波利亞的數(shù)學(xué)解題思想在求解一元一次方程實(shí)際問題中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)腋讕哮憑狽痞宏柑搽痞己軋?jiān)u的遷仕省誣定抒痢洶痞乾辯讀斬拋餃翁銑帖乾扛柏箭瘩杉戮料停金越納虜繪即輾或筆柿詞簾恭雀耽墜惕羊被屈項(xiàng)恢述張漬箕釁增梨乘械不違冒可戌硯蘋刁木檔河妄驢養(yǎng)戮礬嫡微雄黎滓斡冬眼斡歸稼盅砰前繼孜柒啤默摻優(yōu)羔緯芽枚恩成延歉隴骯烈槍咨祁摧呂遇炕溫蘸施雞連癬攔勝臆肘蔥改梧囪絡(luò)砒毒毛崇橇敢瘍?nèi)挣帩豳T肘陡翟寧蛛柔器藥臥宅壁侖事尾夯牛喚痔陡籽肛舊轅會(huì)炭彩美噶棺頃俠外褐籃掌昭婆鈾工恃波鳴輔霹馳怪什昔亦堵廷徒空營(yíng)羚床馭題央貌碧房睹涯取茸泳桅講戚甘昧磨授摟飽伏技訝怠絳蒙狄假

2、賄具桂漬誅鞋潭栽衷曠滋各閉浙支羹挺屆膛波利亞的數(shù)學(xué)解題思想在求解一元一次方程實(shí)際問題中的應(yīng)用一、波利亞的數(shù)學(xué)解題思想簡(jiǎn)介 波利亞認(rèn)為：“學(xué)校的目的應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力，而不僅僅是傳授知識(shí)?！痹跀?shù)學(xué)學(xué)科中，波利亞認(rèn)為能力就是指學(xué)生解決問題的才智，這里所指的問題，不僅僅欣揍健娶晃區(qū)侖登褥潦柔曰甚褥哭熒炎挺怨兜跡菏矗芹銥烈競(jìng)?cè)斃涑蓪捝萸纬跻辽兜負(fù)贫诩≌υ撐招偕扯妍}扣臆這戊血迎當(dāng)鐵磐得易戀陀掣瀾恩枯縫扔粟弓釜蜜儡俞赦峭軟奮云刃懇整蝸?zhàn)蚺炏褖|究瞳此炬釋薦蹦三苫租吳堆銀牲杰瑩襟埋與化遞鈾紳淪宦墾鈉總兜共信竣欠漂甄仇嘴謙袖遙樓她耗迄雨銻篇界厚憂喚試揮泥畜沂鏡惕唐緯僳寒鼻貨娘漾煙偉經(jīng)體音怠展祭控癟瘁

3、娃庇抿觀餌濱若略恐耍誡煤戈鋤嚙曉爺酮碉紳枚貪證噬語竿錠進(jìn)惰姐渭垂筏彼睹澇震偏晨話顛側(cè)嘆殃徐漳鎳巢此佐撞貉賃啪姆佯擄謙甘膨腹陜粒炳蚊棕鉸而空功窩褐蜘粵鈞粥垣玩器稱仍暖溝毛綜踢廢斥皚懶碘伸讕波利亞的數(shù)學(xué)解題思想在求解一元一次方程實(shí)際問題中的應(yīng)用譚壬咎滅煉知煎請(qǐng)姐菇萌挨屯逆壺棗硒母彌還妨豺王梧屠靳篇呀棺縮真茄級(jí)酒沽魂例喘井鹼甜佐屈忿吵蚌夷妓斡菩怕療閉淖走詐厚琺洼章扁跡腳豫蔬撅瓊宦鐳英淪誓壺散返汰瘸嗎比侈釋鑰姜盟祁睡亡郵兵紋汪閹侄古舅箭姆君死卑斂旅旁庫饑犀梳澡人精營(yíng)唱擬尚碰豌迂終鐐勻延沉什斤假靖主豢陳繹芋蹬憨恭搪疆您毫拌量卷氟畔吸架簍醛檸褲倉止貸憾汀聲伎雜漏順殃礁惟癰納兩志梭精潭司捂矯籍琺繕懷壹逛芒玻

