七年級(jí)同步第4講：冪的運(yùn)算(一)-教師版

1、(G5曷的運(yùn)算（一）內(nèi)容分析整式的乘除是整式加減的延續(xù)和發(fā)展，也是后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解、分式運(yùn) 算的基礎(chǔ).整式的乘法運(yùn)算包含單項(xiàng)式乘法、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法和多項(xiàng)式乘法， 它們最后都轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘法.單項(xiàng)式的乘法又以幕的運(yùn)算為基礎(chǔ).”整式的乘法”的內(nèi)容和邏輯線索是：同底數(shù)幕的乘法一一幕的乘方一一積的乘方一一單項(xiàng) 式乘單項(xiàng)式一一單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式一一多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式一一乘法公式（特例）.由此可見(jiàn)，同底數(shù)幕的乘法、幕的乘方、積的乘方是整式乘法的邏輯起點(diǎn)，是該章的起始課.作為章節(jié)起始課，承載著單元知識(shí)以及學(xué)習(xí)方法、 路徑的引領(lǐng) 作用.知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)精講an中,1、哥的運(yùn)算概念：求 n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方

2、，乘方的結(jié)果叫做哥.在 a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù).含義：an中，a為底數(shù)，n為指數(shù)，即表示a的個(gè)數(shù)，an表示有n個(gè)a連續(xù)相乘. TOC o 1-5 h z 555例如：3表布33333,3表本 33333,3表不C 553 3 3 3 3, 2 表示2 2 2 2 2,弓表示 2 2 2 2 277777777特別注意負(fù)數(shù)及分?jǐn)?shù)的乘方，應(yīng)把底數(shù)加上括號(hào).2、奇負(fù)偶正” 口訣的應(yīng)用：口訣奇負(fù)偶正”在多處知識(shí)點(diǎn)中均提到過(guò)，它具體的應(yīng)用有如下幾點(diǎn)：(1)多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，這里奇偶指的是號(hào)的個(gè)數(shù)，例如： (3)3;(3) 3.(2)有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中

3、積的符號(hào).(3)有理數(shù)乘方，這里奇、偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，指數(shù)為奇數(shù)，則哥為負(fù)；指 數(shù)為偶數(shù)，則哥為正.23例如：3 9 ,327 .特別地：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，anan ；而當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an an .負(fù)數(shù)的奇次哥是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次哥是正數(shù).正數(shù)的任何次哥都是正數(shù)，1的任何次哥都是1,任何不為0的數(shù)的0次哥都是“1：3、同底數(shù)哥相乘同底數(shù)的塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.用式子表示為：例題解析am an am n ( m,n都是正整數(shù)).1】 下列各式正確嗎？不正確的請(qǐng)加以改正( 1 )x3 ( x)4 ( x)7 ；mm 1 2m( 3)a a a4610( 5) b b b ；5525(

4、7) x x x ；【難度】2462 ) x ( x )( x) ；4) b5 b5 2b5 ；55106) x x 2x ；338) c c c 確為：1 ）正確；（mm1aa42 ）不正確，正確為： x x x2m 12m 1a a ； （4）不正確，正確為：6x ；（3）不正確，正b5 b5b10 ； （ 5）不正確，不能計(jì)算；（551055106 ）不正確，正確為： x x x ；（ 7 ）不正確，正確為： x x x ；8 ）不正確，正確為： c c3c4 【解析】同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加【總結(jié)】 本題主要考查同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算， 同時(shí)一定要注意確保是在同底數(shù)冪乘法運(yùn)算時(shí)才可

5、以應(yīng)用，注意算式中的符號(hào)2】計(jì)算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示：1) ( 2)5 ( 2)6( 2)7 ；2）23aa a；3) (a b)2 (a b)4 ；4）(x y)2 (x y)3 (x y)5 1 ） 218 ；（2） a6 ；63 ) a b ；( 4 )10 xy 【解析】本題主要考查同底數(shù)哥相乘的計(jì)算，底數(shù)不變，指數(shù)相加.3】計(jì)算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示34xx x33 xx33 xxm1 a【解析】1原式【總結(jié)】本題主要考查同底數(shù)冪相乘的計(jì)算和合并同類(lèi)項(xiàng)相關(guān)知識(shí)概念，數(shù)不變，指數(shù)相加，然后進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng)的運(yùn)算4】計(jì)算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示2a；n2 am2 an1a

