專題訓(xùn)練螞蟻爬行的最短路徑含答案

1、螞蟻爬行 的 最短路徑一只螞蟻從原點(diǎn)0出發(fā)來(lái)回爬行，爬行的各段路程依次為：+5, -3, +10, -8, -9, +12,-10.IlliIlliIlliIlliI j-10-9-S-7-6-5-4-3-2-1 0 12 3 4 5 6 7 6 910回答下列問(wèn)題：(1)螞蟻?zhàn)詈笫欠窕氐匠霭l(fā)點(diǎn)0;(2)在爬行過(guò)程中，如果每爬一個(gè)單位長(zhǎng)度獎(jiǎng)勵(lì)2粒芝麻，則螞蟻一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故沒(méi)有回到U 0；(2)(1+51+1-31+1+101+1-81+1-91+1+121+1-101) x2=114 粒如圖，邊長(zhǎng)為1的正方體中，一只螞蟻從頂點(diǎn)A

2、出發(fā)沿著正方體的外表面爬到頂點(diǎn)B的最短距(2006?茂名)如圖，點(diǎn)A、B分別是棱長(zhǎng)為2的正方體左、右兩側(cè)面的中心，一螞蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是cm解：由題意得，從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是兩個(gè)棱長(zhǎng)的長(zhǎng)，即2+2=4.如圖，一只螞蟻從正方體的底面A點(diǎn)處沿著表面爬行到點(diǎn)上面的B點(diǎn)處，它爬行的最短路線 是()A. A?P?BB. A?Q?BC. A?R?BD. A?S?B解：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知選A.故選A.如圖，點(diǎn)A的正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn)B是正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，正方體的棱長(zhǎng)為2, 一螞蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是()解：如圖，AB=M + 21 +12 = v10 .

3、故選 C.6.正方體盒子的棱長(zhǎng)為2, BC的中點(diǎn)為M, 一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為（）解：展開(kāi)正方體的點(diǎn)M所在的面，:BC的中點(diǎn)為M,1所以 MC= BC=1,在直角三角形中am=1*+Q+2）=H7.如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別是棱長(zhǎng)為20cm的正方體盒子上相鄰面的兩個(gè)中心，一只螞蟻在盒子表面由A處向B處爬行，所走最短路程是cm。解：將盒子展開(kāi)，如圖所示：1111AB=CD=DF+FC= EF+ GF= x20+ 二 x20=20cm.2222A1L8故選C.F8.正方體盒子的棱長(zhǎng)為2, BC的中點(diǎn)為M, 一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到M點(diǎn)的最短距離為.解：將正方體展開(kāi)，連接M、D1,根據(jù)兩點(diǎn)之間線

4、段最短，MD=MC+CD=1+2=3, , 廣 8 -VMD八MD2 +DD12 =K + 22 *3 第 7 題D域 C9.如圖所示一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有的面均分成3x3個(gè)小正方形.其邊長(zhǎng)都為1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下底面點(diǎn)A沿表面爬行至側(cè)面的B點(diǎn)，最少要用25秒鐘.解：因?yàn)榕佬新窂讲晃ㄒ?，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線.（1）展開(kāi)前面右面由勾股定理得AB=?2+3）+，瘀cm；（2）展開(kāi)底面右面由勾股定理得AB32+（2+2），5cm；所以最短路徑長(zhǎng)為5cm，用時(shí)最少：5-2=2.5秒. (2009?恩施州)如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,

5、寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5, 一 只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是。解：將長(zhǎng)方體展開(kāi)，連接A、B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，ab=W15十為七25.如圖，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處(三條棱長(zhǎng) 如圖所示)，問(wèn)怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為.解：正面和上面沿AB展開(kāi)如圖，DC 連接AC ,AABC是直角三角形，A寸 42 + 32 = 5A1 D,:.AC = AB 2 + BC2 =4 + G + 2高為3米的長(zhǎng)方體紙盒，一只小螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，如圖所示：有一個(gè)長(zhǎng)、寬都是2米，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為米。解：由

6、題意得，路徑一：ab頊3+2片2七，.用路徑二：AB頊2+2)+3七5；路徑三：AB頊3+N尸+砂=,囂f%9 5,.5米為最短路徑.如圖，直四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為4cm，底面是長(zhǎng)為5cm寬為3cm的長(zhǎng)方形.一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿棱柱的表面爬到頂點(diǎn)B.求：螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程；螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一條棱)的最長(zhǎng)路程.解：(1) AB的長(zhǎng)就為最短路線.然后根據(jù) 若螞蟻沿側(cè)面爬行，則經(jīng)過(guò)的路程為徂5+3)2+辱二亢 (cm)；若螞蟻沿側(cè)面和底面爬行，則經(jīng)過(guò)的路程為供4+礦+52 =褐(cm),或我冬+5尸+32二,，就(cm) 所以螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程是，商cm.(2)5cm+4cm+5cm+4cm

