長方體和正方體知識和典型問題匯總

1、長方體和正方體知識和典型問題匯總一、長方體和正方體的認識知識點1 :立體圖形棱面頂點數(shù)量特征數(shù)量特征數(shù)量特征長方體12相對的棱長度相等6相對的面完全相同8同一個頂點 引出的三條 棱分別叫做 長、寬、高正方體12所有的棱長度都相等6所有面都是正方形且完全相同8備注：一個長方體至少可以有兩個面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不會存在3 個、4個、5個面是正方形！練習：一、判斷并改正：1、長方體的六個面一定是長方形；（）2、正方體的六個面面積一定相等；（） TOC o 1-5 h z 3、一個長方體（非正方體）最多有四個面面積相等；（）4、相交于一個頂點的三條棱相等的長方體一定是正方體。（）7

2、、長方體的三條棱分別叫做長、寬、高。（）8、有兩個面是正方形的長方體一定是正方體。（）9、有三個面是正方形的長方體一定是正方體。（）10、有兩個相對的面是正方形的長方體，另外四個面的面積是相等的。（）11、長方體和正方體最多可以看到3個面。（）12、正方體不僅相對的面的面積相等，而且所有相鄰的面的面積也都相等。（）13、長方體（不包括正方體）除了相對的面相等，也可能有兩個相鄰的面相等。（）14、一個長方體中最少有4條棱長度相等，最多有8條棱長度相等。（）二、填空：1、一個長方體最多有（）個面是正方形，最多有（）條棱長度相等。2、一個長方體的底面是一個正方形，則它的4個側(cè)面是（）形。3、正方體不

3、僅相對的面相等，而且所有相鄰的面（），它的六個面都是相等的（）形。4、把長方體放在桌面上，最多可以看到（）個面。最少可以看到（ ）個面。【知識點2】棱長和公式：長方體棱長和二（長+寬+高）X4長+寬+高二棱長和：4長方體棱長和二下面周長X2+高X 4長方體棱長和二右面周長X 2+長X 4長方體棱長和二前面周長X2+寬X 4正方體棱長和二棱長X12棱長二棱長和：12棱長和的變形：例：有一個禮盒需要用彩帶捆扎，捆扎效果如圖，打結(jié)部分需要10 厘米彩帶，一共需要多長的彩帶？分析：本題雖然并未直接提出求棱長和，但由于彩帶的捆扎是和棱 相互平行的，因此，在解決問題時首先確定每部分彩帶與那條棱平 行，從而

4、間接去求棱長和。30 cm前面和后面的彩帶長度二高的長度；左面和右面的彩帶長度二高的長度;上面和下面的彩帶長度二長的長度。需要彩帶的長度二高X4+長X2+寬X2+打結(jié)部分長度：20X4+30X2+20X2+10=150cm練習:（1）看圖2-6,并填空（單位：厘米）這個長方體長（ ）厘米，寬（ ）厘米，高（ ）厘米。由一個頂點 引出的三條棱的長度和是（ ）厘米。棱長總和是（ ）厘米。上下兩個 面是（）形。（2）看圖2-7并填空（單位：厘米）這是一個（）體，正方體的棱長是（）厘米，棱長之和是（ ）厘米，每個面的面積是（）平方厘米。（3）有一個長方體的魚缸，長50厘米，寬30厘米，高30厘米，需要

5、在用鋁合金包裹玻璃連接處，需要（）米的鋁合金。（4）把兩個棱長1厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的棱長總和是（）厘米。（7） 一個長方體長12厘米寬8厘米高7厘米，把它切成一個盡可能大的正方體，這個正方體的棱長是（）厘米。（8） 一個長方體的禮堂如圖，過節(jié)時需要在四周裝上成串的彩燈，每串彩燈長2m，一共需 要多少串彩燈？30m（9） 一只魚缸，棱長和為280cm，其中，底面周長為50cm，右面周長為40cm，前面周長為50cm，魚缸的長、寬、高各是多少？【知識點3】確定長方體中每個面的形狀以及長、寬、高分別是多少。長方體一共有（）個面，（）面完全相同，如：前面和（）完全相同，（）和（）完

6、全相同，（）和（）完全相同。根據(jù)習慣我們一般認為在一個平面中水平方向的為長，垂直方向的為高。根據(jù)這一習慣我們 我們只需找到需要的面并根據(jù)習慣確定長和寬即可。 TOC o 1-5 h z 例：如圖下列長方體的后面是（ ）形狀，長是（ ）寬是（ ）；.；它的右面是（ ）形狀，長是（ ）寬是（ ）；下面是（ ） A/形狀，長是（）寬是（）。/_ 窈練習：（1）長方體展開后每個面都是什么形狀？展開后哪倆個面是相對的面？面積相等嗎？上下，左右、前后各個面的長和寬分別是原長方體的什么？上左 后 右下前 TOC o 1-5 h z （2）一個長方體的長是25厘米，寬是20厘米，高是18厘米，最大的面的長是（

7、）厘米，寬是（）厘米，它的面積是（）平方厘米；最小的面長是（）厘米，寬是（）厘米，它的面積是（）平方厘米。（3）一個長方體的長、寬、高分別是8、6、4米，它的前后的面的面積是（），左右的面的面積是（），上下的面的面積是（）?！局R點4】經(jīng)過折疊可以組合成正方體：經(jīng)過折疊可以組合成長方體:練習：下列三個圖形中，能拼成正方體的是（）rEIII【知識點5】長方體或正方體的切割組合對棱長的影響（1）切割將長方體橫向切割成兩個長方體后，棱長將比原來一個長方體時增加4條長和4條寬（棱長 增加的最長）將長方體豎向切割成兩個長方體后，棱長將比原來一個長方體時增加4條寬和4條高（棱長 增加的最短）將正方體沿無論

