新教材新高考一輪復(fù)習(xí)北師大版 11.3 二項式定理 學(xué)案

1、第三節(jié)二項式定理課程標(biāo)準(zhǔn)考情分析核心素養(yǎng)1,能用多項式運(yùn)算法那么和計 數(shù)原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二 項展開式有關(guān)的簡單問題.2020年新高考和2021年新高 考都未考查二項式定理.邏輯推理 數(shù)學(xué)運(yùn)算教材回扣夯實“四基”基礎(chǔ)知識.二項式定理(1)二項式定理：(a+b)n=, neN*.(2)通項： ,它表示展開式的第+1項.(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)C言(左=0, 1, 2,，)叫做二項式系數(shù).【微點撥】二項式系數(shù)糜(Z=0, 1, 2,，是組合數(shù)，它與二項展開式中對應(yīng)項的系數(shù)不一定相 等，應(yīng)注意區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)這兩個不同的概念.項的系數(shù)是指該項中除變量

2、外的常數(shù)局部，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與b 的值有關(guān).如m+法)的二項展開式中，第Z+1項的二項式系數(shù)是糜，而該項的系數(shù)是C海 從當(dāng)然，在某些二項展開式中，各項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的.二項式系數(shù)的性質(zhì)對稱性增減性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相 等，即制=C當(dāng)歸中時，C9隨大的增加而增大當(dāng)時，叱隨6的增加而減小最大值最大值當(dāng)是偶數(shù)時，中間的一項Cl取得最大值當(dāng)是奇數(shù)時，中間的兩項cf等，且同時取得最大值各二 項式 系數(shù) 的和【微點撥】【微點撥】利用賦值法可求.得 2ti =C2 + 鬃 + + C.(1 +x)=C2+盤 + Cx2 + F Cxn,令=1,常用結(jié)油墨+髭+第+

3、=4+碎+宏+=2.基本技能、思想、活動經(jīng)驗題組一 思考辨析（正確的打“ J ”，錯誤的打“ X ”）1。十份的展開式中的第攵項是C海/.（）.在二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間的一項或中間的兩項.（）.通項/+1 =竦一挾中的和匕不能互換.（）.在3+3的展開式中，某項的系數(shù)與該項的二項式系數(shù)相同.（）題組二教材改編.在（1+2x）5的展開式中，N的系數(shù)等于（）A. 80 B. 40 C. 20 D. 10.假設(shè)（工一 l）4 = ao + 0無+ 42/ + &獷3 + 44/,那么 Qo + 2 + 4 的值為（）A. 9 B. 8 C. 7 D. 6題組三易錯自糾.假設(shè)（x-3”的展開

4、式中第3項的二項式系數(shù)是15,那么展開式中所有項系數(shù)之和為.（2尤一1）6的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）題型突破提高“四能”題型一 二項展開式的通項公式及其應(yīng)用角度1 二項展開式中的特定項（或系數(shù)）例12022.清華大學(xué)附中模擬在（-2廠的二項展開式中含/項的系數(shù)為（）A.A.152B.152C.154D.1542022.湖南師大附中模擬設(shè)i為虛數(shù)單位，那么（x+i）6的展開式中含/的項為展開式中的常數(shù)項為15,那么實數(shù)a =展開式中的常數(shù)項為15,那么實數(shù)a =聽課記錄類題通法求二項展開式中特定項的步驟利用二項式定理寫出二項展開式的通項公式 “+K獷牝把字母和系數(shù)別離

5、開（注意符 號不要出錯）根據(jù)題目中的相關(guān)條件（如常數(shù)項要求指數(shù) 為零，有理項要求指數(shù)為整數(shù)）先列出相應(yīng) 方程（組）或不等式（組），解出A把人代人通項公式中，即可求出有時 還需要先求出再求k,才能求出Tm或 者其他量 TOC o 1-5 h z 鞏固訓(xùn)練1J2022安徽師大附中模擬（x-J，的展開式中常數(shù)項為（）A. -15B. -20C. 15D. 20（X一為5的展開式中好的系數(shù)為A,X2的系數(shù)為&假設(shè)a + b=11,那么。=.Vx角度2兩個因式之積求其特定項（或系數(shù)）項,例2 （1）2022.山東荷澤模擬正整數(shù)G7,假設(shè)（x - ；）（1 一燈的展開式中不含V的 那么的值為（）A. 7B

6、. 8C. 9D. 102022福建廈門模擬Kxl）（x2）6展開式中的常數(shù)項為（用數(shù)字作答）.Vx聽課記錄類題通法求兩個因式之積的特定項（或系數(shù)）的兩種常用方法鞏固訓(xùn)練2 （1）（1 ）6（1 +）4的展開式中X的系數(shù)是（） TOC o 1-5 h z A. -4B. -3C. 3D. 42022重慶七中模擬（2x）（2x+的展開式中的爐系數(shù)為角度3 三項式求其特定項（或系數(shù)）例3 （1）2022河北滄州模擬（/+3x展開式中x的系數(shù)為（）A. -3 B. 3C. -15D. 15(2)(X +遮A 的展開式中的常數(shù)項為聽課記錄類題通法求三項展開式中某些特定項(或系數(shù))的三種方法方法一通過變

