電磁場與電磁波(第2章)OK

1、1. 電場力、磁場力、洛倫茲力 4. 微分形式的麥克斯韋方程重點：第2章 電場、磁場與麥克斯韋方程 3. 麥克斯韋方程的導(dǎo)出及意義2. 電磁場中的三種電流以及電流連續(xù)性原理 7. 電磁場的能量與坡印廷矢量 5. 積分形式的麥克斯韋方程6. 時諧形式的麥克斯韋方程2.1 電場力、磁場力與洛倫茲力 1. 電場力 庫侖定律 適用條件 兩個可視為點電荷的帶電體之間相互作用力; 無限大真空情況 (式中F/m)可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中結(jié)論：電場力符合矢量疊加原理 當真空中引入第三個點電荷 時，試問 與 相互間的作用力改變嗎? 為什么？施力電荷的要求？庫侖定律還可以換一種方式來闡述： 假定電荷q=1

2、C，于是電場力 即為q1對單位電荷的作用力,我們將這個特定大小的電場力 稱為電場強度矢量 由電場強度矢量可以得出兩個或多個彼此相對靜止的電荷之間的作用力，所以可用電場強度描述電場。 結(jié)論電位電場的特征可以用電場強度來描述，并且可以由給定電荷分布計算場強，場強是一個矢量。但由場強計算可看出，均是矢量積分與矢量求和，要化為標量積分，計算比較復(fù)雜，有時根本無法得出積分結(jié)果，即使是使用計算機，有時也未必行。如果能用一標量函數(shù)來描述電場，計算起來便會簡便，看是否可行？電位- 靜電場的無旋性 稱為無旋性 ， 而： 即需證明： （為什么？） 從點沿路徑到所作的功應(yīng)為 空間兩點的電位差只和場點所在位置有關(guān)，而

3、和積分路徑無關(guān)。因此，在靜電場中，電場強度沿閉合路徑積分恒等于。由Stokes定理 ，因為是任意回路，所以說明靜電場是無旋場：當一個矢量的旋量處處為時可以表示為一個標量函數(shù)的梯度 電位-定義及與電場強度的關(guān)系電場中P、Q兩點的電位差為 若將點作為參考點，那么點的電位參考點的選擇是任意的，工程上經(jīng)常選大地作參考點或公共點，在理論分析中，常將無窮遠處作為電位參考點。電位的計算：電場強度與電位的關(guān)系 ：其中： 。負號是因為電位函數(shù)梯度的負值為電場強度 2. 磁場力 當電荷之間存在相對運動，比如兩根載流導(dǎo)線，會發(fā)現(xiàn)另外一種力，它存在于這兩線之間，是運動的電荷即電流之間的作用力，我們稱其為磁場力 。 假

4、定一個電荷q以速度 在磁場中運動，則它所受到磁場力為 這表明：一個單位電流與另外一個電流的作用力可以用一個磁感應(yīng)強度 來描述。 3.洛倫茲力 當一個電荷既受到電場力同時又受到磁場力的作用時，我們稱這樣的合力為洛倫茲力。我們也可以用這個表達式作為電場強度和磁場強度的定義式。 即載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場比奧-薩法爾定律矢量磁位-磁通連續(xù)性原理 -磁通連續(xù)性原理: 穿過該曲面的磁通量是穿過任一曲面的磁感應(yīng)強度的通量，即磁力線總數(shù)目，定義為： 當為空間閉合曲面時，則穿過此曲面的磁通量為 如果這個磁場是一載流導(dǎo)線產(chǎn)生的，由畢沙定律，將 代入得到：化簡后可以得到上積分是為零。即再由高斯散度定理，可得磁感應(yīng)強度的

5、散度為零。矢量磁位-定義及與磁感應(yīng)強度的關(guān)系 因為 ，由恒等式：則可得： 其中 就稱為矢量磁位。要確定一個矢量必須同時確定散度和旋度，現(xiàn)只確定了旋度。電磁場規(guī)定在靜態(tài)磁場中： 稱為庫爾規(guī)范 所以有矢量磁位的表達式矢量磁位的方向與電流元的方向相同，大小與電流元到場點的距離成反比。 矢量磁位給磁場的計算提供了新的方法法拉第電磁感應(yīng)定律 法拉第通過大量實驗總結(jié)：當穿過導(dǎo)體回路的磁通發(fā)生變化時，回路就要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流。感應(yīng)電動勢的大小正比于磁通對時間的變化率的負值。負號表示感應(yīng)電動勢所產(chǎn)生的感應(yīng)電流的磁通是阻止原來磁通的變化。實驗還證明感應(yīng)電動勢的方向和磁力線的方向之間符合右手螺旋關(guān)系 當

