選修2-1第二章單元綜合測試

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)單元綜合測試二(第二章綜合測試)時(shí)間：120分鐘分值：150分一、選擇題(每小題5分，共60分)1拋物線yx2的準(zhǔn)線方程是()A4y10B4x10C2y10 D2x10【答案】A【解析】peq f(1,2)，準(zhǔn)線方程為yeq f(p,2)eq f(1,4)，即4y10.2設(shè)k1，則關(guān)于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲線是()A長軸在y軸上的橢圓 B長軸在x軸上的橢圓C實(shí)軸在y軸上的雙曲線 D實(shí)軸在x軸上的雙曲線【答案】C【解析】k1，方程可化為eq f(y2

2、,k21)eq f(x2,k1)1.表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線3下列曲線中離心率為eq f(r(6),2)的是()A.eq f(x2,2)eq f(y2,4)1 B.eq f(x2,4)eq f(y2,2)1C.eq f(x2,4)eq f(y2,6)1 D.eq f(x2,4)eq f(y2,10)1【答案】B【解析】雙曲線eq f(x2,4)eq f(y2,2)1的離心率eeq f(r(42),2)eq f(r(6),2).4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC的頂點(diǎn)A(4,0)和C(4,0)，頂點(diǎn)B在橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,9)1上，則eq f(sinAsinC,sinB

3、)等于()A.eq f(4,5) B.eq f(5,2)C.eq f(5,4) D.eq f(5,3)【答案】C【解析】橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,9)1中，長半軸長a5，短半軸長b3，半焦距c4，eq f(sinAsinC,sinB)eq f(BCBA,AC)eq f(2a,2c)eq f(5,4).5橢圓a2x2eq f(a,2)y21的一個(gè)焦點(diǎn)是(2,0)，則a等于()A.eq f(1r(3),4) B.eq f(1r(5),4)C.eq f(1r(3),4) D.eq f(1r(5),4)【答案】B【解析】橢圓a2x2eq f(a,2)y21可化為eq f(x2,f(1,

4、a2)eq f(y2,f(2,a)1，a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|eq f(9,4)ab，則該雙曲線的離心率為()A.eq f(4,3) B.eq f(5,3)C.eq f(9,4) D3【答案】B【解析】不妨設(shè)點(diǎn)P是右支上的一點(diǎn)，由雙曲線的定義知，|PF1|PF2|2a，|PF1|eq f(2a3b,2)，|PF2|eq f(3b2a,2)，|PF1|PF2|eq f(3b2a,2)eq f(3b2a,2)eq f(9b24a2,4)，eq f(9b24a2,4)eq f(9ab,4)，解得3b4a，雙曲線的離心率eeq f(c,

5、a)eq r(1f(b2,a2).所以離心率為eeq f(5,3).7拋物線yx2到直線2xy4距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(eq f(3,2)，eq f(5,4) B(1,1)C(eq f(3,2)，eq f(9,4) D(2,4)【答案】B【解析】設(shè)P(x，y)為拋物線yx2上任一點(diǎn)，則P到直線的距離deq f(|2xy4|,r(5)eq f(|x22x4|,r(5)eq f(x123,r(5)，所以當(dāng)x1時(shí)，d取最小值eq f(3r(5),5)，此時(shí)P為(1,1)8設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()A.eq r(2

6、) B.eq r(3)C.eq f(r(3)1,2) D.eq f(r(5)1,2)【答案】D【解析】設(shè)雙曲線方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，F(xiàn)(c,0)，B(0，b)，則kBFeq f(b,c)，雙曲線的漸近線方程為yeq f(b,a)x，eq f(b,c)eq f(b,a)1，即b2ac，c2a2ac，e2e10，解得eeq f(1r(5),2)，又e1，eeq f(r(5)1,2)，故選D.9(2014遼寧理)已知點(diǎn)A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為()A.eq f(1,

7、2) B.eq f(2,3)C.eq f(3,4) D.eq f(4,3)【答案】D【解析】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線的斜率，直線與拋物線的位置關(guān)系由題意知，準(zhǔn)線方程為x2，p4，拋物線方程：y28x，焦點(diǎn)坐標(biāo)F(2,0)設(shè)過A點(diǎn)的直線為yk(x2)3，聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(y28x，,ykx23，)化簡得y2eq f(8,k)yeq f(24,k)160，eq f(64,k2)4(eq f(24,k)16)0，keq f(1,2)，k2(舍去)將keq f(1,2)代入方程，y8，x8.B點(diǎn)坐標(biāo)為(8,8)kBFeq f(8,82)eq f(4,3).10連接雙曲線

