孤立子方程與代數(shù)幾何解

1、 摘要本文主要介紹幾種著名的孤立子方程和代數(shù)幾何解，共分為三章：第一章中，簡(jiǎn)單介紹非線性，特別是孤立子。簡(jiǎn)述孤立子理論的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程并說(shuō)明本文的主要內(nèi)容。第二章中，詳細(xì)介紹五種著名的孤立子方程：KdV方程、Camassa-Holm方程、KP方程、sine-Gordon 方程、 Toda lattice 方程，以及它們的物理意義。第三章中，簡(jiǎn)介幾種經(jīng)典形式的孤立子方程的解，特別是代數(shù)幾何解。介紹代數(shù)幾何解的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，以及它的特點(diǎn)。關(guān)鍵詞： 非線性； 孤立子；KdV方程；Camassa-Holm方程；KP方程； sine-Gordon方程； Toda lattice 方程；代數(shù)幾何解Abs

2、tractIn this thesis, a few famous soliton equations and the algebro-geometric solutions are introduced. The outline of this thesis is as follows:In chapter 1, a simple introduction of nonlinearity and soliton are given. The origination and development of the soliton theory are also presented.In chap

3、ter 2 ， five kinds of famous soliton equation ： KdV equation 、 Camassa-Holm equation 、 KP equation 、 sine-Gordon equation 、 Toda lattice equation ， and their physical significance are introduced.In chapter 3, several typical forms of solutions for soliton equations, especially the algebro-geometric

4、solutions are recommended. The emergence and development of algebro-geometric solution, and its character istics are described in detail.Key Words: Nonlinearity; Soliton; KdV equation; Camassa - Holm equation; KP equation; sine - Gordon equation; Toda lattice equation;Algebro-Geometry solution隨著自然科學(xué)

5、和技術(shù)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)客觀世界的真實(shí)情況不能完全由線性模型反映出來(lái)，而非線性現(xiàn)象在客觀世界占據(jù)了統(tǒng)治地位。但是迄今為止，對(duì)非線性的概念、非線性的性質(zhì)，依然沒(méi)有清晰的、完整的認(rèn)識(shí)。非線性科學(xué)是在各門以非線性為特征的分支學(xué)科的基礎(chǔ)上逐步發(fā)展起來(lái)的綜合性學(xué)科，被譽(yù)為自然科學(xué)的“第三次革命”。 非線性科學(xué)幾乎涉及了自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域， 并正在改變?nèi)藗儗?duì)現(xiàn)實(shí)世界的傳統(tǒng)看法。因此人們投入了極大的熱情在非線性科學(xué)的發(fā)展上，使得非線性科學(xué)的研究范圍幾乎涉及了社會(huì)科學(xué)與自然科學(xué)的所有領(lǐng)域。在非線性科學(xué)中，研究主體形成了3個(gè)最基本得分支：混沌、分形、孤立子。 其中， 混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)

6、的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)?；煦绮⒉皇菬o(wú)序和紊亂，更像是沒(méi)有周期的秩序。在理想模型中，它可能包含著無(wú)窮的內(nèi)在層次，層次間存在著“自相似性”。分形是一種來(lái)自于思維上的理論存在，由某些不規(guī)整但卻具有某種無(wú)窮嵌套自相似性的幾何圖形抽象概括得出。其內(nèi)部存在著無(wú)窮層次，具有見微知著、由點(diǎn)及面的自相似結(jié)構(gòu)。而孤立子是非線性動(dòng)力系統(tǒng)中的非線性與色散兩種作用相互平衡的結(jié)果，代表著非線性科學(xué)中無(wú)法預(yù)料的有組織行為。雖然孤立子或孤立波一詞常在廣泛的范圍內(nèi)被引用，但無(wú)一般形式的定義，因?yàn)樗€在發(fā)展中，給它下個(gè)嚴(yán)格的定義比較困難，且為時(shí)尚早。與混沌、 分形一樣，孤立子從被發(fā)現(xiàn)到理論的形成、發(fā)展及應(yīng)用也是充滿了許多趣話甚至傳奇色彩，

7、而且似乎更為曲折更為坎坷，更能給我們以深思和啟示。孤立子理論的初期研究主要集中在數(shù)學(xué)問(wèn)題上，隨著研究的深入，科學(xué)家們開始不滿足從純數(shù)學(xué)的形式來(lái)研究孤立子，企圖在流體力學(xué)以外的領(lǐng)域?qū)ふ移渌愋偷墓铝⒆印?結(jié)果令人大為振奮，人們?cè)诓煌淖匀豢茖W(xué)領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了孤立子的存在。到目前為止，孤立子現(xiàn)在已經(jīng)廣泛的應(yīng)用到許多領(lǐng)域中，例如流體力學(xué)、非線性光學(xué)、等離子體、電磁學(xué)、生命科學(xué)、通訊等等。1.1 孤立子與孤立子理論的發(fā)展1834 年，英國(guó)科學(xué)家、造船工程師J. S. Russell （約翰羅素）騎馬在愛(ài)丁堡附近的一條運(yùn)河河道中，偶然觀察到了一種奇妙的水波。這種水波在行進(jìn)過(guò)程中速度與形狀在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)沒(méi)有明顯

