投影在外心的外接球-斗笠模型

1、外接球?qū)ｎ}斗笠模型特征：圓錐、頂點(diǎn)在底面的射影是底面外心的棱錐.9 I 9秒殺公式：/?=”/（其中/2為幾何體的高，廠為幾何體的底面半徑或底面外接圓的圓心）題設(shè)：/的投影落在A48C的外心上第一步、確定球心。的位置，取AJ8C的外心，那么P,（）,H三 點(diǎn)共線;第二步、第二步、算出小圓面半徑力，=r ,算出棱錐的高P = /7 ：第三步、勾股定理：OH/IHJoT二（八一村+戶=R2二（八一村+戶=R2,解出JZ三必I而直出弱/且。，分三二二I 口R2h2 +r22h/.ZASC = 120,延長SM使=那么。為外接球球心，半徑為4,.外表積為64萬.7.圓臺(tái)QQ上底面圓。的半徑為2,下底面

2、圓。2的半徑為2后，圓臺(tái)的外接球的球心為O,且球心 在圓臺(tái)的軸QQ上，滿足|O|=3|OO21，那么圓臺(tái)002的外接球的外表積為.7.答案 347 解析 設(shè)外接球的半徑為R, |O0|=JF萬，|00|=卜_(2血)2 ,且|QO|=3|OO2l17,得Rj = 9R272,解得4=U,球。的外表積為4R2=34).28.在六棱錐P-ABCDEF中，底面是邊長為0的正六邊形，44 = 2且與底面垂直，那么該六棱錐外接球的 體積等于.8.答案 46不 解析 六棱錐P-ABCDE廠中，底面是邊長為友的正六邊形，B4 = 2且與底面垂直， 可得PD是該六棱錐外接球的直徑，底面是邊長為虛的正六邊形的對

3、角線差為：2后，可得 PD = 722 + (272)2 =712 = 273 ,外接球的半徑為百，外接球的體積為-r3=-xx(a/3)3 = 4信.9.在三棱錐PABC 中，PA = PB = PC = 2, AB = C , BC = M , ZAPC =-,那么三棱錐 PABC 的 2外接球的外表積為.9 .答案 當(dāng) 解析/PA = PC = 2, ZAPC = - , AC 7 PAi + PC? = 2 垃,又 AB = 0 , BC = M , 32AC = 2五,那么NB4C = 90。，AA3C為直角三角形，.RtAAC外接圓的圓心在3C邊的中點(diǎn)上，設(shè) RtAABC外接圓的圓

4、心為。1 ,所以三棱錐P-ABC的外接球的球心。在過且與平面ABC垂直的直線 上，設(shè)外接球半徑為尺，連接。4, OC ,那么。4 = OC = A,所以要使。4 = OC = OB = OP = R,點(diǎn)。在 AP8C的外接圓圓心的位置即可，叉；PB = PC = 2, BC = M，二cos /BPC =9 +“一眈 二,2PB.PC 4那么 sin/BPC = J1-cos? /BPC =叵,由正弦定理可得：2R = = 31,解得，/?二紀(jì)1, .三4sin ZBPC 33棱錐P ABC的外接球的外表積為4萬R2 = 4.()2 =%工.3310.在三棱錐PABC中，PA = PB = P

5、C = 9AB = 8 , AC = 6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為H , 假設(shè)麗= AAB + ijAC且 + 24 = 1 ,那么三棱錐P-ABC的外接球的體積為.10.答案 冗 解析 由于三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)”，。為球心，2 *2, I .*2OA = OB = OC = OP = R, v =+, /. AH .AB = AAB 4- /liACAB , -| AB|2=2AB/. -juAC.AB ,即32 = 642 + 衣，同理對兩邊取點(diǎn)乘北，可得，18 = 36 + %女9, TOC o 1-5 h z Q 11 o，又+ 24 = 1 ，由解得，

6、九=一（舍去），4 = 一，AC.AB = 32 , /. AH2 = x32 20 21020+-Lx18 = , ; PA = PB = PC = 9母，產(chǎn)=81x2以=辿0,又在直角三角形AO”中， 10555【例題選講】.三棱錐.在三棱錐P-ABC中，pa = PB = PC = 6 側(cè)棱Q4與底面A3c所成的角為60。，那么該三棱錐外接球 的體積為（）A.nB. 5C. 47rD.,.在三棱錐PABC中，PA = PB = PC =屈,AC = AB = 2,且AC_LAB,那么該三棱錐外接球的外表積為（）A. 47rB. 8C. 16D. 9兀（斜邊上）（3）在三棱錐PABC中，P

7、A = PB =PC = 2瓜 AC = AB = 4,且AC_LAB,那么該三棱錐外接球的表 面積為.9.在三棱錐 PABC 中，PA = PB = PC = 2, AB = 6 , BC = M , ZAPC =-,那么三棱錐 PABC 的 2外接球的外表積為.(4)在三棱錐月一 ABC中，PA = PB=PC = e , AB = AC = , BC = 6 那么該三棱錐外接球的體積為()a 4萬X亞八an 32A .B -7iC. 4、/3ttD. 7i333（一般情形）4.體積為G的正三棱錐P-ABC的外接球的球心為O,假設(shè)滿足QZ + OA + oG = 0,那么此三棱錐外接 TO