6、則 表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場會阻止原磁場增大的趨勢 因為 則為閉合回路所界定的曲面。該閉合導(dǎo)體回路中的 感應(yīng)電動勢： ， 為感應(yīng)電場 在時變場中，變化的磁場要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢 lB表明穿過導(dǎo)體回路的磁通發(fā)生變化時，回路中就要產(chǎn)生感應(yīng)電動勢 引起磁通變化的途徑是什么呢？ 引起磁通變化的途徑是什么呢？ 1、變化的磁場：導(dǎo)體回路是靜止的，磁場隨時間變化，引起磁通的變化 變壓器的工作原理 2、導(dǎo)體在恒定磁場中的運動。產(chǎn)生感應(yīng)電動勢滿足右手掌定則 3、導(dǎo)體回路在時變磁場中運動時總的感應(yīng)電動勢為 根據(jù)Stokes定理微分形式法拉第定律的推廣 -麥克斯韋方程組之一法拉第提出的電磁感應(yīng)定律是在有導(dǎo)體回路的情況下，

7、從實驗中總結(jié)出來的 ：變化的磁場產(chǎn)生電場 推廣到非導(dǎo)體回路：介質(zhì)或真空中的任意閉合曲線的情況：只要穿過此曲線所限定曲面的磁通量發(fā)生變化，那么沿著該曲線將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，盡管這時不一定會有感應(yīng)電流，但若把閉合導(dǎo)線原樣放在介質(zhì)中閉合曲線的位置上，感應(yīng)電動勢將在導(dǎo)體回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流。 只要存在感應(yīng)電動勢，空間就存在感應(yīng)電場 推廣后的法拉第電磁感應(yīng)定律，說明了電場和磁場緊密聯(lián)系的一個方面：變化的磁場產(chǎn)生電場。電荷是電場的源，變化的磁場也是電場的源在時變情況下，電場的環(huán)量不等于零，這和靜電場問題不同，此時感應(yīng)電場不再是一個位場。安培環(huán)路定律 -局限性安培環(huán)路定理：安培環(huán)路定律是用來描述磁場和與直流電流

8、（傳導(dǎo)電流）之間的關(guān)系。回路中傳導(dǎo)電流連續(xù)是安培環(huán)路定律成立的前提。當電流和磁場隨時間變化時，傳導(dǎo)電流可能不連續(xù)，安培環(huán)路定律如何適用于時變場呢？麥克斯韋為了解決這一問題，提出了位移電流的假設(shè)。假設(shè)：在電容器兩極板之間，由于電場隨時間的變化而在兩極板之間存在位移電流Id，其數(shù)值等于流向極板的傳導(dǎo)電流。 全電流定律引入了位移電流的概念，如何才能將安培環(huán)路定律推廣到時變場的情況下使用呢？在考慮了位移電流之后，穿過面的總電流 即在時變電磁場中，不僅有傳導(dǎo)電流，而且有位移電流。 為傳導(dǎo)電流， 為位移電流， 總電流為兩者之和，其相應(yīng)的電流密度為：全電流 考慮全電流后，安培環(huán)路定律為 表明磁場不僅可由傳導(dǎo)

9、電流產(chǎn)生，也能由變化的電場產(chǎn)生，即位移電流產(chǎn)生。推廣后的安培環(huán)路定律是宏觀電磁場的基本方程之一。高斯定律 磁通連續(xù)性方程，即磁場高斯定律為 為麥克斯韋方程組之一電場的高斯定律 ： 若是電荷連續(xù)分布： 所以：為麥克斯韋方程組之一電流連續(xù)性方程 根據(jù)電荷守恒定律，電荷既不能產(chǎn)生，也不能被消滅，它們只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，或者在一個物體內(nèi)部移動。正負兩種電荷可以分離而呈現(xiàn)帶電現(xiàn)象，也可以中心重新結(jié)合而發(fā)生中和現(xiàn)象 若電荷從一封閉曲面S移動出來，封閉曲面內(nèi)部必然減少同樣數(shù)量的電荷量。電荷的定向運動形成電流，因而從封閉曲面向外流出的電流，必然等于封閉曲面內(nèi)正電荷的減少率，反之亦然。寫成數(shù)學表達式

10、： 為電流連續(xù)性方程為什么叫電流連續(xù)性方程呢？電流連續(xù)性方程-因為： 所以：又根據(jù)：所以所以積分形式：微分形式：2.2 由電通量與高斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第一方程 定義穿過一個單位有向面積dS的矢量線的數(shù)目為電通密度(electric flux density)，用 表示。在自由空間中，穿過有向面積S的電通量為 電通密度與電場強度的關(guān)系為 根據(jù)高斯定律 可得麥克斯韋第一方程 ：或2.3 由法拉第電磁感應(yīng)定律與斯托克斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第二方程 法拉第電磁感應(yīng)定律 可得麥克斯韋第二方程 ：感應(yīng)電動勢 閉合路徑所包圍的磁通 根據(jù)斯托克斯定律 2.4 由磁通量與高斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第三方程 磁通連續(xù)性原理