8、沿那個方向切割成兩個長方體后，棱長將比原來增加4條棱。二、組合將兩個完全相同的長方體沿上下面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條長和4條寬； （棱長減少的最多）將兩個完全相同的長方體沿前后面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條長和4條高； 將兩個完全相同的長方體沿左右面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條寬和4條高； （棱長減少的最少）將兩個完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長比原來兩個正方體時減少8條棱；一次類推將三個完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長比原來三個正方體時減少16條棱， 四個組合減少24條棱，五個組合減少32條（公式：8X（N1）例如：將五個完全相同的正方體組合成一個長

9、方體后，棱長和為140厘米，原來每個正方體 的棱長和是多少？分析：五個正方體棱長共有12X5=60條；將五個完全相同正方體組合后棱長比原來減少32條，還剩60-32=28條；即這28條棱的長度和即為新長方體的棱長和，所以正方體一條棱的長度為：140： 28=5cm；所以一個正方體的棱長和為：5X12=60cm?！局R點6】小正方體拼大正方體的規(guī)律由于正方體，每條棱的長度相等，所以要用小的正方體拼出大的正方體每條棱上擺放的 小正方的個數(shù)應(yīng)該是相等的，因此要拼出最小的正方體至少需要2X2X2=23=8個（也就是說 每條棱上放2個小正方體），接著再往大了拼正方體，就是每條棱上放3個小正方體即3X3

10、X3=33=27個，依次類推接下來是4X4X4=43=64個；5X5X5=53=125個從中我們可以發(fā)現(xiàn)要用小的正方體拼出大的正方體所需要的小正方體的個數(shù)應(yīng)該是一個 數(shù)的立方。這就要求我們能夠熟記一些數(shù)的立方：23=833=2743=6453=12563=21673=34383=51293=729103=1000小正方體拼大長方體的規(guī)律規(guī)律同正方體，首先觀察大長方體各棱長分別是小正方體棱長的幾倍，如，長方體長是小正 方體棱長的a倍，寬是小正方體棱長的b倍，高是小正方體棱長的c倍，則，大長方體就是 由aXbXc個小正方體組成的。練習：（1）用棱長為3厘米的小正方體拼棱長為9厘米的大正方體需要（）

11、個小正方體。A、8 個 B、27 個 C、26 個 D、64 個（2）一個長方體的長寬高分別是18、12、9,如果用棱長為3的小正方拼一個這樣的長方體，一共需要（）塊這樣的小正方體。（3）一個長方體的盒子里面長5分米，寬4分米，深3分米，放棱長為5厘米的正方體小木 塊共可以放（ ）塊。二、長方體和正方體的表面積【知識點1】長方體表面積二（長x寬+長X高+寬X高）X2 = CaXb+aXc+bXc）X2=（前面面積+上面面積+右面面積）X2正方體表面積二棱長X棱長X 6=a XaX 6=6a2二任意一個面的面積X6前面面積二后面面積；左面面積二右面面積；上面面積二下面面積兩個棱長和相等的長方體或

12、一個長方體和一個正方體，表面積不一定相等！ 表面積相等的兩個長方體或一個長方體和一個正方體，棱長和也不一定相等！ 練習： 一個長方體長6厘米，寬4厘米，高3厘米。這個長方體上下兩個面的面積各是（）平方厘米，前后兩個面的面積各是（）平方厘米，左右兩個面的面積各是（ ）平方厘米，表面積是（）平方厘米。判斷題：長方體的表面積一定比正方體的表面積大。（）如果一個長方體能鋸成四個完全一樣的正方體，那么長方體前面的面積是底面積的4倍.（）把一個棱長為6米的正方體分成兩個大小、形狀相同的長方體，每個長方體的表面 TOC o 1-5 h z 積是（）皿。長方體的長是6厘米，寬是4厘米，高是2厘米，它的棱長總和

13、是（）厘米，六個面中最大的面積是（）平方厘米，表面積是（）平方厘米。 用字母表示正方體（或長方體）的表面積=（）；用字母表示長方體的體積公式是（）。下面哪些問題跟長方體表面積有關(guān)。（）在一個長方體木箱外面刷油漆，刷油漆的面積一共有多少平方分米？做一個長方體的金魚缸需要多少玻璃？求一個長方形足球場需多少平方米的草皮？ TOC o 1-5 h z 一個長方體的長是5分米，寬和高都是4分米，在這個長方體中，長度為4分米的棱有（）條，面積是20平方分米的面有（）個。一個長方體的金魚缸，長是8分米，寬是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打壞了，修理時配上的玻璃的面積是（）。一個長方體側(cè)面積是360平

14、方厘米，高是9厘米，長是寬的1.5倍，求它的表面積?！局R點2】長方體表面求法的變形：貼商標類型：只求四周面積。例如：一個長方體包裝盒，長寬高分別為8,4,5，需要在包裝盒四周貼上商標，需要商標紙 的面積是多少？游泳池類型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，長寬高分別為10m，4m，1.5m，需要在池內(nèi)貼上邊長為1dm的瓷磚，大約需要多少塊瓷磚？抽紙盒類型：六個面面積減去缺口面積。例如：一款抽紙盒，長寬高分別是20cm，12cm，5cm，上面有長14cm，寬3cm的抽紙口，做 這款抽紙盒需要多少硬紙片？占地面積問題：只求底面面積。例：一個長方體蓄水池，長12m，寬8m，深3m,這個水池占地面積

