高頻數(shù)據(jù)波動率的模型構(gòu)建

1、高頻數(shù)據(jù)波動率的模型構(gòu)建引言長期以來，波動率模型一直在金融時間序列研究中占據(jù)核心地位。學者們提出過各 種各樣的方法對波動率進行估計，其中最具代表性的當屬Engle（1982）、 Bollerslev（1986）提出的ARCH/GARCH類模型，這類模型在描述波動率聚類，尖 峰厚尾現(xiàn)象上有相當出色的表現(xiàn)。GARCH模型的成功提出，激勵了后繼者們開發(fā)各 種類型的GARCH模型（Bollerslev，2010）。特別地，為了衡量收益率對于波動率 的非對稱影響，Nelson（1991）、Glosten 等（1993）分別提出 EGARCH 和 GJR- GARCH模型來刻畫這種杠桿現(xiàn)象。Engle和V

2、ictor（1993）提出用“信息沖擊曲線 （News Impact Curve， NIC）來分析杠桿效應(yīng)”。除了 杠桿效應(yīng)”，研究者還 發(fā)現(xiàn)基于正態(tài)分布的GARCH模型并不能很好地刻畫殘差的厚尾性質(zhì)，因此開始考慮 使用厚尾分布，如Students-t分布、GED分布等。隨著高頻數(shù)據(jù)的可得性越來越強，基于高頻數(shù)據(jù)非參數(shù)的各種“實現(xiàn)”測度（Realized Measure）在波動率研究中越發(fā)占據(jù)重要地位。鑒于GARCH模型在日數(shù) 據(jù)上的成功表現(xiàn)，如何將實現(xiàn)測度和傳統(tǒng)的GARCH模型框架結(jié)合起來就成為波動率 建模中的一個熱點話題。一個直接的辦法就是將實現(xiàn)測度簡單地加入到方差方程式 中作為一個外生變

3、量，如GARCH-X模型。由于僅僅是將實現(xiàn)測度當做外生變量，這 類模型并不是完整的模型，并不能解釋實現(xiàn)測度的變動。為了改進這一點，人們開 始尋找“完整”的模型。Engle 和 Gallo（2006）、Shephard 和 Sheppard （2010） 分別提出了 MEM模型和HEAVY模型，但這兩個模型都依賴于至少兩個以上的隱變量 （Latent Variable）。相比之下 Hansen 等（2011）提出了 Realized GARCH 模型 就要簡單直接得多，這個模型只用一個隱變量就可以實現(xiàn)收益率，波動率和實現(xiàn)測 度的聯(lián)合建模。其想法是將GARCH-X模型的條件波動率h和實現(xiàn)測度X用一

4、個測量 方程連接，從而將模型封閉起來。并在其中植入一個杠桿函數(shù)來描述“信息沖擊曲 線”。作文 /zuowen/Hansen等（2011）提出的Realized GARCH模型采用的殘差分布是標準正態(tài)分布， 這種分布并不能充分擬合收益率序列中可能的厚尾和偏峰的情況，本文使用美國股 市數(shù)據(jù)進行擬合的結(jié)果也證實了這一點。因此本文將標準Realized GARCH模型推 廣到殘差服從Skewed-t分布的情形之下，結(jié)果顯示這種推廣可以顯著地增強模型 對樣本的擬合。另外，標準Realized GARCH模型將杠桿函數(shù)的幕次鎖定在2,這 等于先驗地設(shè)定了信息沖擊曲線的陡峭程度，或者說是設(shè)定了波動率對于收益

5、率沖 擊的敏感程度。本文的第二個推廣在于將幕次系數(shù)d作為一個數(shù)據(jù)決定的待估參數(shù)， 與模型的其他參數(shù)一起進行估計。結(jié)果顯示，在相當?shù)那闆r下，這樣的處理可以改 進模型的擬合，運用“開盤價一收盤價”計算收益率的模型其信息沖擊曲線參數(shù)d 集中在1.5附近，而并不是標準模型中設(shè)定的2。Wantanabe （2011）和本文平行發(fā)展了基于Skewedt分布Realized GARCH模型，但 是和本文有顯著的不同：第一，側(cè)重點不同，Wantanabe（2011）側(cè)重于將結(jié)果應(yīng) 用于VaR的估計，本文側(cè)重于在更合理的殘差假定下最優(yōu)的估計“信息沖擊曲線” 的參數(shù)；第二，應(yīng)用數(shù)據(jù)不同，本文除了討論指數(shù)數(shù)據(jù)SPY

