含參不等式練習(xí)題集與解法

1、 7/7 眾所周知，不等式解法是不等式這一板塊的高考備考重點(diǎn)，其中，含有參數(shù)的不等式的問題，是主考命題的熱點(diǎn)，又是復(fù)習(xí)提高的難點(diǎn)。（1）解不等式，尋求新不等式的解集；（2）已知不等式的解集（或這一不等式的解集與相關(guān)不等式解集之間的聯(lián)系），尋求新含參數(shù)的值或取值范圍。（3）注意到上述題型（2）的難度與復(fù)雜性，本專題對(duì)這一類含參不等式問題的解題策略作以探索與總結(jié)。一、立足于“直面求解”解不等式的過程是一系列等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程，對(duì)于有關(guān)不等式的“解”的問題，直面不等式求解，有時(shí)是問題解決的需要，有時(shí)是解決問題的基礎(chǔ)或手段。所給問題需要在獲得不等式的解集或最簡(jiǎn)形成后，方可延伸或突破時(shí)，則要果斷地從求解不等

2、式切入。例1.設(shè)關(guān)于x的不等式（1）解此不等式；（2）若不等式解集為（3，+），求m的取值范圍；（3）若x=3屬于不等式的解集，求m的取值范圍分析：著眼于不等式的等價(jià)變形，注意到這里m20,m2同乘以不等式兩邊，則不等式轉(zhuǎn)化為axb型，于是可以x的系數(shù)a的取值為主線進(jìn)行討論。解：（1）由題設(shè)，原不等式 m（x+2）m2+(x-3) (m R，m0) (m-1)xm2-2m-3 (1)當(dāng)m1時(shí)，由（1）解得當(dāng)m=1時(shí)，由（1）得x R;當(dāng)m1時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)m=1時(shí)，原不等式的解集為R當(dāng)mm2-2m-3 m2-5m0 0m0以及， m的取值或取值范圍由此而產(chǎn)生。例2已知關(guān)于x的不等式組的整

3、數(shù)解的集合為-2,求實(shí)數(shù)R的取值范圍。分析：由題設(shè)知,這一不等式組的解集只含有一個(gè)整數(shù)-2,那么當(dāng)x= -2屬于這一成員不等式時(shí),該不等式的解集是何種情形,這需要解出不等式后方可作出結(jié)論,故考慮以求解這一成員不等式切入并延伸。解：不等式x2-x-20 (x+1)(x-2)0 x2不等式 x2-x-20的解集A=（-，-1）（2，+ ），顯然-2A不等式2x2+(2R+5)x+5R0 (x+R)(2x+5)0設(shè)這一不等式的解集為B，則由-2 B，得：（-2+R）（-4+5）0 R2注意到（x+R）(2x+5)=0的根為x1= -R，(1)當(dāng)時(shí), 由得 ,即此時(shí)-2 B(2)當(dāng)時(shí),由得x|x AB

4、,x Z=-2于是由、得所求實(shí)數(shù)的取值范圍為-3，2）點(diǎn)評(píng)：在這里，考察的重點(diǎn)是含有參數(shù)的成員不等式，設(shè)含參不等式2x2+(2R+5)x+5R0的解集為B，而后首先由-2 B獲得一個(gè)必要的R的取值范圍，進(jìn)而立足于這一范圍。以含參不等式左邊（x+R）(2x+5)=0的根的大小為主線引入討論。首先由整數(shù)元素的從屬獲得問題存在的必要條件，而后立足于必要條件對(duì)應(yīng)的范圍進(jìn)行討論，這是解決含數(shù)元素的集合問題的基本策略。二、致力于“化生為熟”化生為熟是解題的通用方略，正如一位俄羅斯女?dāng)?shù)學(xué)家所言：解題，就是把“要解的題”轉(zhuǎn)化為“已經(jīng)解過的題”。而對(duì)所給出的具體問題，如何化生為熟？則要根據(jù)問題的具體的條件與目標(biāo)