15、多少平方米?練習：（1）一盒餅干長20厘米，寬15厘米，高30厘米，現(xiàn)在要在它的四周貼上商標紙，如果商 標紙的接頭處是4厘米，這張商標紙的面積是多少平方厘米？（2）一種長方體硬紙盒，長10厘米，寬6厘米，高5厘米，有2平方米的硬紙板210張， 可以做這樣的硬紙盒多少個？（不計接口）（3）一個通風管的橫截面是邊長是0.5米的正方形,長2.5米.如果用鐵皮做這樣的通風管 50只，需要多少平方米的鐵皮？（4）一個房間的長6米，寬3.5米，高3米，門窗面積是8平方米?，F(xiàn)在要把這個房間的四 壁和頂面粉刷水泥，粉刷水泥的面積是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要 水泥多少千克？（5）在一節(jié)長12

16、0厘米，寬和高都是10厘米的通風管，至少需要鐵皮多少平方厘米？做12 節(jié)這樣的通風管呢？（6）做一個正方體無蓋紙盒，棱長是21厘米，至少需要多少平方厘米的紙板？（7）一個抽屜，長50厘米，寬30厘米，高10厘米，做這樣的2個抽屜，至少需要木板多 少平方厘米？（8）長方體的長為12厘米，高為8厘米，陰影部分的兩個面的面積和是200平方厘米，這 個長方體的表面積是多少平方厘米？（9）一只魚缸，棱長和為280cm，其中，底面周長為50cm，右面周長為40cm，前面周長為 50cm，這只魚缸的占地面積是多少平方厘米？ （10）一塊長方形鐵皮長60厘米，寬40厘米，如圖，從四個角上 剪去邊長是10厘米的

17、正方形，然后做成盒子，這個盒子的表面積是多 少平方厘米？（11）一個無蓋正方體鐵桶內(nèi)外進行涂漆，涂漆的是（）個面.【知識點3】棱長變化對表面積的影響：正方體正方體的棱長擴大2倍，其棱長和也擴大2倍，表面積擴大4倍，體積擴大8倍；正方體的棱長擴大3倍，其棱長和也擴大3倍，表面積擴大9倍，體積擴大27倍；正方體的棱長擴大n倍，其棱長和也擴大n倍，表面積擴大n2倍，體積擴大m倍。 長方體長方體的長寬高同時擴大2倍，其棱長和也擴大2倍，表面積擴大4倍，體積擴大8倍;長方體的長寬高同時擴大3倍，其棱長和也擴大3倍，表面積擴大9倍，體積擴大27倍； 長方體的長寬高同時擴大n倍，其棱長和也擴大n倍，表面積擴

18、大n2倍，體積擴大m倍。 長方體的長擴大a倍，寬擴大b倍，高擴大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化也無規(guī)律， 體積擴大aXbXc倍。長方體的長擴大a倍，寬擴大b倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律，體積擴大aXb 倍。長方體的寬擴大b倍，高擴大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律，體積擴大bXc 倍。長方體的長擴大a倍，高擴大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律，體積擴大aXc 倍。練習：（1）大正方體的棱長是小正方體的棱長的2倍，那么大正方體的表面積是小正方體表面積的 TOC o 1-5 h z （）倍。（2）正方體的棱長縮小5倍，它的體積就縮?。ǎ┍?（3）一個長方體的長、寬、高

19、都擴大4倍，它的表面積就（）。（4）正方體的棱長擴大6倍，表面積擴大（）倍。（5）一個正方體的棱長為4厘米擴大為2倍后，其棱長和為（）厘米，表面積為（）平方厘米比原來擴大了（）。（6）一個長方體長擴大2倍，高擴大4倍，體積擴大（）倍。（7）大正方體的表面積是小正方體的4倍，那么大正方體的棱長是小正方體的（）；大正方體棱長之和是小正方體的（）A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍（8）把一個正方體切成大小相等的8個小正方體，8個小正方體的表面積之和（）。A.等于大正方體的表面積B.等于大正方體表面積的2倍C.等于大正方體表面積的3倍（9）判斷：一個長方體的長擴大2倍，寬擴大3倍，高擴大4倍，這個

20、長方體的表面積擴大24倍。（） 正方體的棱長擴大1.2倍，它的棱長也擴大1.2倍，它的表面積就擴大14.4倍。（） 有棱長為1厘米的正方體拼成較大的正方體，其表面積比原來一個正方體時擴大了4倍。（） 棱長為16厘米的正方體，將棱長縮小2倍后，其棱長為4厘米，其表面積也縮小了4倍。（）【知識點4】立體圖形的切割：（切割會使表面積增加，因此存在表面積增加最多或最少的問題）長方體沿與原來長方體最大面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最多。沿與原來長方體最小面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最少。而且每切一刀增加兩個完全相同的面，切兩刀增加四個完全相同的面，依次類推。正方體無論沿那個面平行的方向

21、切，都將增加兩個正方形的面，增加的面積均為2a2不存在增加最多 最少的問題。例如：兩盒磁帶有三種不同的包裝方式，你說哪一種最省包裝紙？要求最省包裝紙，即表面積最小，也就是表面積比原來單獨包裝時減少的表面積最多，根據(jù) 規(guī)律應(yīng)該選擇第一種包裝方式。練習：把一個棱長為6米的正方體分成兩個大小、形狀相同的長方體，每個長方體的表面積是()此用兩個長4厘米、寬4厘米、高1厘米的長方體拼成一個大長方體，這個長方體的表面積最大是()平方厘米，最小是()平方厘米。把一根長80厘米，寬5厘米，高3厘米的長方體木料鋸成長都是40厘米的兩段，表面 積比原來增加了()平方厘米。用兩個長、寬、高分別是3厘米，2厘米，1厘

