2022年上海市中生數(shù)知識應(yīng)用競賽

1、1 設(shè)是集合 A 中元素的一種運(yùn)算 , 假如對于任意的 x,y A , 都有 x y A , 就稱運(yùn) 算對集合 A 是封閉的 , 如 M x | x a 2b, a, b Z, 就對集合 M 不封閉的運(yùn)算是 A. 加法 B. 減法 C. 乘法 D. 除法 2（理）已知復(fù)數(shù) z1 m 2i , z2 3 4i ,如 z1 為實(shí)數(shù),就實(shí)數(shù) m 的值z2 為 A 8 B 3C 8D 33 2 3 2r r r r（文）已知向量 a =（ 2, 3）, b =（ 4,7）,那么 a 在 b 方向上的投影為 A 65 B 13 C 65 D 13 5 53（理）設(shè)函數(shù) f x= x+1 x-2 ,就 2

2、lim f x 等于 x 1 x 1A B 2. C D （文）已知 sin - = 1 , 就 cos 的值為 3 3 6A. 1 1 C. 2 3 2 3 3 3 3 34已知 , 均為銳角,如 p : sin sin , q : , 就 p 是 q 的） 2（ A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 2 25假如以原點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過雙曲線 x y 1a 0, b 0 的焦點(diǎn),而且被該雙曲線 a 2 b 2 的右準(zhǔn)線分成弧長為 2：1 的兩段圓弧,那么該雙曲線的離心率 e 等于 （ ） A 2 B 5 C 3 D 5 2|log 2 x| 6 函數(shù) y

3、2 的圖像大致是 7一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切, 已知這個(gè)球的體積是 32 ,那么 3這個(gè)三棱柱的體積是 第 1 頁,共 13 頁A 96 333D. 48 3每部分涂 2 28設(shè)直線 x=0 和 y=x 將圓 x +y =4 分成 4 部分, 用 5 種不同的顏色給四部分涂色, 一種且相鄰部分不能同種顏色,就不同的涂色方案有 120 種 240 種 260 種 280 種 9已知正方形 ABCD 的邊長是 4,對角線 AC 與 BD 交于 O,將正方 ABCD 沿對角線 BD 折60o 的二面角,并給出下面結(jié)論： 形 AC BD； AD 成 cos ADC= 3,就其中的

4、真命題是 CO； AOC 為正三角形； 4A . B. C D . 10（理）已知數(shù)列 log 3a n+1n N 為等差數(shù)列,且 a1=2,a 2=8,就 *lim 1 1 1 + 1 x a 2 a 1 a 3 a 2 a 4 a 3 a n1 a nA 1 B. 3 C. 14 4 2（文）某餐廳內(nèi)抽取 100 人,其中有 30 人在 15 歲以下, 35 人在 16 至 25 歲之間, 25 人在 26 至 45 歲之間, 10 人在 46 歲以上,就數(shù) 0.35 是 16 至 25 歲人員占總體分布的 A. 概率 B. 頻率 C. 累積頻率 D.頻數(shù) 11 已知函數(shù) f x 中意 f

5、 x f x , 且當(dāng) x , 時(shí), f x x sin x . 設(shè) 2 2a f 1, b f 2, c f 3 , 就 A. a b c B. b c a C. c b a D. c a b12. 如圓 x +y -ax+2y+1=0 和圓 x +y =1 關(guān)于直線 y=x-1 對稱,過點(diǎn) C（ -a,a ）的圓 P 與 2 2 2 2 y 軸 相切,就圓心 P 的軌跡方程是 2-4x+4y+8=0 2 +2x-2y+2=0 2-2x-y+1=0 其次卷（ 90 分） 4 小題,每道題 4 分,共 16 分 把答案填在答題卡對應(yīng)題號的橫線 2 C. y +4x-4y+8=0 二 填空題：

6、本大題共 上 2 13 x 1 6 5 2 x 開放式中 x 的系數(shù)為 . rr b | b 3t 2,6 t 1,t R , 就 14 理 已知集合 Mrr a | a 2t 1, 2 2t, t R, NM I N = . 文 已知直線 y=kx +4 與二次函數(shù) uuur uuur OA gOB = . 2 y=x 的圖象交于 A, B 兩點(diǎn), O 為坐標(biāo)原點(diǎn),就 15定義在 N 上的函數(shù) fx ,中意 f 1 1,且 fn+ 1 = 1 f n, n為偶2 數(shù) , f n, n為奇數(shù) . 就 f 22 = 第 2 頁,共 13 頁16有以下四個(gè)命題 y 2 sin x 3的最小值是 2

