f (x) 2。，當(dāng) xw (x。, +6)時(shí) fx) E。，則 f 在點(diǎn) X。取 得極大值.定理2 (極值的第二充分條件)設(shè)f在X。的某鄰域U(Xo,S)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x = X。處二階可導(dǎo)，且f(X。)=0, f”(Xo) =0.(1)若f(X0)0,則f在X0取得極大值;(2)若f(X0)A0,則f在X0取得極小值.定理3 (極值的第三充分條件)設(shè)f在X0的某個(gè)鄰域內(nèi)，存在直到n-1階導(dǎo)函數(shù)，在X0

24、處n階可導(dǎo)，且，則f(k)(X0)=0(k =1,2,，n1), f(k)(X0)#0,則(i)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，f在X0取得極值，且當(dāng)f(x0) 0時(shí)取 極小值；(ii )當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f在X0處不取極值.函數(shù)極值的求解方法函數(shù)極值的求解方法有很多，根據(jù)定義我們可以用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解，但當(dāng)函數(shù)較為復(fù)雜，導(dǎo)及不可 導(dǎo)點(diǎn)不好數(shù)與駐點(diǎn)求或函數(shù)較為復(fù)雜時(shí)，我們可以采用以下方法進(jìn)行求解.極值的一般求法(利用區(qū)間的單調(diào)性或者定義)例 1 求函數(shù) f (x) = X3+6x2-15x+5 的極值 4.解f (x) =x3+6x215x + 5 , f(x) =3x2 12x -15令 f (x) = 3x2 1

25、2x -15 =3(x -1)(x 5) =0解得 X1 =1,x2 - -5當(dāng)x變化時(shí)，f(x), f(x)的變化情況如下表：X(-0,-5)-5(-5,1 )1(1,+ 0 )f1(x)+0-0+f(x)/105-3/因止匕，當(dāng)x=-5時(shí)，f(x)有極大值，并且極大值為f (-5) =105,當(dāng)x=1時(shí)，f(x)有極小值，并且極小值為f=3 .函數(shù) f(x) =x3 6x2 -15x 5的圖像(如右圖21).圖21利用極值的第一、第二、第三的充分條件求極值例2求f (x) = (2x -5)Vx2的極值點(diǎn)與極值(由極值的第一充分條件)1.52解 f(x) =(2x-5)Vx2 =2x3 -

26、5x在(*,)上連續(xù)，且當(dāng) x#0 時(shí)，有10 x3110 =310 x -1x 333 3 x易見，x =1為f的穩(wěn)定點(diǎn)，x = 0為f的不可導(dǎo)點(diǎn).這兩點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，需作進(jìn)一步x(-迂,0)0(0,1 )1(1,+ 00 )y+/、存在一0+y/0-3/討論.現(xiàn)列表如下(表中/表示遞增，表示遞減)由上表可見：點(diǎn)x = 0為f的極大值點(diǎn)，極大值f(0) =0;x =1為f的極小值點(diǎn),極小值f(1) = -3 (如右圖22)圖22例3求f(x) =2x4 +8的極值點(diǎn)與極值1 x(由極值的第二充分條件).38解當(dāng) x#0 時(shí)，f(x)=8x3 2 .x/38. 一 、 .令f(x)=8x -二

27、=0，求得穩(wěn)定點(diǎn)x=1.x一一一2 16 一又因?yàn)?f(x)=24x +丁，即 f(1) =40a0. x由定理2 (極值的第二充分條件)得，故x =1為f的極小值點(diǎn)，極小值f=10.2.3.3三元函數(shù)求極值例 4 討論三元函數(shù) u = f (x, y, z) =x2+y2+z2+2x+4y 6z的極值 12.解先求出三個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)令它們?yōu)?0.ux=2x+2=0 x = -1即 7y =2y+4=0求出的穩(wěn)定點(diǎn)4y = -2.uz = 2z 6 = 0z = 3因?yàn)?x 1)(2x 2) (2y 4)(y 2) (2z-6)(z-3)2_2_2=2(x 1)2 2(y 2)2 2(z-3)2

28、由推論知 u = f (x, y, z) =x2 +y2 +z2 +2x+4y-6z 在點(diǎn)(-1,-2,3) 處得極小值.u 極小值=f(-1,-2,3) = (-1)2+(-2)2 +32 +2x(-1) + 4x(-2)-6x3 = 14故u的最小值為14.第三章函數(shù)最值的相關(guān)理論 四川民族學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第三章.函數(shù)最值的相關(guān)理論函數(shù)最值的定義函數(shù)最值設(shè)函數(shù)f (x)在X區(qū)間上有定義,如果存在一點(diǎn)X。W X ,使得f(X0)不小于其他所有的f (x),亦即f(X。)- f (x), x X ,則稱f(x。)是在X上的最大值，又可記為f (x0)=max f (x);同樣使得