6、以外，還討論了個股數(shù) 據(jù)；第三，收益率的計算更多樣，除了討論“收盤價一收盤價”收益率以外，還討 論“開盤價一收盤價”收益率。這兩種收益率的比較體現(xiàn)了隔夜收益率或者說是隔 夜信息對于殘差分布以及信息沖擊曲線的影響。畢業(yè)論文一、Realized GARCH 模型簡介為了簡單起見，本文使用Hansen等（2011）提出的最簡單的Realized GARCH （1， 1）模型為例：從而有v （z）=Y t （z）xn （z）。因此，本文在樣本中不加區(qū)分地將T （z） 稱為“信息沖擊曲線”。和傳統(tǒng)的GARCH模型一樣，Realized GARCH模型使用的也是正態(tài)的殘差分布，這 種分布有可能不能給出足夠

7、的偏峰和厚尾性質(zhì)。因此我們有理由懷疑Realized GARCH模型和傳統(tǒng)GARCH模型一樣在擬合收益率分布的偏峰和厚尾性質(zhì)能力不足。 本文使用基于正態(tài)分布的Realized GARCH模型對指數(shù)（SPY）和個股（MSFT）2002 年1月至2008年8月日數(shù)據(jù)進行擬合。其中，日收益率使用“收盤價一收盤價” 和“開盤價一收盤價”兩種不同的方式計算。實現(xiàn)波動率使用的實現(xiàn)“核”波動的 計算方法如下：作文 /zuowen/其中，K （）是核函數(shù)，這里使用的是Bartlett核。H是核函數(shù)的帶寬。實現(xiàn) “核”波動率和傳統(tǒng)的實現(xiàn)波動率RV相比，由于顯著地考慮了高頻收益率之間的 相關(guān)性，因此削弱了市場微觀

8、噪音對于實現(xiàn)測度計算的影響。為了確定殘差的尾部厚度和偏斜情況，本文對殘差進行Skewed-t分布擬合，結(jié)果 如下頁圖1所示。結(jié)果顯示殘差仍存在厚尾和偏斜現(xiàn)象，且個股數(shù)據(jù)表現(xiàn)更突出， 更加偏離正態(tài)分布。基于“收盤價一收盤價”日收益率模型的殘差比使用“開盤價 一收盤價”日收益率模型的殘差更加接近正態(tài)分布。由圖1可知，正態(tài)分布對于殘 差的描述能力有限，因此有必要對模型進行拓展，使殘差能夠容納厚尾和偏斜這兩 個特征。二、模型擴展對基本的Realized GARCH模型進行兩項擴展，第一項是改變誤差的分布。鑒于前面正態(tài)分布不能擬合的偏度和厚尾的性質(zhì)，本文使用Hansen （1994）提出Skewed-t

9、分布來改進。使 用Skewed-t分布的好處在于其相當靈活，t分布、Skewed-Normal分布、Normal 分布都是其特殊情況。Skewed-t分布密度函數(shù)：思想?yún)R報 /sixianghuibao/Hansen（1994）證明了上述分布的均值為0，方差為1。分布中的參數(shù)入控制了Skewed-t的偏度，當入 時分布右偏，當入 時分布左偏。當入=0時，Skewed-t分 布退化為標準t分布。進一步，和t分布一樣，自由度n控制了尾部的厚度，當 n f8時，Skewed-t 分布趨向 Skewed-Normal 分布：其中，-1入1。進一步，當入=0時，Skewed-Normal分布退化為標準正

10、態(tài)分布， 并有標準的尾部厚度（峰度為3）。第二個擴展是把T （）函數(shù)的幕次作為優(yōu)化變量來處理，具體為：簡歷大全 /html/jianli/三、估計結(jié)果及檢驗本文使用的數(shù)據(jù)包括股票指數(shù)（SPY）和個股數(shù)據(jù)（MSFT、IBM、INTC、WMT、XOM） 的2002年1月至2008年6月的日數(shù)據(jù)。使用MLE方法估簡歷大全 /html/jianli/計基于Skewed-t分布的Realized GARCH模型，結(jié)果見表1。表1中的第一部分是基于“收盤價一收盤價”計算收益率的估計結(jié)果，第二部分是 基于“開盤價一收盤價”計算的收益率的估計結(jié)果，兩者之間的差距可以認為是隔 夜收益率的影響。和前面一樣，實現(xiàn)波

11、動率使用實現(xiàn)“核”波動率（RK）計算。從 表1中可以看出，系數(shù)P和Y的大小在指數(shù)和個股之間都相對穩(wěn)定。系數(shù)取 值接近于1，印證了式（3）被看做測量方程是有道理的，同時這個結(jié)論也和 Andersen和Bollerslev （1998）給出的結(jié)論一致，即GARCH模型可以給出波動率 的一個較好的估計。參數(shù)n顯示，相對于“收盤價一收盤價”收益率而言，“開 盤價一收盤價”收益率計算的模型殘差尾部更薄一些。這是因為實現(xiàn)“核”波動率 的計算只是用到了日內(nèi)收益數(shù)據(jù)，并不包含隔夜收益的信息。因此，相對于同是日 內(nèi)收益率概念的“開盤價一收盤價”收益率而言，“收盤價一收盤價”收益率蘊含 更多的不確定性，而這種附加