7、 3 ；已知 f x x x 11 , 10 就 ； 22 sin x f 4 f 3 ； x y = log a 2 + a a 0, a 1 在 R 上是增函數(shù)；定義R 上的偶函 數(shù) f x 中意 f x+1=- f x ,就 f 2= f 0. 在 其中真命題的序號是 把你認(rèn)為正確命題的序號都填上 三 解答題： 本大題共 17. （此題滿分 12 分）已6 小題,共 74 分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或推演步驟 OA = sin uuur x , 3 cos x , OB = cos uuru x ,cos x x R, 3 3 3 3 知 f x uuur uuur OA OB （

8、1）求函數(shù) f x 圖象的對稱中心的橫坐標(biāo) ; （2）如 x 0, 3 ,求函數(shù) f x 的值域 18甲,乙兩個(gè)盒子中裝有大小相同的小球,甲盒中有 2 個(gè)黑球和 2 個(gè)紅球,乙盒中有 個(gè)黑球和 3 個(gè)紅球,從甲乙兩盒中各任取一球交換； （1）求交換后甲盒中恰有 2 個(gè)黑球的概率； （2）（理）設(shè)交換后甲盒中黑球的個(gè)數(shù)為 ,求 的分布列及數(shù)學(xué)期望； （文）求交換后甲盒中的黑球數(shù)沒有削減的概率； 第 3 頁,共 13 頁19如圖已知四周體 PABC 中, AB BC 1, AC 2, PA PC P 3 , PC 2 , 且 PC 與平面 ABC 所成角是 4, E 是 AB 的中點(diǎn)； （1）求點(diǎn)

9、 P 在平面 ABC 內(nèi)的射影到直線 AB, AC 的距離； （2）求二面角 P EC B 的大小； , A E B C（3）求點(diǎn) B 到平面 PEC 的距離； 20（理）已知 f x x mm R x （1）如 m2 ,求函數(shù) g x 2f x ln x 在區(qū)間 1 , 2 2上的最小值； （2）如函數(shù) y log 1 f x 在區(qū)間 1, 上是增函數(shù),求實(shí)數(shù) m 的取值范疇； 2（文）已知函數(shù) f x 2 x 3 3 ax 2 3x , x R （ 1）如函數(shù)在 x 1 時(shí)取得微小值,求實(shí)數(shù) a 的值； （ 2）當(dāng) a 1 時(shí),求證： f x 在 1, 1 內(nèi)是減函數(shù)； 2第 4 頁,共

10、13 頁21（理）如以下圖：已知橢圓 2 x C : 2 a2 y 1 a b0, F1, F2 為其左,右焦點(diǎn), A 為 A x b2右頂點(diǎn),過 F1 的直線 l 與橢圓相交于 P, Q 兩點(diǎn),且有 112 ； PF1 QF1 F2 （1）求長半軸長 a 的取值范疇； y （2）如 uuur AP uuur AQ a2且 a4 9 , 3 5 ,求直線 l 的斜率的取值范疇； Q HF 1 O （ 文 ） 等 差 數(shù) 列 an 中 , 首 項(xiàng) a1 1 , 公 差 d 0, 已 知 數(shù) 列 P a , a ,a ,L L , a ,L L k1 k2 k3 kn 成等比數(shù)列,其中 k1 1,

11、k2 2, k3 5 ； （1）求數(shù)列 an , kn 的通項(xiàng)公式； （2）當(dāng) n N , n 2 時(shí),求和： s a1 1a2 1LLan 1； 2k1 2k2 2kn 第 5 頁,共 13 頁22（理）等差數(shù)列 an 中,首項(xiàng) a1 1 ,公差 d 0 ,已知數(shù)列 a , a ,a ,L L , a ,L L x 成等比數(shù)列,其中 k1 1,k2 2, k3 5 ； （1）求數(shù)列 an , kn 的通項(xiàng)公式； （2）當(dāng) n N , n 3 時(shí),求證： a2 2a3 2a4 2L L an 28； 2k2 2k3 2 k4 2kn 3（文）如以下圖：已知橢圓 C : x a2 y b2 1

