彎曲變形橫力時的正應(yīng)力

1、)(y 橫力彎曲時的正應(yīng)力I z橫力彎曲時的切應(yīng)力SF Szmaxzzd A矩形截面梁切應(yīng)力分布：yy1y彎曲內(nèi)力在外力作用下，梁的內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律。彎曲應(yīng)力在外力作用下，梁內(nèi)應(yīng)力沿橫截面高度的分布規(guī)律。在外力作用下，彎曲變形空間位置的變化規(guī)律。研究彎曲變形的目的:剛度計算； 解簡單的超靜定梁。材料力學(xué)解決問題的步驟：強(qiáng)度條件應(yīng)力外力內(nèi)力剛度條件變形工程實際問題解決超靜定強(qiáng)度、剛度校核截面尺寸設(shè)計載荷確定彎曲變形6-36-4用疊加法求彎曲變形梁的剛度校核6-5 簡單超靜定梁6-1 擾曲線的微分方程6-2 用積分法求彎曲變形6-1擾曲線的微分方程1、撓曲線：在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線

2、在彎曲平面內(nèi)成為一條曲線，這條曲線稱為撓曲線。w =f (x)撓曲線方程：2、撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移，用w表示。與y同向為正，反向為負(fù)。轉(zhuǎn)角3、轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度，用 表示。xw擾曲線擾度Y軸與擾曲線夾角或者x軸與擾曲線切線夾角由變形前的橫截面轉(zhuǎn)到變形，C1y 順時針為正；逆時針為負(fù)。CF6-1擾曲線的微分方程注：擾度和轉(zhuǎn)角是度量彎曲變形的兩個基本量x4、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：dwwC1 tan dw df x 小變形ydxdx注：撓曲線上任意點處切線的斜率等于該點處橫截面的轉(zhuǎn)角。CFdx6-1擾曲線的微分方程5、撓曲線近似微分方程純彎曲時曲率與彎矩的關(guān)系 曲率與

3、彎矩的關(guān)系1MEI 1 M x橫力彎曲時, M 和 都是x的 函數(shù).略去剪力的影響, 則高等數(shù)學(xué)得到平面曲線的曲率：1 xEIw(x) x321 w2 (x)曲率與擾曲線關(guān)系w l1 w2 1因為在小變形情況下：w M xEI 1 wx擾曲線與彎矩關(guān)系w M x6-1擾曲線的微分方程EIxx坐標(biāo)系：MMyyM xw 即：EIEIw M x對等直梁：撓曲線的近似微分方程（1） 略去了剪力的影響; （2） 略去了 w2 項;近似: tan（3）6-2用積分法求彎曲變形6-2用積分法求彎曲變形步驟：（EI為常量）1、根據(jù)荷載分段列出彎矩方程 M（x）2、根據(jù)彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進(jìn)行積分

4、x)EIw (M(M()撓x 曲線的近似微分方程()x) EIw()xd1x積分一次C得轉(zhuǎn)角方程w EI( x ) d M(再積分一次,得撓度方程( Cx D11C1、D1為待定常數(shù)，由梁的邊界條件（包括位移約束和連續(xù)條件）確定。6-2用積分法求彎曲變形注意：積分常數(shù)的數(shù)目取決于彎矩M的分段數(shù)目，分n段則積分常數(shù)為2n個3、根據(jù)彎曲梁變形的邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)。邊界條件：其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。連續(xù)條件：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個不同的撓度值或轉(zhuǎn)角值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。6-2用積分法求彎曲變形

5、位移邊界條件：wA 0,wB 0FABCww連續(xù)條件：左右CC 左右CCFDwD 0, D 0位移邊界條件、固定支座處：撓度等于零、轉(zhuǎn)角等于零。、固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。、在彎矩方程分段處：一般情況下左、右的兩個截面撓度相等、轉(zhuǎn)角相等。6-2用積分法求彎曲變形4、確定撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程 。5、計算任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角；撓度的最大值、轉(zhuǎn)角的最大值。寫出圖示各梁的邊界條件llKaallaK6-2用積分法求彎曲變形積分常數(shù)C、D條件確定。由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)位移邊界條件光滑連續(xù)條件 yAR yAR 0 0yALyALyAyA 彈簧變形y 0A ALARAAAAAAA6-2用

