福建省福州市2020屆高三第三次質(zhì)量檢測(線下二模)數(shù)學(xué)(文)

1、 2020年福州市高中畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文科）試卷（完卷時間：120分鐘；滿分：150分）（在此卷上答題無效）1至3頁，第n卷本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.第I卷4至5頁.第I卷一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符 合題目要求的. 設(shè)全集 U x N|x, 8,集合 A 1,3,7,則 euAA.2,4,5,6C. 2,4,5,6,8D. 0,2,4,5,6,8.已知純虛數(shù)滿足（1 i）z 2 ai ,則實數(shù)a等于A. 2 B. 1 C.1D.曲線y 1 x ex在x 1處的切線方程為.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的

2、mA. 1 B. 2 C. 3D. 4.已知等差數(shù)列 an的前n項和為S ,且a2020S 0202 020 ,024,5,6ex+y e 0則an的公差為A.2 B. 2 C. 2 019 D.2 0196.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在某次軍訓(xùn)射擊測試中，各射擊 條形圖如下：10次.四人測試成績對應(yīng)的1楠率相率0.6甲乙丙以下關(guān)于這四名同學(xué)射擊成績的數(shù)字特征判斷不正確.的是A.平均數(shù)相同B.中位數(shù)相同C.眾數(shù)不完全相同7.為了得到曲線y cosx,只需把曲線ysin 2x 上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,6縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移一個單位長度3一個單位長度 128.9.10.11.C.

3、一個單位長度3D.一個單位長度6已知平面,兩兩垂直，直線a,b, c滿足:a ,b ,c，則直線a,b,c可能滿足以下關(guān)系：兩兩相交；兩兩垂直；兩兩平行；兩兩異面.其中所有正確結(jié)論的編號是A.B.C.D.2 x 已知橢圓C:一924 1 b 0的右焦點為F 以C上點M為圓心的圓與x軸相切于點 b2，F(xiàn) ,并與y軸交于A, B兩點.已知定義在x 0,2 時,32R上的函數(shù)B. 22019年世界讀書日,urn若FA滿足fuuu FB 4 ,則C的焦距為C.D. 4f x，函數(shù)f x 2為偶函數(shù)，當(dāng)9 22 x 6x+ a .若 x2,0 時，f x的最大值為1.，則aC.3D-2陳老師給全班同學(xué)開

4、了一份書單，推薦同學(xué)們閱讀，并在2020 年世界讀書日時交流讀書心得.經(jīng)了解，甲、乙兩同學(xué)閱讀書單中的書本有如下信息:1甲同學(xué)還剩3的書本未閱讀;乙同學(xué)還剩5本未閱讀；1有4的書本甲、乙兩同學(xué)都沒閱讀. 則甲、乙兩同學(xué)已閱讀的相同的書本有A. 2本B. 4本C. 6本D. 8本.若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為 1,當(dāng)該圓錐體積取最 小值時，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為A. 8:3B.6:1C.3:1D. 2:1第II卷注意事項：用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答.在試題卷上作答，答案無效.本卷包括必考題和選考題兩部分.第（13）（21）題為必考題，每個試題考生都

5、必須作答.第（22）、（23）題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分.已知向量a 1,2 , b t,1 ,若a,b夾角的余弦值為 立,則實數(shù)t的值為.5.已知雙曲線C過點1,有,且漸近線方程為 y 2x,則C的離心率為 .我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是 每個大于2的偶數(shù)可以拆分為兩個素數(shù)的和”，如30 7+23 13 17 11 19 , 30有3種拆分方式；6 3 3, 6只有1種拆分方式.現(xiàn)從大于4且小于16的偶數(shù)中隨機任取 一個，取出的數(shù)有不止一種上述拆分方式的概率為 .熔噴布”是口罩生產(chǎn)的重要原材料，1噸熔噴