7、+3cm+4cm+5cm=30cm，最長(zhǎng)路程是30cm.如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為50cm,寬為40cm，高為30cm的長(zhǎng)方體盒子的頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，它要爬到頂點(diǎn)B處去覓食，最短的路程是多少?解：圖cm.cm.AB = V902+303 = 30VI0 印 94.7點(diǎn)二佬部+7蘆=如孟:松頃.cmv.采用圖3的爬法路程最短，為危藝偵cm如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6cm，8cm，4cm. 一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬 到點(diǎn)B.則螞蟻爬行的最短路徑的長(zhǎng)是。解：第一種情況：把我們所看到的前面和上面組成一個(gè)平面， 則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是12cm和6cm， 則所走的最短線段是“頂存 =6 f5 cm

8、；第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個(gè)長(zhǎng)方形， 則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是10cm和8cm， 所以走的最短線段是”薩商=,頑cm； 第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個(gè)長(zhǎng)方形， 則這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是14cm和4cm， 所以走的最短線段是礦1萎+要=2牛53 cm；三種情況比較而言，第二種情況最短.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20cm、3cm、2cm. A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬 行到點(diǎn)B的最短路程為cm 解：三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20cm，寬為（2+3） x3cm，則螞蟻沿臺(tái)

9、階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xcm， 由勾股定理得：x2=202+ (2+3) x32=252,解得x=25.故答案為25.如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物.請(qǐng)你想一想，這只螞 蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是cm。解：將臺(tái)階展開(kāi)，如下圖，因?yàn)锳C=3x3+1x3=12，BC=5,所以 AB2=AC2+BC2=169,所以 AB=13 (cm)， 所以螞蟻爬行的最短線路為13cm.答：螞蟻爬行的最短線路為13cm.

10、（2011?荊州）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和4cm，高為5cm.若一只螞蟻從P點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞奴爬行的最短路徑長(zhǎng)為cm.解：PA=2x (4+2) =12，QA=5.PQ=13.故答案為：13.19.如圖，一塊長(zhǎng)方體磚寬AN=5cm，長(zhǎng)ND=10cm，CD上的點(diǎn)B距地面的高BD=8cm，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，需要爬行的最短路徑是多少?解：如圖1,在磚的側(cè)面展開(kāi)圖2上，連接AB, 則AB的長(zhǎng)即為A處到B處的最短路程.AN圖 1- 圉）解：在RtAABD中，因?yàn)锳D=AN+加=5+10=15, BD=8,所以 AB2=AD2+BD2=152+82=289

11、=172.所以 AB=17cm.故螞蟻爬行的最短路徑為17cm.（2009?佛山）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒(méi)有縫隙），有一只螞蟻從柜角a處沿著木柜表面爬到柜角q處.（1）請(qǐng)你畫(huà)出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑;（2）當(dāng)AB=4，BC=4，CC1=5時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng);（3）求點(diǎn)B1到最短路徑的距離.解：（1）如圖， 木柜的表面展開(kāi)圖是兩個(gè)矩形ABC1D1和ACCA1.故螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC：和AC1.（2分）（2）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是1 = 1逐+&+$）= 97. （3分）螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1

12、到C，爬過(guò)的路徑的長(zhǎng)是質(zhì)=戒-4+守+砂=用兩（4分）/1/2，故最短路徑的長(zhǎng)是妁=布9.（5分）(3)作 B1E1AC1 于 E,則日妥=技產(chǎn)恐=憊號(hào)二蠢/我為所求.(8分)有一圓柱體如圖，高4c祖，底面半徑5cm, A處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到C處，求螞蟻爬解：AC的長(zhǎng)就是螞蟻爬行的最短距離.D分別是E，AF的中點(diǎn).行的最短距離.AC=h AD2 + CD2 就AC=AD2 + CD2 5Cm.AF=2n?5=10n. AD=5n.A故答案為：16cm.有一圓形油罐底面圓的周長(zhǎng)為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線長(zhǎng)為.解：AB=W52 +12

