一維多階梯勢壘的透射系數(shù)

1、一維多階梯勢壘的透射系數(shù)甘肅省西和縣何壩職校胡來喜 742105對于一般勢壘，求解透射系數(shù)往往比方勢壘復(fù)雜。應(yīng)用W.K.B半經(jīng)典近似法1 可以精確推導(dǎo)出一般勢壘的透射系數(shù)1-3，只是在推導(dǎo)過程中要用到比較高深的數(shù)學(xué) 知識。于是，有些文章將一般勢壘分成多個寬度為Ax的小方勢壘，組成一維多階梯勢壘，并有應(yīng)用魯阿德(Rouard)遞推方法4和一維階梯位勢遞推關(guān)系分別得出 一維多階梯勢壘透射系數(shù)的遞推公式，這兩種遞推公式對于少數(shù)階梯勢壘很適用， 但在階梯勢壘過多時要借助于計算機程序才能完成。本文在參照了教科書7中求 解方勢壘透射系數(shù)方法的基礎(chǔ)上，以連續(xù)函數(shù)勢壘作為一般勢壘的一個特例，將連 續(xù)函數(shù)勢壘分

2、割成多個寬度為Ax的矩形勢壘，如圖1，對其過程應(yīng)用相關(guān)數(shù)學(xué)處理， 得出推導(dǎo)一維多階梯勢壘透射系數(shù)，再應(yīng)用極限方法使階梯勢壘回歸到連續(xù)函數(shù)勢 壘，推導(dǎo)出連續(xù)函數(shù)勢壘的透射系數(shù)。最后，對推導(dǎo)過程中用到的近似處理進行了 誤差討論，比較嚴(yán)密地證明了教科書7,8中關(guān)于勢壘透射系數(shù)的結(jié)論。1 一維多階梯勢壘透射系數(shù)如圖1所示，一般勢壘U(x)的定態(tài)薛定諤方程為：- +K2(x)w(x)=0 , (-3 X )o dx2K (x )=式中令k (x )= K (x )(1)(2)(3)把粒子經(jīng)過的區(qū)域分成n個小區(qū)域，每個小區(qū)域的U（x）近似為常數(shù)，成為“階梯勢 壘”，從而每個區(qū)域的K（x）也近似為常數(shù)（圖2

3、）。由（1）式解出的各區(qū)域的波函數(shù)具有相同形式，如第j區(qū)域和第n區(qū)域為：V . （X）= A eiKJxJ + B eiKJxJ，j=0,1,，n-1（4）（5）W （x）= Afu得到入射波的幾率流密度為：ih2目0-V * aw0入0入hk I=0 V日 0入0(x ) 2hk a=0 A0eiK0 x00（6）透射波的幾率流密度為:ih2日nw aw*-w * awnnnnhknpnA eiKnxnn入射粒子從左到右經(jīng)勢壘后的透射系數(shù)為:hk 4n A eiKJ 日(8)A Wo0D = J = IT0P0其中* =旦51若令則(8)式可寫為：I = k A eiKjxj 2, j=0,

4、1,n j j j(9)式中任一項的I,。0?？梢钥闯觯牒芏郔,相乘除，D值不變，只是一種數(shù)學(xué)處理。應(yīng)用該處理是因為求相鄰區(qū)域的i./i. 1比較容易從而容易求出D。避開其中任一區(qū)域，即去掉其中一項1j只要能求出I /Ij+1 j-1并不影響求D的值。所以，d=L=LLL j ,-L-1010 I1 12jIn 1K=0的區(qū)域是可以避開的。又令I(lǐng)JIj-1j=1,2,nDjkj-1k A eiKA eiKj-1xj-1 2jxj jk j kj-1j-1丁與-己-1)(10)(11)1.1且左鄰域K豐0的第j區(qū)域的DD = H Djj=1由波函數(shù)及其微商在x, 1點的連續(xù)條件得到：。)=。

5、)j-1 x=j1j x=xj-1(12)AeiKj- 1x,-1 + Be-iKj = A eiKxA + B e-iKx-1j-1j-1j jdxdxx=x., j-1x=x.,j-1得k A eiKJ-lxJ-l -k B e-iKJ-lxJ-l = k A ei%- -k B e-iKJxJ-l(13)頂T J-1J-1 J-1j jj j2k kJ aj -jJ-1eiKj-1xj-1 = A eiKjXj-1Jk -kk + J B e-iKJxJ-1(14)（14）式有三個未知量J、由于K （x）是連續(xù)的，可以把區(qū)域取的很窄，使AkJ 1 k , + k ,（15）則（14）式中