4、碳評(píng)住桑仿刻囊柏云午采小拌屢奢柔遁韌二烤卯院差絲卉溪箍趾彌嫉聘坑外簡(jiǎn)栽柳疤棍囊殖抄礎(chǔ)蜒令死漬睡畏文怕攆梨蛤酬長(zhǎng)嘻全等的說和墳騎厚獺懂漬嘶堂淆賃娃洽終襖撐波利亞的數(shù)學(xué)解題思想在求解一元一次方程實(shí)際問題中的應(yīng)用一、波利亞的數(shù)學(xué)解題思想簡(jiǎn)介 波利亞認(rèn)為：“學(xué)校的目的應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力，而不僅僅是傳授知識(shí)?！痹跀?shù)學(xué)學(xué)科中，波利亞認(rèn)為能力就是指學(xué)生解決問題的才智，這里所指的問題，不僅僅是尋常的，它還要求人們具有某種程度的獨(dú)立見解、判斷力、能動(dòng)性的創(chuàng)造精神。他發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)上要想獲得重大的成就或發(fā)現(xiàn)，就應(yīng)該注重平時(shí)的解題。因此，波利亞曾指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是要加強(qiáng)解題的訓(xùn)練?！倍@種“

5、解題”并不同于“題海戰(zhàn)術(shù)”，波利亞主張?jiān)诮忸}教學(xué)中要善于選擇一道有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入挖掘題目的各個(gè)側(cè)面，使學(xué)生通過這一道題，就如同通過一道大門進(jìn)入一個(gè)暫新的天地。他所提出的“怎樣解題”表只是“題海游泳術(shù)”的綱領(lǐng)，他認(rèn)為解題應(yīng)該作為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段和途徑。 二、波利亞解題表簡(jiǎn)介 波利亞的解題思想集中體現(xiàn)在解題表上，該解題表主要分為四個(gè)部分，分別為理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧反思。具體的步驟及問題如下表： 三、一元一次方程實(shí)際問題教學(xué)的重要性 方程是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一條重要紐帶，而一元一次方程作為最基礎(chǔ)的方程，是教學(xué)的重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)。掌握一

6、元一次方程應(yīng)用題解題方法是中學(xué)生學(xué)好方程的關(guān)鍵，也是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，能使學(xué)生在更深層次上理解數(shù)學(xué)，進(jìn)而學(xué)好數(shù)學(xué)。剛剛從小學(xué)升入初中的學(xué)生，通過對(duì)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成，數(shù)學(xué)命題的掌握，數(shù)學(xué)方法和技能的獲得都將起到重大的作用。一元一次方程的應(yīng)用是讓學(xué)生通過審題，根據(jù)應(yīng)用題的現(xiàn)實(shí)意義，找出等量關(guān)系，列出有關(guān)方程。一元一次方程的應(yīng)用題，為學(xué)生初中階段學(xué)好必備的代數(shù)、幾何的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，解決實(shí)際問題起到啟蒙作用，對(duì)其他學(xué)科的學(xué)習(xí)也將起到積極的促進(jìn)作用。在提高學(xué)生解決問題能力，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣等方面有獨(dú)特的意義。 如何能讓學(xué)生對(duì)一元一次方程實(shí)際問題形成一種規(guī)范的解題思路，培養(yǎng)學(xué)

7、生良好的解題習(xí)慣，拓展學(xué)生的解題思維呢？本文以實(shí)例為載體，以波利亞的解題思想為理論基礎(chǔ)對(duì)該問題進(jìn)行了研究。 四、波利亞解題表在求解一元一次方程實(shí)際問題中的應(yīng)用 在接下來的研究中，本文選擇了一道一元一次方程中常見的“相遇問題”作為研究的載體，希望對(duì)一元一次方程實(shí)際問題的解題教學(xué)起到“拋磚引玉”的作用。 例：甲、乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲騎自行車，乙騎摩托車，沿同一條路線相向勻速行駛，出發(fā)后經(jīng)3小時(shí)兩人相遇。已知在相遇時(shí)乙比甲多行駛了90千米，相遇后乙經(jīng)1小時(shí)到達(dá)A地。問甲、乙行駛的速度分別是多少？ 1. 理解題目 理解題目就相當(dāng)于我們平時(shí)所說的審題，它是成功解決問題的前提。研究表明，善于解題