8、eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1與eq f(y2,b2)eq f(x2,a2)1的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為S1，連接它們的四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為S2，則S1S2的最大值是()A2 B1C.eq f(1,2) D.eq f(1,4)【答案】C【解析】x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為(a,0)，(a,0)，y軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為(0，b)，(0，b)這四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為菱形，面積S1eq f(1,2)2a2b2ab，焦點(diǎn)分別為(c,0)，(0，c)，則四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為正方形，面積S2eq f(1,2)2c2c2c2.S1S2eq f(ab,c2)eq f(a2b2,2c2)eq f

9、(1,2).當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立，故選C.11(2014山東理)已知ab0，橢圓C1的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，雙曲線C2的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，C1與C2的離心率之積為eq f(r(3),2)，則C2的漸近線方程為()Axeq r(2)y0 B.eq r(2)xy0Cx2y0 D2xy0【答案】A【解析】本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)eeq oal(2,1)eq f(coal(2,1),a2)eq f(a2b2,a2)，eeq oal(2,2)eq f(coal(2,2),a2)eq f(a2b2,a2)eeq oal(2,1)

10、eeq oal(2,2)eq f(a4b4,a4)(eq f(r(3),2)2eq f(3,4)a44b4，eq f(b,a)eq f(r(2),2)雙曲線的漸近線方程為yeq f(r(2),2)x.12過橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左頂點(diǎn)A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個(gè)點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F，若eq f(1,3)keq f(1,2)，則橢圓離心率的取值范圍是()A(eq f(1,4)，eq f(4,9) B(eq f(2,3)，1)C(eq f(1,2)，eq f(2,3) D(0，eq f(1,2)【答案】C【解析】點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是c

11、，故B的坐標(biāo)為(c，eq f(b2,a)，又k(eq f(1,3)，eq f(1,2)，B(c，eq f(b2,a)斜率keq f(f(b2,a),ca)eq f(b2,aca2)eq f(a2c2,aca2)eq f(1e2,e1).由eq f(1,3)keq f(1,2)，解得eq f(1,2)e0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線eq f(x2,3)eq f(y2,3)1相交于A，B兩點(diǎn)，若ABF為等邊三角形，則p_.【答案】6【解析】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，方程的思想如圖不妨設(shè)A(x0，eq f(p,2)F(0，eq f(p,2)，F(xiàn)Dp，可解得A(eq r(3f(p2,4)，eq f(p

12、,2)在RtDFA中，tan30eq f(AD,DF)，eq f(r(3),3)eq f(r(3f(p2,4),p).p236，p6.15拋物線形拱橋的跨度是20米，拱高是4米，每隔4米用一支柱支撐，其中最長支柱的長是_【答案】3.84 m【解析】如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線方程為：x22py(p0)，點(diǎn)A(10，4)在拋物線上，1008p，peq f(25,2)，x225y，其中最長一根長柱與拋物線的交點(diǎn)為B(x0，y0)，由題意知x02，y0eq f(4,25)，最長的支柱長為4eq f(4,25)eq f(96,25)3.84(米)16設(shè)AB是橢圓eq f(x2,a2)eq

13、 f(y2,b2)1的不垂直于對稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則kABkOM_.【答案】eq f(b2,a2)【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則中點(diǎn)M(eq f(x1x2,2)，eq f(y1y2,2)，得kABeq f(y2y1,x2x1)，kOMeq f(y2y1,x2x1)，kABkOMeq f(yoal(2,2)yoal(2,1),xoal(2,2)xoal(2,1)，又由b2xeq oal(2,1)a2yeq oal(2,1)a2b2，b2xeq oal(2,2)a2yeq oal(2,2)a2b2，得b2(xeq oal(2,2)xeq oal(2,1)a2

14、(yeq oal(2,2)yeq oal(2,1)0，即eq f(yoal(2,2)yoal(2,1),xoal(2,2)xoal(2,1)eq f(b2,a2).三、解答題(共74分)17(本題滿分12分)求以橢圓3x213y239的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線yeq f(x,2)為漸近線的雙曲線方程【解析】橢圓3x213y239可化為eq f(x2,13)eq f(y2,3)1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq r(10)，0)，所求雙曲線的焦點(diǎn)為(eq r(10)，0)，設(shè)雙曲線方程為：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)，雙曲線的漸近線為yeq f(1,2)x，eq f(b,a)eq

