實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及模型參數(shù)的課件

1、1.1 問題的提出化工設(shè)計(jì)及化工模擬計(jì)算中，有大量的物性參數(shù)及各種設(shè)備參數(shù)。實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的常常是一組離散數(shù)據(jù)序列（xi ,yi）圖1-1所示為“噪聲”圖1-2所示為無法同時(shí)滿足某特定的函數(shù)圖1-1 含有噪聲的數(shù)據(jù)圖1-2 無法同時(shí)滿足某特定函數(shù)的數(shù)據(jù)序列總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.1 問題的提出在化學(xué)化工中，許多模型也要利用數(shù)據(jù)擬合技術(shù)，求出最佳的模型和模型參數(shù)。如在某一反應(yīng)工程實(shí)驗(yàn)中，我們測(cè)得了如表1-1所示的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：表1-1總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.1 問題的提出確定在其他條件不變的情況下，轉(zhuǎn)化率y和溫度T的具體關(guān)系，現(xiàn)擬用兩種模型去

2、擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，兩種模型分別是： (1-2) (1-3) 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.2 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 向量Q與Y之間的誤差或距離有以下幾種定義方法：（1）用各點(diǎn)誤差絕對(duì)值的和表示（2）用各點(diǎn)誤差按絕對(duì)值的最大值表示（3）用各點(diǎn)誤差的平方和表示(1-4) (1-5) (1-6) R稱為均方誤差總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.2 擬合的標(biāo)準(zhǔn)由于計(jì)算均方誤差的最小值的原則容易實(shí)現(xiàn)而被廣泛采用。按均方誤差達(dá)到極小構(gòu)造擬合曲線的方法稱為最小二乘法。同時(shí)還有許多種其他的方法構(gòu)造擬合曲線，感興趣的讀者可參閱有關(guān)教材。本章主要講述用最小二乘法構(gòu)造擬合曲線。總目錄本

3、章目錄1.11.21.31.41.51.61.2 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)例實(shí)驗(yàn)測(cè)得二甲醇（DME）的飽和蒸汽壓和溫度的關(guān)系如下表 ：序號(hào)溫度 蒸氣壓 MPa1-23.70.1012-100.174300.2544100.3595200.4956300.6627400.880表1-2 DME飽和蒸氣壓和溫度的關(guān)系由表1-2的數(shù)據(jù)觀測(cè)可得，DME的飽和蒸汽壓和溫度有正相關(guān)關(guān)系。總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.2 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)例如果以直線擬合p=a+bt,即擬合函數(shù)是一條直線。通過計(jì)算均方誤差Q ( a , b )最小值而確定直線方程（見圖1-3） 圖1-3 DME飽和蒸汽壓和溫度之

4、間的線性擬合擬合得到得直線方程為：相關(guān)系數(shù)R為0.97296，平均絕對(duì)偏差SD為0.05065。 (1-8) (1-7) 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.2 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)例如果采用二次擬合，通過計(jì)算下述均方誤差：擬合得二次方程為：（1-9）（1-10）相關(guān)系數(shù)為R為0.99972，平均絕對(duì)偏差SD為0.0056。具體擬合曲線見圖1-4 圖1-4 DME飽和蒸汽壓和溫度之間的二次擬合總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.2 擬合的標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)例 比較圖1-3和圖1-4以及各自的相關(guān)系數(shù)和平均絕對(duì)偏差可知：對(duì)于DME飽和蒸汽壓和溫度之間的關(guān)系，在實(shí)驗(yàn)溫度范圍內(nèi)用

5、二次擬合曲線優(yōu)于線性擬合。二次擬合曲線具有局限性，由圖1-4觀察可知，當(dāng)溫度低于-30時(shí)，飽和壓力有升高的趨勢(shì)，但在擬合的溫度范圍內(nèi)，二次擬合的平均絕對(duì)偏差又小于一次擬合，故對(duì)物性數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)，不僅要看在擬合條件下的擬合效果，還必須根據(jù)物性的具體性質(zhì)，判斷在擬合條件之外的物性變化趨勢(shì)，以便使擬合公式在已做實(shí)驗(yàn)點(diǎn)數(shù)據(jù)之外應(yīng)用。 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.6總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3 單變量擬合和多變量擬合1.3.1單變量擬合1.3.2 多變量的曲線擬合1.3.1 單變量擬合 線性擬合 給定一組數(shù)據(jù)（xi,yi）,i=1, 2 , , m ，做

