設計IIR濾波器的雙線性變換法

1、4 設計IIR濾波器的雙線性變換法設計思想設計方法頻率預畸變典型例題1設計思想1、脈沖響應不變法的主要缺點：對時域的采樣會造成頻域的“混疊效應”，故有可能使所設計數(shù)字濾波器的頻率響應與原來模擬濾波器的頻率響應相差很大，而且不能用來設計高通和帶阻濾波器。原因：從S平面到Z平面的映射是多值映射關系脈沖響應不變法的映射過程圖示 設計IIR濾波器的雙線性變換法2、雙線性變換法的改進：為避免頻率的“混疊效應” ，分兩步完成S平面到Z平面的映射。 將S平面壓縮到某一中介的S1平面的一條橫帶域 ； 通過標準的變換將此橫帶域映射到整個Z平面上去。雙線性變換的映射過程圖示 設計IIR濾波器的雙線性變換法3、雙線

2、性變換法的基本思路：從頻率響應出發(fā)，直接使數(shù)字濾波器的頻率響應 ，逼近模擬濾波器的頻率響應 ,進而求得H(z)。“雙線性變換法”設計方法設計IIR濾波器的雙線性變換法 通過Z變換： 將1映射到Z平面的單位圓上。 通過正切變換：將S平面的j軸壓縮到S1平面的j1軸上的 內。 將正切變換延拓到整個S平面，得到S平面到S1平面的映射關系：設計IIR濾波器的雙線性變換法 將S1平面按 映射到Z平面得到： “雙線性變換法” 可行性的論證 帶入映射必須滿足的條件： S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上； 位于S左半平面的極點應映射到Z平面的單位圓內。說明S平面的虛軸映射成了Z平面的單位圓設計IIR濾波器的雙

3、線性變換法令 ,帶入 得：當 時，此式表明：S平面的左半平面軸映射到了Z平面的單位圓內，可保證系統(tǒng)函數(shù)經映射后穩(wěn)定性不變。設計IIR濾波器的雙線性變換法雙線性變換的頻率對應關系雙線性變換法雖然避免了“頻率混疊效應”，但出現(xiàn)了模擬頻率與數(shù)字頻率為一種非線性的關系情形。即：可見：模擬濾波器與數(shù)字濾波器的響應在對應的頻率關系上發(fā)生了“畸變”，也造成了相位的非線性變化，這是雙線性變換法的主要缺點。具體而言，在上刻度為均勻的頻率點映射到上時變成了非均勻的點，而且隨頻率增加越來越密。 雙線性變換法除了不能用于線性相位濾波器設計外，仍然是應用最為廣泛的設計IIR數(shù)字濾波器的方法。 頻率預畸變設計IIR濾波器

4、的雙線性變換法為了保證各邊界頻率點為預先指定的頻率，在確定模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)之前必須按式 進行頻率預畸變；然后將預畸變后的頻率代入歸一化低通原型Ha(s) 確定 ；最后求得數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)： 頻率預畸變示意圖用雙線性變換法設計IIR濾波器的過程總結設計IIR濾波器的雙線性變換法返回有關雙線性變換公式的說明設計IIR濾波器的雙線性變換法有些文獻中雙線性變換的關系為: 抽樣間隔T的選?。褐灰ＷC將模擬頻率在帶限之間，不會產生因多值映射產生頻率混迭現(xiàn)象即可。 滿足： 的任意T值。典 型 例 題例：利用雙線性變換法設計巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器 設計參數(shù)：通帶數(shù)字截止頻率 ，通帶內最大衰減 ，阻帶數(shù)字截

5、止率 ，阻帶內最小衰減 。 解： 進行頻率預畸變，求 。 確定巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器的階次。 取濾波器階次 N = 3 典 型 例 題 查表得3階巴特沃斯低通濾波器原型的系統(tǒng)函數(shù)。 求 3 dB 截止頻率 。 反歸一化得：典 型 例 題 用雙線性變換式求得H(z) 。濾波器的幅度響應與相位響應5 設計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法頻率變換的兩種基本方法法一：從歸一化模擬低通原型出發(fā)，先在模擬域內經頻率變換成為所需類型的模擬濾波器；然后進行雙線性變換，由S域變換到Z域，而得到所需類型的數(shù)字濾波器。法二：先進行雙線性變換，將模擬低通原型濾波器變換成數(shù)字低通濾波器；然后在Z域內經數(shù)字頻率變換為所需類

6、型的數(shù)字濾波器。又稱為“模擬域頻率變換法”又稱為“數(shù)字域頻率變換法”設計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法模擬域頻率變換法1、歸一化模擬低通原型到數(shù)字高通濾波器的頻率變換 設歸一化模擬低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 ， p為模擬域內的拉氏變量 。反歸一化。即以 帶入上式，得到反歸一化后的高通濾波器的傳輸函數(shù)H(s)。 雙線性變換，得數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 在模擬域內從低通到高通變換：即以 p-1代替 p。設計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法直接由歸一化低通原型變換成數(shù)字高通濾波器時：變換關系：由 可得模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率以及3dB截頻 與 之間的關系： 典型例題例1：設計一個 3 階巴特

