25.1隨機事件與概率課件

1、第一章 隨機事件及概率 隨機事件隨機事件的概率古典概率模型（等可能概率模型）條件概率隨機事件的獨立性1.1 隨機事件一、隨機試驗隨機現(xiàn)象：在一定條件下，事先不能斷言會出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象。 例：拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面或反面的情況。 （3）試驗中一切可能出現(xiàn)的結(jié)果可以預(yù)先知道。必然性（統(tǒng)計規(guī)律性）隨機試驗必需滿足：（1）在相同條件下，可以進行大量次重復(fù)試驗?？芍貜?fù)性（2）每次試驗中可以出現(xiàn)不同的結(jié)果，而不能預(yù)先知道發(fā)生哪種結(jié)果。偶然性隨機試驗一般用字母E表示。例1 E1：擲一枚硬幣，觀察其正面（H）和反面（T）出現(xiàn)的情況。試驗的條件是擲一枚硬幣，條件實現(xiàn)（一枚硬幣擲出）就完成一次

2、試驗。例2 E2：將一枚硬幣擲2次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況。試驗的條件就是把硬幣擲2次，條件實現(xiàn)（硬幣擲了2次）就完成一次試驗。例3 E3：從含有2個黑球 和3個白球 的盒子中任意的取出3個球，觀察取出的球；條件實現(xiàn)（從5個球中取出3個）就完成試驗。例4 E4：把2個球a和b任意的放入3個盒子中（每個盒子可以放任意多個球），觀察球在盒子中的放法。例5 E5：記錄某網(wǎng)站在1分鐘內(nèi)的點擊次數(shù)。例6 E6：觀察某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命t。隨機事件：一個隨機試驗E中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為該試驗的隨機事件（簡稱事件）通常用字母A、B、C等表示。 基本事件：試驗E的每一可能的結(jié)果叫做基本事件 ，一

3、般用表示。樣本空間：基本事件的全體組成的集合稱為該試驗的樣本空間。一般用表示。二、隨機事件必然事件：每次試驗中必然發(fā)生的事件稱為必然事件，記為。不可能事件：每次試驗中不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件，記為。 （1）樣本空間的構(gòu)成是由試驗的條件和觀察的目的所決定。注意（2）基本事件是事件的一種，一般的事件是由若干個基本事件共同組成的，因而是樣本空間的子集，通常又稱其為復(fù)合事件。（3）隨機事件的另一個定義：樣本空間的某個子集。事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗中出現(xiàn)A的某個基本事件。三、事件之間的關(guān)系和運算 定義：若事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A。記為:B A或A B。 （1）事件的包含關(guān)系結(jié)

4、論：若事件A B且A B，則稱事件A和事件B相等，記為AB。即：事件A、B所包含的基本事件是一樣的。 定義：事件A，B至少有一個發(fā)生，稱為事件A與B的和（或稱為并），記為AB（2）事件的和定義：2個事件A，B都發(fā)生，稱為事件A與B的交（或積），記為AB（或AB）。 （3）事件的交定義：“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”也是一個事件，稱為A與B的差。記為AB。 （4）事件的差 定義：在一次試驗中，若事件A、B不能同時發(fā)生，即AB，則稱事件A、B是互不相容的事件。結(jié)論：從基本事件說，互不相容事件就是沒有公有的基本事件。顯然，在一次試驗中，兩個基本事件不能同時發(fā)生，所以任何兩個基本事件都是互不相容事件。

5、（5）事件的互不相容性定義：若AB ，AB，則稱A、B為相互對立的事件（簡稱互逆），事件A的逆事件又可記為 。結(jié)論：A、B互逆 A、B互不相容； A、B互不相容 A、B互逆。 （6）逆事件交換律：ABBA，ABBA 結(jié)合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)分配律：(AB)C(AC)(BC) ， (AB)C(AC)(BC) （7）事件的運算規(guī)律德摩根公式：例1、在一個口袋里裝有紅、黃、白三種球，每種球都不止一個，一次任取兩個球，觀察它們的顏色。設(shè)A兩個同色球，B至少一個紅色球，問AB由哪些基本事件組成？例2、設(shè)A、B、C為三個事件，試將下列事件用A、B、C表示出來。（1）三個事件都發(fā)

6、生；（2）三個事件都不發(fā)生； （3）三個事件至少有一個發(fā)生； （4）A發(fā)生，B、C不發(fā)生； （5）A、B都發(fā)生，C不發(fā)生； （6）三個事件中至少有兩個發(fā)生；（7）不多于一個事件發(fā)生 ；（8）不多于兩個事件發(fā)生。 1.2 隨機事件的概率一、事件的頻率定義：如果在n次重復(fù)隨機試驗中，事件A發(fā)生了nA次，那么就稱比值 fn(A)為事件A發(fā)生的頻率，其中 ， nA稱為A在這n次試驗中發(fā)生的頻數(shù)。對任意隨機試驗E，頻率具有性質(zhì)：（1）對任意事件A， 。（2） 。（3）對任意有限多個互不相容的事件A1、 A2 Am 有 。說明由頻率的定義可見，如果事件A發(fā)生的可能性愈大，頻率就愈大；另一方面，頻率還有穩(wěn)定