6、擬合直線p (x)=a + bx , 均方誤差為 ：（1-11） Q (a , b)的極小值需滿足： 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.1 單變量擬合 線性擬合整理得到擬合曲線滿足的方程：或 (1-12) 稱式(1-12)為擬合曲線的法方程?？偰夸洷菊履夸?.11.21.31.41.51.61.3.1 單變量擬合 線性擬合可用消元法或克萊姆方法解出方程：總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.1 單變量擬合 線性擬合實(shí)例例1.1：下表為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的某一物性和溫度之間的關(guān)系數(shù)據(jù)，表中x為溫度數(shù)據(jù)，y為物性數(shù)據(jù)。請(qǐng)用線性函數(shù)擬合溫度和物性之間的關(guān)系。x131

7、516212223252930313640y111011121213131214161713x42556062647072100130y142214212124172334總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.1 單變量擬合 線性擬合實(shí)例解：設(shè)擬合直線 ，并計(jì)算得下表： 編號(hào)xyxyx212345211315162122130956111011121234344143150176252264442018913121100121144144115661640將數(shù)據(jù)代入法方程組（1-12）中，得到： 解方程得：a = 8.2084 , b = 0.1795 。擬合直線為： 總目

8、錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.1 單變量擬合 二次擬合函數(shù)給定數(shù)據(jù)序列（xi,yi）,i=1, 2 , , m ,用二次多項(xiàng)式函數(shù)擬合這組數(shù)據(jù)。 (1-13) 由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，Q( a0 ,a1 ,a2 )的極小值滿足：總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.1 單變量擬合 二次擬合函數(shù)整理上式得二次多項(xiàng)式函數(shù)擬合的滿足條件方程：(1-14) 解此方程得到在均方誤差最小意義下的擬合函數(shù)p ( x )。方程組（1-14）稱為多項(xiàng)式擬合的法方程，法方程的系數(shù)矩陣是對(duì)稱的?？偰夸洷菊履夸?.11.21.31.41.51.61.3.1 單變量擬合 二次擬合函數(shù)

9、上面是二次擬合基本類型的求解方法，和一次擬合一樣，二次擬合也可以有多種變型： 例如套用上面的公式，我們可以得到關(guān)于求解此擬合函數(shù)的法方程 ：(1-15) 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.1 單變量擬合 二次擬合函數(shù)如果我們需要求解是下面的擬合函數(shù)：參照上面的方法，我們很容易得到求解該擬合函數(shù)的法方程： 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.1 單變量擬合 二次擬合實(shí)例例1.2：請(qǐng)用二次多項(xiàng)式函數(shù)擬合下面這組數(shù)據(jù)。序號(hào)1234567x-3-2-10123y4230-1-2-5總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.1 單變量擬合 二

10、次擬合實(shí)例解：設(shè) ，由計(jì)算得下表：序號(hào)xyxyx2x2yx3x41234567-3-2-1012304230-1-251-12-4-30-1-4-15-39941014928368-30-1-8-45-7-27-8-101827081161011681196總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.1 單變量擬合 二次擬合實(shí)例將上面數(shù)據(jù)代入式 (1-14) ，相應(yīng)的法方程為：解方程得：a0 =0.66667 , a1 = -1.39286 , a2 = -0.13095 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.1 單變量擬合 二次擬合實(shí)例擬合曲線的均方誤差：結(jié)

11、果見圖 1-6。二次曲線的擬合程序可利用后面介紹的單變量n次擬合程序。 圖 1-6 擬合曲線與數(shù)據(jù)序列總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.2 多變量的曲線擬合實(shí)際在化工實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理及模型參數(shù)擬合時(shí)，通常會(huì)碰到多變量的參數(shù)擬合問題。一個(gè)典型的例子是傳熱實(shí)驗(yàn)中努塞爾準(zhǔn)數(shù)和雷諾及普蘭德準(zhǔn)數(shù)之間的擬合問題： （1-16） 求出方程（1-16）中參數(shù)c1、c2、c3 這是一個(gè)有兩個(gè)變量的參數(shù)擬合問題 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.2 多變量的曲線擬合為不失一般性，我們把它表達(dá)成以下形式：給定數(shù)據(jù)序列 用一次多項(xiàng)式函數(shù)擬合這組數(shù)據(jù)。設(shè) ，作出擬合函數(shù)與數(shù)據(jù)

