(完整版)高等數(shù)學答案第六章4曲面與曲線

1、 習 題 641、一動點移動時，與A(4,0,0)及xOy 面等距離，求該動點的軌跡方程.解：設在給定的坐標系下，動點M (x, y, z)，所求的軌跡為 ，則CuuurM (x, y, z)C MA z(x 4) y z z亦即222(x 4) y 0(x 4) y 0.22從而所求的軌跡方程為222、 求下列各球面的方程：（1）圓心(2,1,3) ，半徑為R 6； （2）圓心在原點，且經(jīng)過點(6,2,3) ；（3）一條直徑的兩端點是(2 3,5)與( 4,1,3) ；（4）通過原點與(4,0,0), (1,3,0), (0,0,4)(x 2) (y 1) (z 3) 36解：（1）所求的球

2、面方程為：222 6 (2) 3 7x y z 49（2）由已知，半徑R222，所以球面方程為2222 4 3 15 3（3）由已知，球面的球心坐標a 3,b 1,c 1，2221(4 2) (1 3) (5 3) 21，所以球面方程為：球的半徑R2222(x 3) (y 1) (z 1) 21222 y z 2gx 2hy 2kz l 0（4）設所求的球面方程為：x222l 0l 016 8g 0h 1因該球面經(jīng)過點(0,0,0), (4,0,0), (1,3,0), (0,0,4) ，所以解之得10 2g 6h 016 8k 0g 2k 2 y z 4x 2y 4z 0. 所求的球面方程為

3、x2223、求下列旋轉(zhuǎn)曲面的方程：（1）將yOz 坐標面上的拋物線y 2z 繞 旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面；z2解：x y 2z (旋轉(zhuǎn)拋物面) .22 x22z2 1分別繞 x 軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲（2）將坐標面上的雙曲線zOxac2面x2y2 z2x2 y2z2x 軸旋轉(zhuǎn)得 1 1.解： 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)得a2c2a2c24、 說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的？x2y2z2y2（1） 1；（2） z21（3）x y z 1；（4）(z a) x yx22222224994x2y2x2z2解：（1）平面上橢圓1繞 軸旋轉(zhuǎn)而成；或者 平面上橢圓xOz1xOyx4949繞 軸旋轉(zhuǎn)而成xy

4、2y2（2）xOy 平面上的雙曲線繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成1繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成；或者平面上的雙曲線 1x2yOzz244（3）xOy平面上的雙曲線 x y 1繞 軸旋轉(zhuǎn)而成；或者平面上的雙曲線 x z 1繞xOz22x22軸旋轉(zhuǎn)而成x（4）yOz 平面上的直線 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成或者 xOz 平面上的直線 z x a 繞 軸旋轉(zhuǎn)z y azz而成.5、指出下列方程在平面解析幾何和空間解析幾何中分別表示什么圖形？ x 1 4 1；（4） 2 2 .（1） y；（2） x2y2；（3） x2y2xy x 1解：（1） y在平面解析幾何中表示直線，在空間解析幾何中表示平面；在平面解析幾何中表示圓周，在空間解析

5、幾何中表示圓柱面；在平面解析幾何中表示雙曲線，在空間解析幾何中表示雙曲柱面；在平面解析幾何中表示拋物線，在空間解析幾何中表示拋物柱面. y 4（2） x（3） x（4） x2222 y 12 2 y6、指出下列曲面的名稱，并作圖：x2z2 1y 2z2x z 1x y z 2x 0（1）；（2）；（3）22；（4）222；4 9x2y24x 4y z 1 z 1；（5） y x z ；（6）；（7）222229 16 x2y2x2y2z2 z 1 12x 2y 1 3z；（10） 2 .（8）2；（9）224 9433解： (1)橢圓柱面；(2) 拋物柱面；(3) 圓柱面；(4)球面；（5）圓

6、錐面；（6）雙曲拋物（7）橢圓拋物面；（8）雙葉雙曲面；（9）為旋轉(zhuǎn)橢球面；（10）單葉雙曲面.7、 畫出下列各曲面所圍立體的圖形：面；（1）3x 4y 2z 12 0 與三個坐標平面所圍成；（2）z 4 x ,2x y 4及三坐2標平面所圍成；（ 3 ） z = 0, z = a(a 0),y = x,x + y = 1 及 0 在 第 一 卦 限 所 圍 成 ；（ 4 ）22xz x y , z 8 x y 所圍.2 2 2 2解：（1）平面3x 4y 2z 12 0 與三個坐標平面圍成一個在第一卦限的四面體；（2）拋物柱面z 4 x2與平面2x y 4 及三坐標平面所圍成；（3）坐標面

7、= 0 、 0 及平面z = a a 0) 、y= x 和圓柱面x + y = 1在第一卦限所圍(zx22成；（4）開口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面z x y 與開口向下的拋物面z 8 x y 所圍.作圖略.22228、畫出下列曲線在第一卦限內(nèi)的圖形x y a 1 222x 42 y2zx（1）；（2）；（3）y 2 0 x y x2 z2 a2解：（1）是平面 1與 2 相交所得的一條直線；xy1（2）上半球面 4 與平面x y 0 的交線為 圓??；zx2 y24（3）圓柱面x y a 與x z a 的交線.圖形略.222222216 的柱面方程. x2 y z 229、分別求母線平行于x 軸及y 軸而

8、且通過曲線 x2 z2 y2 03y z 16，為母線平行于x 軸的柱面；解：消去x 坐標得223x 2z 16，為母線平行于y 軸的柱面.消去y 坐標得：2210、求在yOz 平面內(nèi)以坐標原點為圓心的單位圓的方程（任寫出三種不同形式的方程）.11 x2 y2 z2 1y2 z2 x2 y2 z2解：；.x 0 x 0y2 z 12 x2y2z211、試求平面 2 0 與橢球面1 相交所得橢圓的半軸與頂點.x16 12 4y2x2y2z2z2 1 1 2上的橢圓，解：將橢圓方程化簡為：，可知其為平面 x16 12 4x 2 0 93x 2半軸分別為3, 3 ，頂點分別為(2,3,0), (2,

9、3,0), (2,0, 3), (2,0, 3).12 、將下面曲線的一般方程化為參數(shù)方程 9(x 1)2 y2 z 1) 4(x2y2z2（1）；（2） x 0 yz3x y cost2 xy3cost (0 t 2 ) ；解：（1）原曲線方程即：2 1，化為x2z22 99 3 sinz tx 1 3 cos（2） 3 siny(0 2) .z 013、指出下列方程所表示的曲線 25x2 y2 z2 3049x2y2z2（1）（2）；x 31zy2z2425； （4）y z x 8 04x y z 222221.（3）； （5） 94x 3y 4x 2 0解：（1）圓； （2）橢圓； （3）雙曲線； （4）拋物線； （5）雙曲線.x acos14、求螺旋線 y a sin 在三個坐標面上的投影曲線的直角坐標方程.z bzz sin cosx2 y2 a2y ax a解：；.bbz 0 x 0y 0 1x2y2z215、 求曲線 1在坐標面上的投影.z 233 y 0 x22 y , xOy4,解：（1）消去變量 后得 x22在面上的投影為它是中心在原z4z3點，半徑為的圓周.21123z2, 0 x| |;（2）因為曲線在平面 z上，所以在 xOz 面上的投影為線段. 2y1z 3| y |.（3）同理在 yOz 面上的投影也為線段. 2,