備戰(zhàn)2017高考數(shù)學(xué)（精講 精練 精析）專題8.3 立體幾何綜合問題試題（江蘇版）（含解析）

1、專題3 立體幾何綜合問題【三年高考】1. 【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)改編】平面過正文體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，,則m,n所成角的正弦值為【答案】考點(diǎn)：平面的截面問題,面面平行的性質(zhì)定理,異面直線所成的角.【名師點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形,解形求角、得鈍求補(bǔ).2【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】如圖,在已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.（I）證明G是AB的中點(diǎn)；（II）在答題卡第（18）題圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由）,并求四面

2、體PDEF的體積【答案】（I）見解析（II）作圖見解析,體積為【解析】試題分析：先證明由可得是的中點(diǎn). （II）在平面內(nèi),過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),即為在平面內(nèi)的正投影.要求四面體的體積可先證明平面,把看作高,求出高及底面積,即可確定體積.試題解析：（I）因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為,所以因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為,所以所以平面,故又由已知可得,從而是的中點(diǎn). 由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且,可得 在等腰直角三角形中,可得所以四面體的體積考點(diǎn)：線面位置關(guān)系及幾何體體積的計(jì)算【名師點(diǎn)睛】文科立體幾何解答題主要考查線面位置關(guān)系的證明及幾何體體積的計(jì)算,空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的

3、平行與垂直關(guān)系,其中推理論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進(jìn)行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類題目難度不大,以中檔題為主.3【2016高考新課標(biāo)文數(shù)】如圖，四棱錐中，平面，為線段上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)（I）證明平面；（II）求四面體的體積.【答案】（）見解析；（）【解析】試題分析：（）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（）由條件可知四面體的高，即點(diǎn)到底面的距離為棱的一半，由此可順利求得結(jié)果試題解析：（）由已知得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，. .3分又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫妫矫?，所以平? .6分（）因?yàn)槠矫?/p>

4、，為的中點(diǎn)，所以到平面的距離為. .9分取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，.由得到的距離為，故，所以四面體的體積. .12分考點(diǎn)：1、直線與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、三棱錐的體積【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實(shí)現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求三棱錐的體積關(guān)鍵是確定其高，而高的確定關(guān)鍵又推出頂點(diǎn)在底面上的射影位置，當(dāng)然有時(shí)也采取割補(bǔ)法、體積轉(zhuǎn)換法求解4【2016高考天津文數(shù)】(本小題滿分13分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED平面ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，BAD=60，G為

5、BC的中點(diǎn).()求證：平面BED；()求證：平面BED平面AED；()求直線EF與平面BED所成角的正弦值.【答案】（）詳見解析（）詳見解析（）【解析】試題解析：（）證明：取的中點(diǎn)為，連接，在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且，又因?yàn)椋郧?，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平?（）證明：在中，由余弦定理可，進(jìn)而可得，即，又因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?；平面平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（）解：因?yàn)椋灾本€與平面所成角即為直線與平面所成角.過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，又因?yàn)槠矫嫫矫?，由（）知平面，所以直線與平面所成角即為.在中，由余弦定理可得，所以，因此，在中，所以直線與平面所成角的正弦值為考點(diǎn)

6、：直線與平面平行和垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成角【名師點(diǎn)睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.5.【2016高考浙江文數(shù)】（本題滿分15分）如圖，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（I）求證：BF平面ACFD；（II）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.【答案】（I）證明見解析；（II）.【解析】（I

7、I）因?yàn)槠矫?，所以是直線與平面所成的角，在中，得，所以直線與平面所成的角的余弦值為.考點(diǎn)：空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系、線面角.【方法點(diǎn)睛】解題時(shí)一定要注意直線與平面所成的角的范圍，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對(duì)角線6【2016高考上海文科】（本題滿分12分）將邊長為1的正方形AA1O1O（及其內(nèi)部）繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖， 長為 ，長為，其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè).（1）求圓柱的體積與側(cè)面積；（2）求異面直線O1B1與OC所成的角的大小. 【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（