6、布大約可供生產(chǎn) 100萬只口罩.2020年，制造口罩的企業(yè)甲的熔噴布1月份的需求量為100噸，并且從2月份起，每月熔噴布的需求量均比上個月增加10%.企業(yè)乙是企業(yè)甲熔噴布的唯一供應(yīng)商，企業(yè)乙 2020年1月份的產(chǎn)能為100噸，為滿足市場需求，從 2月份到k月份2 k 8且k N ，每個月 比上個月增加一條月產(chǎn)量為50噸的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，從 k+1月份到9月份不再增加新的生產(chǎn)線.計劃截止到9月份，企業(yè)乙熔噴布的總產(chǎn)量除供應(yīng)企業(yè)甲的需求外，還剩余不少于990噸的熔噴布可供給其它廠商，則企業(yè)乙至少要增加 條熔噴布生產(chǎn)線.（參考數(shù)據(jù)：1.18 2.14 , 1.19 2.36）三、解答題：解答應(yīng)寫出文

7、字說明、證明過程或演算步驟.（本小題滿分12分） ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c , a 1且J3cosc csin A .（1）求 C ；（2）若b 3, D是AB上的點，CD平分 ACB ,求AACD的面積.（本小題滿分12分）為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別稱為A藥，B藥）的療效，某機構(gòu)隨機地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，觀察這40位患者的睡眠改善情況.這些患者服 用一段時間后，根據(jù)患者的日平均增加睡眠時間（單位：h ）,以整數(shù)部分當(dāng)莖，小數(shù)部分當(dāng)葉，繪制了如下莖葉圖：A藥B藥8 7 30.4 5 7 8 951.1 2 2 3 4 5 6 7 8 9

8、9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 0 02.1 6 75 2 1 03.2 3（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種藥對增加睡眠時間更有效？并說明理由；（2）求這40名患者日平均增加睡眠時間的中位數(shù)m ,并將日平均增加11眠時間超過 m和不超過m的患者人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m服用A藥服用B藥(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有 99%的把握認(rèn)為A,B兩種藥的療效有差異?2寸.K2n(ad bc)(a b)(c d)(a c)(b d)_2P K- k00.010.0050.001k06.6357.87910.828.(本小題滿分12分)如圖，在多面體PABCD中，平面 ABCD 平面PAD,

9、 AD II BC , BAD 90 ,PAD 120 , BC 1 , AB AD PA 2 .(1)求多面體 PABCD的體積；(2)已知E是棱PB的中點，在CD是否存在點F使 得EF II PD ,若存在，請確定點 F的位置；若不存在， 請說明理由.(本小題滿分12分)已知拋物線C:y2 4x,直線l：x my 2(m 0)與C交于A , B兩點，M為AB的中點,O為坐標(biāo)原點.(1)求直線OM斜率的最大值；(2)若點P在直線x 2上，且4PAB為等邊三角形，求點 P的坐標(biāo).(本小題滿分12分)已知函數(shù) f(x) x2 ax 2ln x.(1)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)f x有兩

10、個極值點x1,x2 x1 x2 ,若f %m”恒成立，求實數(shù) m的取值范圍.請考生在第(22)、(23)兩題中任選一題作答. 注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.(本小題滿分10分)選修4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.x 3 3kt在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方y(tǒng) t程為x 3 3m,( m為參數(shù)).設(shè)l1與1的交點為p,當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線 C1 . y km(1)求Ci的普通方程；22(2)設(shè)Q為圓C2：xy 43上任意一點，求 PQ的最大值.23.（本小題滿分10分）選修

11、4 5：不等式選講 已知 a 0,b 0 , a2 b2 c2 4 .(1)當(dāng) c 1 時，求證：a3 b3 a b 9；12T c一的最小值.144求；a2 b22020年福州市高中畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（文科）參考答案及評分細則一、選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算.每小題 5分，滿分60分. TOC o 1-5 h z 1. D2. A3.B4. C5. B6. D7. A8. C9.C10. A11. C12. D二、填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算.每小題 5分，滿分20分.13.-14.叵15, 216. 5425三、解答題：本大題共 6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，

12、證明過程或演算步驟.17 .【命題意圖】本小題以解三角形為載體，考查正弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知 識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)， 體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性.【解析】解法一：（1）因為a 1且J3cosc csinA, TOC o 1-5 h z 所以 J3acosC csin A,1 分根據(jù)正弦定理，得 V3sin AcosC sin Csin A ,3分因為A 0,所以sin A 0 ,所以tanC 串,4分因為C 0,所以C 一 .5分3(2)由(1)知， ACB , 3334因為a 1, b 3,所以 ABC 的面積 $ abc absin A

