時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法

1、第5章 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與狀態(tài)變量分析法 5.1 引言 5.2 用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.3 無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.4 有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.5 狀態(tài)變量分析法15.1 引言 時(shí)域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)的描述方法有：差分方程，單位脈沖響應(yīng)，系統(tǒng)函數(shù)。例如用差分方程表示系統(tǒng)：則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 2 為了用計(jì)算機(jī)或芯片完成對(duì)輸入信號(hào)的處理，必須把這些描述公式轉(zhuǎn)變成為一種算法，讓計(jì)算機(jī)按照這種算法對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算。差分方程是對(duì)輸入信號(hào)的一種直接算法遞推法，系統(tǒng)函數(shù)是對(duì)輸入信號(hào)的一種間接算法頻域法。 例如，給出一個(gè)差分方程，它的系統(tǒng)函數(shù)有很多種： 3 以上的系統(tǒng)函數(shù)是一樣的，但是有不同的算

2、法實(shí)現(xiàn)它們。 根據(jù) 有（1） 優(yōu)點(diǎn)？缺點(diǎn)？ （2） 優(yōu)點(diǎn)？缺點(diǎn)？4（3） 或 優(yōu)點(diǎn)？缺點(diǎn)？ 從以上例子可以看到：算法不同，運(yùn)算誤差、運(yùn)算速度、復(fù)雜程度、成本等都不同?？梢?jiàn)，信號(hào)處理的算法是很重要的。55.2 用信號(hào)流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 信號(hào)流圖可以描述系統(tǒng)，這種描述表示的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)能直觀地描述系統(tǒng)的算法。 觀察差分方程可知，數(shù)字信號(hào)處理中有三種基本算法，即乘法、加法和單位延遲，三種基本運(yùn)算用流圖表示如圖5.2.1所示。 6 圖5.2.1 三種基本運(yùn)算的流圖對(duì)于前面的系統(tǒng)函數(shù)表示的系統(tǒng)，可以用信號(hào)流圖表示。箭頭和節(jié)點(diǎn)分別表示一次運(yùn)算！7對(duì)于下面信號(hào)流圖表示的系統(tǒng)，可以求出其系統(tǒng)函數(shù)?？梢灾苯忧蠼?，或利

3、用梅遜方程求解。8 從網(wǎng)絡(luò)的回路來(lái)看，網(wǎng)絡(luò)分為兩種：有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)（FIR）網(wǎng)絡(luò)它沒(méi)有反饋回路，無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)（IIR）網(wǎng)絡(luò)它有反饋回路。例如，系統(tǒng)的差分方程是：它的單位脈沖響應(yīng)是： 其它n請(qǐng)問(wèn)它是什么網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)？怎么看脈沖響應(yīng)的長(zhǎng)短？9又例如，系統(tǒng)的差分方程是： y(n)=ay(n-1)+x(n)它的單位脈沖響應(yīng)是： h(n)=anu(n)請(qǐng)問(wèn)它是什么網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)？怎么看脈沖響應(yīng)的長(zhǎng)短？ 105.3 無(wú)限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 1. 直接型 對(duì)N階差分方程：設(shè)M=N=2，很容易直接畫出兩種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，它對(duì)應(yīng)這種系統(tǒng)的兩種運(yùn)算結(jié)構(gòu)。 這種尋找運(yùn)算結(jié)構(gòu)的方法，用系統(tǒng)函數(shù)或差分方程，是很難得到的。這兩種直接

4、型的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？11 圖5.3.1 IIR網(wǎng)絡(luò)直接型結(jié)構(gòu) 12例5.3.1 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為請(qǐng)畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。解 由H(z)寫出差分方程如下：按照差分方程可以立刻得到該系統(tǒng)的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。注意系統(tǒng)函數(shù)和差分方程關(guān)系，也可以直接從系統(tǒng)函數(shù)畫出直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。13圖5.3.2 例5.3.1圖14 2. 級(jí)聯(lián)型 系統(tǒng)函數(shù)H(z)的公子分母可以為多項(xiàng)式，也可以是因子相乘，例如：如果多項(xiàng)式的系數(shù)是實(shí)數(shù)的話，Cr和Dr就是實(shí)數(shù)或共軛成對(duì)的復(fù)數(shù)。將共軛成對(duì)的零極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)系數(shù)是實(shí)數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)，15 這樣H(z)就分解成一些一階或二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)， H(z)=H1