8、1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑計(jì)算體積與側(cè)面積即得.（2）由得或其補(bǔ)角為與所成的角，計(jì)算即得試題解析：（1）由題意可知，圓柱的母線長，底面半徑圓柱的體積，圓柱的側(cè)面積考點(diǎn)：1.幾何體的體積；2.空間的角.【名師點(diǎn)睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題.立體幾何中的角與距離的計(jì)算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等.7.【2016高考四川文科】（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，

9、PACD，ADBC，ADC=PAB=90，.（I）在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PAB，并說明理由； （II）證明：平面PAB平面PBD.【答案】（）取棱AD的中點(diǎn)M，證明詳見解析；（）證明詳見解析.【解析】試題分析：（）探索線面平行，根據(jù)是線面平行的判定定理，先證明線線平行，再得線面平行，只要在平面上作交于即得；（）要證面面垂直，先證線面垂直，也就要證線線垂直，本題中有（由線面垂直的性質(zhì)或定義得），另外可以由平面幾何知識(shí)證明，從而有線面垂直，再有面面垂直試題解析：（I）取棱AD的中點(diǎn)M(M平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下：因?yàn)锳DBC,BC=AD，所以BCAM, 且BC

10、=AM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CMAB.又AB 平面PAB,CM 平面PAB,所以CM平面PAB.(說明：取棱PD的中點(diǎn)N,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))（II）由已知，PAAB, PA CD,因?yàn)锳DBC,BC=AD，所以直線AB與CD相交，所以PA 平面ABCD.從而PA BD.因?yàn)锳DBC,BC=AD，所以BCMD,且BC=MD.所以四邊形BCDM是平行四邊形.所以BM=CD=AD，所以BDAB.又ABAP=A,所以BD平面PAB.又BD 平面PBD,所以平面PAB平面PBD.考點(diǎn)：線面平行、線線平行、線線垂直、線面垂直.【名師點(diǎn)睛】本題考查線面平行、面面垂直的判斷，

11、考查空間想象能力、分析問題的能力、計(jì)算能力.證明線面平行時(shí)，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線，而這條平行線一般是由過面外的直線的一個(gè)平面與此平面相交而得，證明時(shí)注意定理的另外兩個(gè)條件（線在面內(nèi)，線在面外）要寫全，否則會(huì)被扣分，求線面角（以及其他角），證明面面垂直時(shí)，要證線面垂直，要善于從圖形中觀察有哪些線線垂直，從而可能有哪個(gè)線面垂直，確定要證哪個(gè)線線垂直，切忌不加思考，隨便寫8【2015高考浙江，文7改編】如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是【答案】橢圓【解析】由題可知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在空間中，滿足條件的繞旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓錐，用一個(gè)與圓錐高成角的平面截圓錐

12、，所得圖形為橢圓.9【2015高考福建，文20】如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且（）若為線段的中點(diǎn)，求證平面；（）求三棱錐體積的最大值；（）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值【解析】解法一：（I）在中，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以又垂直于圓所在的平面，所以因?yàn)?，所以平面（II）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以當(dāng)時(shí)，到的距離最大，且最大值為又，所以面積的最大值為又因?yàn)槿忮F的高，故三棱錐體積的最大值為（III）在中，所以同理，所以在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，如圖所示當(dāng)，共線時(shí)，取得最小值又因?yàn)椋源怪逼椒?，即為中點(diǎn)從而，亦即的最小值為解法二：（I）、（II）同解法一10.【20

13、15高考陜西，文18】如圖1，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，將沿折起到圖2中的位置，得到四棱錐.(I)證明：平面；(II)當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積為，求的值.【解析】 (I)在圖1中，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，即在圖2中，從而平面，又，所以平面.(II)由已知，平面平面，且平面平面 ，又由(I)知，所以平面，即是四棱錐的高，由圖1可知，平行四邊形面積，從而四棱錐的為，由，得.11.【2015高考四川，文18】一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.()請(qǐng)按字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點(diǎn)處(不需要說明理由)()判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并說明你的結(jié)論.()

