鋼管下料優(yōu)化方案

1、防盜窗鋼管下料優(yōu)化模型摘要本文主要解決在工程施工過(guò)程中鋼管下料的最優(yōu)方案，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型， 及在遇到原料不能滿(mǎn)足我們的生產(chǎn)需要時(shí)如何建立一個(gè)優(yōu)化的方案并切實(shí)可行，且能使 雙方的利益最大.對(duì)上述問(wèn)題，將鋼管下料問(wèn)題分為圓形鋼管下料和方形鋼管下料，簡(jiǎn)化問(wèn)題.同時(shí) 考慮到原料價(jià)格對(duì)選擇方案的影響，通過(guò)查閱相關(guān)資料得知原料的價(jià)格與長(zhǎng)度成正比.對(duì)圓形鋼管原料和訂購(gòu)商所需規(guī)格鋼管的材料總長(zhǎng)分析可得，原料足以滿(mǎn)足所 需，主要考慮生產(chǎn)廠家在滿(mǎn)足訂單生產(chǎn)條件下，使自己所使用的鋼管原料的總費(fèi)用最少， 剩余廢料最省作為最終目標(biāo).同理分析得方形管原料總長(zhǎng)不足以滿(mǎn)足訂單生產(chǎn)的需要，故應(yīng)先滿(mǎn)足訂單規(guī)格 中米數(shù)較長(zhǎng)

2、的量.因從廠家利益考慮，規(guī)格米數(shù)越長(zhǎng)單價(jià)越高；而對(duì)訂購(gòu)商而言，規(guī)格 較長(zhǎng)的量比規(guī)格短的量作用大.故我們例舉出針對(duì)圓形或方形的所有可行的下料方案，建立本文中的線性?xún)?yōu)化模 型，最終使用lingo.12計(jì)算的出如下結(jié)果：一.圓形鋼管分割方案：對(duì)模型一、二分析得出最終使用模型二，具體數(shù)據(jù)如下：（分析詳見(jiàn)正文）模式1.5m1.8m1.2m原料用量（根）原料總用 量（根）余料（m）4米模式三013780689689275.66米模式七5000012589990模式八160008000800080000模式十026220874524.4合計(jì)1650012000800096889688800二.方形鋼管分割方

3、案:模型具體結(jié)果如下：模式1.4m1.7m3m原料用量 （根）原料總用 量（根）余料（m）4米模式三0400002000200012006米模式五002000100020000模式八16000800800160模式九600200020020合計(jì)220042002800400040001380【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃費(fèi)用最省 余料最省LINGO12.0問(wèn)題的提出某不銹鋼裝飾公司承接了一住宅小區(qū)的防盜窗安裝工程，為此購(gòu)進(jìn)了一批型號(hào)為304的不銹鋼鋼管，分為方形管和圓形管兩種，具體數(shù)據(jù)如下表：表1-1規(guī)格長(zhǎng)4m長(zhǎng)6m方形管25X25X 1.2(mm)5000 根9000 根圓形管 19 X 1.2(mm)

4、2000 根2000 根根據(jù)小區(qū)的實(shí)際情況，需要截取鋼管的規(guī)格與數(shù)量如下:表1-2圓形管規(guī)格1.5m1.8m1.2m方形管規(guī)格1.4m1.7m3m數(shù)量(根)16500120008000數(shù)量(根)600042002800根據(jù)上述的實(shí)際情況建立數(shù)學(xué)模型，尋找經(jīng)濟(jì)效果最優(yōu)的下料方案，使得廠家在滿(mǎn) 足訂購(gòu)商的訂單需要的同時(shí)還能節(jié)約原料.問(wèn)題的分析通過(guò)題目可知，要求我們?cè)陬}目所給定的條件下，找尋最佳下料方案，使?jié)M足各種 需要的前提下所使用的原材料的費(fèi)用、所使用的量和所剩的余料最省.圓形鋼管原材料的總長(zhǎng)：4 x 5000+6 x 9000=74000 (m),訂單產(chǎn)品的總長(zhǎng)：1.5 x 16500+1 .