22、米的長方體拼成一個大長方體，這個大長方體的表面積最小是()平方厘米。棱長是a的兩個立方體拼成長方體，長方體的表面積比正方體的表面積和減少()。一根長方體木料，長1.5米，寬和厚都是2分米，把它鋸成4段，表面積最少增加()平方分米.一個長5厘米，寬4厘米，高3厘米的長方體，截成兩個形狀，大小完全一樣的長方體，表面積最多能增加多少平方厘米？把一根長2米的方木(底面是正方形)鋸成三段，表面積增加5.76平方分米，原來這 根方木的底面積是多少平方分米？一根1.8m長的木材，鋸成三個完全相同的正方體后，表面積比原來增加多少平方厘米？一個長方體長為1.5分米，寬為0.5分米，高位1分米，鋸三刀之后之后可以

23、鋸成6個完全相同的正方體，每個正方體的表面積是多少？這時表面積之和比原來增加多少？從一個長方體中切出一個最大的正方體問題應(yīng)該以長方體中最短的棱作為切出正方體的棱長，這樣的正方體將是能切出的最大正方體， 否則切出的將不是正方體。例如：在一個長是4厘米，寬為3厘米，高為2厘米的長方體中切出一個最大的正方體，該 正方體的棱長和是多少？剩余部分的表面積是多少？立體圖形的組合(組合只會使表面積減少，因此存在減少最多或最少的問題)長方體將原來長方體的最大面組合在一起，其表面積比原來減少的最多。將原來長方體的最小面組合在一起，其表面積比原來減少的最少。而且兩個組合將減少兩個完全相同的面，三個組合減少四個完全

24、相同的面，依次類推。正方體無論沿那個面組合，都將減少兩個正方形的面，減少的面積均為2a2不存在增加最多最少的問 題。練習：把三個棱長是1厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是()，比原來3個正方體表面積之和減少了()。（2）把三個棱長是2分米的正方體拼成一個長方體，表面積是（），體積是（）。（3）用27個體積是1立方厘米的小正方體粘合成一個大正方體，粘合后的大正方體的表面積是（）（4）把三個完全相等的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是350平方米。這個正 方形的表面積是多少平方米？（4）一個長方體的長8厘米，寬6厘米，高5.5厘米。將兩個這樣的長方體拼成一個大長 方體，表面積

25、最大是多少？體積是多少？（6）一種長方體積木，長3厘米，寬2.5厘米，高2厘米。將兩塊這樣的長方體拼成一個新 的長方體，表面積最小是多少？（7）用3個棱長5分米的正方體粘合成一個長方體，表面積減少多少平方分米？表面積是多 少平方厘米？（8）有三個大小相等的正方體，將他們拼成長方體，表面積減少32平方厘米。求所拼長方 體的表面積。（9）用兩個同樣的長、寬、高分別為4厘米、3厘米和2厘米的小長方體，拼成一個表面積 最大的長方體，這個大長方體的表面積是多少平方厘米？（10）用兩個長6厘米，寬3厘米，高1厘米的長方體一起包裝，至少需要包裝紙多少？（11）用3個棱長4分米的正方體粘合成一個長方體，長方體

26、的表面積比3個正方體的表面 積少多少平方分米？表面積是多少平方厘米？（12）用兩個同樣的長、寬、高分別為4厘米、3厘米和2厘米的小長方體，拼成一個表面 積最大的長方體，這個大長方體的表面積是多少平方厘米？【知識點5】小正方體拼成的大正方體表面涂漆問題大正方體長、寬、高上有幾個小正方體，則將長、寬、高上的正方體數(shù)相乘就是大正方體所含小正方體的總數(shù)；在頂點位置的小正方體露在外面的面有3個；在棱上（不包含頂點位置）的小正方體露在外面的面有2個；在面上（不包含棱上）的小正方體露在外面得面有1個；用總數(shù)一3個面的一2個面的一1個面得=沒有露在外面的小正方體的個數(shù)。例如:圖一中，長方體共有（ 外面的小正方

27、體共有（ 共有（）個。圖二中三個圖一次有（）個小正方體；其中兩個面露在）個；沒有露在外面的小正方體）、（）、（）小正方體組成。第二個長方體中有三個面在外面得正方體有（）個，兩個面在外面的正方體有（ ）個，一個面在外面的有（）個，沒有露在外面的小正方體）。小正方體拼成的大正方體在取走一部分后表面積的變化挖去的小正方體在頂點位置，則大正方體的表面積不變，因為原來在頂點位 置小正方體露在外面的面為3個，挖去后露出來的面也是3個，所以表面積不變。挖去的小正方體在棱的位置，則大正方體的表面積增加，因為原來在棱上的 小正方體露在外面的面有2個，挖去后會露出4個面，所以表面積會增大。挖去的小正方體在面上，則