8、變化，他把這種水波稱為孤立波。之后Russell 為了更加仔細(xì)的研究這種現(xiàn)象，進(jìn)行了許多實(shí)驗(yàn)并且觀察到了這樣的孤立波。 但是由于Russell 一直都不能建立合理描述孤立波的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)時(shí)科學(xué)界的權(quán)威們對(duì)這個(gè)結(jié)果一開始就表示了懷疑和反對(duì)。甚至連當(dāng)時(shí)對(duì)波動(dòng)研究頗有造詣的英國(guó)天文學(xué)家George Biddell Airy 與英國(guó)流體力學(xué)家George GabrielStokes 也對(duì)此提出質(zhì)疑，懷疑在靜止水面上能存在不變形的行波。他們的懷疑的問(wèn)題主要有：一個(gè)完整的波動(dòng)為什么會(huì)全部在水面上，而不是一部分在水面上，一部分在水面下；波在傳播的過(guò)程中，為什么波幅不會(huì)衰減；波的運(yùn)動(dòng)速度也與他們的研究結(jié)果不符

9、。此后許多人都對(duì)這種波進(jìn)行了進(jìn)一步研究，但是均未能成功的給出令人信服的數(shù)學(xué)證明，爭(zhēng)論一直持續(xù)了幾十年。直到1895年，荷蘭著名數(shù)學(xué)家 D. J. Korteweg 和他的學(xué)生G. de Vries 在研究小振幅長(zhǎng)波在淺水中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，建立了著名的Korteweg-de Vries （ KdV）方程，并且求出了與羅素描述一致的孤波解。至此，孤波的存在才得到了公認(rèn)。但是，孤立波是否穩(wěn)定？?jī)蓚€(gè)孤立波碰撞后是否變形？這些問(wèn)題仍沒(méi)有解決，不少科學(xué)家對(duì)此持否定態(tài)度，認(rèn)為孤立波 “不穩(wěn)定”， 放棄了進(jìn)一步的研究。孤立波又一次失去了人們的關(guān)注，處于長(zhǎng)期的埋沒(méi)之中，在寂寞中繼續(xù)度過(guò)了前半個(gè)20世紀(jì)。孤立波的長(zhǎng)期埋

10、沒(méi)、沉寂，并不意味著它已折戟沉沙。1965年，美國(guó)科學(xué)家N. Zabusky 和 M. D. Kruskal 利用先進(jìn)的計(jì)算機(jī)技術(shù)通過(guò)數(shù)值計(jì)算詳細(xì)研究了KdV方程兩波相互作用的全過(guò)程，通過(guò)實(shí)驗(yàn)前后的數(shù)值結(jié)果分析后，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)孤立波相撞之后，各自的大小形狀和運(yùn)動(dòng)方向均保持不變，而且還具有彈性散射的性質(zhì)。 從而揭示了孤立波的本質(zhì)，他們把這類特殊的波稱為孤立子。這項(xiàng)研究工作是孤立子理論發(fā)展史上的一個(gè)重要的里程碑，自此以后相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)，非線性方程與孤立子的研究在學(xué)術(shù)界蓬勃發(fā)展，蔚為大觀。隨著孤立子理論的深入研究，人們發(fā)現(xiàn)不僅在水波中，在光學(xué)、固體物理、等離子物理中也出現(xiàn)了孤波，并且大批具有孤子解的非線

11、性方程也不斷被揭示出來(lái)，例如非線性Schr?dinger 方程、 sine-Gordon 方程等。研究結(jié)果表明；這些孤立子方程可能產(chǎn)生的背景不同，當(dāng)時(shí)它們都是Liouville 可積的， 且具有無(wú)窮守恒律。 孤立子方程可以表示成兩個(gè)線性譜問(wèn)題的相容條件，即可以由Lax對(duì)的相容性得出，這也是孤立子方程最重要的性質(zhì)之一。在孤立子理論中，求解孤立子方程的精確解并研究解的性質(zhì)一直是古老而在理論和實(shí)際上又很重要的課題。1967年由 C. S. Gardner、 J. M. Greene、 M. D.Kruskal 和 R. M. Miura (GGKM) 提出的反散射方法是最早用來(lái)求解孤立子方程精確解的