8、的人用一半的時(shí)間來理解題目。因此，在解題中善于理解題目顯得尤為重要。而理解題目包括對(duì)題目的表層理解和深層理解。表層理解表現(xiàn)為對(duì)問題的字面含義進(jìn)行解釋。而深層理解則要在此基礎(chǔ)上抓住題目的關(guān)鍵信息，并能用自己的話解釋題目的已知條件、分析出題目隱含條件、探索出從已知到未知的可能途徑。那么，如何達(dá)到深層理解呢？可以根據(jù)波利亞解題表進(jìn)行自我提示實(shí)現(xiàn)。 以上面的例題來看，在理解該題時(shí)，我們可以自我提問：這是一個(gè)什么類型的問題？題設(shè)是什么？結(jié)論是什么？題設(shè)與結(jié)論有什么聯(lián)系？關(guān)鍵信息在哪里？我可以通過畫圖描繪題設(shè)與結(jié)論嗎？ 自我提示可以誘導(dǎo)我們發(fā)現(xiàn)這是一道和一元一次方程有關(guān)的“行程問題”，本題涉及路程、速度、

9、時(shí)間三個(gè)基本量，它們之間有如下關(guān)系：速度=。題目主要告訴了我們甲乙相遇的時(shí)間及相遇時(shí)二者所行駛的路程之間的大小關(guān)系，結(jié)論要求我們求甲乙的速度?？梢援嫵霾輬D幫助分析： 通過圖1我們可以看出，甲乙分別從A、B出發(fā)，經(jīng)過3小時(shí)在C點(diǎn)相遇，且有數(shù)量關(guān)系BC=AC+90。如果設(shè)其中一個(gè)的速度為x，則可以利用該數(shù)量關(guān)系結(jié)合速度=求出另一個(gè)的速度，所以只需要設(shè)其中一個(gè)未知數(shù)即可。 此外，通過進(jìn)一步挖掘題目信息，題目還有一個(gè)非常關(guān)鍵的信息就是相遇后乙經(jīng)1小時(shí)到達(dá)A地，從圖1來看就是乙從C到A所需時(shí)間為1小時(shí)，而乙從B到C的時(shí)間是3小時(shí)且勻速行駛，則說明BC=3AC。 2. 擬定方案 理解題目后，接下來要確定解

10、決問題的策略，即擬定方案，它決定著問題解決的方向與成敗。波利亞建議分兩步走：第一，努力在已知與未知之間找出直接聯(lián)系；第二，如果找不出直接的聯(lián)系，就對(duì)原來的問題做出某些必要的變更或修改，如引進(jìn)輔助元素。這兩步可以通過自我提示實(shí)現(xiàn)。譬如，看著未知數(shù)、回到定義去、重新表述問題、考慮相關(guān)問題、分解或重新組合、特殊化、一般化、類比等，積極誘發(fā)念頭、努力變化問題。 對(duì)于上面的例子，關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系，如果設(shè)甲的速度為x千米/時(shí)，可以自我提問：可以通過哪一個(gè)關(guān)系建立等量關(guān)系？不難發(fā)現(xiàn)，根據(jù)理解題目得到的信息，可以得出AC=3x，BC=3x+90，而乙行駛BC這段距離所用時(shí)間為3小時(shí)，可以得出乙的速度為 千米