12、的不確定性導(dǎo)致了 “收盤價一收盤價”收益率模型的 殘差有更厚的尾部。思想?yún)R報 /sixianghuibao/以，和d衡量的T （z）函數(shù)形狀在不同的股票之間顯示出相同的特征，負向收益率會 增大波動率，超過平均水平的收益率會增大波動率。參數(shù)d的取值在“收盤價一收 盤價”收益率模型中波動較大，但是在“開盤價一收盤價”收益率模型中波動相對 較小，大多在1.5左右。T （z）對應(yīng)于傳統(tǒng)文獻中的“信息沖擊曲線”；其中參 數(shù)d的大小決定了這條曲線陡峭程度，d越小曲線越平坦，條件波動率對于信息沖 擊的反應(yīng)越遲鈍；d越大曲線越陡峭，條件波動率對于信息沖擊的反應(yīng)越敏感。模 型顯示日內(nèi)收益率“信息沖擊曲線”的敏感

13、程度相對穩(wěn)定，但隔夜收益率“信息沖 擊曲線”的敏感程度則有相當?shù)牟顒e。這導(dǎo)致了使用“收盤價一收盤價”收益率模 型計算的敏感程度參數(shù)d波動很大。在Skewed-t分布中控制尾部厚度的參數(shù)是自由度n，n趨向無窮時，Skewed-t 分布趨向Skewed-Normal分布。在定義給出的偏度參數(shù)范圍之內(nèi)，Skewed-Normal 分布的峰度接近標準正態(tài)分布的峰度，特別地，在入=0時退化為正態(tài)分布。我 們使用兩種方式對厚尾性進行檢定，一種是Skewed-t分布和Skewed-Normal分布 的比較，一種是標準t分布和正態(tài)分布的比較。偏峰與否等價于入是否為0，從 結(jié)果中看，殘差的偏斜程度因股票而不同，

14、指數(shù)數(shù)據(jù)存在著相當?shù)钠?，某些股票（特別是使用“收盤價一收盤價”收益率模型時）并沒有出現(xiàn)明顯的偏斜。下面使 用傳統(tǒng)的似然比檢驗對上述假設(shè)進行推斷： 思想?yún)R報 /sixianghuibao/其中，k是約束的個數(shù)。做檢驗用的數(shù)據(jù)集和模型估計用的數(shù)據(jù)集一致。為了討論 方便，我們對不同模型進行如下設(shè)定：SKT為基于Skewed-t分布的Realized GARCH模型；SN為基于Skewed-Normal分布的Realized GARCH模型；T為基于 Students-t分布的Realized GARCH模型；N為基于正態(tài)分布的Realized GARCH 模型；SKTd為基于Skewed-t分布的

15、Realized GARCH模型且不約束d為2 ； Td為 基于Students-t分布的RealizedGARCH模型且不約束d為2。表2給出對數(shù)似然 函數(shù)的值，表3給出似然比檢驗的值。表3中的前兩列對應(yīng)著厚尾性的檢驗。如前所述，我們使用兩個不同的尾部厚度 標準。第一列以容納了偏峰性質(zhì)的Skewed-Normal分布為標準，用比較SKT和SN 模型的結(jié)果來實現(xiàn)；第二列以正態(tài)分布為標準，用比較T和N模型的結(jié)果來實現(xiàn)； 第三列對應(yīng)著偏峰性質(zhì)的檢驗，使用比較SKT和T模型的結(jié)果來實現(xiàn)；第四列對應(yīng) 著偏度和峰度的聯(lián)合檢驗，用比較SKT和N模型的結(jié)果來實現(xiàn)；最后兩列對應(yīng)著 T（z）函數(shù)的設(shè)定檢驗，分別

16、討論了允許殘差分布偏峰和不允許殘差分布偏峰兩種情況。從結(jié)果可以看出，無論是使用“收盤價一收盤價”收益率還是“開盤價一 收盤價”收益率，都無法消除殘差的非正態(tài)性質(zhì)。對比關(guān)于偏度和峰度的兩個單獨 的檢驗，除了使用“開盤價一收盤價”收益率的INTC數(shù)據(jù)略微不到5%顯著性水平 以外，個股和指數(shù)數(shù)據(jù)都顯示模型殘差有著強烈的厚尾性質(zhì)。相比而言，偏峰的性 質(zhì)在統(tǒng)計上就要弱很多，甚至在使用“收盤價一收盤價”收益率模型之下大量的不 顯著。數(shù)族為：這里我們使用兩個參數(shù)設(shè)定b=0和b=-2。前一種對應(yīng)MSE評價標準，后一種對應(yīng) QLIKE評價標準，這兩種標準都是評價中常用的標準。特別地，QLIKE標準對于波 動率低