12、方法，求解了KdV方程的初值問(wèn)題。在孤立子方程求解方法的發(fā)展中起到了奠基作用，并且一直備受數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家的廣泛重視，取得了豐碩餓的成果。隨著人們對(duì)孤立子的深入研究，求解孤立子方程的方法也豐富起來(lái)，例如B?cklund 變換法、 Darboux變換法、Hirota 雙線性導(dǎo)數(shù)法、Lie 群分析法、非線性化法、 Lax 矩陣的有限階展開法、穿衣法、Painleve 分析法、對(duì)稱約束法、分離變量法、其次平衡法等等。本文主要介紹代數(shù)幾何法。目前較為完整的數(shù)學(xué)和物理孤立子理論正在逐漸形成，國(guó)內(nèi)外的研究者們也在這方面出版許多專著。1.2 本文的主要研究?jī)?nèi)容在上一節(jié)中我們對(duì)孤立子方程進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹。在第

13、二部分中將詳細(xì)的介紹幾種著名的孤立子方程：KdV方程、KP方程、Camassa-Holm方程、Sine-Gordon方程、 Toda lattice 方程，以及它們的物理意義。在第三部分，簡(jiǎn)單介紹幾種求解孤立子方程精確解的方法，重點(diǎn)說(shuō)明代數(shù)幾何解，它的特點(diǎn)、產(chǎn)生以及發(fā)展過(guò)程。第 二 章 孤立子方程孤立子方程是用來(lái)描述孤立子現(xiàn)象的非線性微分方程，這一章我們將詳細(xì)介紹幾種著名的孤立子方程。KdV方程KdV方程是孤立子方程領(lǐng)域最著名的方程之一。該方程是由荷蘭著名數(shù)學(xué)家D. J. Korteweg 和他的學(xué)生G. de Vries 于 1895年在研究淺水中的小振幅長(zhǎng)波運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)中所得到的。關(guān)于KdV

14、方程的歷史背景最早可以追溯到1834年 JohnScott Russell 的實(shí)驗(yàn)，1870 年左右，Lord Rayleigh 與 Joseph Boussinesq 對(duì)該方程進(jìn)行了理論方面的研究。事實(shí)上，KdV方程最早出現(xiàn)在Boussinesq 的一篇著作之中。具體而言，KdV方程是一個(gè)非線性色散的偏微分方程，還是一個(gè)完全的可積系統(tǒng)，它有無(wú)窮多的守恒率，其表達(dá)式為ut uxxx 6uux 0 .其中， u 是關(guān)于空間變量x 與時(shí)間變量t 的函數(shù) u x,t 。等價(jià)地，KdV方程也可以改寫為如下Lax 方程的形式：tL L, A LA AL.其中， L 為 Sturm-Liouville 算

15、子，23L x u, A 4 x 3 u x xu .KdV方程的出現(xiàn)使得孤波的存在得到了公認(rèn)，但是直到1965 年 N. Zabusky和 M. D. Kruskal 找到了該方程數(shù)值形式的孤子解，并且發(fā)現(xiàn)KdV方程是 FPV系統(tǒng)的連續(xù)極限這一性質(zhì)之后，KdV方程才引起了數(shù)學(xué)與物理學(xué)界的廣泛關(guān)注。Camassa-Holm方程KdV方程作為水中重力波得一個(gè)簡(jiǎn)單模型，雖然其適用范圍較廣，但是它卻無(wú)法模擬類似于stokes 極大波這樣的基本物理現(xiàn)象。正是由于弱非線性色散方程 （如KdV方程）在模擬自然界中有悖于規(guī)則性現(xiàn)象的失敗，才促使人們找到其它模型來(lái)描述非線性色散波。1967 年 J. M. G

16、reene 與 Naghdi 導(dǎo)出了一系列的水波方程來(lái)模擬薄區(qū)域中的流體，例如，沿海地區(qū)的內(nèi)波等。Green-Naghdi 方程具有Hamiltonian 結(jié)構(gòu)，并且Camassa與 Holm在 1993年通過(guò)使用漸近展開的方法得到了其在一維空間中的近似哈密爾頓函數(shù)，該函數(shù)通過(guò)反散射方法可知是可積的。Camassa與 Holm得到的強(qiáng)非線性色散方程：21xx 4 uuxxx 0.1321ut 4 uxxt 2 u x 8 u被稱為Camassa-Holm方程（CH方程）。事實(shí)上，Camassa-Holm方程最早是由B.Fuchssteiner 于 1981 年通過(guò)遞歸算子的方法得到的，但是他當(dāng)