29、f(x。)不大于其他所有的f(x)，亦即f(x。)三 f(x), x X,則稱f(x。)是在X上的最小值，又可f (x0)=min f (x).注意 函數(shù)f(x)在X上未必一定有最大(小)值.例如函數(shù)f (x) = x-x在區(qū)間0,1】上無最大值但有最小值,最小值為0;又如函數(shù)f(x) =x -x在區(qū)間0,1 上有最大值為0,但無最小值;而函數(shù)y = 1在(0,1)內(nèi)既無最大 x值又無最小值.函數(shù)最值與上(下)確界的關(guān)系設(shè)函數(shù)f (x)在X上有定義，則它的所有函數(shù)值組成一個(gè)數(shù)集，這個(gè)數(shù)集有它的上確:=supf(x).，x.-X二噸f?f（x），例如同樣的函數(shù)f（x） =x_x在0,1的上確界為

30、1,下確界為0.容易知道，函數(shù)f（x）在X上的最大（?。┲狄欢ㄊ撬趨^(qū)間上的上（下）確界，但反 過來，上（下）確界未必是最大（?。┲?，這是因?yàn)楹瘮?shù)可能不存在最大（?。┲?例如 函數(shù)f（x） =x x在0,1 內(nèi)有上確界1,但無最大值.函數(shù)最值的求解方法導(dǎo)數(shù)法閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值來源于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值和函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的極值,而極值又來源于f（x） =0的根處的函數(shù)值.所以建議求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間a,b上的最值 可分以下兩步步驟進(jìn)行：.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；.求函數(shù)在a,b內(nèi)令f（x） = 0的x的值（稱之為“駐點(diǎn)”）;.判斷駐點(diǎn)左右兩側(cè)f（x）的正負(fù)，以此判斷函數(shù)曲線的走向（f（x） 0為上升，f（x

31、） 1,a 0)若存在常數(shù)k滿足.2ak bk c logm -(2ak b) - k = 0那么 f(x)min = f(k) =mk mak2 bkc.3.2.6利用參數(shù)求最值例 5 設(shè)x2 +xy +y2 =12,求 x2 +y2的最值7.解 x =rcos日，y = r sin 8 (日為參數(shù))，則x2 xy y2 = r2(cos2 cos-sin -sin2)=r2(1 +-sin20) =122從而 x2 y2 = r2(cos2 u sin2 ) =r2 =-.-sin 2因-1 _ sin 2 f (X),則稱X。是f (X)的最大值點(diǎn)，f (X。)稱作函數(shù)的最大值.最小值：

32、在f(X)的定義域I上，如果存在X。W I ,使得對(duì)任意XW I ,有：f (X。)2a Rx至=2電，應(yīng)用數(shù)學(xué)均值不等式”一正，二定RxRxR2Rx,故 Rx =R 時(shí)，Rx且有最小值極為極小值為Rx2R,即P有最大值或者極大第六章最值的應(yīng)用解決生活中的實(shí)際應(yīng)用的問題，關(guān)鍵是在于建立目標(biāo)函數(shù)和數(shù)學(xué)模型 .把實(shí)際生活 中的問題翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，或者找出問題的關(guān)鍵，根據(jù)題中所給條件之間的相互關(guān)系，把 問題化為通用的問題.通過把主要關(guān)系形式化，近似化，拋開實(shí)際的意義，抽象的得出一 個(gè)數(shù)學(xué)模型，選擇合適和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法與技巧求解問題.實(shí)際生活路程與經(jīng)費(fèi)的問題實(shí)際生活中的一些問題，就是利用數(shù)學(xué)知識(shí)加以解

33、決.比如設(shè)未知數(shù)，建立數(shù)學(xué)應(yīng)用 題方程.進(jìn)而強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用和培養(yǎng)中學(xué)生們的數(shù)學(xué)意識(shí) ，也是中學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之 重.怎樣將一個(gè)生活中實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成為一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)相關(guān)的問題，我們?cè)诮逃虒W(xué)中應(yīng)有意識(shí)地對(duì)初高中學(xué)生們的這一能力加以培養(yǎng)與提升.下面來看一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)函數(shù)的 最值問題的幾何模型題：已知函數(shù) y = .(x-n)2 m2 kx (k (0,1),nm = 0,n,m為常數(shù))如下圖 6-1,設(shè)點(diǎn) A(x,0), F(n,m),則 ABu/xnTm2, AO = x ,可以設(shè) B 是第象限內(nèi)的點(diǎn)，有x之0時(shí)，y = AB + kAO有最值，及最小值.現(xiàn)從。點(diǎn)作冗/AOE=c( W(0,1)且