17、估給予了附加的懲罰。Diebold和Mariano(1995)指出在零假設(shè)之下SN (0, 1)。因此5%顯著性水平 對應(yīng)的關(guān)鍵值為1.96。是長期方差，我們使用Newy-West方法進行估計，核函數(shù)選為Bartlett核，窗寬 采用Anderws (1991)提出的最優(yōu)窗寬。b=0和b=-2兩列給出了損失函數(shù)的值，“T/SKT vs.N”為T模型和SKT模型相比 于N模型預(yù)測損失函數(shù)差值的DM統(tǒng)計量，“SKT vs.T”為SKT模型和T模型性相 比預(yù)測損失函數(shù)差值的DM統(tǒng)計量。簡歷大全 /html/jianli/從結(jié)果上看，使用厚尾分布的Realized GARCH模型得到的一步預(yù)測在大部分

18、的情 況之下都比標準Realized GARCH模型的表現(xiàn)要好。特別地，使用標準t分布的 Realized GARCH模型在兩種評價標準之下都比標準Realized GARCH模型表現(xiàn)好。 并且從DM統(tǒng)計量上看，大部分情況下T模型對于N模型的改進在統(tǒng)計上是顯著的。 相應(yīng)地，SKT模型對于N模型的改進大部分情況下并不顯著，在某些情況之下甚至 比N模型的結(jié)果還要差，甚至是在統(tǒng)計上顯著地差。最后，SKT模型和T模型相比， 大部分情況下在統(tǒng)計上表現(xiàn)要差。這種現(xiàn)象和Want-anabe (2011)在VaR計算問 題上一邊倒的支持SKT模型的結(jié)果不同，這里的結(jié)果顯示，在預(yù)測問題上使用單純 的厚尾分布如標

19、準t分布較正態(tài)分布是有優(yōu)勢的，但是使用Skewed-t分布回事優(yōu) 勢喪失。這里有兩個可能的原因，一個是Wantanabe (2011)只討論了指數(shù)數(shù)據(jù)， 我們這里相應(yīng)地還討論了個股數(shù)據(jù)，兩者表現(xiàn)不一致是有可能的；另一個更本質(zhì)的 原因在于，SKT模型可能出現(xiàn)了過度擬合的狀況，導(dǎo)致雖然樣本內(nèi)擬合上面表現(xiàn)出 色，但是在樣本外預(yù)測上面表現(xiàn)欠佳。使用不同的收益率計算方式并不影響結(jié)果。 基于這個結(jié)論，我們建議在進行擬合時，使用SKT模型較好，但是在進行預(yù)測時， 采用T模型可能是一個更好的選擇。四、結(jié)論簡歷大全 /html/jianli/厚尾現(xiàn)象是金融事件序列的一個普遍特征，本文顯示，Hansen等（201

20、1）提出的 Realized GARCH模型并不能很好地描述收益率序列的厚尾現(xiàn)象。因此本文推廣基 于正態(tài)分布的模型到基于厚尾分布的情形。具體地，我們使用Skewed-t分布作為 殘差分布，并以此建立似然函數(shù)估計模型參數(shù)。結(jié)果證實了模型殘差確實不遵循正 態(tài)分布，并且這種非正態(tài)源于殘差的厚尾特征，其偏峰特征并不總是明顯的。這可 能是因為Realized GARCH本身的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的偏度已經(jīng)足夠，但是其產(chǎn)生的峰度不 足，仍需要使用厚尾分布來矯正。使用Skewed-t分布以后，殘差的實際分布和理 論分布已基本吻合。另外，為了更好地估計“信息沖擊曲線”，我們將杠桿函數(shù)的幕次系數(shù)放松為由數(shù) 據(jù)確定的待估參數(shù)。結(jié)果顯示對于“開盤價一收盤價”收益率而言，其“信息沖擊 曲線”的幕次系數(shù)相對穩(wěn)定，在1.5左右，并且顯著地異于基本模型中設(shè)定的2。 較小的幕次系數(shù)說明基本模型的設(shè)定把波動率對于收益率沖擊設(shè)定的太大了。本文同時對比了厚尾分布設(shè)定和正態(tài)分布設(shè)定之下的Realized GARCH模型進行實 現(xiàn)測度一步