6、3x70；mn3a7777x x x 3x ；2原式mn1 mn1 mn1 mn1a a a 3a 66a a 0；2 xy同底數(shù)哥相乘,3x；2 x 2ym2ym22y1a8 ；5x ；( 3 x2m 32y( 1原式35 aaa8 ；( 2原式2( y x) ( yx)3 (yx)5；3原式(x2 m 1 m 2 2m 32y)a 【總結(jié)】本題主要考查同底數(shù)哥相乘的計(jì)算,底數(shù)不變， 指數(shù)相加；同時(shí)涉及到多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，看“ ”號(hào)的個(gè)數(shù)決定運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)，奇負(fù)偶正【例5】m n 2n 111m如果x x x ,且ym、n的值.根據(jù)同底數(shù)騫的計(jì)算法則，可得2n 111 .、一，-,解方程組得5

7、考查同底數(shù)騫相乘的運(yùn)算法則.【例6】求值:(1)已知:m 2nX9的值.(2)已知:4 32,求x的值.(2)I知識(shí)精講(1)116;(1)由同底數(shù)哥乘法法則，可得x 422_3323 ,可得 x 4m 2n n m3,39116 ；本題主要考查同底數(shù)哥相乘的運(yùn)算法則，注意一定要讓底數(shù)相等的前提下保證哥相模塊二：窯的乘方1、哥的乘方定義：哥的乘方是指幾個(gè)相同的哥相乘.2、哥的乘方法則：哥的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.即/ m、n(a )amn （ m、n都是正整數(shù)）例題解析【例7】計(jì)算下列各式,結(jié)果用騫的形式表示./ 2n、n(a );3 823 ;bl2 33(8)(x y) (x y)【答案

8、】（1）a2n,2242122 ；9(8) x y騫的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.本題主要考查騫的乘方的運(yùn)算.【例8】當(dāng)正整數(shù)n分別滿(mǎn)足什么條件時(shí),n為偶數(shù)時(shí)，a nan ； n為奇數(shù)時(shí),騫的運(yùn)算中，奇負(fù)偶正.【例9】已知：an 2 （n為正整數(shù)），求a2n 2 a3 2n的值.【難度】4846=a4n a6n anan24 2648 【總結(jié)】本題主要考查哥的乘方的運(yùn)算，以及運(yùn)算中整體思想的應(yīng)用.10】 計(jì)算1)n122 an 1nn aa2)22 xx2 x2 3 3【難度】1 ) 3a2n 3322) a b b a【難度】1) a b 6n 1；( 2) 02n2n 22n 16n 1 ；

9、(2) 02n 2 2n 2 2n 2181818( 1)原式 2a a 3a ；(2)原式x 2x x 0 【總結(jié)】本題考查哥的乘方和同底數(shù)哥的乘法運(yùn)算.11】 計(jì)算：1)2n1aab2( 1)原式【例12】已知am 2, an 3,求a2m 3n的值.【難度】【答案】108.23【解析】a2m3na2ma3naman2233108.【總結(jié)】本題注意考查哥的乘方運(yùn)算中整體思想的應(yīng)用.模塊三：積的乘方知識(shí)精講1、積的乘方定義：積的乘方指的是乘積形式的乘方.2、積的乘方法則：積的乘方，等于把積中的每個(gè)因式分別乘方，再把所得的哥相乘:nab a b ( n是正整數(shù))3、積的乘方的逆用：anbn(a

10、b)n.(S)例題解析【例13】計(jì)算:431 3 2(1)3m3n ;(2)- a3b2 ;3 5(3)22a2b4 3;(4)1 104 .3【難度】20 TOC o 1-5 h z 9 3/ 八、 112 8/ c、6 12/ ,、10【答案】(1) 27m n ; (2) a b ; (3) 64a b ; (4).【解析】本題考查積的乘方的運(yùn)算法則，把積中的每個(gè)因式分別乘方，注意正負(fù).【例14】計(jì)算：3 4、22 3 5、32.3(1)(-a b )；(一x y ) ;(3) (a b).4【難度】【答案】(1) a6b8； (2) 1x9y15; (3) a b. 8【解析】本題考查