7、沃思型數(shù)字高通濾波器，3dB數(shù)字截頻為0.2弧度，求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解： 3階巴特沃思型歸一化模擬低通原型的系統(tǒng)函數(shù)為： 頻率預畸變 數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 典 型 例 題典 型 例 題例2：設計一個巴特沃思型數(shù)字高通濾波器，3dB數(shù)字截頻為 0.2弧度，阻帶下邊頻 0.05弧度，阻帶衰減 As48dB，求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解： 確定低通濾波器的階次 N 取 N 4 頻率預畸變求模擬低通的截頻 和阻帶下邊頻 18典 型 例 題 利用直接變換關系求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 查表得N=4時巴特沃思低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 所設計的高通濾波器的幅度特性與相位特性圖示典 型 例 題設計

8、IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法2、歸一化模擬低通原型到數(shù)字帶通濾波器的頻率變換 方法：直接尋求從模擬低通到數(shù)字帶通之間的映射關系 低通幅度響應帶通幅度響應0：模擬的阻帶下邊頻 ：下邊頻和上邊頻 ：下阻帶上邊頻 ：上阻帶下邊頻 ：中心頻率映射關系（零點）（極點）設計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法滿足以上映射關系的變換式推導過程：是穩(wěn)定的 S平面穩(wěn)定的函數(shù)變換到Z平面也是穩(wěn)定的。 特別地，設 0 z = r 1,則有： 此式表明：Z平面單位圓內的極點變到了S平面的左半平面 再令 代入上式 ，得：此式表明：Z平面單位圓變換到了S平面的虛軸 設計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法模擬低通與數(shù)字帶通的頻率變換關系

9、：當 時，反歸一化處理：典 型 例 題例: 設計一個3階巴特沃思數(shù)字帶通濾波器，并求阻帶的最小衰減。 設計指標：對模擬信號濾波，下上邊帶的3dB截止頻率為 =12.5kHz， =37.5kHz，阻帶邊頻 = 45.125 kHz,采樣頻率為 =100kHz。解: 確定數(shù)字中心頻率 確定上下邊帶的3dB數(shù)字截止頻率及上阻帶下邊頻 典 型 例 題 求模擬低通截止頻率和阻帶下邊頻 求 。當 時,3 階巴氏低通濾波器的傳輸函數(shù)為: 求H(z)。將 代入上式得： 典 型 例 題 求相對 =45.125kHz處的阻帶的最小衰減代入 和 及N = 3，求得: 帶通濾波器的幅度響應與相位響應設計IIR數(shù)字濾波

10、器的頻率變換法數(shù)字域頻率變換法已知的數(shù)字低通濾波器所需類型的數(shù)字濾波器Z域內的數(shù)字頻域變換設變換前的平面為z平面，變換后的為Z平面，即將z平面的系統(tǒng)函數(shù) 映射成Z平面的系統(tǒng)函數(shù) 。假設從z到Z的映射關系為： ，則有：變換函數(shù) 必須滿足以下三個條件： 為滿足一定的頻率響應要求，z 域的頻率必須變換成 Z 域的頻率，即 z 平面的單位圓必須映射到 Z 平面的單位圓上； 為保證由因果穩(wěn)定的系統(tǒng)變換得到的系統(tǒng)也是因果穩(wěn)定的，要求z 平面的單位圓內部必須映射到 Z 平面的單位圓內部； 由于 是 z -1 的有理函數(shù)，為了保證變換后的 也是Z -1的有理函數(shù)，要求變換函數(shù) 必須是 Z -1 的有理函數(shù)。

11、設計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法設 和 分別為 z 平面和 Z 平面的數(shù)字頻率變量，即：該式表明：函數(shù) 在單位圓上的幅度必須恒等于1全通函數(shù)。任何全通函數(shù)都可以表示為：為確保變換后穩(wěn)定性不變，必須極點在單位圓內，即：零點都是其極點的共軛倒數(shù)設計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法1、數(shù)字低通 數(shù)字低通 和 都是低通系統(tǒng)函數(shù)，只是截止頻率不同。變換函數(shù)為： 由截頻為 的 得到截頻為 的 變換關系為：參數(shù)變換公式為： 設計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法2、數(shù)字低通 數(shù)字高通變換函數(shù)為： 參數(shù)變換公式為： 3、數(shù)字低通 數(shù)字帶通變換函數(shù)為： 參數(shù)變換公式為： 設計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法變換函數(shù)為： 參數(shù)

12、變換公式為： 3、數(shù)字低通 數(shù)字帶阻6 數(shù)字陷波器設計基本概念也被稱為點阻濾波器。它是一種特殊的帶阻濾波器，其阻帶在理想情況下只有一個頻率點；主要用于消除某個特殊的頻率干擾（例如在各種測量儀器和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中用于消除電源干擾的工頻陷波器）；一般為IIR濾波器。設計方法雙線性變換法 零極點累試法陷波器的頻率特性數(shù)字陷波器設計設信號為 ，其中 為干擾頻率,需要將其濾掉 ，則要求濾波器的傳輸函數(shù)為: 數(shù)字域的傳輸函數(shù)為: 其中數(shù)字陷波器的頻率響應 利用雙線性變換設計數(shù)字陷波器數(shù)字陷波器設計為3dB帶寬設二階模擬陷波器傳輸函數(shù)為： 其幅度響應為： 分別為陷波頻率的上邊頻和下邊頻用雙線性變換，可得二階數(shù)字陷波器傳輸函數(shù)為： 數(shù)字陷波器設計改寫上式：其中：陷波頻率 ，數(shù)字3dB帶寬 與 之間的關系典 型 例 題例： 設計一個二階數(shù)字陷波器（求數(shù)字傳輸函數(shù)），其模擬陷波頻率為60Hz，3dB帶寬為6Hz，采樣頻率為400Hz。解： 數(shù)字傳輸函