15、f(1,2)，eq f(b2,a2)eq f(c2a2,a2)eq f(10a2,a2)eq f(1,4)，a28，b22，即所求的雙曲線方程為：eq f(x2,8)eq f(y2,2)1.18(本題滿分12分)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq f(x2,4)y21的左、右焦點(diǎn)若點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()的最大值和最小值【解析】由題意知a2，b1，ceq r(3)，所以F1(eq r(3)，0)，F(xiàn)2(eq r(3)，0)，設(shè)P(x，y)，則eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()(eq r(3)x，y)(eq r(3

16、)x，y)x2y23eq f(1,4)(3x28)由于x2,2，故當(dāng)x0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()有最小值2；當(dāng)x2，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()有最大值1.19(本題滿分12分)如圖所示，橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,9)1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，一條直線l經(jīng)過F1與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為45，求ABF2的面積【解析】由橢圓的方程eq f(x2,16)eq f(y2,9)1知，a4，b3，ceq r(a2b2)eq r(7).由ceq r(7)

17、知F1(eq r(7)，0)，F(xiàn)2(eq r(7)，0)，又ktan451，直線l的方程為xyeq r(7)0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由eq blcrc (avs4alco1(xyr(7)0，,f(x2,16)f(y2,9)1，)消去x，整理得25y218eq r(7)y810，|y1y2|eq r(y1y224y1y2)eq r(f(18r(7),25)24f(81,25)eq f(72,25)eq r(2).SABF2eq f(1,2)|F1F2|y1y2|eq f(1,2)2eq r(7)eq f(72,25)eq r(2)eq f(72,25)eq r(14).20(

18、本題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0，eq r(3)，(0，eq r(3)的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線ykx1與C交于A，B兩點(diǎn)(1)寫出C的方程；(2)若eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，求k的值【解析】(1)設(shè)P(x，y)，由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(0，eq r(3)，(0，eq r(3)為焦點(diǎn)，長半軸為2的橢圓它的短半軸beq r(22r(3)2)1，故曲線C的方程為x2eq f(y2,4)1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標(biāo)滿足eq blcrc (avs4alco1(x2f(y2,4)1，,ykx1，)消去y并

19、整理得(k24)x22kx30，故x1x2eq f(2k,k24)，x1x2eq f(3,k24).若eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，則x1x2y1y20.而y1y2k2x1x2k(x1x2)1，于是x1x2y1y2eq f(3,k24)eq f(3k2,k24)eq f(2k2,k24)10，化簡得4k210，所以keq f(1,2).21(本題滿分13分)已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率eeq f(r(2),2)，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1eq f(r(2),2)，直線l與y軸交于點(diǎn)P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且Aeq o(P,

20、sup6()3Peq o(B,sup6().(1)求橢圓方程；(2)求m的取值范圍【解析】(1)設(shè)C：eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，設(shè)c0，c2a2b2，由條件知ac1eq f(r(2),2)，eq f(c,a)eq f(r(2),2)，a1，bceq f(r(2),2)，故橢圓方程為y2eq f(x2,f(1,2)1.(2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，meq f(1,2)，滿足條件，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykxm，與橢圓C交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得eq blcrc (avs4alco1(ykxm，,2x2y21，)整理得(k22)x22k

21、mx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)x1x2eq f(2km,k22)，x1x2eq f(m21,k22)，Aeq o(P,sup6()3Peq o(B,sup6()，x13x2，由消去x1，x2，得3(eq f(km,k22)2eq f(m21,k22)0.整理得4k2m22m2k220，m2eq f(1,4)時(shí)，上式不成立；m2eq f(1,4)時(shí)，k2eq f(22m2,4m21)，k2eq f(22m2,4m21)0，1meq f(1,2)或eq f(1,2)m1，把k2eq f(22m2,4m21)代入(*)得1meq f(1,2)或eq

22、f(1,2)m1.1meq f(1,2)或eq f(1,2)m1.綜上，m的取值范圍為1meq f(1,2)或eq f(1,2)m0)的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且有|FA|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，ADF為正三角形(1)求C的方程；(2)若直線l1l，且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E.()證明直線AE過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；()ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由【解析】(1)由題意知F(eq f(p,2)，0)，設(shè)D(t,0)(t0)，則FD的中點(diǎn)為(eq f(p2t,4)，0)因?yàn)閨FA|FD|，由拋物線的定義知3eq f(p,2)|teq f(p,2)|，解得t3p或t3(舍去)，由eq f(p2t,4)3，解得p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)()由(1)知F(1,0)設(shè)A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因?yàn)閨FA|FD|，得|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)故直線AB的斜率kABeq f(y0,2).因?yàn)橹本€l1和直線AB平行，設(shè)直線l1的方程為yeq f(y0,2)xb，代入拋物線方程得y2eq f(8,y0)yeq f(8b,y0)0，由題意eq f