17、時(shí)只是指出該方程是哈密爾頓可積的，既沒(méi)有給出任何物理解釋，也沒(méi)有給出保譜算子。該方程直到Camassa與 Holm的重新發(fā)現(xiàn)才又引起了人們的關(guān)注。KP方程KP 方 程 是 由 前 蘇 聯(lián) 物 理 學(xué) 家 Boris B. Kadomtsev 與 Vladimir I. Petviashvili 與 1970年發(fā)現(xiàn)的，它是KdV方程由一維空間x向二維空間(x, y)的自然推廣，其具體的表達(dá)式為2ut uuxuxxx x uyy 0.在物理學(xué)中，KP 方程被用來(lái)模擬具有弱非線性恢復(fù)力和頻率色散的波長(zhǎng)。當(dāng)表面張力小于重力時(shí)，取方程中的1; 當(dāng)表面張力小于重力時(shí)，取 1 。 另外，KP方程還可以用來(lái)模

18、擬波在磁鐵介質(zhì)中的傳播。sine-Gordon 方程sine-Gordon 方程是包含dAlembert 算子、正弦函數(shù)在內(nèi)的(1+1)一維空它最早起源于十九世紀(jì)人們對(duì)Gauss曲率 k 1 的偽球- 時(shí)間坐標(biāo)系x,t 內(nèi)， sine-Gordon 方程可以表示為tt xx sin 0.若引入光錐坐標(biāo)xt xtu ,v .22則 sine-Gordon 方程可以轉(zhuǎn)化為uv sin .事實(shí)上，sine-Gordon 方程是基于物理學(xué)中著名的Klein-Gordon 方程tt xx0.命名的。由于被證明具有孤立子解，sine-Gordon 方程在二十世紀(jì)七八十年代受到了廣泛的關(guān)注。Toda lat

19、tice 方程作為離散系統(tǒng)中最著名的孤立子方程之一，Toda lattice 方程是根據(jù)它的發(fā)現(xiàn)者 Morikazu Toda命名的。早在二十世紀(jì)五十年代，著名的物理學(xué)家Fermi、Pasta 和 Ulam做了一個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn)，他們將 64個(gè)完全相同的質(zhì)點(diǎn)用彈細(xì)線等距地連接成一條非線性振動(dòng)的弦。初始時(shí)使這些振子的所有能量都集中在一個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，而其余質(zhì)點(diǎn)的能量為0. 此后在非線性彈性力的作用下，這組質(zhì)點(diǎn)逐漸在自己的平衡位置附近振動(dòng)。按照經(jīng)典的理論，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間之后，能量應(yīng)該均分至每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。但是實(shí)際觀察的結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)，能量并未均分而是恢復(fù)到原始分布的狀態(tài)， 這就是著名的FPU問(wèn)題。直到 1967 年，

20、 物理學(xué)家Toda在研究晶格點(diǎn)陣的原子位錯(cuò)運(yùn)動(dòng)時(shí)求得位移的多股子解才使FPU問(wèn)題獲得圓滿的解決。若設(shè) q n,t表示第 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于其平衡位置的位移，p n,t 表示第 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量，則Toda lattice 方程可以表示為ddtpn,t eqn,t qn 1,t e qn 1,t qn,t ,ddtqn,t pn,t.第 三 章 代數(shù)幾何解求解非線性偏微分方程一直是非線性科學(xué)的重要內(nèi)容之一，在自然科學(xué)、物理學(xué)、 工程應(yīng)用中都具有重要的意義。但是由于非線性方程的復(fù)雜性導(dǎo)致總是找不到有效地求解方法。孤立子的興起，給求解非線性偏微分方程帶來(lái)了新的活力。在孤立子理論中，蘊(yùn)含了一系列行之有效

21、的構(gòu)造孤立子方程顯示解的方法。B?cklund 與 Darboux變換法形成于十九世紀(jì)的B?cklund 變換法最早是被用來(lái)構(gòu)造與研究偽球面的。1883 年瑞典幾何學(xué)家B?cklund 在研究 Gauss曲率為負(fù)常值的曲線時(shí)，發(fā)現(xiàn)了sine-Gordon 方程一個(gè)很有趣的性質(zhì)：若u 是 sine-Gordon 方程 uxt sinu的解，則通過(guò)如下變換：uuuusin , 22 xuuuusin2x2x可以得到sine-Gordon 方程的另一個(gè)新解u ，我們稱該變換為B?cklund 變換。一般來(lái)說(shuō)，若一個(gè)變換可以將偏微分方程F(u,ux,ut,uxx, ) 0的解 u 變換為另一個(gè)偏微分方