6、積分法求彎曲變形-例1由積分法求圖示梁的wA、A。Fx解：1、彎矩方程xABM (x) Fxly2、微分方程及積分EIw F x2 CEIw Fx2EIw F x3 Cx D66-2用積分法求彎曲變形-例13、確定積分常數(shù):23w 0 C Fl D Flw 0 x l :;234、轉(zhuǎn)角方程，撓曲線方程:FFw (l 2 x2 ) ,w (x3 3l 2 x 2l3 )2EI6EI5、最大轉(zhuǎn)角和最大撓度:Fl 2Fl3 2EI3EIwA（逆時針）wA（向下）求分布載荷作用下的最大ql/2ql/2q撓度 和最大轉(zhuǎn)角( EI = 常數(shù) ）解：1 建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程2ABCqlqxqM (x (

7、lx2x)x2Lx224確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程2寫出微分方程并積分EIw q (lx x 2 )qxw (l3 2lx2 x3 )24EI2qlx 2x3EIw q ( w (l3 6lx2 4x3 ) C124EI22343EIw q ( lxx5最大撓度及最大轉(zhuǎn)角) C x C1226125 ql 4w m a x3應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)x=0 , w=0 ; x=L , w=0 .ql 3 L 2384 E Ix ql 3AC1 ,C2 0m a x24 E I24B6-2用積分法求彎曲變形-例3Fbab例：求圖示梁的跨中的撓度和轉(zhuǎn)角（EI=常數(shù)）a b l解：1建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方

8、程lFaFlBx1ACFbFbx2M (x2 ) F (x2 a)M (x1 ) x2x1LL2寫出微分方程并積分左側(cè)段（0 x1a）：右側(cè)段（ax2L）：EIw Fb xFb xF (xa)EIw 222LFb11LFb F (x2 a)2EIw2 C2EIw1 C1222xx12L22 L F (x2 a)Fb x 33 FbEIw C x D C2 x2 D232EIwx1111126 L6L63應(yīng)用位移邊界條件和連續(xù)條件求積分常數(shù)x = 0 , w1= 0 ; x = L , w2 = 0 .x1 = x2 = a ，w1 =w2 ；w= w12C C Fb (L2 b2 );D D

9、012126L4 確定撓曲線和轉(zhuǎn)角方程FbLFbx1w (x a) x(L b )x3322L2 b2 x2 w 6LEI 2222 6LEI b11L (x a)2 x 2 1(L2 b2)FbFb w w (L2 b2 ) 3x 2 2LEI b6LEI 222211135 跨中點撓度及兩端端截面的轉(zhuǎn)角FbFb wL2 4b2 (3L2 4b2 );w24LEI x Lx L48EI22 Fab(L b) ; Fab(L a)兩端支座處的轉(zhuǎn)角AB6LEI6LEI：1、此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。1max w1 0 x12 max w2 0 x2 L 0右左側(cè)段：側(cè) Fab(L b)6LEIF

10、ab(L a) 段： 2 max B 1maxA6LEIFb當(dāng) ab 時ablFa lBFab(L)aFxmaxB6LEI1A當(dāng) ab 時最大撓度發(fā)生在AC段Cx2L ba(a 2b)22 w 0 xwmax133x1 a 最大撓度一定在左側(cè)段Fb w(l 2 b2 )3wx x1max193LEI6-2用積分法求彎曲變形-例32、a=b 時此梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。abAFL2max ;16EIFBABFL3C wC48EIwmaxx L26-2用積分法求彎曲變形-例33、最大擾度：(假設(shè)l=1m, a=0.8,b=0.2)當(dāng) ab 時Fb(3L2 4b2 ) 0.011833F / EIw