34、sinu =k ,過 A 點(diǎn)作 AC _L OE 于 B ,貝AC = kOA , y =AB +AC BD ,( BD _L OE于D ),當(dāng)點(diǎn)A為BD與x軸的交點(diǎn)F時(shí)，此時(shí)y有最小值.如下圖61所示:因此這個(gè)函數(shù)的最值的幾何模型通俗而且易懂，學(xué)生也很容易地接受它，那下面就 可以舉幾個(gè)實(shí)際生活的例子來加以應(yīng)用這個(gè)數(shù)學(xué)幾何模型.例1如下圖6 2,已知一條鐵路的線長(zhǎng)AB為1000公里，一工廠M到這條鐵路的距離 是200公里即MB段.先要在鐵路線AB上有一點(diǎn)N處，向M處修一條公路,已知鐵路每 頓每公里所需的運(yùn)費(fèi)與公路每頓每公里所需的運(yùn)費(fèi)比為 2:5,為了把原料從供應(yīng)站A地 運(yùn)往到工廠M地的運(yùn)費(fèi)最少

35、，那么N點(diǎn)應(yīng)選在什么位置？分析解此題方法比較多，但是用上面的數(shù)學(xué)幾何模型的方法非常簡(jiǎn)單，而且快捷.解 設(shè) AN =x, XW 0,1000,貝BN =1000 -x,設(shè)這條鐵路AB每公里的運(yùn)費(fèi)為2k (k 0),從A運(yùn)到工廠M的經(jīng)費(fèi)為:y -2kx 5k. (1000 -x)22- 2t二 (10 0 0 x)20(2-x -MN NF,5 t 二MN NF =MN AN _MH , 5當(dāng)N在G位置時(shí)，t取最小值,又/ANF =/ABE =/MGB , /. NBOE =2GMB , 2即 sin -GMB = sin - BOE = sin ：=-， 一 2 21. tan GMB=21 2

36、002 ,-y- = . (1000 -x)2 20022x,x 0,1000.5k ,5如下圖63，以A為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，建立如下圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè) N (x,0) , B (1000,0) , M (1000,200)，作/BOE =a ,且 sin a =2 ,作5即y有最值，即最小值ymin.在 ABMG 中，NMBG =90,設(shè)t = y，則有5kNF _LOE 于點(diǎn) F , MH _LOE 于點(diǎn) H 交 AB 于 G . NF =AN , 5四川民族學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文) #四川民族學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文) 第六章最值的應(yīng)用 即GB-2 21=M

37、B tan. GMB =21,2 21 400、. 21故 GB =200 =2121(Km),N點(diǎn)應(yīng)在距A點(diǎn)的(1000 -400v21) Km時(shí)(及G點(diǎn))，運(yùn)費(fèi)最少.21極值和最值在生活中的運(yùn)用例2 用邊長(zhǎng)為90厘米的正方形鐵皮，做一個(gè)無蓋的水箱，現(xiàn)在四個(gè)角分別剪去一 個(gè)相同的小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)900角，冉焊接而成(如下圖64).問做成的這個(gè) 水箱底邊的長(zhǎng)應(yīng)取多少時(shí)，水箱的容積最大.最大是多少5?解 設(shè)這個(gè)水箱底的邊長(zhǎng)為xcm,則水箱高為h = 90二,(單位：cm)290 x2 - x3水箱的容積：V =V(x) =x2h=- (0 ：x ： 90).圖64由問題的實(shí)際情況來看，如

38、果x過于小， 水箱的底面積就會(huì)很小，容積V也就很?。?如果x過于很大的話，水箱的高就會(huì)很小， 容積V也就很小.因此，其中必有x的一 適當(dāng)?shù)闹?使容積V取得最大值.3 o 求 V(x)的導(dǎo)數(shù)，得 V(x) =90 x- x2,23 2 令V(x)=0,即有V(x) =90 x ax2=0,解得：x1 = 0, x2 = 60 .由0 x90知，故x1 =0不成立，所以x2 = 60成立.當(dāng)x在(1,90)內(nèi)變化時(shí)，值V(x)和導(dǎo)數(shù)值V(x)的變化情況.如下表可得:x(0,60)60(60,90)V(x)+0-V(x)/54000因此在x =60處時(shí)，函數(shù)V(x)取得極大值,并且這個(gè)極大值就是函數(shù)

39、V(x)的最大值.23將x=60代入V(x)，得到最大容積V =，一=54000(cm3).答:水箱底邊取60cm時(shí),容積最大.即最大容積為54000立方厘米.綜上所述,由日 常生活中修路的遠(yuǎn)近和運(yùn)輸?shù)慕?jīng)費(fèi)成正比，使工廠花費(fèi)最少，進(jìn)而來獲取最佳的經(jīng)濟(jì)效益，達(dá)到收入最大、成本最低或收益最高等，這無疑都是企業(yè)、工廠以及公司的決策者和 管理人員們十分關(guān)心的問題.解決這類問題的思路是：第一根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系 列出函數(shù)關(guān)系式及求出函數(shù)的定義域；第二利用求函數(shù)最值的方法求解.求解函數(shù)的最 優(yōu)解的方法去解決問題.可見，函數(shù)最值的應(yīng)用是如此之寬泛，用處也是如此之大！6.3最值用于實(shí)際生活中如用一個(gè)鐵皮制