22、程G(v,vx,vt,vxx, ) 0的解v， 則稱該變換為B?cklund 變換。 特別地，當(dāng) F G 時(shí)， 稱該變換為它B?cklund 變換； 當(dāng) F G 時(shí)， 稱該變換為自B?cklund變換，又稱為Darboux變換，或B?cklund 變換的 Darboux方法。Darboux變換是構(gòu)造非線性方程顯示解的十分有效的方法之一。1882年， G.Darboux 在研究一維Schr?dinger 方程的特征值問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)并提出了最原始的Darboux變換。 Darboux變換法只需做一次完全可積的線性方程組的求解，然后就可以只用代數(shù)運(yùn)算得到非線性方程的新解。尋找一種規(guī)范變換使得相應(yīng)的Lax

23、對(duì)保持不變是構(gòu)造Darboux 變換的關(guān)鍵，在這方面已經(jīng)發(fā)展出了很多技巧并且在各種類型的方程求解中都得到了廣泛應(yīng)用。伴隨著孤立子理論的發(fā)展，Darboux變換也越來(lái)越受到人們的重視。反散射法1967 年， C. S. Gardner、 J. M. Greene、 M. D. Kruskal 和 R. M. Miura(GGKM) 在研究KdV方程時(shí)，利用 Schr?dinger 方程的反散射論證將KdV方程的初值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三個(gè)求解線性方程的問(wèn)題，得到了N 孤子解，這種方法被稱為反散射法。1968年， Lax整理提出了反散射方法的一般框架，并指出用反散射方法的前提是找到方程的Lax 表示( La

24、x 對(duì)) 。 1972 年， Zakharov 和 Shabat 運(yùn)用 Lax的思想，用反散射法求解了非線性Schr?dinger 方程，首次證明了反散射法的一般性。雙線性法1971 年， Hirota 引進(jìn)了一種直接的代數(shù)方法來(lái)構(gòu)造微分方程的多孤子解和B?cklund 變換，稱為雙線性法。求解過(guò)程為：引入因變量的變換，將原方程改為雙線性形式，采用級(jí)數(shù)擾動(dòng)展開法，求出方程的單孤子解、雙孤子解和三孤子解， 最后猜測(cè)N孤子解的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明。雙線性法以雙線性微分算子為工具，不涉及到方程的線性問(wèn)題，僅與求解方程有關(guān)，簡(jiǎn)單直接。穿衣方法1974 年， Zakharov 和 Shabat 提

25、出了穿衣方法。這種方法構(gòu)造了可積非線性演化方程還求出了相對(duì)應(yīng)的Lax 對(duì)， 并且進(jìn)一步給出求解公式。它從一個(gè)積分算子 F 和兩個(gè) Volterra 算子 K 出發(fā)，由算子三角因式分解關(guān)系式得到GLM方程，再由穿衣關(guān)系將已知可交換的常系數(shù)微分算子（ M1 ， M2） 轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪徊煌目山粨Q穿衣算子（M 1 ， M 2 ） ，由穿衣算子的形容性得到可積非線性演化方程。再利用初始算子（M1， M 2） 與算子 F的交換性 Mk， F=0（ k=1,2） ，球的分核F，最后利用GLM方程求得微分算子K +的核，即求出所得的方程的解。這種方法已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于研究物理上有意義的一些重要方程，例如：KdV、

26、 KP、 Sine-Gordon等方程。齊次平衡法齊次平衡法本質(zhì)上是求解非線性偏微分法成精確解的一種指導(dǎo)原則，可以提前判定非線性偏微分方程是否存在一定形式的精確解，它可以看成Cole-Hopf變換的一般化和擴(kuò)展。求解過(guò)程為：分析非線性數(shù)學(xué)物理方程的非線性特點(diǎn)、色散和耗散因素的階數(shù)，按最高階數(shù)可平衡確定非線性方程解（含待定函數(shù)）具有的一般形式或非線性變換的一般形式，然后帶回原方程，合并待定函數(shù)激起偏導(dǎo)數(shù)的其次部分，使其平衡，從而得到易于求解的待定函數(shù)的齊次偏微分方程組。代數(shù)幾何解KdV 方程的有限帶勢(shì)解在上世紀(jì)70 年代中期開始引起人們的研究興趣，這種解也別被為代數(shù)幾何解。代數(shù)幾何解可以被當(dāng)做是

