實(shí)變函數(shù)試題庫(kù)及參考答案

1、實(shí)變函數(shù)試題庫(kù)及參考答案（1）本科一、填空題.設(shè)A,B為集合，則ABUBAUB（用描述集合間關(guān)系的符號(hào)填寫(xiě)）.設(shè)A是B的子集，則AB（用描述集合間關(guān)系的符號(hào)填寫(xiě)）.如果E中聚點(diǎn)都屬于E,則稱(chēng)E是.有限個(gè)開(kāi)集的交是.設(shè)Ei、E2是可測(cè)集，則mE1UE2mEimE2（用描述集合間關(guān)系的符號(hào)填寫(xiě)）.設(shè)E?n是可數(shù)集，則m*E0.設(shè)fx是定義在可測(cè)集E上的實(shí)函數(shù)，如果a?1,Exfxa是,則稱(chēng)fx在E上可測(cè).可測(cè)函數(shù)列的上極限也是函數(shù).設(shè)fnxfx,gnxgx,則fnxgnx.設(shè)fx在E上L可積，則fx在E上二、選擇題TOC o 1-5 h z.下列集合關(guān)系成立的是（）.若ERn是開(kāi)集，則（）.設(shè)fn

2、x是E上一列非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則（）三、多項(xiàng)選擇題（每題至少有兩個(gè)以上的正確答案）.設(shè)E0,1中無(wú)理數(shù)，則（）AE是不可數(shù)集BE是閉集.設(shè)E?“是無(wú)限集，則（）AE可以和自身的某個(gè)真子集對(duì)等.設(shè)fx是E上的可測(cè)函數(shù)，則（A函數(shù)fx在E上可測(cè)CE中沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)DmE1BEa（a為自然數(shù)集的基數(shù)）Bfx在E的可測(cè)子集上可測(cè)Cfx是有界的Dfx是簡(jiǎn)單函數(shù)的極限.設(shè)fx是a,b上的有界函數(shù)，且黎曼可積，則()Afx在a,b上可測(cè)Bfx在a,b上L可積Cfx在a,b上幾乎處處連續(xù)Dfx在a,b上幾乎處處等于某個(gè)連續(xù)函數(shù)四、判斷題.可數(shù)個(gè)閉集的并是閉集.().可數(shù)個(gè)可測(cè)集的并是可測(cè)集.TOC o 1-5 h z(

3、).相等的集合是對(duì)等的.().稱(chēng)fx,gx在E上幾乎處處相等是指使fxgx的x全體是可測(cè)集.()五、定義題.簡(jiǎn)述無(wú)限集中有基數(shù)最小的集合，但沒(méi)有最大的集合.簡(jiǎn)述點(diǎn)集的邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系.簡(jiǎn)單函數(shù)、可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)有什么關(guān)系？.a,b上單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)有什么關(guān)系？六、計(jì)算題x2xE.設(shè)fx3，其中E為0,1中有理數(shù)集，求fxdx.TOC o 1-5 h zx3x0,1E0,1.設(shè)rn為0,1中全體有理數(shù)，fnx1xr1,r2，Lrn,求limfnxdx.0 x0,1r1,r2,Lrnn0,1七、證明題.證明集合等式：(AB)UBAUB.設(shè)E是0,1中的無(wú)理數(shù)集，則E是可測(cè)集，且mE

4、1.設(shè)f(x),g(x)是E上的可測(cè)函數(shù)，則Ex|f(x)g(x)是可測(cè)集.設(shè)f(x)是E上的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任何常數(shù)a0,有mEx|f(x)|a-|f(x)dxaE.設(shè)f(x)是E上的L可積函數(shù)，En是E的一列可測(cè)子集，且limmEn0,則n實(shí)變函數(shù)試題庫(kù)及參考答案(1)本科、填空題1尸2._3.閉集4.開(kāi)集5._6尸7.可測(cè)集8.可測(cè)9.fxgx10.可積二、單選題ABB三、多選題ACDABABDABC四、判斷題xVVV五、定義題.答：因?yàn)槿魏螣o(wú)限集均含有可數(shù)集，所以可數(shù)集是無(wú)限集中基數(shù)最小的，但無(wú)限集沒(méi)有基數(shù)最大的，這是由于任何集合A,A的募集2A的基數(shù)大于A的基數(shù).答：內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)，邊

5、界點(diǎn)不一定是聚點(diǎn)，點(diǎn)集的邊界點(diǎn)或?yàn)楣铝Ⅻc(diǎn)或?yàn)榫埸c(diǎn).答：連續(xù)函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)；簡(jiǎn)單函數(shù)一定是可測(cè)函數(shù)；簡(jiǎn)單函數(shù)可表示成簡(jiǎn)單函數(shù)或連續(xù)函數(shù)的極限TOC o 1-5 h z.答：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)是有界變差函數(shù)，有界變差函數(shù)可表示成兩個(gè)單調(diào)增函數(shù)之差.六、解答題1.解：因?yàn)閙E0,所以fxx3,a.e于0,1,于是fxdxx3dx,0,10,1而x3在0,1上連續(xù)，從而黎曼可積，故由黎曼積分與勒貝格積分的關(guān)系,一一1因此fxdx-.0,142.解：顯然fnx在0,1上可測(cè)，另外由fnx定義知，fnx0,a.e于0,1n1所以fnxdx0dx00,10,1因此limfnxdx0n0,1七、證明題.證明.證明設(shè)F是0,1中的有理數(shù)集，則F是可數(shù)集，從而mF0,因此F是可測(cè)集從而Fc可測(cè)，又E0,1F0,1IFc,故E是可測(cè)集.由于EIF,所以1m0,1m(EUF)mEmF0mF,故mF1.證明設(shè)7為全體有理數(shù)所成之集，則因?yàn)閒(x),g(x)是E上的可測(cè)函數(shù)，所以Ex|f(x)%,Ex|g(x)rn是可測(cè)集,n1,2,L，于是由可測(cè)集性質(zhì)知Ex|f(x)g(x)是可測(cè)集.證明因?yàn)閒(x)在E上可測(cè)，所以|f(x)|在E上非負(fù)可測(cè)，由非負(fù)可測(cè)函數(shù)積分性質(zhì)，而adxamEx|f(x)|a,所以Ex|f(x)|a.證明因?yàn)閘immEn0,所以0,N1