7、性，即當(dāng)n很大時，頻率穩(wěn)定在一個固定值附近擺動。二、概率的定義（1）概率的統(tǒng)計定義定義1：在同一組條件下所作的大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率總是在一個確定的常數(shù) p 附近擺動，并且逐漸穩(wěn)定于p，那末數(shù) p 就表示事件A發(fā)生的可能性大小，并稱它為事件A的概率，記作 。（2）概率的公理化定義定義2：設(shè)E是隨機試驗，是E的樣本空間，對于E的每一個事件A對應(yīng)唯一的實數(shù)值，記為 ，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù) 滿足下列條件：（1）非負性：（2）規(guī)范性：（3）可列可加性：是任意無窮多個互不相容的事件，有 這3條也是概率的三個基本性質(zhì)，此外概率還有一些其他性質(zhì)：概率的加法公式可推廣到有限個事件的并的

8、情形。如：這個式子稱為“多除少補原理”.2、設(shè) ，且 ，則 （ ）。3、設(shè)A、B、C 為隨機事件，且 ， ，0.125，則A、B、C至少出現(xiàn)一個的概率是 。 1、已知 ，則 （A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。 課堂訓(xùn)練題2、設(shè) ，且 ，則 （ 0.56 ）。3、設(shè)A、B、C 為隨機事件，且 ， ，0.125，則A、B、C至少出現(xiàn)一個的概率是 0.25 。 1、已知 ，則 （A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。 課堂訓(xùn)練題1.3 等可能概型等可能概型（古典概型）：如果一個隨機試驗E具有如下的特征，則稱為等可能概型。（1）基本事件的全集是由有限個基本事件組成

9、的； Se1, e 2 , , e n （2）每一個基本事件在一次試驗中發(fā)生的可能性是相同的。 P(e1)=P(e2)=P(en)定義：在古典概型中，若樣本空間包含的基本事件總個數(shù)為n，其中事件A包含的基本事件個數(shù)為k，則事件A的概率為 古典概型中概率的計算乘法公式：設(shè)完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法復(fù)習(xí)：排列與組合的基本概念加法公式：設(shè)完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。有重復(fù)排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k 次，每次取一個，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一

10、列，nnnn共有nk種排列方式.無重復(fù)排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k 次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)種排列方式.nn-1n-2n-k+1組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k 個，共有種取法.古典概型的幾類基本問題抽球問題 分球入盒問題分組問題隨機取數(shù)問題。2.1、抽球問題 例1:設(shè)盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從合中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。解:設(shè)A-取到一紅一白答:取到一紅一白的概率為3/5一般地，設(shè)合中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球（不放回），則這n個球中恰有k個白球的概率是例2、 盒中有a個黑球，b個白球

11、，從中分不放回和有放回的抽取n個球，求事件A：“剛好取到k個黑球”的概率。 不放回（一次取n個球,一次取一個球）放回（取一個放回一個）在實際中，產(chǎn)品的檢驗、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學(xué)意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。2、分球入盒問題例3：將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:設(shè)A:每盒恰有一球,B:空一盒一般地，把n個球隨機地分配到m個盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：某班級有n 個人(n365)，問至少有兩個人的生日在同一天的概率有多大？?例4、n個球隨

12、機放到N個盒子中，求下列事件發(fā)生的概率（1）A:某指定的n個盒子中每盒有1球；（2）B:任意的n個盒子每個盒子剛好有1個球；（3）C:第一個盒子剛好有k個球。3.分組問題例5：30名學(xué)生中有3名運動員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。解:設(shè)A:每組有一名運動員;B: 3名運動員集中在一組一般地，把n個球隨機地分成m組(nm),要求第 i 組恰有ni個球(i=1,m)，共有分法：4 隨機取數(shù)問題例6 從1到200這200個自然數(shù)中任取一個,(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率(3)求取到的數(shù)既能被6整除

13、也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25(1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25例7、(抽簽的公平性) 盒中有a個黑球，b個白球，把球隨機地一只只取出（不放回），求事件A：“第k（1 k ab）次取到黑球”的概率。 例8、一盒中含有N1個黑球，一個白球，每次從盒中隨機地取一只球，并還入一只黑球，這樣繼續(xù)下去，求事件A：“第k次取到黑球”的概率。 解：顯然，這是一個古典概型的問題，樣本空間的大小為 ；而要求概率的事件A所包含的基本事件個數(shù)就不容易計算了，但可考慮其逆事件，包含的基本事件數(shù)為：