11、x L48EI2Fb w b2 )3 0.012068F / EI(l 2wx x1max193LEIFbablFaFlBx兩者相差1.94%!1ACx2FbFb(l 2 b2 )3(3L2 4b2 )wwmaxx L48EI93LEI2當(dāng)載荷接近于右支座（ab），即b很小時：Fbl 2Fbl 2wmax0.0642EI93EIC截面處的撓度為：而此時Fbl 2Fbl 2wC0. 16EI0625EI兩者相差不超過3% !因此，在中，只要撓曲線無拐點，即可用中點撓度來代替最大撓度。6-2用積分法求彎曲變形-例3小結(jié)：(1) 兩段：4個常數(shù)，每增加一段，就增加 2個常數(shù)；(2) 由約束和連續(xù)條件

12、求積分常數(shù)；坐標(biāo)原點一律放在左邊，分段寫出M(x)；注意x的范圍。6-2用積分法求彎曲變形-例4由積分法求圖示梁的wA、A。xFxAy解：1建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程(分兩段分析)M1 x Fx, 0 x a,M 2 x Fx Faa x 2a2寫出微分方程并積分FaEIBxaCa6-2用積分法求彎曲變形-例4左側(cè)段（0 x1a）：EIw1 Fx1右側(cè)段（ax22a）：EIw2 Fx Fa12EIw Fx Fax C2EIw C2Fx22112EIw 1 Fx3 C x DEIw 1 Fx3 1 Fax2Cx D1112226623應(yīng)用位移邊界條件和連續(xù)條件求積分常數(shù)w2 w2 0w1 w2；w

13、1 w2x 2ax a處，邊界條件：連續(xù)條件：處，6-2用積分法求彎曲變形-例4D 2 Fa3C 0223D 7 Fa3C Fa2；1164確定擾度和轉(zhuǎn)角7Fa3wA w1 D1（向下）x06EI2 Fa w C（逆時針）A11x0EI6-2用積分法求彎曲變形-例53qll / 2l / 2例：求圖示梁的兩端的轉(zhuǎn)角（EI=常數(shù)）和最大擾度解：1建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程8ql8Bxq1ACx2M (x ) 3ql x 1 qx2M (x ) 1 ql(l x)111228282寫出微分方程并積分左側(cè)段（0 x1l/2）：右側(cè)段（l/2x l）：2EIw 1 ql(l x )ql EIw xqx

14、222811183 ql 2161EIw ql(l xC)2EIw Cx 2qx 322216 1 481116 ql 16 EIw ql(l xC xD)3 1 24 EI qC222223應(yīng)用位移邊界條件和連續(xù)條件求積分常數(shù)x = 0 , w1= 0 ; x = l , w2 = 0 .x1 = x2 = l/2 ，w1 =w2 ；w= w12兩端支座處的轉(zhuǎn)角3ql37ql3AB;128EI 384EIx1 0.46lwmax最大擾度5.04ql 4768EI跨中擾度5.0ql 4w 768EI轉(zhuǎn)角撓度MlM l 2ym axmax2 EI EI2Pl Pl 3ymaxmax2 EI3 E

15、I34qlqlymaxmax6 EI8 EIM l 3MlMly m a x、3 EI6 EI93 E I Z3P lP l 2ym axm a x16 E I48 E I ZZ3ql 5 ql 4y m a xm a x24 E I384 E IZZnks !思考題端作用集中力偶M（純彎曲），思考題：圖示所示的懸臂梁，1 M問按照積分法求出的拋物線形狀？根據(jù)純彎曲時應(yīng)該為什么？為何有這種差別？誤差多大？擾曲線形狀EI積分法：22wM Mxxxw 精確解：EIwEI2EI2RMyR M3/ 21 w2 當(dāng)R100m，x=1m：w R x2R2積分法解0.005000m精確解0.00500013m練習(xí)題用積分法求梁的擾曲線方程及為常數(shù)端的擾度和轉(zhuǎn)角，EIMAFA 3ql/ 82MAFA ql / 2FA ql