12、a b0, F1, F2 為其左,右焦點(diǎn), A 為右頂 22y 點(diǎn),過 F1 的直線 l 與橢圓相交于 P, Q 兩點(diǎn),且有 112 ； Q HPF1 QF1 （1）求長半軸長 a 的取值范疇； F 1 O F 2A （2）如 uuur AP uuur AQ a 2 且 a4 , 9 3 5 ,求直線 l 的斜率的取值范疇； P 第 6 頁,共 13 頁 參考答案 一 題號 12345678910 11 12 答案 D理 B 理 DB A CDCA 理 A DC文 A 文 B 文 B 分 二（ 13） 160；（ 14）理 2,1 文 12；（ 15） 1；（ 16）； 1024 三 17 解

13、： 1 f x OA OB uuur uuur sin x cos x 3 cos 2 x -2 3 3 3= 1sin 2 x 31 cos 2 x 2 x sin 333-6 分 2322令 2 x 33k k Z 得： x 3k 1 k Z 2中心的橫坐標(biāo) : 3k 1 k Z - 8 分 22 由 0 x 3, 32 x 35,就 32 x sin 331392所以 f x 值域 : 3,1 3 -12 分 218解：（ 1）甲乙兩盒各取一個(gè)球交換后,甲盒中恰有 2 個(gè)黑球有下面幾種情形： 取出的兩個(gè)球都是黑球,就甲盒恰好有 2 個(gè)黑球的大事記為 A1, 就 PA1 1 1C2 C2

14、13 分 1 1C4 C5 5取出的兩個(gè)球都是紅球,就此時(shí)甲盒中恰有 2 個(gè)黑球的大事記為 A2,就 PA 1 1C2 C3 323136 分 8 分 1 CC1 510 故 P1=P（ A1） +P（ A2） = 1510 2（ 2）（理）就 的分布列為： 1P 3 10 112510 分 E= 310 1+ 1 2+ 1 3=192 5 10 12 分 A3, （文）設(shè)從甲盒中取出紅球,乙盒中取出黑球交換為大事 就 P（ A3） C1C11, 10 分 221 1C4 C5 5第 7 頁,共 13 頁所以概率為 P2 P1 P（ A3） 7； 10 12 分 P HG F C19解：（ 1

15、）由 AB BC 1, AC 2, PA PC 3 , PC 2得到： PAB PCB ABC 90 , 設(shè)點(diǎn) P 在平面 ABC 內(nèi)的射影是O,就 OP BP sin 42 , 2 分 點(diǎn) 由 PA AB, PC BC 得到： OA AB ,OC BC ,且 OA OC 1,所以點(diǎn) O 到直線 AB, AC 的距離都是等1； 4 分 O E 于 （2）取 BC的中點(diǎn) F,連接 OF交 CE于點(diǎn) G,正方形 ABCO中,可以證明OF CE , 到 所以 PGF 為所求二面角的平面角； 6 分 A B CG OC CF 5OG 25,所以 tan PGO OP 210 , OF 55OG 2 5

16、 25所以所求二面角的大小是 arctan 10 ； 8 分 B 到平面 PCE 距 離 2（3）設(shè) OB 交 CE 于點(diǎn) R,就 OR 2BR,所以O(shè) 到平面 PCE 的距離等于點(diǎn) 點(diǎn) 的 2 倍, 過點(diǎn) O 作直線 OH 垂直 PG 且相交于H,就 OH 平面 PCE, 28 ； 12 分 點(diǎn) OH OP OG 22528 ,所以點(diǎn) B 到平面 PEC 的距離7 是 5PG 214 45留意：（ 2）,（ 3）可以用空間向量做； 20（理）解： （ 1） g x x mln x,就 g x 1m1 x 122 x m1, 242 x x x （一）如 m1時(shí), g x 0 , g x 是

17、1, 2 上的增函數(shù), 42所以 g x min g112m ln 2 3 分 22（二）如 1m2 時(shí),由 g x 01 ,2 2, 4得到 x 1m11, x 21m124224第 8 頁,共 13 頁且 x 1, x2 時(shí), g x 0 , x x2 ,2 時(shí), g x 0 , F 2 A x 2所以 g x min g x 1m11m1ln 1m124m24242m1ln 1m1； 6 分 424（2）由條件得到 f x 在區(qū)間 1, 上是減函數(shù)且 f x 20 在區(qū)間 1, 上恒成立, f x 1m0m2 x 在區(qū)間 1, 上恒成立,得到 m 1, 9 分 2 x f x 20 在區(qū)