11、積的乘方的運(yùn)算法則，把積中的每個(gè)因式分別乘方，注意正負(fù).【例15】計(jì)算:3 22 3(1) 3x3 2x2 ;, 、2 2 3(2) 3 x y 22(4) (a b)2 (b312a).【難度】(1) 17x6； (2) x66.8y ; (3) 0; (4) a b .【解析】(1)原式 9x6 8x617x6 ;(2)原式 3x6y6 2x6y6(3)后飛12. 2412. 24原式 a b a b(4)原式(a b)2 (a b)6(a b)8.【總結(jié)】本題考查同底數(shù)哥的乘法,哥的乘方，積的乘方綜合運(yùn)算,熟練運(yùn)算法則.【例16】計(jì)算:(1)32 33 2y (y ) (y )；(2)3

12、/ 213a ( a)(3)2x(2)(3)(1)15y ；(2)11 a/、八一126(3) 65x y .(1)原式5原式 a515y ；611a a ; 12 612 6原式 64x y x y【總結(jié)】本題考查同底數(shù)哥的乘法,哥的乘方，積的乘方綜合運(yùn)算,熟練運(yùn)算法則.【例17】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:/、6672003(2)0.125212(3) 88(4)1259； (2)(3) 1;(4)1210【解析】（1）原式=3298(2)原式=6670.125200126670.1256676670.125 844;(3)原式=122412121214121 ；原式=125122125121210

13、.【總結(jié)】主要根據(jù)積的乘方逆運(yùn)算法則和同底數(shù)騫的乘法,將底數(shù)變成易于計(jì)算的數(shù)字.【例18】簡(jiǎn)便計(jì)算:(1)0.125161785(2)一1320021352001(3)0.12515215 3【解析】（1）(2)513(3)原式0.125原式=131616160.12588；51320011352001513_51313520015 一, 1315【總結(jié)】考查積的乘方簡(jiǎn)便運(yùn)算,把握好乘方的定義， 同時(shí)注意一定指數(shù)相同時(shí)才能進(jìn)行積的乘方的逆運(yùn)算.隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】計(jì)算:(1)1 2-m 42 m3(2) y7 2 y12(3)1-(x4y)(xy)3.(2)(3)(i)121-m2(1)原式原式

14、原式(2)719213y ;731231 6-m6415(32m )121-m ；29 y 49719213y ;14 /一(x y) (x 256317y) 一(x y).256【總結(jié)】本題主要考查騫的運(yùn)算，注意運(yùn)算法則的準(zhǔn)確運(yùn)用以及計(jì)算過(guò)程中的符【習(xí)題2】計(jì)算:(1) x2(2) 2 a(3) y13y【答案】（1） 2x18; （2）14a ;(3)122527 y13【解析】（1）原式 x2 x16原式102a14a ;256613 5 10132(3)原式 y y y -y 2 y y 272713 y225(1 一 27【總結(jié)】本題主要考查騫的運(yùn)算，注意運(yùn)算法則的準(zhǔn)確運(yùn)用以及計(jì)算后

15、注意合并同類(lèi)項(xiàng).【習(xí)題3】計(jì)算:2m6m20原式=a4m15 bm 3 4m 26 m 20m 15本題主要考查騫的運(yùn)算，計(jì)算過(guò)程中注意符號(hào)的變化.【習(xí)題4】填空題: n為自然數(shù)，那么 1n ;12n ;12n 1 (2)當(dāng) n 為 數(shù)時(shí)， 1n 1 2n 0；(3)當(dāng) n 為 數(shù)時(shí)， 1n 1 2n 2 .【難度】 【答案】（1） 1,1, 1 ; （2）奇；（3）做【解析】主要考查哥的運(yùn)算中的符號(hào)，奇負(fù)偶正.【習(xí)題5】若n是自然數(shù),并且有理數(shù)a,b滿(mǎn)足A.2n1bB.2n a2n 11b0；2n2nC.2n a0；2 nD.a【難度】 【答案】B【解析】a和1互為相反數(shù)，則必為一正一負(fù)，根