5、來決定問題轉(zhuǎn)化的手段方向。1、化生為熟之一：轉(zhuǎn)化為二次不等式或整式不等式問題。二次不等式是我們所熟知的事物，因此，如果問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式或整式不等式問題，則解題便勝券在握。例1.若不等式的解集為（-，1）（2，+），求a的取值范圍。分析：注意到所給不等式，故想到利用分式不等式的基本變形轉(zhuǎn)化為整式不等式的解集問題。解：不等式 （a-1）x+1(x-1)0解法一:（分類討論）：由已知不等式解集的形式得：1-a0且1-a1以下以式左邊多項(xiàng)式的根與1的大小為主線展開討論：（1）當(dāng)01-a1即0a1時(shí)，由得x1，即a1這與題設(shè)條件不符于是由（1）、（2）所得a的取值范圍為 解法二：（利用對(duì)一元二次不

6、等式解集的認(rèn)知）原不等式 （1-a）x-1(x-1)0又原不等式的解集為（-，1）（2，+）注意到一元二次不等式解集端值必為相應(yīng)方程的根所求a的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：這里“化生為熟”的手段是“不等式的等價(jià)變形”一般地，若一元二次不等式（ax+b）（cx+d）0的解集為（-，x1） (x2 ,+),則必需（1）ac0 （2）x1為方程ax+b=0或cx+d=0的實(shí)根；x2為方程ax+b=0或cx+d=0的實(shí)根；例2.若不等式的解集為(-3,-1) 2,+ ）,求實(shí)數(shù)a的值分析:對(duì)于這類不等式或比較復(fù)雜的分式不等式問題,例2的解題思路能起重要的啟示作用.解:原不等式 (x+a)(x2+4x+3) 0(x

7、2+4x+30) (x+1)(x+3)(x+a)0(x-1,且x-3)設(shè)f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x-3且x-1)則原不等式 f(x) 0由題設(shè)知 x=2為方程f(x)=0的根, f(2)=0 a=-2所求實(shí)數(shù)a=-2點(diǎn)評(píng)：利用一元二次不等式ax2+bx+c0的解集與一元二次方程ax2 +bx+c=0的根之間的關(guān)系，可使問題簡(jiǎn)單化。2、化生為熟之二：轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系問題，集合既是數(shù)學(xué)中的原始概念，又是數(shù)學(xué)問題的基本載體。同樣，集合間的關(guān)系既是數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，又是問題轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，關(guān)于兩個(gè)不等式（或方程）的解的關(guān)系問題，向著集合間的關(guān)系問題轉(zhuǎn)化，是化生為熟的主要方向之一。例1.若

8、對(duì)中的一切實(shí)數(shù)a，滿足不等式 b的x也滿足不等式 ,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：注意到各不等式的解組成集合，為將已知的兩不等式的“解”之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)集合之間的關(guān)系，首先從化簡(jiǎn)兩個(gè)不等式的解集切入解：設(shè)集合A=x| |x-a|0,于是由(5)、（6）得b的取值范圍為。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)解題過程中出現(xiàn)二次三項(xiàng)式時(shí)，配方成為解題的基本方法與基本技巧。例2.要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x2-9x+a0（解集非空）的每一個(gè)x的值至少滿足不等式x2-4x+30和x2-6x+80中的一個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：根據(jù)例1的解題經(jīng)驗(yàn)，我們以求出有關(guān)不等式的解集切入，而后利用有關(guān)解集之間的關(guān)系突破。解:設(shè)A=x|x2

9、-4x+30，則A=（1，3）；B=x|x2-6x+80,則B=（2，4）；AB=（1，4）設(shè)C=x|2x2-9x+a0, 則由題設(shè)得 C AB，即C（1，4）又設(shè)f(x)= 2x2-9x+a則f(x)的圖象是以直線為對(duì)稱軸且開口向上的拋物線由C（1，4）得x|f(x）0 (1,4)于是可知實(shí)數(shù)a的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：上述解答進(jìn)行了兩次轉(zhuǎn)化：第一次是轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系： C AB；第二次是注意到2x2-9x+a0為二次不等式，于是在C AB=（1，4）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為已知一元二次不等式的解集，而這樣的問題恰是我們所熟悉的，于是解題勝利在望。配伍練習(xí)：已知三個(gè)不等式：（1）|2x-4|5