18、間 1, 上恒成立,得到 f 120 ,即 m3, 所以實(shí)數(shù) m 的取值范疇是： 3,1 ； 12 分 20（文）解：（ 1） f x 2 x 33ax23x f x 2 x 2 ax 3 由 f 1 0a1 , 4 分 又 a 1 時(shí), f x x 3 x 1,x 3,1 時(shí), f x 0 ,x 1, 時(shí), f x 0 ,所以 f x 在 x 1 時(shí)取得微小值,所以 a 1 ； 6 分 （2） f x x2 2ax 3 是 x 的二次函數(shù), 12a 1 且對稱軸方程 a 2, 1a1, x 221a1 48 分 42f 1 22a32a 10 , f 1 22a 32a 10 10 分 f

19、x 在 1, 1 內(nèi)恒有 f x 0 f x 在 1, 1 內(nèi)是減函數(shù) 12 分 21（理）解：（ 1）如直線 l 與 x 軸垂直,簡潔得到 112 a PF1 QF1 b2如直線 l 與 x 軸不垂直,就如圖分別過點(diǎn) P, Q 作左準(zhǔn)線的垂線,垂足分別P1, Q1, y 為 得到： PP1 a F P , QQ1 a F Q ,由三角形相像得到 Q1 S Q Hc c RT F1 O P1 P 第 9 頁,共 13 頁b2a PF1 a PF 2c c PF1 b2PF QF a PF 12a PF QF 1a PF 1QF a QF1 a PF1 PF1 QF1 c c 所以 112a 2

20、, b3 分 PF1 QF1 從而有： 2a 2a2 b ,所以 a2a0 得到： a 1 ； 5 分 b2 （2）設(shè)直線 l的方程為 x my c 代入橢圓方程得a2 b2 m 2 y2 2b2cmy b 4 0 , 到： 設(shè) P x1 , y1 ,Q x2 , y2 ,就有： y1 y2 a2b2 cm , y1 y2 a2b 4 2 2b m , 22 2b m 所以 x1 x2 m y1 y2 2c a22 2 a c , 2 2b m x1 x2 my1 c my2 c 2 m y1 y2 mc y1 y2 2 c a2 a2b 2 m 2 2 2b m c 2 , 7 分 uuur

21、 得到 AP uuur AQ x1 a x2 ay1 y2 x1 x2 a x1 x2 a2y1 y2 2 2aa c 2 2 2a b m a2b4a22 aac 2a2a22 2 b m a22 am m22ac 2 c 1 2a2aa11, 10 分 aa當(dāng) a4 , 9 3 5 時(shí), m2 隨著 a 增大而增大,所以 11 m2 119 , 45 12 所以斜率 k 中意： 45 2 k 12 , 11 119 所以斜率的取值范疇是 233 , 3 595 119 3595 2 , 33 119 11 ； 12 分 11 2（文）（ 1 ）解： a2 a1 a5 1d211 4d d2

22、 , an 2n 1 , 3分 a kn 2k n1 , qa2 3 ,所以 a kn n 1 3, 又等比數(shù)列中,公比 a1 第 10 頁,共 13 頁2kn 13n 1 kn 3n 1 1； 11, 6 分 2（2）解： s 1135LL2n 1 , 3 0 3 1 3 2 1 3snL2n 3 n 1 32n 35 3 3 L3 1 3 2 3 n 13 n 相減得到： 2s 122L L 322n 11 2 1212n 122n 23n 331 32 3n1n 3n 33n所以 s 3n1； 36 分 9 分 2n n, 313 分 3n 1 2 22（理）（ 1）解： a2 a1 a

23、5 1d211 4d d2 , an 2n 1 , 3 分 a kn 2k n1 , 又等比數(shù)列中,公比 qa2 3 ,所以 ak nn 31, a1 2k n13n 1 k n3n11； 2（2）（理）證明： am 22m 1mN , m 2, 2k m3 m 1 1m2 時(shí), 2m m 1 3113 , 212m , 1m2m, 2m m 3 時(shí), Q 33m 1 13m 1 記 s 6810 L2n ,就 1 s 36810 L2n 2 323 3343n 1 3 34 35 33n 1 相減得到： 2s 222L322n 22 3 32 n 3 12n n, 333334 3n13n313所以 s 1 123n1n n 1 37 , 663所以 a2 2a3 2a42L L an 22 k2 2k3 2 k4 2 kn 第 11 頁,共 13 頁36810 L2n x 223 2 3 3 3 4 3 n 1 378； 14 分 632（文）解：（ 1）如直線 l與 x 軸垂直,簡潔得到 112a y PF1 QF1 b2如直線 l 與 x 軸不垂直, 就如圖