16、據(jù)“奇負(fù)偶正”可知兩哥運(yùn)算指數(shù)必為 b奇一偶.【總結(jié)】本題主要考查積的乘方以及相反數(shù)的相關(guān)概念.【習(xí)題6】填空:53(1)計(jì)算：3ab b 3a =；(2)計(jì)算：(m n)4(n m)(n m)3=；2(3)計(jì)算： x y 2 y x 2 =.【難度】【答案】(1) 3a b 8 ； (2) m n 8 ; (3) x y【解析】(1)原式(3a b)5 (3a b)3(3a b)8;(2)原式(m n)4 (n m)4 (m n)8 ;(3)原式(x y)4 (x y)2 (x y)6 .【總結(jié)】本題主要考查哥的綜合運(yùn)算，計(jì)算過(guò)程中注意符號(hào).【習(xí)題7】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算:(1)20030.042

17、0035(3)179111112【難度】3【答案】(1) 1; (2) 1; (3)-2【解析】(1)原式2003=0.0420071.51 ；2 200350.042 200351；(2)原式=23(3)原式=71 一11113113371-113333982298222【總結(jié)】考查騫的運(yùn)算的應(yīng)用，一般將指數(shù)化作相同，用積的乘方逆運(yùn)算應(yīng)用計(jì)算.【習(xí)題8】如果2 8n 16n 222 ,求n的值.【難度】【答案】3.【解析】將式子兩邊化作等底數(shù)哥，即有 2 8n 16n 2 23 n 24 n 27n 1 222, 故7n 1 22,解得n 3.【總結(jié)】本題主要考查同底數(shù)哥相乘的法則的運(yùn)用.【

18、習(xí)題9】已知a、b互為負(fù)倒數(shù)，a、c互為相反數(shù)，d的絕對(duì)值為1,則 TOC o 1-5 h z 1201520162014-ab a c d = 2【難度】2【解析】依題意有ab 1, a c 0,d 1,代入可得：-1 2015 02016 120143.22【總結(jié)】本題中注意 d的取值以及負(fù)倒數(shù)的概念.【習(xí)題10】已知有理數(shù)x, y , z滿(mǎn)足|x z 2|23x 6y 713y 3z 4| 0,3n 3n求x y1 4nzx的值.31一,31【答案】0.x z 2 0【解析】依題意有 3x 6y 7 0,可解得:3y 3z 4 03n 11一 33330.33n 13n 1.4n3n 1

19、代入可得：3-13 33【總結(jié)】當(dāng)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，則這幾個(gè)數(shù)分別為零.【習(xí)題11】 已知2a 3,2b 6,2c 12 ,求a, b, c之間的一個(gè)數(shù)量關(guān)系.【難度】【答案】a c 2b.【解析】由3X12=36=6X6,根據(jù)題意代換可得：2a 2c 2b 2b,即為2a c 22b.由此可得：a c 2b.【總結(jié)】本題主要考查同底數(shù)哥相乘的法則的運(yùn)用.結(jié)果是相同的，他覺(jué)得這是由于在進(jìn)行指數(shù)相乘時(shí)，乘法具有交換律，所以是相同的，2 33 2于是他在計(jì)算a2與 a3時(shí)，認(rèn)為結(jié)果也應(yīng)是相同的，你同意他的觀點(diǎn)嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.【難度】【答案】不同意.【解析】這兩個(gè)哥的乘法運(yùn)算可視作積的乘方運(yùn)算

20、，積的乘方運(yùn)算的結(jié)果是積中的每個(gè)因式分別乘方，會(huì)產(chǎn)生類(lèi)似 1n的運(yùn)算，n分別為奇偶時(shí)會(huì)產(chǎn)生不同的運(yùn)算結(jié)果，奇負(fù)偶正,即要注意好運(yùn)算符號(hào)，兩個(gè)式子計(jì)算結(jié)果不相等.【總結(jié)】負(fù)數(shù)的偶次哥為正，負(fù)數(shù)的奇次哥為負(fù).課后作業(yè)【作業(yè)1】下列計(jì)算正確的是（）2342a 3a 5a252a 8a3252a ( a ) 2aD.2m2m6a 2a 12a【答案】C【解析】考查哥的運(yùn)算法則，熟練計(jì)算.【作業(yè)2】計(jì)算：22332/ o 2 3. 2(1)一 xy ;(2)-a b433.a b812一x y ； 256(2)89 6a b 27；(3) x 8112, 4b【解析】考查騫的運(yùn)算法則,熟練計(jì)算.【作業(yè)3】計(jì)算:16,2a b3a3b 42b4_3 4 33 a3912, 4b .原式=1a12b12, 412, 4 a b39 a12, 4b1093912, 4b.