13、CB sin 223因為D是AB上的點，CD平分 ACB,所以S旦Saacd因為Saabc所以Saacd1 a CD sin 261b CD sin-26SA ACDSA BCD，3 03 3 3 9 3S ABC444169分10分12分解法二：（1）根據(jù)正弦定理，得 及a 1得,sin A sinC所以 csinA sinC , 2分又因為 5y3cosc csin A ,所以 73cosc sin C ,3 分所以tanC 點,因為C 0,所以C _ .5分3(2)由(1)知， ACB , 3因為a 1, b 3,33413所以 ABC 的面積 Sa ABC -absin ACB -si

14、n-223因為D是AB上的點，CD平分 ACB,13所以 AACD 的面積 Saacd b CD sin- -CD ,ACD26 4所以ABCD的面積Sabcd1_1 _-a CD sin- -CD ，26 4因為SaabcSA ACDSA BCD 8分9分10分 TOC o 1-5 h z 31所以 $ abc -CD -CD CD, 44, 11分12分所以CD述.4所以33 3.39.3Sa acd CD - 44416.【命題意圖】本小題以 治療失眠癥的藥”為載體設(shè)計試題，主要考查莖葉圖、樣本 的數(shù)字特征、獨立性檢驗等基礎(chǔ)知識， 考查數(shù)據(jù)處理能力、 運算求解能力、應(yīng)用意識, 考查統(tǒng)計與

15、概率思想，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性 與應(yīng)用性.【解析】（1）（以下理由任說一種都可得 4分）從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗結(jié)果有 巴的葉集中在莖2和3上，5而B藥療效的試驗結(jié)果有 3的葉集中在莖。和1上，由此可看出 A藥的療效更好.4從莖葉圖的分布情況可以看出，服用A藥的患者日平均增加睡眠時間的平均數(shù)大于2,而服用B藥的患者日平均增加睡眠時間的平均數(shù)小于2,因此可知A藥的療效更好.由莖葉圖可知，服用 A藥的患者日平均增加睡眠時間的中位數(shù)是4+2.5 =2,45h ,而2服用B藥的患者日平均增加睡眠時間的中位數(shù)是1=1,45h ,因此A藥的療效更好.2由莖葉圖

16、可知，服用 A藥的患者日平均增加睡眠時間分布在莖2上的最多，關(guān)于莖2大致呈對稱分布；而服用B藥的患者日平均增加睡眠時間分布在莖1上的最多，關(guān)于莖1大致呈對稱分布；又患者在服用兩種藥后日平均增加睡眠時間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為服用 A藥的患者日平均增加睡眠時間比服用B藥的患者日平均增加睡眠時間更多，因此A藥的療效更好. 4分（2）由莖葉圖可知，40組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 m=2.0,6分因此列聯(lián)表如下：超過m不超過m服用A藥146服用B藥515_、2(3)由于 Y 40(141565)峭 8.120 6.635, 11分20 20 19 2113312分所以有99%的把握認(rèn)為A, B兩種藥的療效有差

17、異.【命題意圖】本小題以四棱錐為載體，考查線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)、空間幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查 化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性.【解析】解法一：（1）如圖，作PH 因為平面ABCD 平面PAD ,平面ABCD I平面PAD AD , 且PH 平面PAD ,所以PH 平面ABCD , TOC o 1-5 h z 所以PH為點P到平面 ABCD的距離. 3分因為 PAD 120 , PA 2,所以 PH PA sin60 用, 4分又S3邊形 ABCD所以Vp ABCD1-BC AD AB 3

18、, 21一 PH3 （2）假設(shè)棱CD上存在點F ,使得EF / PD .連接BD ,取BD的中點M ,在 BPD中，因為E,M分別為BP,BD的中點, TOC o 1-5 h z 所以EM II PD . 8分因為過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，BC所以EM與EF重合.因為點F在線段CD上，所以F BDI CD ,/于二二又 BD I CD D ,A J-dd所以F是BD與CD的交點D ,即EF就是ED ,P 1而ED與PD相交， 10分這與EF/PD相矛盾，11分所以假設(shè)不成立，故棱CD上不存在點F使得EF / PD . 12分解法二：（1）因為平面 ABCD 平面PAD ,且平