8、C o 1-5 h z 球的半徑是（）A. 2B. V2C. 2D.次（兜兜繞繞）（2）（2020全國I汜知A, C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，。0為A3C的外接圓.假設(shè)。01的面積為4兀,AB=BC=AC=OOi，那么球。的外表積為（）A. 64兀B. 48兀C. 36兀D. 32兀（回歸定義，草圖）2.圓錐曲線1.圓錐的頂點(diǎn)為P,母線Q4與底面所成的角為30。，底面圓心。到出的距離為1,那么該圓錐外接 球的外表積為.例（1）一個(gè)圓錐恰有三條母線兩兩夾角為60。，假設(shè)該圓錐的側(cè)面積為367，那么該圓錐外接球的外表積為（兜兜繞繞）6.圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA, S3互相垂直，SA與圓錐底面所成角為

9、30。，假設(shè)A5A3的面積為8,那么 該圓錐外接球的外表積是.（找截面）3 ,四棱錐（外心是地面對角線的中點(diǎn)）（4）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，假設(shè)該棱錐的高為4,底面邊長為2,那么該球的外表積為（8171817116兀9兀D.27715.正四棱錐產(chǎn)一ABC。的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長為霹，假設(shè)該正四棱錐的體積為2,那么此球的體積為（）124兀625兀500兀256兀A 3B 81C. 81D 9（5）如下圖，在正四棱錐尸一A3CZ）中，底面A3CQ是邊長為4的正方形，E,產(chǎn)分別是A3, 8的 .2中點(diǎn)，cos/PEF=t，假設(shè)A, B, C, D, P在同一球面上，那么此球的

10、體積為.圓臺(tái)002上底面圓。的半徑為2,下底面圓。之的半徑為2夜，圓臺(tái)的外接球的球心為O,且球心在圓臺(tái)的軸QU上，滿足iqoi=3|oai，那么圓臺(tái)002的外接球的外表積為.在六棱錐P-ABCD砂中，底面是邊長為3的正六邊形，% = 2且與底面垂直，那么該六棱錐外接球的 體積等于.在三棱錐PABC中，PA = PB = PC = 9叵,AB = S , AC = 6.頂點(diǎn)。在平面ABC內(nèi)的射影為H , 假設(shè)布=4麗+/且4 + 22 = 1 ,那么三棱錐。一 ABC的外接球的體積為.專題六斗笠模型【方法總結(jié)】圓錐、頂點(diǎn)在底面的射影是底面外心的棱錐.秒殺公式：/?=練（其中為幾何體的高，為幾何體

11、的底面半徑或底面外接圓的圓心）【例題選講】例（1）一個(gè)圓錐恰有三條母線兩兩夾角為60。，假設(shè)該圓錐的側(cè)面積為3后，那么該圓錐外接球的外表 積為.27 yr答案 解析 設(shè) ZAM = N3SC = NCS4 = 60。，那么必= S3 = SC = AC=3C,設(shè) = 那么2底面圓的直徑為2r =,該圓錐的側(cè)面積為L兀= 兀,解得x = 3 ,高sin 60 V32 V3OS =加一 （6）2 =幾.r=卡=6 .設(shè)圓錐外接球的半徑為尺，所以（逐一尺產(chǎn)+/=解，解得冗=乎 那么外接球的外表積為47rH2 =.2（2）（2020.全國I ）A, B,。為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，。0為BC的外接圓.假

12、設(shè)。01的面積為4兀，AB=BC=ACOOi，那么球。的外表積為（）A. 64兀B. 4871C. 36兀D. 32兀答案 A 解析 設(shè)。1的半徑為廣，球的半徑為R,依題意，得兀戶=4兀，,=2.由正弦定理可得dill I八7= 2r, .MB=2rsin60 = 2V3. ：.OOi=AB=2y3.根據(jù)球的截面性質(zhì)，得 OOi J_平面 A3C,。|_1_。兇,R=OA =y/OO+OiA2=yjOO+=4,球。的外表積 5=4兀/?2=64兀.應(yīng)選 A.(3)在三棱錐PAfiC中，PA = PB =PC = 2瓜 AC = AB = 4,且ACL49,那么該三棱錐外接球的表 面積為.答案

