鋼管下料優(yōu)化方案

1、防盜窗鋼管下料優(yōu)化模型摘要本文主要解決在工程施工過程中鋼管下料的最優(yōu)方案，建立相關的數(shù)學優(yōu)化模型， 及在遇到原料不能滿足我們的生產需要時如何建立一個優(yōu)化的方案并切實可行，且能使 雙方的利益最大.對上述問題，將鋼管下料問題分為圓形鋼管下料和方形鋼管下料，簡化問題.同時 考慮到原料價格對選擇方案的影響，通過查閱相關資料得知原料的價格與長度成正比.對圓形鋼管原料和訂購商所需規(guī)格鋼管的材料總長分析可得，原料足以滿足所 需，主要考慮生產廠家在滿足訂單生產條件下，使自己所使用的鋼管原料的總費用最少， 剩余廢料最省作為最終目標.同理分析得方形管原料總長不足以滿足訂單生產的需要，故應先滿足訂單規(guī)格 中米數(shù)較長

2、的量.因從廠家利益考慮，規(guī)格米數(shù)越長單價越高；而對訂購商而言，規(guī)格 較長的量比規(guī)格短的量作用大.故我們例舉出針對圓形或方形的所有可行的下料方案，建立本文中的線性優(yōu)化模 型，最終使用lingo.12計算的出如下結果：一.圓形鋼管分割方案：對模型一、二分析得出最終使用模型二，具體數(shù)據(jù)如下：（分析詳見正文）模式1.5m1.8m1.2m原料用量（根）原料總用 量（根）余料（m）4米模式三013780689689275.66米模式七5000012589990模式八160008000800080000模式十026220874524.4合計1650012000800096889688800二.方形鋼管分割方

3、案:模型具體結果如下：模式1.4m1.7m3m原料用量 （根）原料總用 量（根）余料（m）4米模式三0400002000200012006米模式五002000100020000模式八16000800800160模式九600200020020合計220042002800400040001380【關鍵詞】線性規(guī)劃費用最省 余料最省LINGO12.0問題的提出某不銹鋼裝飾公司承接了一住宅小區(qū)的防盜窗安裝工程，為此購進了一批型號為304的不銹鋼鋼管，分為方形管和圓形管兩種，具體數(shù)據(jù)如下表：表1-1規(guī)格長4m長6m方形管25X25X 1.2(mm)5000 根9000 根圓形管 19 X 1.2(mm)

4、2000 根2000 根根據(jù)小區(qū)的實際情況，需要截取鋼管的規(guī)格與數(shù)量如下:表1-2圓形管規(guī)格1.5m1.8m1.2m方形管規(guī)格1.4m1.7m3m數(shù)量(根)16500120008000數(shù)量(根)600042002800根據(jù)上述的實際情況建立數(shù)學模型，尋找經濟效果最優(yōu)的下料方案，使得廠家在滿 足訂購商的訂單需要的同時還能節(jié)約原料.問題的分析通過題目可知，要求我們在題目所給定的條件下，找尋最佳下料方案，使?jié)M足各種 需要的前提下所使用的原材料的費用、所使用的量和所剩的余料最省.圓形鋼管原材料的總長：4 x 5000+6 x 9000=74000 (m),訂單產品的總長：1.5 x 16500+1 .

5、8 x 12000+1.2 x 8000=55950 (m).方形鋼管原材料的總長：4 x 2000+ 6 x 2000=20000 (m ),訂單產品的總長：1.4 x 6000+1.7 x 4200+3 x 2800=23940 (m ).通過計算，分析得出問題中的圓形鋼管原料足夠多，在使用時主要考慮所使用的原 材料的費用、使用量和切割之后的余料最少；而方形管的原材料明顯不能滿足生產需要， 此時應首先考慮切割不同長度的鋼管的優(yōu)先問題.通過查閱網絡資料可得網絡上對于304不銹鋼鋼管的單價是50元/公斤，而相應的 不銹鋼管重量公式：（外徑-壁厚）x壁厚x 0.0249=每米的重量（千克/米）又

6、因為在我們的原材料中，規(guī)格都為19X1.2（mm）,所以可得每米的重量都是一 定的，故我們可以得到每根鋼管的單價與原材料的長度成正比，比例系數(shù)為k,即6米管 的單價是6k，4米的單價是4k，所以6米管的單價是4米管的6k/4k=1.5倍.因此在處理這個問題時對于生產廠家而言，應考慮所生產的成品規(guī)格越長利益越 大；對于訂購商而言，規(guī)格長度越大材料的使用性越大.通過上訴分析可得，應該在原有 材料使用完的情況下先滿足規(guī)格為3米的鋼管，其次是1.7米的鋼管，再次生產1.4米 的鋼管.然而此類問題屬于數(shù)學中最優(yōu)解的求解問題，這是典型的線性優(yōu)化，故該問題可 以建立線性優(yōu)化方程解決.模型假設假設鋼管切割過程