12、序列的均方誤差： (1-17) 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.2 多變量的曲線擬合由多元函數(shù)的極值原理，Q( a0 ,a1 ,a2 )的極小值滿足：整理得多變量一次多項(xiàng)式函數(shù)擬合的法方程：（1-18） 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.3.2 多變量的曲線擬合通過求解方程（1-18）就可以得到多變量函數(shù)線性擬合時(shí)的參數(shù)。我們可以通過對(duì)方程（1-16）兩邊同取對(duì)數(shù)，就可以得到以下線性方程： （1-19） 只要作如下變量代換：并將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入法方程（1-18）就可以求出方程（1-16）中的系數(shù)。 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.

13、3.2 多變量的曲線擬合 實(shí)例例1.3： 根據(jù)某傳熱實(shí)驗(yàn)測(cè)得如下數(shù)據(jù)，請(qǐng)用方程1-16的形式擬合實(shí)驗(yàn)曲線。Nu1.1272.4162.2052.3121,4846.0387.325Re100200300500100700800Pr2410.3534總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.6解：利用已給的VB程序，將數(shù)據(jù)依次輸入，就可以得到方程1-16中的三個(gè)參數(shù)：1.3.2 多變量的曲線擬合 實(shí)例則1-16式就變成了常見的光滑管傳熱方程：總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.6如果擬合方程的形式和方程1-16不同，則需對(duì)上面提供的程序作適當(dāng)修改。如對(duì)以下兩個(gè)自變量的擬合函數(shù)：

14、 其中n1和n2是已知系數(shù)，我們可以將看作，看作，得到上面擬合函數(shù)的法方程： 1.3.2 多變量的曲線擬合 實(shí)例（1-20） 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組 用最小二乘法求解線性矛盾方程的方法來構(gòu)造擬合函數(shù)，并將其推廣至任意次和任意多個(gè)變量的擬合函數(shù)。給定數(shù)據(jù)序列（xi,yi）,i=1, 2 , , m ，做擬合直線p (x) = a0 + a1x ，如果要直線 p (x)過這些點(diǎn)，那么就有 p (xi ) = a0 + a1xi =yi, i=1, 2 , , m , 即 ：矩陣形式： 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方

15、程組一般地，將含有n個(gè)未知量m個(gè)方程的線性方程組： 矩陣形式 一般情況下，當(dāng)方程數(shù)n多于變量數(shù)m，且m個(gè)方程之間線性不相關(guān), 則方程組無解，這時(shí)方程組稱為矛盾方程組。 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組方程組在一般意義下無解，也即無法找到n個(gè)變量同時(shí)滿足m個(gè)方程。這種情況和擬合曲線無法同時(shí)滿足所有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)相仿，故可以通過求解均方誤差 極小意義下矛盾方程的解來獲取擬合曲線。 由數(shù)學(xué)的知識(shí)還將證明：方程組ATAX = AT b的解就是矛盾方程組AX = b 在最小二乘法意義下的解，這樣我們只要通過求解ATAX = AT b就可以得到矛盾方程的解，進(jìn)而得到各種

16、擬合曲線，為擬合曲線的求解提高了另一種方法。 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組例如，擬合直線p (x ) = a0 +a1x的矛盾方程組ATAX = AT b的形式如下：化簡(jiǎn)得到與式(1-12)相同的法方程：總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組對(duì)于n次多項(xiàng)式曲線擬合，要計(jì)算 Q ( a0 ,a1 , , an )的極小問題。這與解矛盾方程組 ：或 與求 的極小問題是一回事。 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組在這里 故對(duì)離散數(shù)據(jù)（xi,yi）,i=1, 2 , , m ；所作的n次擬合曲

17、線y=，可通過解下列方程組求得： （1-21） 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組如果擬合函數(shù)有n個(gè)自變量并進(jìn)行一次擬合，則其擬合函數(shù)為： （1-22） 通過m（mn）次實(shí)驗(yàn)，測(cè)量得到了m組 的實(shí)數(shù)據(jù)，則可得到上面n個(gè)自變量擬合函數(shù)的法方程總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組只要對(duì)法方程（1-22）稍加修改，就可以得到有n個(gè)自變量的任意次方的擬合函數(shù)的法方程，通過法方程的求，就可以得到擬合函數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)。 （1-23） 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組 實(shí)例例 1.4：利用解矛盾方程的

18、方法，用二次多項(xiàng)式函數(shù)擬合下面數(shù)據(jù)。 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 4 2 3 0 -1 -2 -5總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組 實(shí)例解：記二次擬合曲線為 ，形成法方程 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組 實(shí)例得到：解方程得到：a0 = 0.66667 , a1 = -1.39286 , a2 = -0.13095 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組 實(shí)例例 1.5：給出一組數(shù)據(jù)，見下表。用解矛盾方程的思路將下面數(shù)據(jù)擬合成 的經(jīng)驗(yàn)公式。x-3 -2 -1 2 4y14.