5、(z)H2(z)Hk(z) 式中Hi(z)表示一個(gè)一階或二階的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，每個(gè)Hi(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均采用前面介紹的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖5.3.3所示。 圖5.3.3 一階和二階直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(a)直接型一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；(b)直接型二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 16例5.3.2 試畫出如下系統(tǒng)函數(shù)H(z)的級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解： 將H(z)分子分母進(jìn)行因式分解，得到其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有幾種？怎么選擇比較好？17 3.并聯(lián)型 如果將級(jí)聯(lián)形式的H(z)，展開(kāi)部分分式形式，得到IIR并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 式中，Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)和二階網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)均為實(shí)數(shù)。二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為 式中，0i、1i、1i和2i都是實(shí)數(shù)。由

6、(5.3.4)式，其輸出Y(z)表示為 Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z)18 例5.3.3 畫出例題5.3.2中的H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解 將例5.3.2中H(z)展成部分分式形式： 每一部分用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，得并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 為什么不讓它們的分子分母階數(shù)相同？ 與級(jí)聯(lián)型比的優(yōu)缺點(diǎn)？195.4 有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)函數(shù)H(z)和差分方程為20 1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接畫出的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者卷積型結(jié)構(gòu)。 圖5.4.1 FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 21 2. 級(jí)聯(lián)型 將H(z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對(duì)的零點(diǎn)放

7、在一起，形成一個(gè)系數(shù)為實(shí)數(shù)的二階形式，這樣級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階或二階因子構(gòu)成的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個(gè)因式都用直接型實(shí)現(xiàn)。 例5.4.1 設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 畫出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 22 解 將H(z)進(jìn)行因式分解，得到： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 =(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型結(jié)構(gòu)和級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖5.4.2所示。 圖5.4.2 例5.4.1圖 它們各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？23 3. 頻率采樣結(jié)構(gòu) 頻率域等間隔采樣，相應(yīng)的時(shí)域信號(hào)會(huì)以頻

8、率域的采樣點(diǎn)數(shù)為周期進(jìn)行周期性延拓。如果在頻率域采樣點(diǎn)數(shù)N大于等于原序列的長(zhǎng)度M，則不會(huì)引起信號(hào)失真。此時(shí)原序列的z變換H(z)與頻域采樣值H(k)滿足下面關(guān)系式： 設(shè)FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)長(zhǎng)度為M，系統(tǒng)函數(shù)H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中H(k)用下式表示：(5.4.1) 24 要求頻率域采樣點(diǎn)數(shù)NM。(5.4.1)式提供了一種稱為頻率采樣的FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 請(qǐng)問(wèn)IIR濾波網(wǎng)絡(luò)，為什么不采用頻率采樣結(jié)構(gòu)？ 將(5.4.1)式寫成下式： 式中 這樣，H(z)可由一個(gè)梳狀濾波器Hc(z)和N個(gè)并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò) Hk(z)級(jí)聯(lián)而成。(5.4.2) 25 為什么稱Hc(z)=1-z

9、-N為梳狀濾波器？ 圖5.4.3 FIR濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu) 上圖屬于什么網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)？ 26 梳狀濾波器的零點(diǎn)有N個(gè)， 一階網(wǎng)絡(luò)的極點(diǎn)有N個(gè)， 它們理論上可以抵消，使頻率域采樣結(jié)構(gòu)還是FIR網(wǎng)絡(luò)。 頻率域采樣結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)： (1)在頻率采樣點(diǎn)k，H(ejk)=H(k)，調(diào)整H(k)就可以調(diào)整系統(tǒng)的頻率特性。調(diào)整方便。 (2)只要相同長(zhǎng)度的h(n) ，對(duì)于任何頻率形狀，其梳狀濾波器和N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)完全相同，只是各支路增益H(k)不同。相同部分便于模塊化。 27 頻率域采樣結(jié)構(gòu)的缺點(diǎn)： (1)有限字長(zhǎng)效應(yīng)可能不能使N個(gè)零極點(diǎn)對(duì)消。 (2)H(k)和W-kN一般為復(fù)數(shù)，乘法器要作復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算。 克服上

10、述缺點(diǎn)的方法： (1)將單位圓上的零極點(diǎn)向單位圓內(nèi)收縮一點(diǎn)，收縮到半徑為r的圓上，取r1且r1。 (2)利用DFT的共軛對(duì)稱性，將Hk(z)和HN-k(z)合并為一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階網(wǎng)絡(luò)。28式中 29 顯然，二階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，其結(jié)構(gòu)如圖5.4.4所示。圖(a)為Hk(z)的結(jié)構(gòu)圖，圖(b)為H(z)的結(jié)構(gòu)圖。圖5.4.4 頻率采樣修正結(jié)構(gòu) 305.5 狀態(tài)變量分析法 1. 狀態(tài)方程和輸出方程 系統(tǒng)的成分可劃分為有記憶的和無(wú)記憶的，即非線性的和線性的。狀態(tài)指有記憶成分的輸出量。 狀態(tài)變量分析法有兩個(gè)基本方程：狀態(tài)方程和輸出方程。 狀態(tài)方程反映系統(tǒng)內(nèi)部一些稱為狀態(tài)變量的節(jié)點(diǎn)變量和輸入