7、中無原料損耗或損壞；假設所生產的各種規(guī)格的鋼管不能通過焊接產生;假設同種鋼管采用的切割模式數(shù)量不限；假設每種鋼管的單價相同且與長度成正比.四.符號說明尤表示采用第i種模式下切割的鋼管數(shù)id表示第i中模式下的第j種規(guī)格下的根數(shù)ijci表示第i種模式下的余料a表示第j種規(guī)格的需求量jyi表示使用4米的原料所以使用的根數(shù)y2表示使用6米的原料所以使用的根數(shù)y3表示生產規(guī)格為1.5米的鋼管總數(shù)y4表示生產規(guī)格為1.8米的鋼管總數(shù)y5表示生產規(guī)格為1.2米的鋼管總數(shù)y6為滿足生產需求產生的余料總和k表示單位長度或者單位公斤數(shù)鋼管原料的價格五.模型的建立與求解針對題目的要求我們將鋼管下料方案分為圓形鋼管和

8、方形鋼管兩類，簡化問題，并 建立相關數(shù)學模型.首先根據(jù)題目已知條件可得要先給4米和6米不同規(guī)格的原材料進行 分割，因此產生了不同的切割模式，選取最佳切割模式才是所要求的下料方案.其中切割 所剩的余料必須小于所需切割的最小長度，在條件滿足的不同組合的情況下，得知圓形 管的切割方案有17種；方形鋼管的切割方案有11種，具體切割方案如下：5.1圓形鋼管5.1.1圓形鋼管的切割方案表5-1模式1.5m1.8m1.2m余料（m）圓 形4米切割模式模式一0030.4模式二2001模式三0200.4模式四0111模式五1020.1模式六1100.76 米 切 割 模 式模式七4000模式八2110模式九00

9、50模式十0300.6模式十一0130.6模式十二1030.9模式十三1200.9模式十四0220模式十五3010.3模式十六2020.6模式十七1120.35.1.2圓形鋼管的下料模型建立針對圓形管的切割方案，我們假設原材料采用模式i切割的數(shù)量為x（x必須為大 于1的正整數(shù)），那么目標函數(shù)即為使生產廠家在完成訂單需要的情況下所使用的原材 料最少，同時所使用的原料的費用最少，且又因6米管的原料單價是4米管的1.5倍， 所以目標函數(shù)是：minz = k x（原料中4米的總根數(shù)）+1.5k x（原料中6米的總根數(shù)）又由已知條件可得，所生產的量必須滿足訂購商的需要，即1.5m圓管16500根，1.8

10、m 圓管12000根，1.2m圓管8000根，因此產生以下三個目標函數(shù)的約束條件：生產規(guī)格中所有的1.5米的總根數(shù) 16500 生產規(guī)格中所有的1.8米的總根數(shù) 12000生產規(guī)格中所有的1.2米的總根數(shù) 8000min z = k x +1.5. E xi=1i=7因此可得如下數(shù)學模型:2E x 5000i=1E x 0（x為整數(shù)） ,i=1iiE E j 匕1 i=1 J =1利用lingo12.0編程運算得出最終結果如下表：（程序代碼詳見附錄1）表5-2模式1.51.81.2原料用量原料總 用量余料4米模式三013780689689275.66米模式七5000012589990模式八16

11、0008000800080000模式十026220874524.4合計1650012000800096889688800且對于模型中鋼管每米的單價k進行不同程度改變，得知k的值不會影響生產過程 中我們對模式的選擇，只會相應的改變原料成本，影響相應的利潤.通過對上表的結果 進行分析得，該模型已經滿足生產不同規(guī)格鋼管的需要，且沒有多余的生產量，但該模 型只考慮到所用的原料費用最省，不一定滿足所要求的生產訂單過后的余料最省，也就 是不一定滿足原料的使用率最大，故我們對模型進一步優(yōu)化檢驗，把目標函數(shù)變?yōu)椋簃in z = 4 x （原料中4米的總根數(shù)）+6 x （原料中6米的總根數(shù)）-（訂單中所有規(guī)格均

12、x （訂單中相應規(guī)格的根數(shù)）重慶正大軟件職業(yè)技術學院min z = 正尤+ 6另 尤55950i=1i=7最終可得模型如下：Pv E x 5000i=1E x 0（x為整數(shù)） ,i=1iiE E第 匕1 i=1 J =1同樣用lingo12.0編程運算得出結果如下：（程序代碼詳見附錄2）表5-3模式1.5m1.8m1.2m原料用量（根）原料總用 量（根）余料（m）4米模式三013780689689275.66米模式七5000012589990模式八160008000800080000模式十026220874524.4合計1650012000800096889688800從表一和表二相應結果可得