27、經(jīng)典孤立子解或者有理數(shù)解的自然推廣，也可以被用來(lái)近似更加一般的解，所以代數(shù)幾何解的研究引起了人們的極大的興趣。代數(shù)幾何知識(shí)的一個(gè)基本應(yīng)用就是用于求解可積的非線性發(fā)展方程。關(guān)于孤立子方程代數(shù)幾何解的研究，最早是在1974 年至1975年，起源于孤立子方程具有周期初值的Cauchy問(wèn)題的求解。具有周期勢(shì)函數(shù)u（x） 的 Schr?dinger 算子是由一系列區(qū)間E2k 1 ,E2K 2， k=0,1 ， , 構(gòu)成，具有區(qū)域狀的譜分布。若k 是有限數(shù)，那對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)就是有限帶勢(shì)函數(shù)。Marchenko 、 Novikov 以及 Lax 等人從有限帶勢(shì)函數(shù)的角度出發(fā)，對(duì)KdV方程做了研究，他們發(fā)現(xiàn)所有

28、的有限帶勢(shì)函數(shù)u(x) 都是某個(gè)高次穩(wěn)態(tài)KdV方程的解。 Dubrovin 、 Matveev和 Its 等人對(duì)有限帶勢(shì)函數(shù)的求解問(wèn)題化為了某個(gè)二層緊致Riemann面 上的 Jacobi 反演問(wèn)題，并對(duì)這個(gè)Jacobi 問(wèn)題進(jìn)行了精確求解，從而得到了u(x) 的用 Riemann-theta 函數(shù)表示的精確表達(dá)式d2u(x)=2 d ln (Vx+D)=c,dx2(p)=k Zgexp 1 +,pCg .若取D=D(0)+Wt， 則 u(x,t) 就是KdV方程的解。這樣的解被稱為KdV方程的代數(shù)幾何解。由 Dubrovin 、 Its 、 Matveev和 Lax等人所開創(chuàng)的求解孤立子方程

29、的代數(shù)幾何法很快就被應(yīng)用于sine-Gordon 方程、NLS方程、Kaup-Boussinesq 方程等孤立子方程的求解。但是這類解依賴于緊致Riemann面 這個(gè)參數(shù)，這使得人們很難對(duì)代數(shù)幾何解的特性進(jìn)行進(jìn)一步研究，同時(shí)也限制了代數(shù)幾何解在實(shí)際中的應(yīng)用。 Bobenko 等通過(guò)數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)代數(shù)幾何解進(jìn)行了研究。Gesztesy 和Ratnaseelan 等提出了一種通過(guò)代數(shù)的途徑構(gòu)造代數(shù)幾何解的方法。1988年，曹策問(wèn)教授最先提出了Lax對(duì)的非線性化方法。接著周汝光教授、喬志軍教授、耿獻(xiàn)國(guó)教授等進(jìn)一步加強(qiáng)了這種方法，提出了通過(guò)Lax對(duì)非線性化或者分離變量法來(lái)構(gòu)造孤立子方程代數(shù)幾何解的方

30、法。該求解方法的一般過(guò)程為： 通過(guò) Lax 對(duì)的非線性化或者分離變量的方法把孤立子方程族分解為相容的常微分方程或相容的常微分方程和離散流的演化。通過(guò)特征函數(shù)所滿足Lax 方程的解矩陣， 合適的引入橢圓變量，由此給出孤立子方程與相容的常微分方程之間的直接的關(guān)系。應(yīng)用代數(shù)曲線和Riemann面的理論，給出構(gòu)造Abel-Jacobi 坐標(biāo)和拉直各種流(連續(xù)流和離散流)的方法。最后利用Riemann-Jacobi 反演的方法生成由 theta 函數(shù)給出的顯示解。這種方法借助黎曼曲面知識(shí)，討論了孤立子方程的相容分解和在黎曼曲面上的線性約化(拉直) 問(wèn)題， 揭示了無(wú)窮維線性動(dòng)力系統(tǒng)在黎曼曲面上的潛在線性行

31、為。該方法可以使大量的新的有限維可積系統(tǒng)可以從已知的1+1 維孤子族中獲得并繼承孤立子方程本身的性質(zhì)，還可以用于求解1+1 維孤立子方程，借助空間和時(shí)間變量分離，將1+1 維孤立子方程的解(周期解、 擬周期解等)化為兩個(gè)相容的有限可積方程的解，因此這種方法也被稱為非線性偏微分方程的變量分離，這種方法也被推廣到線性系統(tǒng)。之后給出來(lái)各種類似的拓展，例如：約束高階對(duì)稱，約束流方法，高階特征值問(wèn)題的非線性化等。Lax 矩陣的有限階展開法是構(gòu)造過(guò)離子方程擬周期解的另一強(qiáng)有力工具。該方法先由已知的(連續(xù)或者離散)譜問(wèn)題和及其輔譜問(wèn)題出發(fā)，利用Lenard 算子對(duì)構(gòu)造遞推序列，進(jìn)而構(gòu)造出形影的向量場(chǎng)(流)和