19、面 ABCD I平面PAD AD ,BA AD, BA 平面 ABCD ,所以BA 平面PAD , 2分依題意，Sapad 1AD APsin PAD22.331 _所以 Vb padSa pad AB3在梯形 ABCD 中，由 AD II BC,AD 2BC 知 SAabd 2SAbcd ,ABDBCD所以 Vp abd2Vp BCD ,5 分所以VpABCDVp ABDVp BCD Vp ABD23Vb pad22.3373 .6 分(2)假設(shè)棱CD上存在點F ,使得EF II pD ,顯然F與點D不同， TOC o 1-5 h z 所以p,E,F,D四點共面，記該平面為，8分所以 p ,

20、 pe , FD ,又 B pe , C FD ,所以B , C ,所以p,B,C,D共面于 ，10分這與p ABCD為四棱錐相矛盾，11分所以假設(shè)不成立,故棱CD上不存在點F使得EF II pD . 12分 20 .【命題意圖】本小題以拋物線為載體考查拋物線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等 基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、直觀想象能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想, 考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性.【解析】解法一：(1)設(shè) A(X1,y),B(X2,y2), TOC o 1-5 h z ,x my 2,2由 2,消去x得，y 4my 8 0,1分y 4x2 1

21、6m 32 0,且 y1 y2 4m,y1y28.2 分2,所以 x1 x2 m(y1y2) 4 4m 4.因為M為AB的中點2,2 m),2m m2m2 2 m2 112又因為m 0 ,所以kOM所以M的坐標(biāo)為(二,工_d2),即M(2m2 221(當(dāng)且僅當(dāng)m j1,即m 1等號成立.)所以直線OM的斜率的最大值為 -. 6分2(2)由(1)知, TOC o 1-5 h z L2222|AB | XX2yiV2 mmy2my22yiy2,1 m2 | yi y21 .1 m2 (y獷 gy=. 1 m2 .16m2324 Jim 4m2 , 8 分由PM AB得|PM| 小(m)2|2m2

22、2 ( 2) | 2(m2 2)Jl m2 ,9 分因為PAB為等邊三角形，所以|PM | Y|AB|, 10分2所以 2(m2 2)由一m 2 73。1 m2 Jm2 2 ,所以Jm2 2 點，所以m2 1 ,解得m 1, 因為m 0,所以m 1, 11分則M(4,2),直線MP的方程為y 2 (x 4),即y x 6,所以x 2時，y 8, 所以所求的點 P的坐標(biāo)為(2,8) .12分解法二：(1)設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),M(Xo,yo),因為M為AB的中點，且直線l：x my 2(m 0), 所以 2yo=y1 y2, m xx) 1 分y y2 24 yl 4為，22由

23、 2 得 y1y2 4x1 4x2,y2 4x2,所以 y y2x巳,所以 2yo 4m,即 y0 2m . 2 分V】y2所以 x0 my0 2 2m2 2,即 M(2m2 2,2m) , 3 分又因為 m 0,所以 kOM2m T- -0 得 0 x x1,或 xx2；由 f (x) 0 ,即 p x v 0得 x x x2 .所以函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間為0,xi , x2,單調(diào)遞減區(qū)間為xi,x2 ,巧分綜上，當(dāng)aw4時，函數(shù)f x單調(diào)遞增區(qū)間為 0,當(dāng)a 4時，函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間為0,x , ” ,； TOC o 1-5 h z 單調(diào)遞減區(qū)間為x1, x2 . 6分22x ax

24、 2-(2)由(1)得 f (x) x 0 ,x若f x有兩個極值點，則x,x2是方程2x2 ax 2 0的兩個不等正實根，a由(1)知 a 4 .則 xi x2 - 2,xix2 1,則 0 X 1 x2 , 8 分f x1要使f x1mx2恒成立，只需 m恒成立.*2 222f (x1)X ax1 21n xx2x 2 21n x13因為 x1 2x1 2xi1nx1, 10 分x2x21_x令 h(t) t3 2t 2t1nt,貝Uh(t)3t2 21n t ,當(dāng)0 t 1時，h t0, h為減函數(shù)，所以h(t) h(1)3. 11分由題意，要使 f x mx2恒成立，只需滿足 mK 3 .所以實數(shù)m的取值范圍 ，3 .12分 22.【命題意圖】本小題以曲線的參數(shù)方程為載體，考查參數(shù)方程和普通方程的互化、橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，圓與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基 礎(chǔ)性. T