11、 可得麥克斯韋第三方程 ：穿過開表面積S的磁通 根據(jù)高斯定律 1. 傳導(dǎo)電流、運流電流和位移電流 此式說明傳導(dǎo)電流密度服從于歐姆定律(ohms law)，并且傳導(dǎo)電流為 自由電荷在導(dǎo)電媒質(zhì)中作有規(guī)則運動而形成 傳導(dǎo)電流2.5 由安培環(huán)路定律與斯托克斯定律導(dǎo)出麥克斯韋第四方程 傳導(dǎo)電流的電流密度 與電場強度 的關(guān)系為： 形成運流電流的電荷在運動時并不受到碰撞阻滯作用，即使存在與其它粒子發(fā)生碰撞的機率，其作用也微乎其微，可忽略不計，因此運流電流不服從于歐姆定律。 電荷在無阻力空間作有規(guī)則運動而形成 運流電流假設(shè)存在一個電荷體密度為 的區(qū)域，在電場作用下，電荷以平均速度 運動，則運動電荷垂直穿過面積

12、S 的運流電流為 式中運流電流密度為 通常，傳導(dǎo)電流與運流電流并不同時存在。 則穿過閉合面S的位移電流為： 電介質(zhì)內(nèi)部的分子束縛電荷作微觀位移而形成 位移電流作一個閉合面S，假定其中所包圍的電量為q，根據(jù)高斯定律可知 式中位移電流密度 2.電流連續(xù)性原理 麥克斯韋假設(shè)， S面內(nèi)自由電量q的增長應(yīng)與穿出的位移電流相一致，并且若指定穿出S面的電流為正，則 在時變電磁場空間，圍繞著通電導(dǎo)體作一閉合面S，則穿入的傳導(dǎo)電流和運流電流應(yīng)等于S面內(nèi)自由電量q的增加率，即 于是可得此式稱為電流連續(xù)性原理 即 電流連續(xù)性原理表明：在時變場中，在傳導(dǎo)電流中斷處必有運流電流或位移電流接續(xù)。 其中稱為全電流密度 通常

13、，又將電流連續(xù)性原理稱為全電流定律，該定理揭示了不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系。麥克斯韋由此預(yù)言電磁波的。或 解： 忽略極板的邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場位移電流密度位移電流例: 已知平板電容器的面積為 S , 相距為 d , 介質(zhì)的介電常數(shù) ,極板間電壓為 u(t)。試求位移電流 iD；傳導(dǎo)電流 iC與 iD 的關(guān)系是什么?電場 傳導(dǎo)電流與位移電流3.磁場強度與安培環(huán)路定律 靜電場的環(huán)流為零穩(wěn)恒磁場的環(huán)流如何呢？說明靜電場是保守場； 對任何矢量場基本性質(zhì)的研究，就是考察它的通量和環(huán)流。對穩(wěn)恒磁場環(huán)流的研究形成了安培環(huán)路定理。 安培環(huán)路定理

14、與環(huán)路成右旋關(guān)系的電流取正。 在真空中的穩(wěn)恒電流磁場中，磁感應(yīng)強度 沿任意閉合曲線的線積分（也稱 的環(huán)流）, 等于穿過該閉合曲線的所有電流強度 （即穿過以閉合曲線為邊界的任意曲面的電流強度）的代數(shù)和的0倍。磁感應(yīng)強度的環(huán)流只與環(huán)路內(nèi)的電流有關(guān)，但環(huán)路上一點的磁感應(yīng)強度是由環(huán)路內(nèi)、外電流共同產(chǎn)生的。安培環(huán)路定理揭示了磁場的基本性質(zhì)之一，磁場是有旋場，是非保守場，故磁場中不能引入勢能的概念。討論當電流呈體分布時定義自由空間用磁場強度 表示的磁通密度為 則安培環(huán)路定律可寫成 4.麥克斯韋第四方程 在時變場中，應(yīng)將安培環(huán)路定律中的電流拓廣為全電流，即 其中麥克斯韋第四方程由斯托克斯定律得 即 或2.6

