極限的解法與技巧-匯總

1、-. z.極限的求法與技巧極限是解決數(shù)學(xué)問題的一種有效的工具。以以下舉種方法，并附有例題。1.運(yùn)用極限的定義例：用極限定義證明:證: 由取 則當(dāng) 時(shí),就有由函數(shù)極限定義有:2.利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限預(yù)備知識：假設(shè)數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列，即存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，有 .此方法的解題程序?yàn)椋?、直接對通項(xiàng)進(jìn)展分析或用數(shù)學(xué)歸納驗(yàn)證數(shù)列單調(diào)有界；2、設(shè)的極限存在，記為代入給定的表達(dá)式中，則該式變?yōu)榈拇鷶?shù)方程，解之即得該數(shù)列的極限。例：假設(shè)序列的項(xiàng)滿足且,試證有極限并求此極限。解 由 用數(shù)學(xué)歸納法證明 需注意.又 為單調(diào)減函數(shù)且有下界。令其極限為由 有：即 從而 .3.利用等價(jià)無窮小替換常用的等價(jià)無

2、窮小關(guān)系：等價(jià)無窮小代換法 設(shè) 都是同一極限過程中的無窮小量，且有：， 存在，則 也存在，且有= 例:求極限 解: =注： 在利用等價(jià)無窮小做代換時(shí)，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以互換，假設(shè)以和、差出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過代換后，往往改變了它的無窮小量之比的階數(shù)4利用極限的四則運(yùn)算法則 極限的四則運(yùn)算法則表達(dá)如下：假設(shè) (I)(II)(III)假設(shè) B0 則：IV c為常數(shù)上述性質(zhì)對于 總的說來，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。例：求 解: =5、利用兩個(gè)重要的極限。但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：例：求以下函數(shù)極限6.利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限此方

3、法必須在牢記重要極限的形式和其值的根底上，對所求式子作適當(dāng)變形，從而到達(dá)求其極限的目的，這種方法靈活，有相當(dāng)?shù)募记尚浴＠呵?.解 = = = = =例：求極限 .解 = = = = =7、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系。 I假設(shè)： 則 (II) 假設(shè): 且 f(*)0 則 例: 求以下極限 解: 由 故 由 故 =8. 變量替換例 求極限 . 分析 當(dāng)時(shí),分子、分母都趨于,不能直接應(yīng)用法則,注意到,故可作變量替換. 解 原式 = = (令,引進(jìn)新的變量,將原來的關(guān)于的極限轉(zhuǎn)化為的極限.) =. (型,最高次冪在分母上) 9. 分段函數(shù)的極限例 設(shè)討論在點(diǎn)處的極限是否存在. 分析 所給函數(shù)是分段

4、函數(shù),是分段點(diǎn), 要知是否存在,必須從極限存在的充要條件入手. 解 因?yàn)?所以 不存在. 注1 因?yàn)閺牡淖筮呞呌?則,故. 注2 因?yàn)閺牡挠疫呞呌?則,故.10、利用函數(shù)的連續(xù)性適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限。例：求以下函數(shù)的極限 2 11、洛必達(dá)法則適用于未定式極限定理：假設(shè)此定理是對型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。注：運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：要注意條件，也就是說，在沒有化為時(shí)不可求導(dǎo)。應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。要及時(shí)化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，假設(shè)遇到不是未定式，應(yīng)立即停頓使用洛必達(dá)法則，否則會引

5、起錯(cuò)誤。4、當(dāng) 不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。例： 求以下函數(shù)的極限 解：令f(*)= , g(*)= l, 由于但從而運(yùn)用洛必達(dá)法則兩次后得到 由 故此例屬于型，由洛必達(dá)法則有：=注:此法采用洛必達(dá)法則配合使用兩個(gè)重要極限法。 解法二: =注：此解法利用三角和差化積法配合使用兩個(gè)重要極限法。解法三:注:此解法利用了兩個(gè)重要極限法配合使用無窮小代換法以及洛必達(dá)法則 解法四:注:此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個(gè)重要極限的方法。 解法五:注:此解法利用三角和差化積法配合使用無窮小代換法。 解法六：令注：此解法利用變量代換法配合使用洛必達(dá)法則。 解法七:注:

6、此解法利用了洛必達(dá)法則配合使用兩個(gè)重要極限。12、 利用函數(shù)極限的存在性定理夾逼準(zhǔn)則定理: 設(shè)在的*空心鄰域恒有 g(*)f(*)h(*) 且有: 則極限 存在, 且有例: 求 (a1,n0)解: 當(dāng) *1 時(shí),存在唯一的正整數(shù)k,使 k *k+1于是當(dāng) n0 時(shí)有:及 又 當(dāng)*時(shí),k 有及 =013、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，以及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是左極限及右極限都存在且都等于A。即有：=A例：設(shè)= 求及由14、約去零因式此法適用于例: 求解:原式= =15、利用化簡來求極限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等變形)比方

7、 求此題要用到兩個(gè)知識點(diǎn)將分子有理化分母分解因式解：=通分法適用于型16、利用泰勒公式對于求*些不定式的極限來說，應(yīng)用泰勒公式比使用洛必達(dá)法則更為方便，以下為常用的展開式：1、2、3、4、5、6、上述展開式中的符號都有:例:求解:利用泰勒公式，當(dāng) 有于是 =17、利用拉格朗日中值定理定理:假設(shè)函數(shù)f滿足如下條件： (I) f 在閉區(qū)間上連續(xù) (II)f 在(a ,b)可導(dǎo)則在(a ,b)至少存在一點(diǎn),使得此式變形可為:例: 求 解:令 對它應(yīng)用中值定理得即: 連續(xù)從而有: 18.利用定積分和積分中值定理求極限比方設(shè)=，求解因?yàn)樗?19、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即假設(shè):(I)當(dāng)

8、時(shí)，有 (II)當(dāng) 時(shí)有:假設(shè) 則 假設(shè) 而 則假設(shè),則分別考慮假設(shè)為的s重根,即: 也為的r重根,即: 可得結(jié)論如下：例：求以下函數(shù)的極限 解: 分子，分母的最高次方一樣，故= 必含有*-1之因子，即有1的重根 故有:(2)無理式的情況。雖然無理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說明有理化的方法求極限。 例：求解: 20. 利用拆項(xiàng)法技巧例6：分析：由于=原式=21.分段函數(shù)的極限例8 設(shè)討論在點(diǎn)處的極限是否存在. 分析 所給函數(shù)是分段函數(shù),是分段點(diǎn), 要知是否存在,必須從極限存在的充要條件入手. 解 因?yàn)?所以 不存在. 注1 因?yàn)閺牡淖筮呞呌?則,故. 注2 因?yàn)閺牡挠疫呞呌?則,故. 22.利用數(shù)列極限與函數(shù)的極限等值關(guān)系來求極限此方法把數(shù)列極限化成函數(shù)