28、大正方體的表面積也會增加，因為原來在面上的 小正方體只有1個面露在外面，挖去后會露出5個面，所以表面積會增大。【知識點6】單位換算長度單位：mm、cm、dm、m 面積單位：mm2、 cm2、dm2、m2 體積單位：mm3、cm3、dm3、m3 容積單位：ml、l特別的：1ml=cm31l=1dm3相鄰兩個單位進率為10 相鄰兩個單位進率為100 相鄰兩個單位進率為1000 相鄰兩個單位進率為10001 方=1m在該正方體表面涂上漆，有三個面涂上漆的小正方體有幾個?有兩個面圖上漆的小正方體有幾個?有一個面涂上漆的小正方體有幾個?沒有涂上漆的小正方體有幾個？練習:不是同一類型的單位，數(shù)據(jù)不能比較大

29、小，同一類型的單位中右邊的單位比左邊的單位大。 大單位化小單位乘以進率，小單位化大單位除以進率。高級單位進率x高級單位的數(shù)低級單位的數(shù)：進 率例如：手指尖約占了1立方厘米的空間，即它的體積約為1立方厘米。 一個粉筆盒的體積約為1 dm3。建一游泳池，約要挖土 6000方。1.36 dm3 =1360 cm34.573m3 =4573 dm3一個燒杯約能裝水500ml。520ml=0.52L5.67L=5.67 dm3 =5670cm3練習:（1）3.2立方分米-（）立方厘米500立方分米-（）立方米9立方米500立方分米=（）立方米-（）立方分米3.6 升-(）毫升=（）立方厘米1700平方厘

30、米=（）平方分米=（）平方米3 升=()毫升2700毫升-（）升2.57 升-(）毫升640毫升-（）升2.8立方分米=（）立方厘米0.8升=（）毫升720立方分米=（）立方米51000毫升-（）升32立方厘米=（）立方分米4.25立方米-（）立方分米-（）升2.7立方米=（）升1200毫升=（）立方厘米1.24立方米=（）升二（）毫升3.06 升-（）升（）毫升40立方米=（）立方分米4立方分米5立方厘米=（)立方分米30立方分米=（）立方米0.85 升=(）毫升2100毫升=(）立方厘米=（）立方分米0.3 升=()毫升=（）立方厘米一個水池能裝水400立方米，這是指（），占地2公頃指的是

31、（）。一塊橡皮擦的體積約是8（)。一本書的封面約是2（）。運貨集裝箱的體積約是40（)。一支鋼筆長18（:)。臺錄音機的體積約是20（）。三、長方體和正方體的體積【知識點1】容積與體積基本概念體積是指所占空間的大?。蝗莘e是指所容納物體的體積；一個物體的容積一般都比它的 體積小。當容器壁厚度忽略不計時體積二容積；否則體積容積。比如說，一個洗發(fā)液的瓶子里面所能裝下的洗發(fā)液的體積就是它的容積。（容器壁忽略不 計）體積計算方法：長方體的體積二長X寬X高正方體的體積二棱長X棱長X棱長長方體和正方體的體積二底面積X高二右面面積X長二前面面積X寬體積相等的兩個長方體或者一個長方體與一個正方體，表面積不一定相

32、等，棱長和也不一 定相等。體積相等的兩個正方體，表面積一定相等，棱長和也一定相等。體積相等的情況下正方體的表面積比長方體的小；表面積相等的情況下正方體的體積比長 方體的體積大。練習：5.判斷： TOC o 1-5 h z 體積單位比面積單位大，面積單位比長度單位大.（）正方體和長方體的體積都可以用底面積乘高來進行計算.（）表面積相等的兩個長方體，它們的體積一定相等.（）長方體的體積就是長方體的容積.（）（2）一個正方體的棱長和是12分米，它的體積是（）立方分米.（3）一個長方體的體積是30立方厘米，長是5厘米，高是3厘米，寬是（）厘米.（4）表面積是54平方厘米的正方體，它的體積是（）立方厘米

33、.（5）一個長方體框架長8厘米，寬6厘米，高4厘米，做這個框架共要（）厘米鐵絲，是求長方體（），在表面貼上塑料板，共 要（）塑料板是求（），在里面能盛（）升水是 求（），這個盒子有（）立方米是求（）.（6）長方體的長是6厘米，寬是4厘米，高是2厘米，它的棱長總和是（）厘米，六個面中最大的面積是（）平方厘米，表面積是（）平方厘米，體積是（）立方厘米.（7）一個正方體棱長2厘米，體積是（）立方厘米，如果這個正方體的棱長擴大2倍，它的體積是（）立方厘米。（8）一個菜窖能容納6立方米白菜，這個菜窖的（）是6立方米.（9）表面積相等的長方體和正方體的體積相比，（）.正方體體積大長方體體積大相等（10）將

34、一個正方體鋼坯鍛造成長方體，正方體和長方體（）.體積相等，表面積不相等體積和表面積都不相等.表面積相等，體積不相等.1、要制作140個棱長5厘米的正方體木塊，至少需要木料多少立方分米？（12）某紙盒廠生產(chǎn)一種正方體紙板箱，棱長40厘米，它的體積是多少立方厘米？合多少立 方分米？2、長方體的長為12厘米，高為8厘米，陰影部分的兩個面的面積一J 和是200平方厘米，這個長方體的體積是多少立方厘米？叫3、一個長方體的沙坑裝滿沙子，這個沙坑長3米，寬1.5米，深2米，每立方米沙子重1400 千克，這個沙坑里共裝沙子多少噸？4、有一塊面積為36平方分米的鐵皮，將其制作成可以容納最多物體的形狀，其棱長是多