32、非線性演化方程族。對(duì)于連續(xù)的情況， 特征值問(wèn)題非線性化可以得到有限維可積系統(tǒng)；對(duì)于離散的情況，則得到有限維可積系統(tǒng)和一個(gè)科技的辛映射。(可積性指2N 維 Hamilton 系統(tǒng)下的Liouville 可積，即要找到N 個(gè)兩兩對(duì)合的獨(dú)立的守恒積分)。引入橢圓坐標(biāo)和擬 Abel-Jacobi 坐標(biāo)， 借助母函數(shù)流的方法證明了可積性。然后引入黎曼面上的Abel-Jacobi 坐標(biāo)，直化離散流和連續(xù)流，最后再借助黎曼定理和Abel-Jacobi反演法， 得到孤立子方程在原始坐標(biāo)下的代數(shù)幾何解。值得一提的是在利用代數(shù)幾何法求解某些孤立子方程的解時(shí)，其 Abel-Jacobi 坐標(biāo)相應(yīng)的時(shí)間t m流下的拉

33、直必須在一定的限制條件下才能完成，這導(dǎo)致我們不能構(gòu)造出方程的所有解，但是那些不能用theta 函數(shù)形式表示的方程的解到底是不是代數(shù)幾何解還有待定論。下面我們以Dirac 方程為例，以解釋其具體的求解程序。考慮 Dirac 譜問(wèn)題x=U為了導(dǎo)出Dirac 方程族，引入Lenard 遞推序列Sj j 0TKSj 1JSj , Sj（|q,r）=（0 ， 0）0,S00,0,1,其中 SjSj1 ,Sj2 ,Sj3 T ,0K02 q ir 2 q irq irq ir , J2i02 q ir002i 02 q irSj 可以由遞推關(guān)系式唯一確定。通過(guò)計(jì)算可以得到2q irS1i2 q ir,S2

34、1 qxirx41 qxirx41221 q2 r22, S3ii22qxx irxx q ir q r84ii22qxx irxx q ir q r841 qrxqxr2構(gòu)造譜問(wèn)題的輔助譜問(wèn)題Vn V11nV12ntnV y V21nV22n其中nV11nSj1Sj2 n j ,j0nV12ni Sj1Sj 2Sj3n j ,j0nV21ni Sj1Sj2S3jn j ,j0我們可以得到如下Dirac 方程族 TOC o 1-5 h z 2i Sn1 1Sn21tn.n 0,1,2,r tn 2 Sn11 Sn21該方程首個(gè)非線性Dirac 方程i22qt2rxxir q r ,i22rt2

35、 qxx iq q r .利用分離變量，將非線性Dirac 方程分解為兩組相容的常微分方程組2i R kik k ii1kij11 N122.i12 R kk2N i 1 ki jik k ii1ij其中2N 22detW f 2 4ghj R .j1引入超橢圓Riemann面：2=R , R 2N 2 jj1它有 N 個(gè)虧格。每個(gè)對(duì)應(yīng) 上不同層面的兩個(gè)點(diǎn),R 和 , R任選一個(gè)固定點(diǎn)p0 ，引入Abel-Jacobi 坐標(biāo)如下mm1 , ，mN T ,m 1,2,其中1j x,t N kx,t j N N kCjl l1d k 1 p0k 1 l 1 p0R則我們可以得到2jx,tkk 1p

36、0NNk1l1vkp0 Cjll1dRNNx 1 jCjlk1l1l 1 kx N N 2ikl 1CjlR k k 1 l 1jN1,j k k j上的一個(gè)Abel 映射定義為pTA p ,1， ， N ,p0AnkpknkA pk .上的 Riemann-theta 函數(shù)定義如下：Nexp i z,z 2 i ,z , C ,zZN1， ， N T , zNj 1 j zj . 根據(jù)Riemann定理，一定存在兩個(gè)常M1,M2 CN 使得F1A p 1 M1 在1， ， N 處有 N 個(gè)零點(diǎn)，而F2A p 2 M 2 在1， ， N 處有 N 個(gè)零點(diǎn)。為了使函數(shù)取單值，積分1kkdlnFm

37、Ik2i 無(wú)關(guān)的常數(shù)，其中NIkj1aj kj.N2I klkRes kd ln F1 TOC o 1-5 h z l1s1N2IklkRes s kd ln F2.l1s1k=1 時(shí)我們有Nj j11ix1 2x21ln 11 ,j1vjI 1ix lnj12xk=2 時(shí)Ni2I2 N Cj,N 1Dj ln 111i 1 xln 1111 2xln 11 211 xln 11 21 xln 21 2,i1j12224442iviN i1D1N, jCN j1ii12xln 1221 2xln 12 221 xln 12 21 xln 22 2.2444我們就可以得到非線性Dirac 方程的