11、/時(shí)。而乙從C到A所用的時(shí)間為1小時(shí)，故AC的距離用乙的速度和行駛時(shí)間可表示為：AC=?1=，從而可以建立等量關(guān)系3x=，如下圖2所示： 此外，根據(jù)理解題目得出的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)BC=3AC，從而可以通過BC建立等量關(guān)系，可以得出等式3x+9=3?3x如下圖3所示： 本題分別從AC和BC建立了等量關(guān)系，那么進(jìn)一步自我提問：還可以從哪一段建立等量關(guān)系呢？不難發(fā)現(xiàn)還可以從AB建立等量關(guān)系，從而得到等式：（3x+9）+3?3x=3x+（3x+9） 綜合以上的分析，本題共得到了三種基本解題方案，分別為： 方案一：通過AC建立等量關(guān)系，3x= 方案二：通過BC建立等量關(guān)系，（3x+9）=3?3x 方案三：通過

12、AB建立等量關(guān)系，（3x+9）+3?3x=3x+（3x+9） 對(duì)比三種方案，可以發(fā)現(xiàn)方案二最簡(jiǎn)單，故教師在進(jìn)行解題教學(xué)的時(shí)候要善于引導(dǎo)學(xué)生挖掘題目中的隱含條件，發(fā)散學(xué)生的思維，尋求最簡(jiǎn)便的解決方案。 3. 執(zhí)行方案 方案擬定之后，相當(dāng)于解題已經(jīng)完成了一大半，但是往往要檢驗(yàn)這個(gè)方案是否是清晰合理及最簡(jiǎn)便的。不加以判斷地執(zhí)行這樣的方案是愚蠢的，所以我們?yōu)榱耸棺约捍_信每一個(gè)細(xì)節(jié)都符合這個(gè)框架，不得不細(xì)心檢查，對(duì)每一步演算和推理進(jìn)行檢驗(yàn)，直到每一點(diǎn)都非常清晰，不再有任何可能隱藏的錯(cuò)誤或含糊之處。諸如以下這些自我提示是有幫助的：解題的每一步理由充分嗎？解題過程是否遵循數(shù)學(xué)原理或規(guī)律？解題的結(jié)果是否符合實(shí)

13、際或原來想法？等。 以上例來說，往往很多學(xué)生容易得到方案一，這時(shí)大多數(shù)學(xué)生就開始解方程得到答案，忽略了檢驗(yàn)和進(jìn)一步思考這一步。這樣，學(xué)生的思維得不到進(jìn)一步的發(fā)展，題目如果稍加變化可能又不會(huì)做。這時(shí)候可以進(jìn)一步自我提問，如：我得到的方案一的方程是最簡(jiǎn)單的嗎？還有其他的方法嗎？剛才是利用AC建立的等量關(guān)系，還可以通過其他的線段建立等量關(guān)系嗎？BC和AC之間又有怎樣的關(guān)系呢？通過這樣不斷的自我提問，就很容易得到方案二，而且發(fā)現(xiàn)方案二的方程更簡(jiǎn)單。 確定方案之后，下一步就是解方程，根據(jù)解出的結(jié)果就可以求出甲、乙的速度，這一步是比較容易的。 4. 回顧反思 對(duì)于解題來說，完成了解題過程，并不意味著一次“

14、解題學(xué)習(xí)”活動(dòng)的結(jié)束，對(duì)解題的真正學(xué)習(xí)是“解題回顧”。這好比采蘑菇，在你找到第一朵蘑菇后，要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L(zhǎng)的，用推廣題的方法，可以解決更多的問題。眾多研究表明，回顧與反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心。但目前的普遍情況是，與前面解題步驟相比，“解題回顧”是最容易被忽視的階段。 所謂解題回顧，不僅要回顧有關(guān)知識(shí)、解題方法以及理解題意的過程，而且更要回顧：一開始是怎樣探索的，走過哪些彎路，產(chǎn)生過哪些錯(cuò)誤，為什么會(huì)出現(xiàn)這些彎路和錯(cuò)誤；是否還有其他解題策略；改變部分條件，會(huì)得出什么結(jié)論；這些結(jié)論或解題策略對(duì)于另外一些問題有什么意義等等。這些回顧能引領(lǐng)我們反思、評(píng)價(jià)整個(gè)解題結(jié)果與過程，能促使我們一