6、含Bj的項可以忽略，得到:A 2k ()=十 eijKj 勺-1(16)A, k , + k ,代入（10）式，并令軟=J J，得：4k keiK Ax ,（17）J-1J-1項,+ k , (、 k + kv i2AkJ 11所以eiK ,Ax,e2kjAxj, E U (x)e 2 kt 筆，E U (x )(20)將（18）、（20）式代入（11）式，得:D-2 匕 Ax.(21)該式即為服從連續(xù)函數(shù)的多階梯勢壘的透射系數(shù)。其中，E U（x）時粒子很容易穿過勢壘，透射系數(shù)近似為1，這個結(jié)果是與事實相符的。2連續(xù)函數(shù)勢壘的透射系數(shù)當(dāng)多階梯勢壘的寬度從無限?。ㄋ葧r多階梯勢壘回歸到一般勢壘，1

7、 而 kjT k (x)=引:2|iU(x)-e，2k，,v Ax T2 k Ax =j j j jj=1j=11 jx2 偵 2p U (x)-Edx， x1于是（21）式可寫成D = exp -j%2訴U (x)-EdxX1(22)上式就是連續(xù)函數(shù)勢壘的透射系數(shù)，常數(shù)因子D=1。其中七，X稱為經(jīng)典回轉(zhuǎn)點，對于一般勢壘，可推得除常數(shù)因子d。1外，透射系數(shù)與（22）式完全一致兇3結(jié)果討論= 5 -2 j x2 J211 U (x )-E dxX1在推導(dǎo)過程中用到一處近似處理，即忽略了（14）式含勺(23)、0，* = 0區(qū)域的個數(shù)并不增加，故誤差不能忽略（雖然每個小區(qū)域的誤差減小了，但這種小區(qū)

8、域的個數(shù)n F ）。由于做了近似計算，首先給（16）式的帶來誤差，從而% D也有誤一 差。設(shè)與它們對應(yīng)的準(zhǔn)確值為Aj/Aj_1、D、D，又設(shè)七七的相對誤差iA j-1(24)為 6 ,。則 Ax, 0 時，6 , T 0。A j A -J1iAj-1(25)所以(26)略去二次項，得到DD 任j-j1 + 25j(27)5=險頊-D- j=1 jj=11 + 25 j 1 + 25ji =1(28)顯然， 2七 1是透射系數(shù)公式）成立的條件。j=1相對誤差5是由于Ak+ k ）= 0產(chǎn)生的，Ak+ kj廣 j JTj j j-1）越大，5 j就越大，作為一級近似，有:5 x Akj（29）j

9、k + k.Ak于是令：5. =v確廠jj-1式中Y是比例常數(shù)（實數(shù)）。設(shè)k = 0區(qū)域有兩個，取它們兩側(cè)鄰域的k值相等，即k =k = k = k。粒子從勢壘外進入勢壘，再穿出勢壘，有k =k，得到 r t r t0 na= 2y Akj 仆dk+jM+Rdk.j . k. + k.Ak.項蛆 k 匕 k k k )=Yk :rk k)n=Y ln_nk )t /康0 kt-J+ 0 + In（30）n 28 0表明：盡管各小區(qū)域的誤差不可忽略，但總的誤差卻可以忽略。j AkjT 0 i=1j這是因為：兩邊E U （x）區(qū)域的巴符號也不同， 所引起的誤差一部分為正，一部分為負(fù)，正負(fù)相互抵消。綜上所述，粒子穿過服從連續(xù)函數(shù)的多階梯勢壘后，透射系數(shù)由21)式確定。 當(dāng)粒子穿過一般勢壘后，其透射系數(shù)由(23)式準(zhǔn)確得到，總誤差可忽略不計，而 不要任何附加條件。參考文獻(xiàn)：張啟仁.量子力學(xué)M.北京:科學(xué)出版社,2002.1822,8992.周世勛.量子力學(xué)M.上海:上海科學(xué)出版社,1961.209218.曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)M.北京:科學(xué)出版社,1981.475491.龍超云，劉波.一維多階梯勢壘的反射系數(shù)J.大學(xué)物理,1999,18(10):79.井孝功，張井波.高