35、少？ 可以容納多少立方分米的物體？(15)用一根12分米長的鐵絲圍成一個最大的正方體框架，這個正方體的體積是()立方分米。【知識點2】體積大小的比較對于液體可以直接比較體積的大小，如果液體體積小于容器既可以裝得下，如果大于容器體 積則裝不下。對于固體而言，在體積小于容器體積的前提下，還需要比較物體的長寬高于容器的長寬高， 只有物體的長寬高都小于或等于容器的長寬高時才可以將物體裝入容器。例如：有一個長為8分米，高位5分米，體積為240平方分米的硬紙盒，有一件陶瓷長為7.4 分米，高位4分米，寬為6.5分米，是否可以放入該容器？分析：單純計算容器和陶瓷的體積我們可以發(fā)現(xiàn)：陶瓷體積(硬紙盒體積。但這

36、并不意味著瓷 器就可以裝進盒子。我們還需要觀察陶瓷長寬高于容器長寬高的大小。通過計算硬紙盒的長二8分米寬二240(8X5) =6分米 高二5分米陶瓷的長二7.4分米 寬二6.5分米高二4分米我們可以發(fā)現(xiàn)陶瓷的寬比盒子的寬大，所以即使在體積小于盒子的前提下，仍然是裝不 進去的。練習：有一個長方形玻璃魚缸長為5分米，寬為3分米，高為3分米里面裝有2.5分米高的水， 現(xiàn)在需要將該該魚缸內(nèi)的水倒入一個棱長為3.5分米的正方體魚缸中，請問是否可以裝得下 這么多水？如果裝得下正方體魚缸內(nèi)的水有多高？有一個長方體的硬紙盒，長為11分米，寬為15分米，高為6分米，現(xiàn)將一個長為12分米， 寬為10分米，高為5分

37、米長方體的禮品放入該盒子中，是否可以裝的進去？【知識點3】切割組合對體積的影響練習：一個長方體，如果高增加3厘米，就成為一個正方體。這時表面積比原來增加了 96平 方厘米。原來的長方體的體積是多少立方厘米？一個長方體，把它的高增加3厘米，它就變成一個正方體，并且表面積比原來增加了120平方厘米，求原來的體積是多少？一個長方體，把它的高減少5厘米，它就變成一個正方體，并且表面積比原來減少了200平方厘米，求原來的體積是多少？一個長方體正好可以分成三個完全一樣的正方體，如果切割下一個正方體，剩下的表面 積比原來少了 80平方厘米，求原來長方體的表面積是多少？一個棱長為1分米的正方體木塊切割成棱長是

38、1厘米的小正方體，把切成的所有正方體 緊挨著排成一排，可以排多少米？把一個棱長為1米的正方體木塊切割成棱長是1分米的小正方體，把切成的所有正方體 緊挨著排成一排，可以排多少米？把一個棱長為1米的正方體木塊切割成棱長是1厘米的小正方體，把切成的所有正方體 緊挨著排成一排，可以排多少米？一個長方體木箱，從里面量長0.6米，寬0.4米，高0.2米，這個長方體木箱內(nèi)能裝() 個棱長2分米的正方體物體?！局R點4】砌墻類問題練習：（1）一塊長1.2米，寬6分米，厚3分米的長方體木塊，可以截出多少塊棱長為3分米的正方 體？【知識點5】填土抬高地面類問題【知識點6】計算不規(guī)則物體體積的方法液面上升或下降的問

39、題練習：（1）一個長方體魚缸，長80厘米，寬60厘米，深40厘米，把一塊長30厘米，寬24厘米， 高16厘米的鐵塊浸入在水中，水面將上升多少厘米？（2）在一個長60厘米，寬54厘米，深45厘米的長方體魚缸里放入一些水，并在水中浸入 一塊長12厘米，寬18厘米，高15厘米的鐵塊，把鐵塊從水中取出，水面將下降多少厘米？（3）一個長方體魚缸，長80厘米，寬60厘米，深40厘米，把一塊長30厘米，寬24厘米， 鐵塊浸入在水中，水面上升9厘米,求鐵塊的高。（4）在一個長60厘米，寬54厘米，深45厘米的長方體魚缸里放入一些水，并在水中浸入 一塊長12厘米，寬18厘米的鐵塊，把鐵塊從水中取出，水面下降5厘

40、米，求鐵塊的高。（5）一個長方體魚缸，長80厘米，寬60厘米，深40厘米，把一塊底面邊長為20厘米，高 為120厘米的鐵塊直立在水中，水面上升多少厘米？【知識點7】等體積變形問題練習：（1）把一個棱長6分米的正方體鋼錠熔鑄成一個長方體鋼錠，這個長方體長9分米，寬4分 米，求這個長方體鋼錠高多少分米？【知識點8】展開圖形拼長方體或正方體（1）用一張長60厘米，寬40厘米的長方形鐵皮，做成一個無蓋長方體盒子，做成盒子的容積是多少？思路一：從四個角上分別剪去一個邊長為10厘米的正方形后，觀察思考做成的長方體長是（），寬是（），高是多少？求出它的容積。思路二：從左邊剪下兩個邊長為10厘米的正方形，然后

41、把這 兩個正方形焊接到右邊，做成一個無蓋的長方體，觀察思考做 成的長方體長是（），寬是（），高是多少？求出它的容積。思路三：從這個長方體上先剪下一個連長為4 0厘米的正方形 ：: 做底面，然后把剩下的長方體平均分成四個長方形做前后左右 ；:； 面這樣做成一個無蓋長方體，觀察思考做成的長方體長是 ；:；（），寬是（），高是多少？求出它的容積。【知識點9】棱長變化對體積的影響練習：（1）正方體棱長擴大2倍，表面積擴大（）倍，體積擴大（ ）倍（2）長方體的長擴大2倍，寬擴大3倍，高擴大4倍，體積擴大（）倍。5、一個棱 TOC o 1-5 h z 長1米的大正方體能分成（ ）個棱長是1厘米的小正方體，