40、作一個(gè)容積為 V立方單位，底面半徑r滿足在區(qū)間b,b】的圓柱形 容器(有底無蓋).問半徑r為何值時(shí)，用的材料最少13?解決的方法,首先是要列出該容 器的面積S,然后利用拆分法進(jìn)而算出r的值，最后得出用的材料最少.如甲乙兩地之間的距離為 S千米，當(dāng)汽車從甲地勻速的行駛到乙地，汽車的速度 不得超過c千米每小時(shí).如果該汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本分可變動(dòng)部分和固定部分組成 ， 問為了使全過程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行駛？解決此題，首先也要利用已 知條件和關(guān)系列出全過程運(yùn)輸?shù)目偝杀?y的函數(shù),最后求出答案.在生活中會(huì)遇到一些物理問題需要用數(shù)學(xué)方法而加以解決的 .如涉及到”最速降 線的問題”，所謂最速降

41、線問題就是要求出兩點(diǎn)之間一條曲線 ，使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿 著它由一點(diǎn)至另一點(diǎn)降落最快 (即所需時(shí)間最短).例題豎直平面 Oxy上將給定點(diǎn)M (0,0)和N(a, b)用一條光滑的金屬線相連，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P 一初速度V。= 0由M 點(diǎn)沿金屬線滑動(dòng)，問金屬線以何種形狀時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P到達(dá)N點(diǎn)所需的時(shí)間最少15?但要想解決這個(gè)問題，首先要從物理方面分析并了解改質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況(如運(yùn)動(dòng)過程中 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能和重力勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)變),進(jìn)而用數(shù)學(xué)的一些函數(shù)方程建立等式，并涉及到數(shù)學(xué) 積分的方法來加以解出結(jié)果，最終得出這個(gè)物理問題的答案. 四川民族學(xué)院本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第七章結(jié)論通過對(duì)函數(shù)的最值和極值的相關(guān)定理

42、的學(xué)習(xí)及其在生活中的應(yīng)用，本文不僅給出了函數(shù)最值和函數(shù)極值的定義、區(qū)別以及一般求法、幾何法、轉(zhuǎn)化法、一元、多元函數(shù) 的求法和不等式證明中的應(yīng)用.此外給出了最速問題中的應(yīng)用.本文有利于對(duì)初學(xué)者對(duì) 函數(shù)最值和極值的研究和學(xué)習(xí).現(xiàn)如今許多實(shí)際問題最終都?xì)w結(jié)為函數(shù)極值或者函數(shù)最值問題，生活中遇到的實(shí)際問題，可以通過數(shù)學(xué)的知識(shí)建立一些函數(shù)模型和數(shù)學(xué)幾何模型的形式，表示為函數(shù)形式.而在求解具體問題時(shí)往往需要應(yīng)用到極值和最值的求解，來為我們的生活生產(chǎn)做保證！由此可見，研究函數(shù)極值和最值,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的理論基礎(chǔ)，是生活生產(chǎn)中 的必備工具.它為我們對(duì)于數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究起到了很大的幫助；同時(shí),它對(duì)于其它相關(guān)學(xué)科的理解、學(xué)習(xí)與應(yīng)用也起著十分重要的作用 ，更對(duì)其他學(xué)科領(lǐng)域的展開有很 大的促進(jìn)作用.本論文將通過函數(shù)最值和極值的相關(guān)定義、聯(lián)系、區(qū)別以及最值與極值的求解方 法，并系統(tǒng)的闡述函數(shù)最值和極值,這是及其重要而且基礎(chǔ)的函數(shù)性質(zhì)，使其讓大家意識(shí) 到函數(shù)最值和極值問題是與實(shí)際問題有著密切關(guān)系的 .最后可以運(yùn)用出函數(shù)最值和極值 的知識(shí)，解決實(shí)際生活中的相關(guān)的問題.我知道了最值和極值在函數(shù)值的計(jì)算上的重要性，及其函數(shù)最值和極值二者之間的 區(qū)別和聯(lián)系.通過學(xué)習(xí)我們也了解到，函數(shù)極值定理應(yīng)用也是其他學(xué)科的理論基礎(chǔ) ，將對(duì) 其他學(xué)科的有關(guān)學(xué)習(xí)和深入研究起著重要的意義.我們可以通過極值