14、證明：直線DF平面BEG【解析】()點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示()平面BEG平面ACH.證明如下，因?yàn)锳BCDEFGH為正方體，所以BCFG，BCFG，又FGEH，F(xiàn)GEH，所以BCEH，BCEH，于是BCEH為平行四邊形，所以BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH，同理BG平面ACH，又BEBGB，所以平面BEG平面ACH，()連接FH，因?yàn)锳BCDEFGH為正方體，所以DH平面EFGH，因?yàn)镋G平面EFGH，所以DHEG，又EGFH，EGFHO，所以EG平面BFHD，又DF平面BFDH，所以DFEG，同理DFBG，又EGBGG，所以DF平面BEG.12.【2015高

15、考重慶，文20】如題（20）圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，點(diǎn)D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF/BC.()證明：AB平面PFE.()若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長.【解析】如題(20)圖.由知，為等腰中邊的中點(diǎn)，故，又平面平面，平面 平面，平面，所以平面，從而.因. 從而與平面內(nèi)兩條相交直線，都垂直，所以平面.(2)解：設(shè),則在直角中，.從而由，知，得,故，即.由,從而四邊形DFBC的面積為 ，由(1)知，PE 平面，所以PE為四棱錐P-DFBC的高.在直角中，,體積,故得，解得，由于，可得.所以或.1

16、3. 【2014高考重慶文第20題】如題（20）圖，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面，為上一點(diǎn)，且.（）證明：平面；（）若，求四棱錐的體積.【解析】（）如答（20）圖，因?yàn)榱庑?，為菱形中心，連結(jié)，則，因，故,又因?yàn)椋?，在中所以，?又底面，所以,從而與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，所以平面（）解：由（）可知，設(shè)，由底面知，為直角三角形，故由也是直角三角形，故,連結(jié)，在中,由已知，故為直角三角形，則即，得，（舍去），即此時(shí)所以四棱錐的體積14.【2014高考天津文第17題】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，,分別是棱的中點(diǎn).（1）證明平面；（2）若二面角P-AD-B為，證明：平面PBC平面ABC

17、D求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.【解析】證明(1)如圖取PB中點(diǎn)M,連接MF,AM.因?yàn)镕為PC中點(diǎn)，故MF/BC且MF=BC.由已知有BC/AD，BC=AD.又由于E為AD中點(diǎn)，因而MF/AE且MF=AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF/AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF/平面PAB. (2)連接PE,BE.因?yàn)镻A=PD,BA=BD,而E為AD中點(diǎn)，故PEAD,BEAD,所以PEB為二面角P-AD-B的平面角.在三角形PAD中，由，可解得PE=2. 在三角形ABD中，由,可解得BE=1. 在三角形PEB中，PE=2, BE=1, ,由余弦定理，可解得PB=，

18、從而，即BEPB,又BC/AD,BEAD,從而BEBC,因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD;連接BF，由知BE平面PBC.所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角，由PB=，PA=,AB=得ABP為直角，而MB=PB=,可得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直線EF與平面PBC所成角的正弦值為15. 【2014高考全國1文第19題】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面.證明：若,求三棱柱的高.【解析】（1）連結(jié)，則O為與的交點(diǎn). 因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以.又平面，所以，故平面ABO.由于平面ABO，故.（2）作，垂足為D，連結(jié)AD，