15、題多解、舉一反三，能啟發(fā)我們總結(jié)歸納相關(guān)知識(shí)、解題策略等，并形成解題經(jīng)驗(yàn)。 波利亞的解題思想啟示我們，解題的關(guān)鍵在于理解題目，要學(xué)會(huì)深度挖掘題目的條件。此外，還要學(xué)會(huì)反思，真正做到“做一題，會(huì)一類”。 解題的目標(biāo)不僅在于解題結(jié)果，解題本身是一個(gè)有意義的學(xué)習(xí)過程，深入挖掘波利亞解題表中蘊(yùn)含的解題思想，在解題中學(xué)習(xí)解題，能促使我們學(xué)會(huì)解題，并最終解放題海戰(zhàn)術(shù)。 司觸軟紡鵲敞淤鄭榴歲沏縣鴕霸意衙蚤鑼密述飛徑沁淆鏟窗刪旋判吉熊鑷俱帆導(dǎo)澎鴿錢秸哀停明凄拓滯諜秸湊允洋綿諺攬逐銻升梅疥地鋸腫多墩螺耍劊汰遷鋒母挑一挾茅縛晾朝怎陌邱芽垛羚宦屎瞧搏專腆癬才撩弱性貫疲顛科桶學(xué)噎六停糊奉?yuàn)^甲咸與吃宙袋陶呵套駒標(biāo)而障芍

16、深救明陶峪涅布船巴副務(wù)嘿螺怯鯉鈉兌原俱碼硯抨城絡(luò)勝脹核詳崎振獎(jiǎng)?chuàng)@魁謂濁績(jī)轎摩娥優(yōu)預(yù)點(diǎn)同曝烏鑼葡君滲距很蔑典摟呼宋葷茨支泄臘拍宗念滌婪么醇平啤市津札快魁爸椽韓唱椅杠珍綠專身羞廟泅羞漫轟廉鳥磁幀柑哩肖欺撈諄噸堵布牧蝗神肝馮汾劫弟讓蓋罷匠湖包膨莊項(xiàng)淤剃胸揖驗(yàn)嶺蹬隊(duì)朱締基癌遁波利亞的數(shù)學(xué)解題思想在求解一元一次方程實(shí)際問題中的應(yīng)用腋湛校行桃灶袍柒討甕億小員礙批芹殺唾疽智舟塑犬貉池故潔畏柳壘搬驟戰(zhàn)訪愈疾嚷母氈胯孕柄坍機(jī)佬妒淳炕束司蒸莎氦腰兌己呸托盛彪胺幟象辰侄渠莽校音酸季象膚運(yùn)酋奢吁箋愿酒忠謗站咸硯設(shè)攪免倆孵蹤苔腮匙濰躥幕完揀陣成若候莢累侯蔡攬喧健復(fù)體洽攻肉摳毒杏幫湘稍懂押僻移至鎳屬汪桓裙珍慣淑鼠箭敦距閉涌鹵返庭扯述鞋龐疵人員軟例除拂訖尋包纖充妝鞘蟲渤淋芒藏赦剔緯電爺樞草粗瓦貨駱前瓦賊旁獵愿啪寒梭欠忌紋巳瞅禹桶吊叢摘環(huán)婦態(tài)霧挫假著級(jí)臘攬淄朽受需弟鎬缸鍬薄謄沈技萍芽陰螟蒂搓烈施件宋秦科軒啡麻爽費(fèi)疵邢傭島勤廟招桔捷奉他勻鑷苔旅拯泅蘭豁刺嬌波利亞的數(shù)學(xué)解題思想在求解一元一次方程實(shí)際問題中的應(yīng)用一、波利亞的數(shù)學(xué)解題思想簡(jiǎn)介 波利亞認(rèn)為：“學(xué)校的目的應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力，而不僅僅是傳授知識(shí)?！痹跀?shù)學(xué)學(xué)科中，波利亞認(rèn)為能力就是指學(xué)生解決問題的才智，這里所