42、如果把這些小正方體排成一 排能排（）米。（3）一個表面積為36平方厘米的正方體木塊，切成兩個長方體，表面積增加了（）平方厘米。（4）一個正方體棱長縮小2倍，表面積縮?。ǎ┍叮w積縮?。ǎ┍?。長方體與正方體必須掌握的幾種題型一、高的變化引起表面積的變化。一個長方體，如果高增加2厘米就成了正方體，而且表面積要增加56平方厘米，原來這個 長方體的體積是多少立方厘米？一個長方體，如果高減少2厘米就成了正方體，而且表面積要減少56平方厘米，原來這個 長方體的體積是多少立方厘米？一個長方體，如果長減少2厘米就成了一個正方體，而且表面積要減少56平方厘米。原來 這個長方體的體積是多少立方厘米？一個長方體，長

43、a分米，寬b分米，高h分米，如果高減少3分米，這個長方體表面積比 原來減少（）平方分米？體積比原來減少（）立方分米？一個長方體如果高縮短3厘米，就成了一個正方體。這時表面積比原來減少了48平方厘米， 原來的長方體的體積是多少立方厘米？表面積是多少平方厘米？二、段的變化一個長方體長2米，截面是邊長3厘米的正方形，將這個長方體木料鋸成五段后，表面積 一共增加了多少平方厘米？將一個長3米的長方體木料平均截成3段，表面積一共增加了 0.36平方分米，這根木料的 體積是多少立方分米？二、切一個正方體的表面積是48平方厘米，將它平均分成兩個小長方體，每個小長方體的表面積 是多少？一個正方體的表面積是96平

44、方厘米，將它平均分成兩個小長方體，每個小長方體的體積是 多少 立方厘米？一個正方體的體積是125立方厘米，它的表面積是多少平方厘米?三、拼（拼表面積發(fā)生變化，體積不變）用8個棱長都是2厘米的正方體拼成一個長方體，拼成的長方體的表面積最多是多少平方 厘米？最少是多少平方厘米？用12個棱長都是2厘米的正方體拼成一個長方體，一共有多少種拼法，每種拼法拼成的長 方體的表面分別是多少？用四個棱長都是3厘米的正方體拼成一個長方體，拼成的長方體的表面積可能是多少？四、切將一個長8厘米，寬6厘米，高5厘米的長方體切成兩個小長方體，表面積最多增加多少平方厘米？最少增加多少平方厘米？將3個長8厘米，寬6厘米，高5

45、厘米的長方體拼成一個大長方體，表面積最多減少多少 平方厘米？最少減少多少平方厘米？五、擴大和增加倍數(shù)。 一個正方體棱長擴大2倍，表面積擴大（）倍，體積擴大（）倍，表面積增加（） 倍，體積增加（）倍。一個正方體的棱長增加2倍，表面積增加（）倍，體積增加（）倍。一個大正方體的棱長是小正方體棱長的2倍，已知大正方體的體積比小正方體多21立方厘 米， 大小正方體的體積分別是多少？七、將一個長方體或正方體切成若干個小正方體或小長方體。把一個棱長6厘米的正方體方塊，鋸成棱長2厘米的小正方體木塊，表面積增加多少平方厘米?把一個長8厘米，寬6厘米，高4厘米的長方體木塊，鋸成若十個棱長2厘米的小正方體， 一共可

46、鋸成多少個這樣的小正方體？把一個長16厘米，寬12厘米，高8厘米的長方體木塊，鋸成若干個小正方體，(沒有剩 余)至少可以鋸成多少個這樣的小正方體？表面積一共增加多少平方方厘米？六、挖用8個小正方體木塊拼成一個大的正方體，如果拿走1個小方塊，它的表面積和原來比()。A增加了 B減少了 C沒有變化D無法判斷在棱長1分米的正方體的頂點處挖去一個棱長1厘米的小正方體，剩下物體的表面積和體 積分別是多少？在一個棱長4厘米的正方體六個面的中心都挖去一個棱長1厘米的小正方體，剩下物體的 表面積是多少平方厘米？七、熔鑄沉浮一個正方體鋼坯棱長6分米，把它鍛造成橫截面是邊長3分米的正方形的長方體鋼材，鋼 材長多少

47、米？一塊棱長是0.6米的正方體的鋼坯，鍛成橫截面是0.09平方米的長方體鋼材，鍛成的鋼材 有多長？把一塊棱長是0.5米的正方體鋼坯，鍛成高2分米、寬4分米的長方體鋼材，鍛成的長方 體鋼材有多少長？把兩個棱長都是1分米的正方體的方鋼，熔鑄成一根橫截面是長5厘米、寬4厘米的長方 體的鋼材，這根鋼材的長是多少分米？有一個完全封閉的容器，里面的長是20厘米，寬是16厘米，高是10厘米，平放時里面裝 了7厘米深的水。如果把這個容器豎起來放，水的高度是多少？平放 豎放在一只長25厘米，寬20厘米的玻璃缸中，有一塊棱長10厘米的正方體鐵塊，這時水深 15厘米，如果把這塊鐵塊從缸中取出來，缸中的水深多少厘米？