19、作，垂足為H.由于，故平面AOD，所以，又，所以平面ABC.因?yàn)?，所以為等邊三角形，又，可?由于，所以,由，且，得，又O為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面ABC的距離為.故三棱柱的高為.16.【2014高考江西文第19題】如圖，三棱柱中，.（1）求證：；（2）若，問為何值時(shí)，三棱柱體積最大，并求此最大值.【解析】（1）證明：由知,又,故平面即,又，所以（2）設(shè)在中同理在中, ，所以從而三棱柱的體積為因故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，體積取到最大值【2017年高考命題預(yù)測(cè)】縱觀2016各地高考試題，高考對(duì)立體幾何的考查，主要考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力以及基本運(yùn)算能力. 從高考試題來看，線線垂直的判定、線面垂直的

20、判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角等是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題又有解答題，難度中等偏高，客觀題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角的概念及求法；而主觀題不僅考查以上內(nèi)容，同時(shí)還考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力而直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定高考大題沒涉及，而在小題中考查，直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定是高考的熱點(diǎn)，預(yù)測(cè)2017年高考，可能以柱體，錐體為幾何背景，第一問以線面位置關(guān)系，面面位置關(guān)系為主要考查點(diǎn)，第二問仍以求體積或表面積為主，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問題、解決問題的能力復(fù)習(xí)建

21、議：空間圖形中的角與距離，先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”090，其方法是平移法和補(bǔ)形法；直線與平面所成角的范圍是090，其解法是作垂線、找射影；二面角0180.平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題，要對(duì)照翻折（或展開）前后兩個(gè)圖形，分清哪些元素的位置（或數(shù)量）關(guān)系改變了，哪些沒有改變.【2017年高考考點(diǎn)定位】對(duì)立體幾何中的角與距離，主要以選擇題的方式進(jìn)行考查，而綜合性問題，主要在解答題中考查，一般第一問證明平行與垂直，第二問求體積，面積，或涉及一些探索性命題，難度不算太大，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力【

22、考點(diǎn)1】空間角，距離的求法【備考知識(shí)梳理】1空間的角(1)異面直線所成的角：如圖，已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線.則把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)異面直線所成的角的范圍是.(2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是的角直線與平面所成角的范圍是.(3)二面角的平面角：如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則叫做二面角的平面角二面角的范圍是.(4)等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相

23、同，那么這兩個(gè)角相等.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.3.空間距離:（1）兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離；常有求法先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長即可找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離根據(jù)異面直線間的距離公式EF （“”符號(hào)由實(shí)際情況選定）求距離.（2）點(diǎn)到平面的距離：點(diǎn)到直線的距離為點(diǎn)到直線的垂線段的長，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為，過作的垂線，垂足為

24、連，則由三垂線定理可得線段即為點(diǎn)到直線的斜線上兩點(diǎn)，到斜足的距離，的比為，則點(diǎn)，到平面的距離之比也為特別地，時(shí)，點(diǎn)，到平面的距離相等；體積法（3）直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；（4）平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個(gè)平行平面的距離.【規(guī)律方法技巧】1空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角.（1）異面直線所成的角的范圍是.求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)

25、特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來求角; 補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角.（2）直線與平面所成的角的范圍是.求線面角方法:利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑.利用三棱錐的等體積，省去垂足,在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時(shí)可以利用求點(diǎn)面距常用方法-等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因?yàn)榇咕€段的長度實(shí)際就是點(diǎn)面距h,利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后

26、利用進(jìn)行求解.妙用公式，直接得到線面角課本習(xí)題出現(xiàn)過這個(gè)公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個(gè)公式在求解一些選擇填空題時(shí)，可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個(gè)角的位置，不能張冠李戴.（3）確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置

27、：a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范圍，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求.求二面角的方法:直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計(jì)算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個(gè)角就是所求二面角的平面角,然后再計(jì)算這個(gè)角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從

28、以下幾個(gè)方面著手:利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角,自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角, 自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角；利用定義確定平面角, 在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；射影面積法.利用射影面積公式 ；此方法常用于無棱二面角大小的計(jì)算；對(duì)于無棱二面角問題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等.2