38、代數(shù)幾何解如下：1dx2dtc2 exp0 x,0,t1dx 2dtq12 c1 exp0 x,0,tr1dx2dtc2 expx,t0,01dx 2dt其中c1, c2是兩個(gè)常數(shù)。隨著代數(shù)幾何法在求解孤立子方程精確解方面的廣泛應(yīng)用，其取得的成就是有目共睹的。但是隨著大量成功構(gòu)造孤立子方程的代數(shù)幾何解，代數(shù)幾何法的弊端也慢慢顯露出來(lái)，這種方法過(guò)于依賴?yán)杪ɡ?。受到黎曼定理的限制，代?shù)幾何法只能構(gòu)造出嚴(yán)格符合黎曼定理?xiàng)l件的孤立子方程的代數(shù)幾何解，例如： 橢圓坐標(biāo)的個(gè)數(shù)與代數(shù)曲線的虧格必須完全一致；并且該方法也只能用于構(gòu)造出與2 2 矩陣譜問(wèn)題相關(guān)聯(lián)的非線性演化方程族的解，而對(duì)于3 3 或者更高階

39、的矩陣譜問(wèn)題卻只能束手無(wú)策。這對(duì)于高階矩陣譜問(wèn)題這一廣闊的領(lǐng)域而言是一個(gè)莫大的遺憾。但是隨著對(duì)代數(shù)幾何解的跟深入的研究，一種新的基于現(xiàn)有的代數(shù)幾何法的方法應(yīng)運(yùn)而生。該方法對(duì)于孤立子方程相應(yīng)的譜問(wèn)題與輔譜問(wèn)題的處理以及橢圓坐標(biāo)和Abel-Jacobi 坐標(biāo)的引入與代數(shù)幾何法基本一致，但卻通過(guò)在超橢圓曲線上引入的亞純函數(shù) 和 Baker-Akhiezer 向量 的代數(shù)幾何特征與它們?cè)跓o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的漸近性質(zhì)，突破黎曼定理的限制，構(gòu)造出了孤立子方程黎曼theta函數(shù)形式的代數(shù)幾何解，用于構(gòu)造3 3 或者更高階矩陣譜問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的孤立子方程族的代數(shù)幾何解的準(zhǔn)備工作。致謝此篇論文得以順利完成，我要特別感謝我的

40、指導(dǎo)老師薛老師的熱情關(guān)懷和悉心指導(dǎo). 在我撰寫論文的過(guò)程中，薛老師傾注了大量的心血和汗水，無(wú)論是在論文的選題、構(gòu)思和資料的收集方面，還是在論文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了薛老師悉心細(xì)致的教誨和無(wú)私的幫助，特別是他廣博的學(xué)識(shí)、深厚的學(xué)術(shù)素養(yǎng)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和一絲不茍的工作作風(fēng)使我終生受益，他循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無(wú)盡的啟迪. 在此我向他表示我誠(chéng)摯的謝意。還要感謝大學(xué)四年來(lái)給我極大關(guān)心和支持的各位老師，他們不僅教給了我許多專業(yè)知識(shí)，更重要的是教給了我分析、解決問(wèn)題的方法。同時(shí)， 也要感謝關(guān)心和幫助過(guò)我的室友和同學(xué)們，在寫論文時(shí)，他們給了我很多幫助?？傊?， 此次論文的寫作過(guò)程

41、，我收獲了很多，既為大學(xué)四年劃上了一個(gè)完美的句號(hào)，也為將來(lái)的人生之路做好了一個(gè)很好的鋪墊。最后，向評(píng)審論文的各位老師致以深深的敬意和衷心的感謝。參考文獻(xiàn)J. S. Russell, Report of the committee on waves, Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, Liverpool (1838) 417.D. J. Korteweg and G. de Vries, On the change of form of long waves advan

42、cing in a rectangular canal, an on a new type of long stationary wave, Philos. Mag. Ser. 39 (1895) 422.N. J. Zabusky and M. D. Kruskal. Interactionof solitonsin acollisionless plasma and the recurrence of initialstatus, Phys. Rev.Lett. 15 (1965) 240.C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal and R.

43、M. Miura; Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1095.M. J. Ablowitz and H. Segur, Solitons and the inverse scattering transform (PA:SIAM, Philadelphia, 1981).R. Beals and R. R. Coifman, Inverse scattering and evolution equations, Commun.Pure Appl. Math. 38 (1985) 29.H. Flaschka, On the Toda lattice II. Inverse scattering solutions, Progr. Theo. Phys.51 (1974) 703.B. B. Kadomtsev and V. 1. Petviashvili, On the stability of solitary waves in weakly dispersive media, Sov. Phys.Dokl. 15 (1970)