15、 微分形式的麥克斯韋方程組 將上面推導(dǎo)出的麥克斯韋方程列寫在一起，就得到了微分形式的麥克斯韋方程組 。 或?qū)㈦妶雠c其場源電荷密度聯(lián)系了起來，實際上，它是庫侖定律的另一種形式。 第一方程表明了隨時間變化的磁場會產(chǎn)生電場 這是法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式 。 第二方程表明了在形成磁場的源中，不存在“點磁荷磁力線始終閉合 。 第三方程表明了產(chǎn)生磁場的源是電流或變化的電場安培定律的另一種表現(xiàn)形式。 第四方程2.7 積分形式的麥克斯韋方程組 根據(jù)高斯定理和斯托克斯定理，可將微分形式的麥克斯韋方程轉(zhuǎn)化為積分形式的麥克斯韋方程。 轉(zhuǎn)化為其中引出了三個媒質(zhì)特性方程以上即為麥克斯韋所總結(jié)的微分形式（包括三個媒質(zhì)

16、特性方程）與積分形式（包括三個媒質(zhì)特性方程）的電磁場方程組，又稱為電磁場的完整方程組。其所以稱為“完整”方程組，是因為方程組全面地描述了作為統(tǒng)一的電磁場的兩個方面電場與磁場的相互關(guān)系，以及電場、磁場本身所具有的規(guī)律，和電場、磁場與其所處空間的媒質(zhì)的關(guān)系。具體地說，第一方程表明，電場是有散度場，即電場可以由點源電荷所激發(fā)；第三方程表明，磁場為無散度場，即磁場不可能由單極磁荷所激發(fā)；而第二和第四方程則描述了電場與磁場相互依存、相互制約并且相互轉(zhuǎn)化。2.8 麥克斯韋方程的時諧形式 時變電磁場的一種最重要的類型是時間簡諧場（time harmonic field）,簡稱時諧場。所謂時諧場即激勵源按照單

17、一頻率隨時間作正弦變化時所激發(fā)的也隨時間按照正弦變化的場。在線性系統(tǒng)中，一個正弦變化的源在系統(tǒng)中所有的點都將產(chǎn)生隨時間按照同樣規(guī)律（正弦）變化的場。對于時諧場，我們可以用相量分析獲得單頻率（單色）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 微分形式的時諧表示積分形式的時諧表示時諧變電磁場設(shè)電場強度的每個分量都是t的函數(shù)，則其分量可表示為：所以 若令 則： 稱為復(fù)振幅矢量。時諧變電磁場的復(fù)數(shù)表示在時諧變電磁場中，用復(fù)數(shù)形式表示場矢量，對運算帶來方便 2.9 電磁場的能量與坡印廷矢量電磁能量符合自然界物質(zhì)運動過程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律坡印亭定理，坡印亭矢量是描述電磁場能量流動的物理量。由麥克斯韋方程組可以導(dǎo)出電磁場能量的守恒方程

18、，該方程中包含了這樣一項，它可以用電磁場中任何一點處的能量流動速率來表示。電場與磁場的能量 在靜態(tài)場中：電場中某一點能量密度，即電場能量密度 磁場中某一點的能量密度，即磁能密度在時變場中的電場、磁場都隨時間變化，因而電場能量密度，磁場能量密度也要隨時間變化、空間各點的電磁能量密度的變化就要引起能量流動，這是時變電磁場中出現(xiàn)的一個重要現(xiàn)象，即電磁波動伴隨著電磁能量的轉(zhuǎn)移，能量的流動 電磁場能量 為了研究時變電磁場的能量關(guān)系，麥克斯韋假設(shè) ：在任一時刻，空間任一點的電磁能量密度應(yīng)為此時的電場能量密度與磁場能量密度之和，即電磁場中任一體積V內(nèi)儲存的總電磁能量為 波印廷定理 設(shè)空間某一點的電磁能量密度

19、該點電磁能量密度隨時間的變化率為 利用麥克斯韋方程組進行變換得到 坡印廷定理的數(shù)學表達式 坡印廷定理中的各項物理意義 左端代表在體積V中電磁能量隨時間減少的速率。單位時間體積V內(nèi)電磁場能量的減少率，即單位時間體積V內(nèi)電磁場減少的儲能。 等式右端第二項表示單位時間內(nèi)用于維持導(dǎo)電流而轉(zhuǎn)換為焦耳熱的能量,即表示體積V內(nèi)的電阻的功率熱損耗 其大小等于單位時間內(nèi)穿過與波的傳播方向相垂直的單位面積上的能量，就是單位時間內(nèi)穿出閉合曲面S的電磁能流的數(shù)學表示式 坡印廷矢量 坡印廷定理物理意義：體積V內(nèi)電磁貯能在減少，一部分被轉(zhuǎn)化成熱損耗，另一部分被外力引入的能量補償，剩余的穿過界面S流向外面。 表示單位時間內(nèi)穿出閉合曲面S的電磁能流 代表單位時間內(nèi)穿過所組成微小面元的單位面積上的功率 ，即能流密度矢量 ： 定義 為坡印廷矢量，即功率流密度 平均