48、把一個體積為80立方厘米的鐵塊浸在底面積為20平方厘米的長方體容器中，水面高度為 10厘米，如果把鐵塊撈出后，水面高多少？一個長方體玻璃缸，從里面量長40厘米，寬25厘米，缸內(nèi)水深12厘米。把一塊石頭浸入 水中后，水面升到16厘米，求石塊的體積。一個長方體的容器，底面積是16平方分米，裝的水高6分米，現(xiàn)放入一個體積是24立方 分米的鐵塊這時的水面高多少？一個長方體玻璃缸，底面積是200平方厘米，高8厘米，里面盛有4厘米深的水，現(xiàn)在將 一塊石頭放入水中，水面升高2厘米。這塊石頭的體積是多少立方厘米？一個長方體玻璃缸，最多可裝水120升。已知玻璃缸里面長6分米，寬4分米，現(xiàn)有水深 3分米。如果在玻

49、璃缸里放入了體積為15立方分米的玻璃球，里面的水會不會溢出？為什么？紅家新買一個長50厘米、寬24厘米、高30厘米金魚缸，（玻璃厚度不計）放進30升水， 水深多少厘米？一個正方體玻璃缸，棱長4分米，用它裝滿水，再把水全部倒入一個底面積為20平方分 米的長方形水槽中，槽里的水面高多少分米？一個棱長是5分米的正方體魚缸，里面裝滿水，把水倒入一個底面積48平方分米，高6 分米的的長方體魚缸里，魚缸里水有多深？一個長20分米、寬15分米的長方體容器內(nèi)，有20分米深的水，現(xiàn)在在水中沉入一個棱 長30厘米的長方體鐵塊，這時容器內(nèi)的水深多少分米？一個棱長是12厘米的正方體魚缸，里面裝滿水，把水倒入一個長18

50、厘米、寬10厘米的 長方體魚缸里，水有多深？一個正方體玻璃容器棱長2分米，向容器中倒入5升水，再把一塊石頭放入水中。這時量 得容器內(nèi)的水深15厘米。石頭的體積是多少立方厘米？一個長方體玻璃缸，從里面量長40厘米，寬25厘米，缸內(nèi)水深12厘米。把一塊石頭浸 入水中后，水面升到16厘米，求石塊的體積。一個房間內(nèi)共鋪設(shè)了 1200塊長40厘米，寬20厘米，厚2厘米的木地板，這個房間共占 地多少平方米？鋪這個房間共要木材多少立方米？一塊長35厘米、寬25厘米的長方形鐵皮，在它的四個角上分別剪去面積相等的四個小正 方形后，正好可以制成一個高為5厘米的鐵盒。求這個鐵盒的體積。一個長方體，高截去2厘米，表面

51、積就減少了 48平方厘米，剩下部分成為一個正方體， 求原長方體的體積？用兩塊大小相同的正方體木塊拼成長方體，已知長方體的棱長總和是48厘米，每塊正方 體木塊的體積是多少？一個長方體12條棱長度的總和是48厘米，底面周長是18厘米，高是多少厘米？一個長方體的木塊，截成兩個完全相等的正方體。兩個正方體棱長之和比原來長方體棱長 之和增加40厘米，求原長方體的長是多少厘米？一根橫截面為正方形的長方體木料，表面積為114平方厘米，鋸去一個最大正方體后，表 面積為54平方厘米，鋸下的正方體木料表面積是多少？一個正方體和一個長方體，拼一個新長方體，新長方體的表面積比原長方體增加60平方 厘米，求正方體的表面

52、積。大正方體棱長是小正方體棱長的2倍，大正方體的體積比小正方體的體積多21立方分米， 小正方體的體積是多少？長方體和正方體典型習題棱長和問題：一個長方體長是10分米，寬是8分米，高是6分米，這個長方體的棱長總和是多少分米？用一根長80分米的鐵絲焊接成一個長10分米，寬6分米的長方體框架，高是多少分米？商店營業(yè)員用一根塑料帶為顧客捆扎兩個食品盒，每個食品盒的長、寬、高分別是15厘米、11厘米、4厘米，如右圖那樣捆扎一道并留下18厘米長為手提環(huán)，2 廣 這樣一共需要多少厘米長的塑料帶？W一個長方體的長寬高分別是5厘米，4厘米，3厘米，一個正方體的棱長總和與這個長方體 的棱長總和相等，這個正方體的棱

53、長是多少厘米？一個長方體中相交于一個頂點的三條棱的長度和是15分米，這個長方體的棱長總和是多少 分米？用一根長60厘米的鐵絲圍成一個長8CM，寬5CM的長方體框架，這個長方體框架的高是多 少厘米？把一根長84米的鐵絲圍成一個正方體框架，棱長是多少分米？一個長方體相交于同一頂點的三條棱長度分別是10厘米，5分米，6厘米，這個長方體的 棱長總和是多少分米？有一個長方體木塊正好可以切成兩個完全相同的正方體方塊，已知長方體木塊的棱長總和 是80厘米，求切成的每個正方體木塊的棱長總和。表面積問題：一個長方體的無蓋鐵皮水桶，長和寬都是3分米，深5分米。做一對這樣的水桶，至少需 要多少平方分米鐵皮？一盒餅干長20厘米，寬15厘米，高30厘米，現(xiàn)在要在它的四周貼上商標紙，如果商標紙 的接頭處是4厘米，這張商標紙的面積是多少平方厘米？有一塊正方形鐵皮，從四個頂點分別剪下一個邊長5厘米的正方形后，所剩部分正好焊接 成一個無蓋的正方體鐵皮盒。原來