13、2 = 13 m 一，一，一W一，6、如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高宗 的端點(diǎn)A到達(dá)A1，若圓柱底面半徑為-，高第3題為5,則螞蟻爬行的最短距離為解：因?yàn)閳A柱底面圓的周長(zhǎng)為2nx- =12，高為5所以將側(cè)面展開(kāi)為一長(zhǎng)為12,寬為5的矩形，根據(jù)勾股定理，對(duì)角線長(zhǎng)為寸撰+1艘=13.故螞蟻爬行的最短距離為13.如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，高AB為9cm，BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，則螞蟻爬行的最短路程是解：如圖所示：DG由于圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，則 AD=24x =12cm.又因?yàn)?CD=AB=9cm,所以 AC=U12+9=i5cm.故螞

14、蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程是15cm.故答案為：15.（2006?荊州）有一圓柱體高為10cm,底面圓的半徑為4cm, AA1, BB1為相對(duì)的兩條母線.在 AA1上有一個(gè)蜘蛛Q, QA=3cm；在BB1上有一只蒼蠅P, PB=2cm，蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到P點(diǎn) 吃蒼蠅，最短的路徑是cm（結(jié)果用帶n和根號(hào)的式子表示）解：QA=3, PB1=2,即可把PQ放到一個(gè)直角邊是4兀和5的直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：qp=V16戒+恭同學(xué)的茶杯是圓柱形，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從A處爬行到對(duì)面的 中點(diǎn)B處，如果螞蟻爬行路線最短，請(qǐng)畫(huà)出這條最短路線圖.問(wèn)題：某正方體盒

15、子，如圖左邊下方A處有一只螞蟻，從A處爬行到側(cè)棱GF上的中點(diǎn)M點(diǎn)處， 如果螞蟻爬行路線最短，請(qǐng)畫(huà)出這條最短路線圖.A解：如圖，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖示，則A、B分別位于如圖所示的位置，連接AB，即是這條最短路線圖.示的位置，連接AM,即是這條最短路線圖.27.如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形，圓錐的底面半徑為2cm，假若點(diǎn)B有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC的中點(diǎn)P處的食物，那么它爬行的最短路程是.一一/n兀x 4 解：.圓錐的底面周長(zhǎng)是4江，則4村，180.n=180即圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是180，/ -.在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中AP=2, AB=4，ZBAP=90，.在

16、圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中bp=20 = 盤(pán)，第5題 .這只螞蟻爬行的最短距離是20m.故答案是：2*5 cm.28.如圖，圓錐的底面半徑R=3dm，母線l=5dm，AB為底面直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，ZCOB=150，D為VB上一點(diǎn)，VD=K中仕.現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表面從點(diǎn)C爬到D.則螞蟻爬行的最短路程是（）a 150ttx3 5解:必=F=W， .設(shè)孤BC所對(duì)的圓心角的度數(shù)為n，5tt TlWXEiT= 解得n=90，.ZCVD=90.CD=申+7=4仍29.已知圓錐的母線長(zhǎng)為5cm，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，且ZAOA 1=120, 一只螞蟻欲從圓 錐的底面上的點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)

17、A.則螞蟻爬行的最短路程長(zhǎng)為。第4題，c4nn2兀=180解：由題意知，底面圓的直徑為2,故底面周長(zhǎng)等于2n.設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為瀘 根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的孤長(zhǎng)得，解得n=90，所以展開(kāi)圖中圓心角為90， 根據(jù)勾股定理求得到點(diǎn)A的最短的路線長(zhǎng)是:16 +16 =、旬 =4板2 .31.（2006?南充）如圖，底面半徑為1，母線長(zhǎng)為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點(diǎn)，它爬行的最短路線長(zhǎng)是。解：由題意知底面圓的直徑=2， 故底面周長(zhǎng)等于2n.設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為n，4n兀根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的孤長(zhǎng)得2n=，180解得n=90， 所以展開(kāi)圖中的

18、圓心角為90， 根據(jù)勾股定理求得它爬行的最短路線長(zhǎng)為4撬232.（2009?樂(lè)山）如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長(zhǎng)為6, D為PB的中點(diǎn).一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)D，則螞蟻爬行的最短路程為。解：由題意知，底面圓的直徑AB=4,故底面周長(zhǎng)等于4n.設(shè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)后的扇形圓心角為n,根據(jù)底面周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形的孤長(zhǎng)得4n=2n兀 x 6360解得 n=120,所以展開(kāi)圖中ZAPD=1202=60,根據(jù)勾股定理求得ad=3所以螞蟻爬行的最短距離為333.如圖，圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為3r,底面圓周上有一螞蟻位于A點(diǎn)，它從A點(diǎn)出發(fā)沿圓 錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑.解：把圓錐沿過(guò)點(diǎn)A的母線展成如圖所示扇形