10、-x;（2）（3）2x2+mx-10對(duì)任何x R恒成立 a0且=b2-4ac0;ax2+bx+c0對(duì)任何x R恒成立 a0且=b2-4acm對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：（1）注意到對(duì)任意x R，總有x2+x+10對(duì)任意x R 恒成立對(duì)任意x R 恒有3x2+2x+2m（x2+x+1）成立對(duì)任意x R 恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)0成立注意到m N*，m=1（2）設(shè)f(x)=|x+1|+|x-2|,則f(x)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立mf(x)的最小值（1）f(x)=|x+1|+|x-2|（x+1）-（x-2）|=3 (當(dāng)且僅當(dāng)-1x2時(shí)等號(hào)成立)f(x)的最小值為3（當(dāng)

11、且僅當(dāng)x -1，2時(shí)所得）（2）于是由（1）（2）得m3，即所求的取值范圍為。例2.若不等式對(duì)一切x R恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：為化生為熟，首先考慮在不等式的等價(jià)變形過程中去掉絕對(duì)值，而后再轉(zhuǎn)化為二次三項(xiàng)式大于0（或小于0恒成立問題）。解：不等式注意到原不等式對(duì)一切x R恒成立 5(3x2-2x+3)x2+2mx+15(3x2-2x+3)對(duì)一切x R恒成立所求m的取值范圍為（-11，9）點(diǎn)評(píng)：在原不等式等價(jià)變形過程中，化整為零，使各個(gè)部分都?xì)w結(jié)為二次型不等式恒成立的問題，這也是在應(yīng)用解決數(shù)學(xué)問題通用的化整為零，靈活機(jī)動(dòng)的戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù).例3.已知三個(gè)關(guān)于x的不等式：(1)|2x-4|5-x;

12、(2) ;(3)2x2+mx-10若同時(shí)滿足不等式（1）（2）的x也滿足不等式（3），試求m的取值范圍。分析：本例的條件與結(jié)論與例2頗為相似，于是考慮由例2的解題思路切入并延伸。解：將（1）（2）聯(lián)立，得： 0 x1或2x3設(shè)不等式（1）的解集為A，（2）的解集為B（3）的解集為C則有AB=0，1）（2，3）由題設(shè)知，即0，1）（2，3） C再由題設(shè)知，當(dāng)x 0，1）（2，3）時(shí)，不等式（3）恒成立當(dāng)x 0,1）2,3，時(shí)，不等式2x2+mx-10恒成立注意到當(dāng)x=0時(shí)，2x2+mx-10顯然成立，當(dāng)x 0,1）2,3，時(shí)，不等式2x2+mx-10恒成立設(shè)則由1）得mg(x)恒成立 mg(x)

13、的最小值或mg(x)的下確界注意到g(x)在（0，1）(2,3)內(nèi)為減函數(shù)g（x）g(3)又g(x)的下確界為由（2）（3）得，即所求m的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：題面與第一步的轉(zhuǎn)化都與前面的例2“有著驚人的相似之處”，但是第二步的轉(zhuǎn)化卻有著明顯的差異：前者是轉(zhuǎn)化為已知二次函數(shù)f(x)0的解集為（x1, x2） a0的解集為（-, x1）（x2,+） a0且x1, x2為一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)根。于是由此不等式所含的數(shù)和ax想到：借助換元，將所給問題，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式問題。解：設(shè)t=，則t0且原不等式由題設(shè)知關(guān)于t的不等式 (t0)的解集為（2，）一元二次方程的兩根為2，由韋達(dá)定理得由

14、此解得點(diǎn)評(píng)：這里“化生為熟”的手段是“換元”，變量轉(zhuǎn)換，是使問題完成從“無理”向“有理”的質(zhì)的轉(zhuǎn)變的重要手段.例2定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，當(dāng)x 0， 時(shí)，f（sin2x-msinx+m）+f(-2)0恒成立，求m的取值范圍.分析：注意到這里含有抽象的函數(shù)符號(hào)“f”，故首先想到通過“反用”單調(diào)性的定義脫去“f”，將所給問題轉(zhuǎn)化為普通的不等式恒成立的問題；又注意到“f ”之下是關(guān)于sinx的二次三項(xiàng)式，為使有關(guān)不等式以及解題過程雙雙簡(jiǎn)明，考慮第二次轉(zhuǎn)化時(shí)運(yùn)用變量轉(zhuǎn)換.解：由f(x)為奇函數(shù)得-f(-2)=f(2)f(sin2x-msinx+m)-f(-2)當(dāng)x 0， 時(shí)恒成