13、，兩張表結果一模一樣.相應的證明了該切割方案是最 優(yōu)的切割方案，同時也滿足最初的假設，即生產廠家在完成訂購商的訂單需要的情況下， 原材料的使用最少，所產生的費用最少，并在生產過程種產生的廢料最少，廢料的總和 才800米，同時也滿足原料的使用率最大.故最佳的切割方案是使用用689根4米的原材料采用模式三進行切割，125根6米 的原材料采用模式七進行切割，8000根6米的原材料采用模式八進行切割，874根6米 的原材料采用模式十進行切割.5.2方形鋼管5.2.1方形鋼管的切割方案表5-4模式1.4m1.7m3m余料(m)方形管4米切割模式模式一0011模式二2001.2模式三0200.6模式四11

14、00.96 米 切 割 模 式模式五0020模式六4000.4模式七0300.9模式八2010.2模式九3100.1模式十1201.2模式十一0111.35.2.1方形鋼管余料最少由于方型鋼管所能提供的原材料遠遠不能滿足生產所需，該情況下，如果還繼續(xù)限 制所用的材料，那么我們就無法滿足生產方管的訂單需要.根據(jù)問題分析中原材料的單價 與它的長度成正比，并對于生產廠家而言，成品規(guī)格越長利益越大；對于訂購商而言， 規(guī)格長度越大材料的使用性越大.又因為：方管的總量為：4x2000+6x2000=20000(m)，方管中的規(guī)格為1.7米和3米的鋼管總長為：1.7x4200+3x2800=1554(m).

15、所以得出方管足以滿足生產規(guī)格為3米和1.7米的鋼管，即嚴格要求生產規(guī)格為3 米和1.7米的鋼管，對于規(guī)格為1.4米的鋼管實在無法滿足需要，只限制它的量必須大 于0即可.故可得：生產出的規(guī)格為3米的總根數(shù)=2800生產出的規(guī)格為1.7米的總根數(shù)=4200生產出的規(guī)格為1.4米的總根數(shù)0又因為總量本身不夠生產，所以要求方管的所有材料必須用于生產，所以可得：原料方管中所使用的4米的總根數(shù)=2000綜上分析可得關于余量最省的優(yōu)化數(shù)學模型如下：min = Y xc i i i =1x = 2000i=1 尤 x = 2000i =5Y氣z 0YJ J d x = ai=1 j=2d x a (a = 0

16、)i i=1同樣使用lingo12.0軟件編程運算得出如下結果：（程序代碼詳見附錄3）表5-5模式1.4m1.7m3m原料用量 （根）原料總用 量（根）余料 （m）4米模式三0400002000200012006米模式五002000100020000模式八16000800800160模式九600200020020合計220042002800400040001380對模型結果分析可得，該切割方案已是最優(yōu)，沒有成品鋼管的浪費，又能滿足生產 廠家利潤最大，同時還能滿足訂購商的長料利用率較大.并且在生產過程中總共產生 1380米廢棄材料.因此最優(yōu)切割方案是用2000根4米的原材料采用模式三進行切割，

17、1000根6米的原材料采用模式五進行切割，800根6米的原材料采用模式八進行切割， 200根6米的原材料采用模式九進行切割.六.模型的分析與推廣通過線性規(guī)劃的應用，可以更好的求解一定約束條件下的最優(yōu)值的求解問題，能夠 得出最佳合理的答案.同時線性規(guī)劃對實際問題的分析與應用較為普遍，容易查找相關資 料，同時可見其適于現(xiàn)實問題的求解，例如：對水管的下料，鋼材的切割，電線的切割 等，優(yōu)化之后還能解決玻璃的切割問題等等.同時枚舉法的運用是問題的求解思路更清晰 的呈現(xiàn)，此為該模型的優(yōu)點.但是切割模式較多，枚舉法加大了運算量同時導致問題的解答相對繁雜，也是該模 型的明顯缺點.參考文獻:1顏文勇，數(shù)學建模，

18、高等教育出版社，2011.6 謝金星、薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件，北京，清華大學出版社，2009.123 HYPERLINK /view/1266775.htm /view/1266775.htm（鋼官每米重量計算公式）附錄附錄1:MODEL: MIN=k*(X1+X2+X3+X4+X5+X6)+1.5火k*(X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17); k=50;2*X2+X5+X6+4*X7+2*X8+X12+X13+X17=16500;2*X3+X4+X6+X8+3*X10+X11+2*X13+2*X14+X17=12000;X4+

19、2*X5+X8+5*X9+3*X11+3*X12+X15+2*X16+2*X17=8000;X1+X2+X3+X4+X5+X6=5000;X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X17=16500;2*X3+X4+X6+X8+3*X10+X11+2*X13+2*X14+X17=12000;X4+2*X5+X8+5*X9+3*X11+3*X12+X15+2*X16+2*X17=8000;X1+X2+X3+X4+X5+X6=5000;X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X17=16500;2*X3+X4+X6+X8+3*X10+X11+2*X13+2*X14+X17=12000;X4+2*X5+X8+5*X9+3*X11+3*X12+X15+2*X16+2*X17=8000;X1+X2+X3+X4+X5+X6=5000;X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X17=9000;y1=x1