13、3671解析 設(shè)頂點(diǎn)P在底面中的射影為。由于%=依=。，所以QA = O超= QC,即點(diǎn) Q是底面AABC的外心，又AC_LA5,所以01為3c的中點(diǎn)，因?yàn)?。= 2指，AC = A3 = 4 ,所以3c = 4血，AQ =2也，PO1 =4,設(shè)外接球的球心為O,半徑為R,那么。必在上，00=4 R,在R/AOA中，(4 R+(2近=齊，解得R = 3,所以S2 =4乃川=36% .正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，假設(shè)該棱錐的高為4,底面邊長為2,那么該球的外表積為(B. 16兀B. 16兀C. 9兀D.27兀答案 A 解析 如下圖，設(shè)球半徑為R,底面中心為。，且球心為0, 1正四棱錐P-ABC

14、D中ABlr-9=2, ：.AOf=yl29 9：P0f=4,，在 RtZiAO。，中，AO2=AO,2+Oa ?./?2 = (2)2+(4-/?)2,解得 R=不該球的外表積為4兀R2=4兀、0=3之P(5)如下圖，在正四棱錐PABCO中,底面A3CQ是邊長為4的正方形，E,b分別是A3, 8的J2中點(diǎn)，cosZPEF=-,假設(shè)A, B, C, D, P在同一球面上，那么此球的體積為PPJ2答案 3671解析 由題意，得底面A3CQ是邊長為4的正方形，cos /PEF=，,故高POi為2.易 知正四棱錐PABC。的外接球的球心在它的高POi上，記球心為0,那么A0|=2，PO=AO=R,

15、P0 =2, 00=2-R 或 00i=R2(此時(shí) 0 在 POx 的延長線上)，在直角A0。中，R2=AO+OO=(22)2 447r+ (2R)2,解得r=3,所以球的體積為V=q;cR3=7x33 = 36兀.pBC(6)在三棱錐 PABC 中，PA = PB = PC = 5 ,AB = AC = l , BC = 6 ,那么該三棱錐外接球的體積為( )a 4%D 872 A h32A. B. 7iC. 4、/37rD. ti333答案 A 解析 由PA = PB = PC = O ,過P作尸GJL平面ABC,垂足為G,那么G為三角形ABC的巧外心，在AA3C中，由AB = AC =

16、1, BC = 6 可得NB4C = 120。，那么由正弦定理可得：，= 2AG , sin 120即AG = 1./. PG = y/PA2 - AG2 = 1.取B4中點(diǎn)”，作交PG于。，那么。為該三棱錐外接球的PH PC球心.由HOsAPGA,可得二)PO PA也x及那么吁黑券=;=1.可知。與G重合，即該棱錐外接球半徑為1.該三棱錐外接球的體積為翊. 3【對點(diǎn)訓(xùn)練】.圓錐的頂點(diǎn)為P,母線Q4與底面所成的角為30。，底面圓心。到Q4的距離為1,那么該圓錐外接 球的外表積為.答案 也 解析 依題意得，圓錐底面半徑 = = 2,高h(yuǎn) = = 巫.設(shè)圓錐外接球半3sin 30sin 6003徑

17、為R ,那么R2 =/+（R ）2 ,即& =22+（氏竽）2 ,解得：R =竽.二外接球的外表積為S = 4ttR2.在三棱錐P-ABC中，pa = PB = PC = 6，側(cè)棱以與底面ABC所成的角為60。，那么該三棱錐外接球的體積為()A.nB. 5C. 4D.專.答案 解析 過P點(diǎn)作底面A3C的垂線，垂足為O,設(shè)H為外接球的球心，連接AH, AO,因NQ4O = 60。，PA = B 故 40 =立，PO = -9 又 為直角三角形，AH = PH = r,：.22AH2=AO2+OH2, /. r2 = ()2 + (-r)2, /. r = 1 , /. V = xl3 .3.在三

18、棱錐P-ABC中，PA = PB = PC =底,AC = AB = 2,且AC_LAB,那么該三棱錐外接球的外表積為（）A. 47rA. 47rB. 87rC. 167D. 9兀.答案 D 解析 由題意，點(diǎn)P在底面上的射影M是CB的中點(diǎn)，是三角形ABC的外心，令球心為O,-AC = AB = 2,且 ACLAB,.MB = MC = MA =拒,又：PA = PB = PC =屈,:.PM =6-2=2a如圖在直角三角形O3M中，OB2=OM2+BM2 ,即R2 =2 + （2 H）2,，R =二，那么該三棱錐外接球的 2o外表積為44店=4 x = 9萬.4.體積為石的正三棱錐。-43C的外接球的球心為O,假設(shè)滿足函+礪+反=0,那么此三棱錐外接球的半徑是（）A. 2B. V2C. 2D.班.答案 D 解析 正三棱錐O-ABC的外接球的球心O滿足礪+巫=加，說明三角形ABC在球。的大圓上，并且為正三角形，設(shè)球的半徑為：R,棱錐的底面正三角形A3。的高為竺，底面三角形ABC 2的邊長為GR,正三棱錐的體積為正x（ 6K）2xR = g ,解得R3=4,那么此三棱錐外接球的半徑是R .正四棱錐PABC。的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長為地，假設(shè)該正四棱錐的體積為2,那么此球的體積為（）124 兀625兀500兀2567rA