11、的聯(lián)系。 輸出方程反映輸出信號(hào)和狀態(tài)變量的聯(lián)系。與輸入輸出描述法？相比，這么做的好處和壞處？31相位電位變換器1比較器放大器相位電位變換器2A1A2受控電機(jī) 目標(biāo)方位 A10 A10(t) 電機(jī)電壓 0 炮口方位 (t) A1(t) 0 (t) 電機(jī)不是線性成分。用狀態(tài)分析法列系統(tǒng)的方程容易。32 圖5.5.1是一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖。它有兩個(gè)延時(shí)支路（有記憶部份），因此有兩個(gè)狀態(tài)變量w1(n)和w2(n)。 下面建立該流圖的狀態(tài)方程和輸出方程。 w1=z-1w2 ， z-1表示延時(shí)， z+1表示超前。 w2=z-1(x-a1w2-a2w1) y=b0 (x-a1w2-a2w1)+ b1w2+

12、b2w1 哪個(gè)是狀態(tài)方程？哪個(gè)是輸出方程？33 將上式的w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)寫成矩陣形式： y(n)=b2-a2b0, b1-a1b0w1(n), w2(n)T+b0 x(n) 狀態(tài)方程可以用遞推法求解嗎？ 可以用計(jì)算機(jī)求解系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出嗎？34 如果系統(tǒng)中有N個(gè)單位延時(shí)支路，M個(gè)輸入信號(hào)x1(n), x2(n), , xM(n)，L個(gè)輸出信號(hào)y1(n), y2(n), , yL(n)，則狀態(tài)方程和輸出方程分別為 式中 A是狀態(tài)增益NN矩陣？B是輸入狀態(tài)增益NM矩陣？C是狀態(tài)輸出增益LN矩陣？D是輸入輸出增益LM矩陣？35狀態(tài)變量分析法的流圖表示：根據(jù)該圖：（1）設(shè)z-1

13、支路的輸出為狀態(tài)變量w(n)，輸入為w(n+1)；（2）列出狀態(tài)變量方程；（3）列出輸出方程。Y(n)X (n)z-1W(n+1)W(n)DABC36 例5.5.1 建立例5.5.1流圖的狀態(tài)方程和輸出方程。 解：因信號(hào)流圖中有兩個(gè)延時(shí)支路，狀態(tài)變量為w1(n)和w2(n)。列出狀態(tài)方程和輸出方程： y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)37將上式寫成矩陣方程： 38 例5.5.2 直接寫出例5.5.1信號(hào)流圖的 A、B、C和D參數(shù)矩陣。 解： a11=a1, a12=a2, a21=1, a22=0 . b1=1, b2=0 . c1=b1+a1b0 , c2=b2+a

14、2b0 . d=b0 .39例5.5.3 已知系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 (1)畫出H(z)的級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；(2)根據(jù)已畫出的流圖寫出其狀態(tài)方程和輸出方程。解：（1）改寫H(z)，然后根據(jù)Masson公式直接畫出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu) -0.8140（2）設(shè)延時(shí)支路的輸出為狀態(tài)變量w1(n)、w2(n)和w3(n)；寫出狀態(tài)方程 w1(n+1)=-0.5w1(n)+2x(n) w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n) =-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n) w3(n+1)=w2(n) 將以上三個(gè)方程寫成矩陣方程：41寫出輸出方程 y(n)=

15、w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)將上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到： y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)將y(n)寫成矩陣方程，即是要求的輸出方程。 y(n)=-1.5 -0.514 -0.11w1(n) w2(n) w3(n)T+2x(n) 42 例5.5.4 已知FIR濾波網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 畫出其直接型結(jié)構(gòu)，寫出其狀態(tài)方程和輸出方程。 解：（1）根據(jù) 畫出直接型結(jié)構(gòu)圖。43（2）以延時(shí)支路的輸出端為狀態(tài)變量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根據(jù)參數(shù)矩陣中各元素的意義，直接寫出狀態(tài)方程和輸出方程如下： y(n)=a1 a2 a3w1(n) w2(n) w3(n)T+a0 x(n)44 2. 由狀態(tài)變量分析法轉(zhuǎn)換到輸入輸出分析法（1）為了求系統(tǒng)函數(shù)，對(duì)狀態(tài)方程和輸出方程 W(n+1)=