7、形先把三項式化為二項式，再用 二項式定理求解方法二- 兩次利用二項式定理的通項公式求解方法三利用排列、組合的基本原理去求，即把 三項式看作幾個因式之積，要得到特定 項看有多少種方法從這幾個因式中取 因式中的量鞏固訓(xùn)練3 (1)2022湖北武漢模擬(x+自- 1尸展開式中常數(shù)項為()A. 11B. -11C. 8D. -7(2)(l+x+Vx)4的展開式中x2的系數(shù)為.題型二二項式系數(shù)與各項的系數(shù)和問題例4 (1)(多項選擇)2022湖北十堰模擬在(3x -數(shù)和之和為128,那么()A.二項式系數(shù)和為64B.各項系數(shù)和為64C.常數(shù)項為一135D.常數(shù)項為135(2)假設(shè)(1 2x)8=+6/1

8、%+ax1 HFas%8,那么lool + lail + lsl + lsIH1|。8| =()A. 28-1B. 28C. 38-1D. 38聽課記錄類題通法形如(辦+。)，(4+勿;+b, cR)的式子，求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦 值法.2)的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系鞏固訓(xùn)練4。2 HCl2 021=(A. 2442+1C. 22021(1)(2+x)2 021 =o + i(x+ l) + 2(x+ 1+ +。2 021 (x+ I)2 021 )B. 22 021 1D. 22021 + 1(2)2022廣東廣州五校聯(lián)考二項式(2x正-衰)n的展開式的二項式系數(shù)和為64,那

9、么 展開式中的有理項系數(shù)和為.題型三二項式系數(shù)的性質(zhì)例5 (1)2022湖南雅禮中學(xué)模擬假設(shè)的展開式中只有第六項的二項式系數(shù) 最大,那么展開式中的常數(shù)項是.(2)(x + :y的展開式中各項系數(shù)的和為一1 ,那么該展開式中系數(shù)最大的項為聽課記錄類題通法L二項式系數(shù)最大項確實定方法2.二項展開式系數(shù)最大項的求法求(a +e R)的展 開式系數(shù) 最大的項一般采f用待定f系數(shù)法設(shè)展開式各項系數(shù)分別 為A ,A?，,A葉9且第 項系數(shù)最大，應(yīng)用鞏固訓(xùn)練52022.遼寧丹東模擬在(工一1)的二項展開式中，僅有第4項的二項式 系數(shù)最大，那么=()A. 5B. 6C. 7D. 8(2)(x： +3x2?的展

10、開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992,那么展開式中系 數(shù)最大的項為.第三節(jié)二項式定理基礎(chǔ)知識1. (1)FCan-kbk4ICa (2)Tk+i = Can-kbk基本技能、思想、活動經(jīng)驗X 2,x 3.J 4.X.解析：Tk+i=C(2x)k=C2kxk,當(dāng) k=2 時，x?的系數(shù)為咯22=40.應(yīng)選 A答案：B. 解析：令 x=l,那么 ao+ai+a2+a3 + a4=O, 令 x= -1,那么 a0ai+a2-a3+a4=16, 兩式相加得a()+a2+a4=8.應(yīng)選B.答案：B.解析：(x jn的展開式中第3項的二項式系數(shù)為鬣，= 15,解得 n = 6,(x = (x J)

11、,令X=l,得到展開式中所有項系數(shù)之和為)6=a.套索1=1木64.解析：(2X1)6的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是T4=C/(2x)3.(-1)3= - 160 x3.系數(shù)為一為0.答案：-160題型突破提高“四能”例1解析：京)的二項展開式的通項公式為Tk+i = Cj6).(2)=(-l)kx2k-6Cx124k,令12一濃=2,解得k=4,那么含x2項的系數(shù)為(一1)4*2-2=冬應(yīng)選0.(2).(x + i)6的展開式的通項公式為Tk+i = c3x6kjk, k=o, 1, 2,6,二.令 6k=4,那么 k=2,此時 13 =髭*4/2= -5x、即含 x4 的項為一15xt,

12、/ 1 k. “ 5k(3)由二項式知：Tk+i = C,(ax2)5-k(去)=askCx1Q,當(dāng)k=4時，常數(shù)項為T5 = aC = l5,得a=3.答案：(l)C (2)-l5x4 (3)3鞏固訓(xùn)練I解析：根據(jù)題意，(X ()6的展開式的通項公式Tk+產(chǎn)鹿x6-k(_J = (l)k 醴 x6-2k,令6-2k=0,解得k=3,所以常數(shù)項為T3+i = (1)3髭=-20.應(yīng)選A(x 京f 的展開式的通項為 Tk+l = Cx5-k-)k = C(-a)kx5- lk .由 5|k=5,得 k=0,由 5|k=2,得 k=2,所以 A = C”(a)()= I, B = CX(-a)2=