15、立 f(sin2x-msinx+m)f(2)當(dāng)x 0， 時(shí)恒成立令sinx=t,則由x 0， 得0t1由得f(t2-mt+m)f(2) 當(dāng)t 0，1時(shí)恒成立又f(x)在R上為減函數(shù)，由得 t2-mt+m2當(dāng)t 0，1時(shí)恒成立 m（1-t）2-t2當(dāng)t 0，1時(shí)恒成立當(dāng)t=1時(shí)，對(duì)任意m R都有m(1-t)2-t2成立當(dāng)t1時(shí)，令 g(x)= (0t1)則由得mg(t)（0t1）恒成立 mg(t)(0t1)的最小值g(t)= =易知g(t)在0,1）內(nèi)遞增，g(t)有最小值g(0)=2由得 m2于是由，得所求m的取值范圍為（-，2）點(diǎn)評(píng)：回顧上述解題過程，在脫去符號(hào)“f“之后，首先借助換元，促使

16、關(guān)于sinx的二次不等式恒成立的問題，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次不等式恒成立的問題，完成化繁為簡(jiǎn)的第一次轉(zhuǎn)化；在此基礎(chǔ)上進(jìn)而由對(duì)式的“主元轉(zhuǎn)換”切入，使問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為g(x)= （0tm（x2-1）對(duì)于m -2，2成立，求x的取值范圍分析：注意到這里限定m的范圍，所以若將已知不等式視為關(guān)于m的一次型不等式，則所給問題便轉(zhuǎn)化為：已知關(guān)于m的一次型不等式在m -2，2上恒成立，求其系數(shù)中所含x的取值范圍，于是，利用一次函數(shù)的單調(diào)性便可輕易破解解：原不等式（1-x2）m+(2x-1)0f(m)=(1-x2)m+2x-1則f(m)為m的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，其幾何意義為直線，于是原不等式對(duì)任意m -2，2成立

17、x點(diǎn)評(píng)：上述解法的詳細(xì)過程為分類討論:（i）當(dāng)1-x20 -1x0(-2m2)得f(-2)0(ii)當(dāng)1-x20 x1時(shí),f(m)在-2,2上為減函數(shù)由f(m)0(-2m2)得(iii)當(dāng)1-x2=0 x=1時(shí)當(dāng)x=1時(shí)f(m)=10當(dāng)x=-1時(shí)f(m)=-30不成立,綜上(i)(ii)(iii)得所求的x的取值范圍為例2. 已知對(duì)于滿足p=16sin3,且 - , 的所有實(shí)數(shù)p,不等式log22x+plog2x+12log2x+p恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.分析:由題設(shè)易得p -2,2,所給不等式為log2x的二次不等式,也可視為P的一次型不等式,由此想到以P為主元考察并轉(zhuǎn)化問題.解：由P=

18、16sin3, 又不等式log22x+plog2x+12log2x+p log22x+(P-2) log2x+(1-P)0 (以x為主元)（log2x-1）P+（log22x- 2log2x+1）0 (以P為主元)設(shè)f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2注意到當(dāng)log2x=1即x=2時(shí)原不等式不成立故f(p)為p的一次函數(shù)，并且由得所給問題等價(jià)于f(p)在區(qū)間-2，2上恒大于0所求實(shí)數(shù)x的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：在這里不可忽略考察（3）中P的關(guān)系log2x-1=-0的料情形，事實(shí)上，當(dāng)log2x-1=0即x=2時(shí)原不等不成立，故這里x2，即這里的f(p)不存在為常數(shù)求的情形若a,b -1