29、. 求距離的關(guān)鍵是化歸.即空間距離向平面距離化歸，具體方法如下：（1）求空間中兩點(diǎn)間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形.（2）求點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點(diǎn)的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法.（3）求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動(dòng)”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：找出或作出表示有關(guān)距離的線段；證明它符合定義；歸到解某個(gè)三角形若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計(jì)算求之.異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為 ，它們的公垂

30、線AA的長度為d ，在a 上有線段AE m ，b 上有線段AF n ，那么EF （“”符號(hào)由實(shí)際情況選定）3.求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn)：注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置.作線面角的方法除平移外，補(bǔ)形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理.求二面角高考中每年必考，復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種： ”求二面角否則要適當(dāng)扣分.求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，此時(shí)常考慮面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì).而間接

31、法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法.求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離.【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖所示，正四棱錐的所有棱長均相等，是的中點(diǎn)，那么異面直線與所成的角的余弦值等于 【答案】2.如圖1,在直角梯形中, 點(diǎn) 為中點(diǎn)將沿折起, 使平面平面,得到幾何體,如圖2所示BACD圖1EABCD圖2E（1）在上找一點(diǎn),使平面； （2）求點(diǎn)到平面的距離【解析】（1） 取的中點(diǎn),連結(jié),，在中, ,分別為,的中點(diǎn)，為的中位線 ， ，平面 平面 ，平面 ；（2）設(shè)點(diǎn)到平面ABD的距離為 ，平面平面且，平面 ， 而 ，平面， 即

32、，三棱錐的高, ，即， .【考點(diǎn)2】立體幾何綜合問題【備考知識(shí)梳理】空間線、面的平行與垂直的綜合考查一直是高考必考熱點(diǎn).歸納起來常見的命題角度有：1以多面體為載體綜合考查平行與垂直的證明.2探索性問題中的平行與垂直問題.3折疊問題中的平行與垂直問題.【規(guī)律方法技巧】1. 證線面平行，一般都考慮采用以下兩種方法：第一，用線面平行的判定定理，第二用面面平行的性質(zhì)定理；2、證面面垂直，關(guān)鍵是考慮證哪條線垂直哪個(gè)面.這必須結(jié)合條件中各種垂直關(guān)系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮；3、條件中告訴我們某種位置關(guān)系，就要聯(lián)系到相應(yīng)的性質(zhì)定理.比如本題中已知兩平面互相垂直，我們就要兩平面互相垂直的性質(zhì)定理；4、在立體幾

33、何的平行關(guān)系問題中，“中點(diǎn)”是經(jīng)常使用的一個(gè)特殊點(diǎn)，無論是試題本身的已知條件，還是在具體的解題中，通過找“中點(diǎn)”，連“中點(diǎn)”，即可出現(xiàn)平行線；若是給出了一些比例關(guān)系，則通過比例關(guān)系證明線線平行.線線平行是平行關(guān)系的根本.5、在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計(jì)算的方式證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直，其中要特別重視兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理，這個(gè)定理已知的是兩個(gè)平面垂直，結(jié)論是線面垂直2. 探索性問題探求某些點(diǎn)的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關(guān)系，是一類逆向思維的題目.一般可采用兩個(gè)方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運(yùn)用推理證明計(jì)算得

34、出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算.探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn)3折疊問題中的平行與垂直關(guān)系的處理關(guān)鍵是結(jié)合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關(guān)系，弄清哪些角度和長度變了，哪些沒有變；哪些線共面，哪些線不共面，翻折后的線與原來的線有什么聯(lián)系，尤其要注意找出互相平行或垂直的直線. 尤其是隱含著的垂直關(guān)系4把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從解決平面問題而使空間問題得以解決.求角的三個(gè)基本步驟：“作”、“證”、“算”.（1）常用等角定理或平行移動(dòng)直線及平面的方法轉(zhuǎn)化所求角的位置；（2）常用平行

