奧數(shù)專題-裂項(xiàng)法(一)(含答案)上課講義

1、奧數(shù)專題裂項(xiàng)法（一）（含答案）-學(xué)習(xí)好資料精品資料奧數(shù)專題一一裂項(xiàng)法(一)同學(xué)們知道：在計(jì)算分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，兩個(gè)分母不同的分?jǐn)?shù)相加減，要先通 分化成同分母分?jǐn)?shù)后再計(jì)算。(一)閱讀思考111例如丄丄 丄，這里分母3、4是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，公分母正好是它3412們的乘積，把這個(gè)例題推廣到一般情況，就有一個(gè)很有用的等式：11 n 1nn n 1 n(n 1) n(n 1)n 1 n 1n(n 1) n(n 1)1 1 1 即11n n 1 n(n 1)1 1 1或n(n 1) n n 1下面利用這個(gè)等式，巧妙地計(jì)算一些分?jǐn)?shù)求和的問題。【典型例題】例1.計(jì)算:1119861119871119881199

2、419951995 19961996 19971997分析與解答:111198519861985198611119861987198619871111987198819871988111199419951994199511119951996199519961111996199719961997上面12個(gè)式子的右面相加時(shí)，很容易看出有許多項(xiàng)一加一減正好相互抵消 變?yōu)?,這一來問題解起來就十分方便了。111 1119851198619861987198719881995 1996199619971997111 11 11111985198619861987198719881995199619961

3、11199719971985像這樣在計(jì)算分?jǐn)?shù)的加、減時(shí)，先將其中的一些分?jǐn)?shù)做適當(dāng)?shù)牟鸱?，使得其中一部分分?jǐn)?shù)可以相互抵消，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化的方法，我們稱為裂項(xiàng)法例2計(jì)算：J1 1121231123100公式的變式12n n (n 1)當(dāng)n分別取1, 2, 3,，100時(shí)，就有1 21 r_21 2r_21 2 TOC o 1-5 h z 1233 41 21234 451 21210010010111212312 2 2 2233 41 1 1(12233 4111112 (12233412 (1 )1012 1002 2991001001011 1 )99100100 1011111 )9910

4、01001011001012001011燙1011 1 1例3.設(shè)符號(hào)（八代表不同的自然數(shù)，問算式6廠中這兩個(gè)符號(hào)所代表的數(shù)的數(shù)的積是多少?1分析與解：減法是加法的逆運(yùn)算，611一一就變成（）組解，即1，與前面提到的等式-1n(n1）相聯(lián)系便可找到一142另外一種方法設(shè)n、x、y都是自然數(shù)，且丄時(shí),y利用上面的變加為減的想法，得算式71。nx y1這里丄是個(gè)單位分?jǐn)?shù)，所以yn 一定大于零,假定x n t 0，則x n t，代入上式得，即t是n又因?yàn)閥是自然數(shù)，所以t一定能整除的約數(shù)，有n個(gè)t就有n這一來我們便得到一個(gè)比1n(n1）更廣泛的等式，即當(dāng)2牛n，t是n2的約數(shù)時(shí)，一定有n n t n

5、(n t)上面指出當(dāng)X n t , y L n , t是n2的約數(shù)時(shí)，一定有-，這 tn x y里 n 6, n236 , 36 共有 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 九個(gè)約數(shù)。當(dāng)t1時(shí)，X7 , y42當(dāng)t2時(shí)，X8, y24當(dāng)t3時(shí)，X9, y18當(dāng)t4時(shí)，X10, y15當(dāng)t6時(shí)，X12 , y10當(dāng)t9時(shí)，X15 , y10當(dāng)t12時(shí),X18, y9當(dāng)t18時(shí),X24, y8當(dāng)t36時(shí),X42 , y 7故（）和 所代表的兩數(shù)和分別為49, 32, 27, 25。【模擬試題】（答題時(shí)間：20分鐘）二嘗試體驗(yàn)：1.計(jì)算：11 1111 2233 49899991

6、001 1 1111111 111112.計(jì)算36101521283645556678911051203.已知x、y是互不相等的自然數(shù)，當(dāng)丄1-時(shí)，求fc x y。18Xy【試題答案】1.計(jì)算:1 198 9999 10011122311001111989999100991002.計(jì)算111111111 11111:3610152128364555667891105120222222222222226122030425672901101321561822102401111111112(2334455667788991010 111 1 1 1 1 )11121213131414151516)1 1 13.已知x、y是互不相等的自然數(shù)，當(dāng) 一 時(shí)，求x y18 x yx y的值為：75，81，96，121，147，200，361。因?yàn)?8的約數(shù)有1, 2, 3, 6, 9，18,共6個(gè)，所以有1 1 1 1 11818 (1 1)363611 2111818(12)542754278111 3111818(13)722472249611 6111818(16)126212112614711 911