19、1且ab，則有（1）判斷f(x)在區(qū)間-1，1的單調(diào)性；（2）解不等式（3）若f(x)m2-2am+1對(duì)所有x -1，1，a -1,1恒成立，求m的取值范圍。分析：注意到這里f(x)為軸象數(shù)，故（1）的數(shù)解只能運(yùn)用數(shù)的單調(diào)性定義，而f(x)的單調(diào)性一經(jīng)確定，便為（2）的推理以及（3）的轉(zhuǎn)化奠定理論基礎(chǔ)。解：（1）設(shè)x1, x2-1,1且x10并且由題設(shè)得f(x1)-f(x2)0 ,即 f(x1)f(x2)f(x)在區(qū)間-1，1上的增區(qū)數(shù)。（2）注意到f(x1)定義域?yàn)?1，1，且f(x)在用區(qū)間-1，1遞增，利用增數(shù)定義為原不等式的解集為(3)由(1)知f(x)在閉區(qū)間-1,1上為增函數(shù) f(

20、x) m2-2am+1在x -1,1, -1,1上恒成立 m2-2am+1(-1a1)f(x) (-1 x1) m2-2am+1f(1)在a -1,1上恒成立 m2-2am+10在a -1,1上恒成立 (以m為主元 (-2m)a+m2 0在a -1,1上恒成立 (以m為主元當(dāng)g(a)=(-2m)a+m2，則g(a)為a的一次函數(shù)由（5）（6）得 g(a)0在a -1,1上恒成立 g(1) 0且g(-1) 0 m-2 或m2所求m的取值范圍為（-,-m）2,+ 點(diǎn)評(píng)：這里的解題經(jīng)歷三次視角的轉(zhuǎn)化：第一次是由到，將f(x)在給定區(qū)間上遞增，視為相關(guān)不等式在給定區(qū)間上恒成立；第二次是以到，將不等式與

21、f(x)的最大值建立聯(lián)系；第三次是從到，將關(guān)于m的二次不等式視為關(guān)于a的一次型不等式，由此，解題一步步轉(zhuǎn)化，一步步走向熟悉與簡(jiǎn)明.五、練習(xí)（高考真題）1、（2005-遼寧卷）在R上定義運(yùn)算 ：x y=x(1-y),若不等式（x-a） (x+a)1對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，則（）A-1a1 B. 0a0，設(shè)x0（0，+），y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)（x0 f(x0)）處的切線方程，并設(shè)函數(shù)g（x）=kx+m （1）用x0 f(x0),f(x0)表示m；（2）證明：當(dāng)x（0，+）時(shí)，g（x）f(x)；（3）若關(guān)于x的不等式在0，+）上恒成立，其中a,b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a與b所滿足的關(guān)系。分

22、析與解答：1、分析：注意到我們對(duì)上面定義的陌生，故首先想到從本題對(duì)運(yùn)算的定義切入，將有關(guān)不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式：由所給定義（x-a） (x+a)1對(duì)任意x R成立（x-a）(1-x-a)0對(duì)x R恒成立 =1-4（1-a2+a）0 4a2-4a-30故應(yīng)選C2、分析：由P正確且Q正確推出m的范圍首先需要尋找命題P與命題Q成立時(shí)，變量m所滿足的等價(jià)條件，故從命題P、Q的轉(zhuǎn)化切入。解：由x1, x2為方程x2-ax-2=0的兩個(gè)實(shí)根，得x1+x2=a， x1x2=-2命題P正確不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)a -1，1成立（1）-1a1,8a2+89,由（1）得命題P正確 |m2-5m-3|3 m2-5m-3-3或m2-5m-33 m-1或0m5或m6即當(dāng)m（-，-10，5 6，+時(shí)，命題P正確（2）又f(x)的圖象是開口向上的拋物線要使f(x)在（-，+）上有極值，只需f(x)的最小值小于零 m4即當(dāng)m（-，-1）（4,+ ）時(shí) ,命題Q正確（3）于是由（2）、（3）知，當(dāng)命題P、Q同時(shí)正確時(shí)，m的取值范圍由（-，-1）（4,5 6，+）。點(diǎn)評(píng)：在這里命題Q的轉(zhuǎn)化：注意到f(x)在R上可導(dǎo)，所以f（x）在R上存在極值，只需f(x)可取正值、負(fù)數(shù)與零值，又f（x）是二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)，且在R上連續(xù)，故只f(x)的最小值小于0，這一步步化隱為明的轉(zhuǎn)化,值得我們