14、例9、 從1，2，9中有放回的取n個數(shù)，求取到的n個數(shù)的乘積能被10整除的概率。?例10、 甲，乙兩人各出8元賭注，采用拋硬幣作為賭博手段。正面向上甲得1分，反面朝上乙得1分，誰先達到預(yù)先規(guī)定的分數(shù)就獲得全部的16元賭注。當(dāng)甲差2分，乙差3分時他們不愿意再賭下去，請問如何公平的分配這16元賭注？ 1.4 條件概率與乘法公式一、條件概率的定義在實際問題中，除了要知道事件A的概率 外，有時還要考慮在“已知事件B發(fā)生”的條件下，事件A發(fā)生的概率。一般情況下，兩者的概率是不相等的，為了區(qū)別所見，我們把后者稱為條件概率，記為 ：例1、設(shè)10件產(chǎn)品中有2件次品，8件正品?，F(xiàn)每次從中任取一件產(chǎn)品，且取后不放

15、回，試求下列事件的概率。（1）前兩次均取到次品（2）第一次取到次品（3）第二次取到次品（4）已知第一次取到次品的條件下第二次也取到次品定義：A，B兩個事件，P(A)0，稱為A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率。如：注意：（1）條件概率也是概率，所以，它滿足概率的一切性質(zhì) 。（2）一般的，概率與條件概率之間沒有大小關(guān)系，但是有一種情況例外。（3）在古典概型中，設(shè)樣本空間是由n個基本事件組成，若事件B包含m個基本事件 (m0)，AB包含k個基本事件，則例2：有10個產(chǎn)品，其中4個是次品，從中不放回的抽取2個，已知取出的一個是次品的條件下另外一個也是 次品的概率。二、概率的乘法公式 定理：兩個事件的

16、交的概率等于其中一個事件的概率與另一事件在前一事件發(fā)生下的條件概率的乘積。即：P(AB)=P(B) P(AB)P(A) P(BA)這是兩個事件的交，我們可以推廣到求有限多個事件的交：例3：把3個球隨機地放到4個盒子中，A表示有球盒子的最小號碼為3，求P(A)。三、全概率公式和貝葉斯公式 1、劃分：設(shè)為隨機試驗E的樣本空間， 為E的一組事件，若 （1）（2）則稱 為樣本空間的一個有窮劃分（或稱為完備事件組）。 設(shè)為隨機試驗E的樣本空間， 為樣本空間的一個劃分。則： 2、全概率公式與貝葉斯公式例4、 設(shè)有一箱同類型的產(chǎn)品是由三家工廠所生產(chǎn)的，已知其中有 的產(chǎn)品是由第一家工廠生產(chǎn)的，其它二廠各生產(chǎn)

17、；又知第一第二兩廠生產(chǎn)的有 2是次品，第三家工廠生產(chǎn) 的有4是次品，現(xiàn)從箱中任取一件產(chǎn)品，問拿到的是次品的概率為多少？ 例5、產(chǎn)品整箱出售，每箱20個。各箱有0，1，2個次品的概率分別為0.7，0.2，0.1。一位顧客欲購買一箱產(chǎn)品，在購買時，營業(yè)員隨機地取一箱，而顧客從中任取4只檢查，若無次品，則買下該箱產(chǎn)品，否則退貨，求（1）顧客買下該箱產(chǎn)品的概率；（2）已知顧客買下一箱產(chǎn)品，則該箱都是正品的概率為多少？例6、在數(shù)字通訊中，信號是由0和1組成的。若發(fā)送的信號為0和1的概率分別為0.7和0.3；由于隨機干擾，當(dāng)發(fā)送信號是0時，接收為0和1的概率分別為0.8和0.2；當(dāng)發(fā)送信號是1時，接收為1

18、和0的概率分別為0.9和0.1。求已知收到的信號是0時，發(fā)送信號也為0（即沒有錯誤）的概率。 解：設(shè)事件 ：“發(fā)送信號為0”，事件 ：“發(fā)送信號為1” ，事件B：“接收信號為0” 由貝葉斯公式得： 例7、袋中N個球，其中紅球個數(shù)從0N等可能，每次從中任取1球，觀察其顏色后放回，如此重復(fù)了k次。結(jié)果k次都觀察到紅球，問袋中全是紅球的概率。一、 兩個事件的獨立性1.5 事件的獨立性例1、在20個產(chǎn)品中有2個次品，從中接連抽兩個產(chǎn)品，第一個產(chǎn)品抽得后放回，再抽第二個產(chǎn)品，求（1）已知第一次取得次品的情況下，第二次取得次品的概率；（2）第二次取得次品的概率。解： 設(shè)事件A第一次抽到次品， 事件B第二次抽到次品，（1）因是有放回的： （2）因是有放回的：所以， P(B|A) P(B) 。定義:設(shè)事件A、B是某一隨機試驗的任意兩個事件，若滿足 ，則稱事件A、B互相獨立(independent)。 定理：若事件A與B相互獨立，且獨立擴張定理：若事件A與B獨立，則、也相互獨立。二、多個隨機事件的獨立性 定義：設(shè)事件 ，