5、8 x 12000+1.2 x 8000=55950 (m).方形鋼管原材料的總長(zhǎng)：4 x 2000+ 6 x 2000=20000 (m ),訂單產(chǎn)品的總長(zhǎng)：1.4 x 6000+1.7 x 4200+3 x 2800=23940 (m ).通過(guò)計(jì)算，分析得出問(wèn)題中的圓形鋼管原料足夠多，在使用時(shí)主要考慮所使用的原 材料的費(fèi)用、使用量和切割之后的余料最少；而方形管的原材料明顯不能滿(mǎn)足生產(chǎn)需要， 此時(shí)應(yīng)首先考慮切割不同長(zhǎng)度的鋼管的優(yōu)先問(wèn)題.通過(guò)查閱網(wǎng)絡(luò)資料可得網(wǎng)絡(luò)上對(duì)于304不銹鋼鋼管的單價(jià)是50元/公斤，而相應(yīng)的 不銹鋼管重量公式：（外徑-壁厚）x壁厚x 0.0249=每米的重量（千克/米）又

6、因?yàn)樵谖覀兊脑牧现?，?guī)格都為19X1.2（mm）,所以可得每米的重量都是一 定的，故我們可以得到每根鋼管的單價(jià)與原材料的長(zhǎng)度成正比，比例系數(shù)為k,即6米管 的單價(jià)是6k，4米的單價(jià)是4k，所以6米管的單價(jià)是4米管的6k/4k=1.5倍.因此在處理這個(gè)問(wèn)題時(shí)對(duì)于生產(chǎn)廠家而言，應(yīng)考慮所生產(chǎn)的成品規(guī)格越長(zhǎng)利益越 大；對(duì)于訂購(gòu)商而言，規(guī)格長(zhǎng)度越大材料的使用性越大.通過(guò)上訴分析可得，應(yīng)該在原有 材料使用完的情況下先滿(mǎn)足規(guī)格為3米的鋼管，其次是1.7米的鋼管，再次生產(chǎn)1.4米 的鋼管.然而此類(lèi)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)中最優(yōu)解的求解問(wèn)題，這是典型的線性?xún)?yōu)化，故該問(wèn)題可 以建立線性?xún)?yōu)化方程解決.模型假設(shè)假設(shè)鋼管切割過(guò)程

7、中無(wú)原料損耗或損壞；假設(shè)所生產(chǎn)的各種規(guī)格的鋼管不能通過(guò)焊接產(chǎn)生;假設(shè)同種鋼管采用的切割模式數(shù)量不限；假設(shè)每種鋼管的單價(jià)相同且與長(zhǎng)度成正比.四.符號(hào)說(shuō)明尤表示采用第i種模式下切割的鋼管數(shù)id表示第i中模式下的第j種規(guī)格下的根數(shù)ijci表示第i種模式下的余料a表示第j種規(guī)格的需求量jyi表示使用4米的原料所以使用的根數(shù)y2表示使用6米的原料所以使用的根數(shù)y3表示生產(chǎn)規(guī)格為1.5米的鋼管總數(shù)y4表示生產(chǎn)規(guī)格為1.8米的鋼管總數(shù)y5表示生產(chǎn)規(guī)格為1.2米的鋼管總數(shù)y6為滿(mǎn)足生產(chǎn)需求產(chǎn)生的余料總和k表示單位長(zhǎng)度或者單位公斤數(shù)鋼管原料的價(jià)格五.模型的建立與求解針對(duì)題目的要求我們將鋼管下料方案分為圓形鋼管和

8、方形鋼管兩類(lèi)，簡(jiǎn)化問(wèn)題，并 建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型.首先根據(jù)題目已知條件可得要先給4米和6米不同規(guī)格的原材料進(jìn)行 分割，因此產(chǎn)生了不同的切割模式，選取最佳切割模式才是所要求的下料方案.其中切割 所剩的余料必須小于所需切割的最小長(zhǎng)度，在條件滿(mǎn)足的不同組合的情況下，得知圓形 管的切割方案有17種；方形鋼管的切割方案有11種，具體切割方案如下：5.1圓形鋼管5.1.1圓形鋼管的切割方案表5-1模式1.5m1.8m1.2m余料（m）圓 形4米切割模式模式一0030.4模式二2001模式三0200.4模式四0111模式五1020.1模式六1100.76 米 切 割 模 式模式七4000模式八2110模式九00

9、50模式十0300.6模式十一0130.6模式十二1030.9模式十三1200.9模式十四0220模式十五3010.3模式十六2020.6模式十七1120.35.1.2圓形鋼管的下料模型建立針對(duì)圓形管的切割方案，我們假設(shè)原材料采用模式i切割的數(shù)量為x（x必須為大 于1的正整數(shù)），那么目標(biāo)函數(shù)即為使生產(chǎn)廠家在完成訂單需要的情況下所使用的原材 料最少，同時(shí)所使用的原料的費(fèi)用最少，且又因6米管的原料單價(jià)是4米管的1.5倍， 所以目標(biāo)函數(shù)是：minz = k x（原料中4米的總根數(shù)）+1.5k x（原料中6米的總根數(shù)）又由已知條件可得，所生產(chǎn)的量必須滿(mǎn)足訂購(gòu)商的需要，即1.5m圓管16500根，1.8