13、10a2,那么由 l + lOa2 = ll,解得 a=L答案：(l)B (2)l例2解析：(IX)n的二項展開式中第k+l項為Tk+l=U(l)kx1又因為(x 3(l x)n = x(l x)n (l x)n的展開式不含x5的項，所以工量(-l)4x4-i(-l)6x6 = 0, C x5-Cx5 = 0,即第=邙，所以 n=l0,應(yīng)選 D.X解析：(2)依題意，因式Xl中的常數(shù)項一I與(x )6的常數(shù)項相乘時得到展開式的常 數(shù)項.而(x 6展開式的通項公式為 Tk+i=Cx6-k(-)k = C(-2)k X6- l(k=o,l,2, 6),令6|k=0得k=4,此時(x 6的常數(shù)項為髭

14、(2尸=240,故(xl)(x 展開式 中的常數(shù)項為一1義240=240.答案：。(2)-240771鞏固訓(xùn)練2解析：(1)方法1 (1)6的展開式的通項為C臥(一)m=C鏟(-l)mxT, (1+y)4的展開式的通項為CE(尸=(7為令:+ =1,得m+n = 2,于是(1近(1+近尸的展開式中X的系數(shù)等于cgx(l)Ox+盤x(1)1XCH鬣x(l)2x以=-3.方法 2 (1一y)6(1+圾)4=(1)(1+)4(1&)2 = (_x)4(l2 次+ x).于是(1 )6(1+y)4的展開式中X的系數(shù)為C?x 1一程義(-1)1 = -3.應(yīng)選B.(2)因為(2x +1 )6的展開式的通

15、項公式為建(2x)6-k.1 k=瞟26-kx6-k,因此(2x)(2x + 1 )6的 展開式中的X，系數(shù)(1) x23+2 x CX24=320.答案：3320例 3 解析：(l)V(x2+3x-l)5 = (3x-l) + x25 = (3x- I)5 + C(3x-l)4x2+- + (x2)5, 含x的項只存在于(3x1)5中，.x的系數(shù)為(一1)4X3 = 15.應(yīng)選D(2)原式=(立竽)5=小./+魚)25 =義氣+四嚴(yán).求原展開式中的常數(shù)項，轉(zhuǎn)化為 2x /32x32x求(X +企嚴(yán)的展開式中含X5的項的系數(shù)，即盤。.(&)5.所以所求的常數(shù)項為當(dāng)交=.答案：(1)。(2管的展

16、開式為：Tm+i = CLkx2m =rm 丫4 k 3m 鞏固訓(xùn)練3解析:將x+?？闯梢粋€整體，展開得到：Tk+產(chǎn)酸(+)4依1) (x +4 fc 3m=0f 當(dāng)時,k=4 系數(shù)為：C： x Cg X(1)4=1,當(dāng) m=l 時，k=l 系數(shù)為：CxC|X(-l) = -12,常數(shù)項為1 12= 11 .應(yīng)選A解析：(2)由于x2=x2.(y)。，x2=x-(Vx)2, x2=x-(Vx)4,據(jù)此結(jié)合排列、組合的性質(zhì)可得 x2的系數(shù)為盤以廢+盤廢盤+ = 6+12+1 = 19.答案：(1 (2)19例4解析：(1)在(3x 2)的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之和為128,令x =1

17、,得各項系數(shù)和為2，二項式系數(shù)和為2,那么2X2n=128,得n = 6,即二項式系數(shù)和為 64,各項系數(shù)和也為64,故A、3正確；(3x 衰)展開式的通項為Tk+i=C&(3x)6卜(專)= C(-l)k36-kx6-|k,令 6一|k=0,得 k=4,因此，展開式中的常數(shù)項為 T5 =哈(一1)4.32=135. 故。正確.應(yīng)選A3D解析：(2)由題可知,x的奇數(shù)次號的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，所以|ao|+|ai|+|a2|+|a3|T卜版|=a()a1+a2a? + a8.因為(12x)8 = a()+aix+a2x2+ +asx8, 令 x= - 1 得 a()ai + a2-33 T Fag=38,那么&)| + 團(tuán)| + 區(qū)2| + 團(tuán)|1 卜丹|=38.應(yīng)選 D.答案：A3。(2)0鞏固訓(xùn)練 4 解析：(1)令 x= -1,得 ao=l,令 x=0,得 ao+ai+a2HFai021 =22021,所以 a1 + a2+ 2021=22。21 1.應(yīng)選 b.(2)因為展開式的二項式系數(shù)和為64,所以2n=64,，n = 6.所以Tk+尸麾(2x正)61(一百及 11k= (-l)kC26-kx9