19、3 8.3 4.7 8.3 22.7總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組 實(shí)例解：列出法方程： 而：總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.4 解矛盾方程組 實(shí)例故法方程為：解方程得：a = 10.675 , b = 0.137 擬合曲線為：總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法擬合參數(shù)前面已經(jīng)提到函數(shù)擬合的目標(biāo)是使擬合函數(shù)和實(shí)際測(cè)量值之間的差的平方和為最小，也就求下面函數(shù)的最小值：min Q ( a0 ,a1 , , an ) （1-24） 對(duì)于最小值問題,梯度法是用負(fù)梯度方向作為優(yōu)化搜索方向。 總目錄本章目錄1.11

20、.21.31.41.51.61.5 梯度法擬合參數(shù)梯度是一個(gè)向量,如果們用向量變量U來表示所有的擬合系數(shù)a0 ,a1 , , an，用函數(shù)f(U)來代替Q ( a0 ,a1 , , an )，則函數(shù)下降最快的方向?yàn)椋篠k=- f(U) (1-25)在梯度法中,新點(diǎn)由下式得到Uk+1=UK- k f(UK) (1-26) 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法擬合參數(shù)梯度法的計(jì)算步驟為：(1)選擇初始點(diǎn)U0；(2)用數(shù)值法(或解析法)計(jì)算偏導(dǎo)數(shù) ；(3)計(jì)算搜索方向向量： Sk= - ；(4)在Sk方向上作一維搜索，即求解單變量()優(yōu)化問題 f(Uk+ Sk) 由一維搜

21、索的解k ，求出新點(diǎn) Uk+1= Uk+kSk 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法擬合參數(shù)(5)作停止搜索判別。若不滿足精度要求，返回步驟(2)，重復(fù)進(jìn)行計(jì)算。梯度法停止搜索的判據(jù)為：這個(gè)算法的優(yōu)點(diǎn)是迭代過程簡(jiǎn)單，要求的存貯也少，而且在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的下降還是比較快的。因此，常和其它方法結(jié)合，在計(jì)算的前期使用此法，當(dāng)接近極小點(diǎn)時(shí)，再改用其它的算法，如共軛梯度法。 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法擬合參數(shù)共軛梯度法的計(jì)算步驟為：(1)選擇初始點(diǎn)U0或其它方法計(jì)算得到的最后點(diǎn)；(2)計(jì)算梯度g0= f(U0) ,以負(fù)梯度方向作為初始

22、搜索方向 S0=- g0 (3)在S0 方向上作一維搜索,得到新點(diǎn)U1；U1= U0+ S0 (4)計(jì)算U1點(diǎn)的梯度g1=f(U1)。新的搜索方向S1 ,即共軛方向,為S0與g1的線性組合；S1=- g1+ S0 總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法擬合參數(shù) 對(duì)于k1，上式為 Sk+1=-gk+1+Sk 可以證明,由上式得到的方向Sk+1與Sk共軛。 對(duì)于多元函數(shù),在n次搜索后(n為變量數(shù))，令U0=Uk+1,然后回到第1步,重新計(jì)算共軛方向。 (5)作停止搜索判據(jù)，若滿足，則停止搜索。否則回到第2步，進(jìn)行重復(fù)計(jì)算。總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.5 梯度法擬合參數(shù) 實(shí)例例1-8 利用梯度法，用Antoine公式擬合DEM飽和蒸氣壓和溫度之間的關(guān)系。 解：分析Antoine公式的形式，如果采用解矛盾方程法求解，在進(jìn)行函數(shù)和變量變換后，仍需要進(jìn)行對(duì)C的優(yōu)化求解，而采用梯法，可直接優(yōu)化求解，其優(yōu)化函數(shù)為：總目錄本章目錄1.11.21.31.41.51.61.6 吸附等溫曲線回歸總目錄本章目