10、m 圓管12000根，1.2m圓管8000根，因此產(chǎn)生以下三個(gè)目標(biāo)函數(shù)的約束條件：生產(chǎn)規(guī)格中所有的1.5米的總根數(shù) 16500 生產(chǎn)規(guī)格中所有的1.8米的總根數(shù) 12000生產(chǎn)規(guī)格中所有的1.2米的總根數(shù) 8000min z = k x +1.5. E xi=1i=7因此可得如下數(shù)學(xué)模型:2E x 5000i=1E x 0（x為整數(shù)） ,i=1iiE E j 匕1 i=1 J =1利用lingo12.0編程運(yùn)算得出最終結(jié)果如下表：（程序代碼詳見(jiàn)附錄1）表5-2模式1.51.81.2原料用量原料總 用量余料4米模式三013780689689275.66米模式七5000012589990模式八16

11、0008000800080000模式十026220874524.4合計(jì)1650012000800096889688800且對(duì)于模型中鋼管每米的單價(jià)k進(jìn)行不同程度改變，得知k的值不會(huì)影響生產(chǎn)過(guò)程 中我們對(duì)模式的選擇，只會(huì)相應(yīng)的改變?cè)铣杀?，影響相?yīng)的利潤(rùn).通過(guò)對(duì)上表的結(jié)果 進(jìn)行分析得，該模型已經(jīng)滿(mǎn)足生產(chǎn)不同規(guī)格鋼管的需要，且沒(méi)有多余的生產(chǎn)量，但該模 型只考慮到所用的原料費(fèi)用最省，不一定滿(mǎn)足所要求的生產(chǎn)訂單過(guò)后的余料最省，也就 是不一定滿(mǎn)足原料的使用率最大，故我們對(duì)模型進(jìn)一步優(yōu)化檢驗(yàn)，把目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋簃in z = 4 x （原料中4米的總根數(shù)）+6 x （原料中6米的總根數(shù)）-（訂單中所有規(guī)格均

12、x （訂單中相應(yīng)規(guī)格的根數(shù)）重慶正大軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院min z = 正尤+ 6另 尤55950i=1i=7最終可得模型如下：Pv E x 5000i=1E x 0（x為整數(shù)） ,i=1iiE E第 匕1 i=1 J =1同樣用lingo12.0編程運(yùn)算得出結(jié)果如下：（程序代碼詳見(jiàn)附錄2）表5-3模式1.5m1.8m1.2m原料用量（根）原料總用 量（根）余料（m）4米模式三013780689689275.66米模式七5000012589990模式八160008000800080000模式十026220874524.4合計(jì)1650012000800096889688800從表一和表二相應(yīng)結(jié)果可得

13、，兩張表結(jié)果一模一樣.相應(yīng)的證明了該切割方案是最 優(yōu)的切割方案，同時(shí)也滿(mǎn)足最初的假設(shè)，即生產(chǎn)廠家在完成訂購(gòu)商的訂單需要的情況下， 原材料的使用最少，所產(chǎn)生的費(fèi)用最少，并在生產(chǎn)過(guò)程種產(chǎn)生的廢料最少，廢料的總和 才800米，同時(shí)也滿(mǎn)足原料的使用率最大.故最佳的切割方案是使用用689根4米的原材料采用模式三進(jìn)行切割，125根6米 的原材料采用模式七進(jìn)行切割，8000根6米的原材料采用模式八進(jìn)行切割，874根6米 的原材料采用模式十進(jìn)行切割.5.2方形鋼管5.2.1方形鋼管的切割方案表5-4模式1.4m1.7m3m余料(m)方形管4米切割模式模式一0011模式二2001.2模式三0200.6模式四11

14、00.96 米 切 割 模 式模式五0020模式六4000.4模式七0300.9模式八2010.2模式九3100.1模式十1201.2模式十一0111.35.2.1方形鋼管余料最少由于方型鋼管所能提供的原材料遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿(mǎn)足生產(chǎn)所需，該情況下，如果還繼續(xù)限 制所用的材料，那么我們就無(wú)法滿(mǎn)足生產(chǎn)方管的訂單需要.根據(jù)問(wèn)題分析中原材料的單價(jià) 與它的長(zhǎng)度成正比，并對(duì)于生產(chǎn)廠家而言，成品規(guī)格越長(zhǎng)利益越大；對(duì)于訂購(gòu)商而言， 規(guī)格長(zhǎng)度越大材料的使用性越大.又因?yàn)椋悍焦艿目偭繛椋?x2000+6x2000=20000(m)，方管中的規(guī)格為1.7米和3米的鋼管總長(zhǎng)為：1.7x4200+3x2800=1554(m).

