2.1隨機變量及其分布

1、第二章 隨機變量及其分布2.1 隨機變量及其分布函數(shù)2.2 離散型隨機變量及其分布2.3 連續(xù)型隨機變量及其分布2.4 隨機變量函數(shù)的分布我們觀察一個隨機現(xiàn)象，其樣本空間的樣本點可以是數(shù)量性質的，也可以是非數(shù)量性質的，概率論是從數(shù)量的角度來研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，建立起一系列的公式和定理，借以更好地描述、處理和解決各種與隨機現(xiàn)象有關的理論和應用問題為此，需要將樣本空間的樣本點與實數(shù)聯(lián)系起來，建立樣本空間與實數(shù)空間或某一部分的對應關系，這就是隨機變量第二章 隨機變量及其分布拋一枚硬幣，考察正、反面出現(xiàn)的情況，則 這樣就把原來有具體含意的樣本空間化為直線上的抽象點集如果令則在上述映射下，新的“樣

2、本空間”為引例1，而樣本點對應關系為第一節(jié) 隨機變量及其分布函數(shù)拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).=1，2，3，4，5，6樣本點本身就是數(shù)量恒等變換且有則有引例2第一節(jié) 隨機變量及其分布函數(shù) 【引例3】設隨機試驗E：測試燈泡壽命(小時). 樣本空間為=t|t0，現(xiàn)在我們將試驗的燈泡壽命，記為X,令則X是定義在樣本空間為 =t|t0上的函數(shù)，其值域為 | 且取值具有隨機性. “燈炮壽命在10002500小時”的事件可表示為 上面例子中,我們是在隨機試驗樣本空間上定義了實值函數(shù)X,顯然它取值具有隨機性,故稱它們?yōu)殡S機變量.定義2.1 設隨機試驗的樣本空間為 = ，X=X()是定義在樣本空間上的實值單值函數(shù)

3、，稱X = X()為隨機變量 隨機變量所取的值一般采用小寫字母x,y,z等.隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母,等表示一、 隨機變量的概念 X()R例： 在有兩個孩子的家庭中,考慮其性別 , 共有 4 個樣本點:若用 X 表示該家女孩子的個數(shù)時 , 則有可得隨機變量 X(e),一、 隨機變量的概念注意 普通函數(shù)的定義域是實數(shù)集,而隨機變量的定義域是樣本空間(樣本點不一定為實數(shù)); 隨機變量與普通函數(shù)的區(qū)別: 普通函數(shù)隨自變量變化所取的函數(shù)值無概率可言,而隨機變量隨樣本點變化所取的函數(shù)值是具有一定概率的;此外,因試驗的隨機性使得隨機變量的取值也具有隨機性,即知道隨機變量的取值范圍,但在一

4、次試驗前無法確定它取何值. 一、 隨機變量的概念 例如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量. 收到不少于1次呼叫 X 1 沒有收到呼叫 X= 0 再例如，從某一學校隨機選一學生，測量他的身高. 把身高看作隨機變量X, 可以提出關于X的各種問題. 如 PX1.7=？ PX1.5=? P1.5X1.7=? .一、 隨機變量的概念 利用隨機變量可以描述隨機事件: 隨機事件是從靜態(tài)的角度研究隨機現(xiàn)象，而隨機變 量是從動態(tài)的角度研究隨機現(xiàn)象。一、 隨機變量的概念 隨機變量的引入使得利用數(shù)學方法研究隨機現(xiàn)象成 為可能，是實現(xiàn)隨機現(xiàn)象“數(shù)量化”的重要工具。因此， 隨機變量的研究是

5、概率論的中心內(nèi)容。事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律實例1 設盒中有5個球 (2白3黑), 從中任抽3個,則是一個隨機變量.實例2 設某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次, 則是一個隨機變量.且 X() 的所有可能取值為:且 X() 的所有可能取值為:練習實例3 設某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標射擊 , 直到擊中目標為止,則 是一個隨機變量.且 X() 的所有可能取值為:練習實例4 某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過, 如果某人到達該車站的時刻是隨機的, X() 的所有可能取值為:練習隨機變量的分類離散型(1)離散型 隨機變量所取的可能值是有

6、限多個或無限可列個, 叫做離散型隨機變量.隨機變量 X為擲一個骰子出現(xiàn)的點數(shù).X 的可能值是 :隨機變量連續(xù)型實例11, 2, 3, 4, 5, 6.非離散型其它實例2 隨機變量 X 為“測量某零件尺寸時的測量誤差”.則 X 的取值范圍為 (a, b) .實例1 隨機變量 X 為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型 隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機變量.則 X 的取值范圍為隨機變量的分類 數(shù)軸上區(qū)間的類型有(a, b), (a, b, a, b), a, b, (-, b), (-, b, (a,+), a,+) 這8類，而區(qū)間(-, b是有代表意義的。 對于 xR ，概率P

7、Xx存在且為x的函數(shù)，這個函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)。故考慮概率PXx 二、隨機變量的分布函數(shù)定義 設X是一個隨機變量，對任意實數(shù)x，稱事件X x發(fā)生的概率為隨機變量X的分布函數(shù)， (1)在分布函數(shù)的定義中, X是隨機變量, x是自變量.分布函數(shù)的定義域是全體實數(shù)。 (2) 分布函數(shù)的值域是0,1。注意 :1、隨機變量的分布函數(shù)的定義(3) 對任意實數(shù) x1x2，隨機點落在區(qū)間( x1 , x2 內(nèi)的概率為： =P X x2 - P X x1 P x1X x2 = F(x2)-F(x1) 如果將 X 看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X落在區(qū)間 內(nèi)的概率.隨機點實數(shù)

8、點(4)1、隨機變量的分布函數(shù)的定義由分布函數(shù)的定義易知,對任意實數(shù)a, b (a b),有 可見，若已知X的分布函數(shù)F(x)，那么，計算X 落如某個區(qū)間的概率就非常方便了 由于分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，通過它我們可以方便地利用數(shù)學方法來研究隨機變量1、隨機變量的分布函數(shù)的定義實例 拋擲均勻硬幣, 令求隨機變量 X 的分布函數(shù).解的分布函數(shù)圖右連續(xù)的階梯函數(shù)r.v的分布函數(shù)必滿足性質是單調不減函數(shù)且右連續(xù)函數(shù)即分布函數(shù)的基本性質：當 時當 時注性質 是分布函數(shù)的本質特征滿足性質 的 必是某r.v的分布函數(shù)2、隨機變量的分布函數(shù)的性質【例】 證明是一個分布函數(shù)該函數(shù)稱為柯西分布函數(shù)證：顯然F(x)在整個數(shù)軸上是連續(xù)、單調嚴增函數(shù)，且 因此它滿足分布函數(shù)的三條基本性質，故F(x)是一個分布函數(shù)典型例題設隨機變量X的分布函數(shù)為試求 (1)系數(shù)A,B；(2)X取值落在（-1，1中的概率。（1）由 解得： 例解典型例題 （2）由分布函數(shù)計算事件概率公式得： 于是，分布函數(shù)為： 典型例題例解若x0，X x為不可能事件, 則F(x)=PXx=0；若xr，X x為必然事件，F(xiàn)(x) = PX x =1；事件X x表示所拋一點落在半徑為x的圓內(nèi)向半徑為r的圓內(nèi)隨機拋一點，求此點到圓心的距離X的分布函數(shù)，并求典型例題若0 x r，由幾何概型知從而X的分布函數(shù)為其