15、所以得出方管足以滿(mǎn)足生產(chǎn)規(guī)格為3米和1.7米的鋼管，即嚴(yán)格要求生產(chǎn)規(guī)格為3 米和1.7米的鋼管，對(duì)于規(guī)格為1.4米的鋼管實(shí)在無(wú)法滿(mǎn)足需要，只限制它的量必須大 于0即可.故可得：生產(chǎn)出的規(guī)格為3米的總根數(shù)=2800生產(chǎn)出的規(guī)格為1.7米的總根數(shù)=4200生產(chǎn)出的規(guī)格為1.4米的總根數(shù)0又因?yàn)榭偭勘旧聿粔蛏a(chǎn)，所以要求方管的所有材料必須用于生產(chǎn)，所以可得：原料方管中所使用的4米的總根數(shù)=2000綜上分析可得關(guān)于余量最省的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：min = Y xc i i i =1x = 2000i=1 尤 x = 2000i =5Y氣z 0YJ J d x = ai=1 j=2d x a (a = 0

16、)i i=1同樣使用lingo12.0軟件編程運(yùn)算得出如下結(jié)果：（程序代碼詳見(jiàn)附錄3）表5-5模式1.4m1.7m3m原料用量 （根）原料總用 量（根）余料 （m）4米模式三0400002000200012006米模式五002000100020000模式八16000800800160模式九600200020020合計(jì)220042002800400040001380對(duì)模型結(jié)果分析可得，該切割方案已是最優(yōu)，沒(méi)有成品鋼管的浪費(fèi)，又能滿(mǎn)足生產(chǎn) 廠家利潤(rùn)最大，同時(shí)還能滿(mǎn)足訂購(gòu)商的長(zhǎng)料利用率較大.并且在生產(chǎn)過(guò)程中總共產(chǎn)生 1380米廢棄材料.因此最優(yōu)切割方案是用2000根4米的原材料采用模式三進(jìn)行切割，

17、1000根6米的原材料采用模式五進(jìn)行切割，800根6米的原材料采用模式八進(jìn)行切割， 200根6米的原材料采用模式九進(jìn)行切割.六.模型的分析與推廣通過(guò)線性規(guī)劃的應(yīng)用，可以更好的求解一定約束條件下的最優(yōu)值的求解問(wèn)題，能夠 得出最佳合理的答案.同時(shí)線性規(guī)劃對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析與應(yīng)用較為普遍，容易查找相關(guān)資 料，同時(shí)可見(jiàn)其適于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的求解，例如：對(duì)水管的下料，鋼材的切割，電線的切割 等，優(yōu)化之后還能解決玻璃的切割問(wèn)題等等.同時(shí)枚舉法的運(yùn)用是問(wèn)題的求解思路更清晰 的呈現(xiàn)，此為該模型的優(yōu)點(diǎn).但是切割模式較多，枚舉法加大了運(yùn)算量同時(shí)導(dǎo)致問(wèn)題的解答相對(duì)繁雜，也是該模 型的明顯缺點(diǎn).參考文獻(xiàn):1顏文勇，數(shù)學(xué)建模，

18、高等教育出版社，2011.6 謝金星、薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件，北京，清華大學(xué)出版社，2009.123 HYPERLINK /view/1266775.htm /view/1266775.htm（鋼官每米重量計(jì)算公式）附錄附錄1:MODEL: MIN=k*(X1+X2+X3+X4+X5+X6)+1.5火k*(X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17); k=50;2*X2+X5+X6+4*X7+2*X8+X12+X13+X17=16500;2*X3+X4+X6+X8+3*X10+X11+2*X13+2*X14+X17=12000;X4+

19、2*X5+X8+5*X9+3*X11+3*X12+X15+2*X16+2*X17=8000;X1+X2+X3+X4+X5+X6=5000;X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X17=16500;2*X3+X4+X6+X8+3*X10+X11+2*X13+2*X14+X17=12000;X4+2*X5+X8+5*X9+3*X11+3*X12+X15+2*X16+2*X17=8000;X1+X2+X3+X4+X5+X6=5000;X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X17=16500;2*X3+X4+X6+X8+3*X10+X11+2*X13+2*X14+X17=12000;X4+2*X5+X8+5*X9+3*X11+3*X12+X15+2*X16+2*X17=8000;X1+X2+X3+X4+X5+X6=5000;X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X17=9000;y1=x1