35、線間、平行線面間或平行平面間距離相等為依據(jù)轉(zhuǎn)化所求距離的位置；（3）常用割補(bǔ)法或等積（等面積或等體積）變換解決有關(guān)距離及體積問題.5. 向量為謀求解立體幾何的探索性問題空間向量最合適于解決立體幾何中探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷，在解題過程中，往往把“是否存在”問題，轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問題的解集更加簡單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題.【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】1. 【鹽城市2016屆高三年級(jí)第三次模擬考試】如圖，四棱錐中，底面是矩形，底面，分別為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.【答案】（1）詳見解析（2）

36、詳見解析【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接. 因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且，又是的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以是平行四邊形，故. 又平面，平面，所以平面. （說明：也可以取中點(diǎn)，用面面平行來證線面平行）（2）因?yàn)榈酌妫酌?，所? 取中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭蔷匦?，且，所以都是正方形，所以，? 又是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面. 而平面，所以平面平面. 2.如圖,矩形中,、分別為、邊上的點(diǎn),且,將沿折起至位置(如圖所示),連結(jié)、,其中.() 求證:平面； () 在線段上是否存在點(diǎn)使得平面?若存在,求出點(diǎn)的位置；若不存在,請(qǐng)說明理由.() 求點(diǎn)到平面的距離.【解析】 ()連結(jié),由翻折不變性可知,在中,所以

37、， 在圖中,易得,在中,所以，又,平面,平面,所以平面.【兩年模擬詳解析】1. 【南通市2016屆高三下學(xué)期第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題】如圖，在四棱錐中，平面，分別是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）設(shè)，連結(jié)，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）（方法一）因?yàn)槠矫?，平面所以，由?）同理可得，四邊形為平行四邊形，所以，所以因?yàn)椋云叫兴倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平?（方法二）連結(jié)，因?yàn)槠矫?，平面，所以因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以?/p>

38、為為的中點(diǎn)，所以，由（1），所以又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以因?yàn)?，平面，平面所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?2【江蘇省蘇中三市2016屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題】在體積為的四面體中，平面，則長度的所有值為 【答案】或【解析】由題意得因此由余弦定理得：或，因此或3. 【2016高考沖刺卷（6）【江蘇卷】已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2、銳角為的菱形，側(cè)棱PA底面ABCD,PA=3.若點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，則三棱錐M-PAD的體積為 【答案】【解析】因,又故三棱錐M-PAD的體積為4. 【2016高考沖刺卷（5）【江蘇卷】已知三棱錐的體積為1，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則三棱錐的體積是【答案】5【

39、2016年第四次全國大聯(lián)考【江蘇卷】已知正三棱柱的各條棱長均為1，圓錐側(cè)面展開圖為半徑為2的半圓，那么這個(gè)正三棱柱與圓錐的體積比是【答案】【解析】由題意得圓錐母線為2，設(shè)圓錐底面半徑為、高為，則因此圓錐體積為而正三棱柱體積為，因此正三棱柱與圓錐的體積比是6【 2016年第二次全國大聯(lián)考（江蘇卷）】（本小題滿分14分）如圖，平行四邊形平面， .（）求證： 平面；（）若為線段中點(diǎn)，為線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，求證：不可能與平面平行.【答案】（）詳見解析（）詳見解析【解析】證：（1）過作交于.平行四邊形平面，平面，又平面，. 由已知，, . 由得，平面； （2）假設(shè)直線平行平面，由于平面，且平面 平面，所

40、以.因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以為線段中點(diǎn)，這與為線段一個(gè)三等分點(diǎn)相矛盾，故假設(shè)不成立，即不可能與平面平行. 7【2016年第三次全國大聯(lián)考【江蘇卷】（本小題滿分14分）如圖所示,在直四棱柱中, ,點(diǎn)是棱上的一點(diǎn).(1)求證：面；(2)求證：；(3)試確定點(diǎn)的位置,使得平面平面. 【答案】（）詳見解析（）詳見解析. (3) 點(diǎn)為棱的中點(diǎn)【解析】 (1)證明：由直四棱柱,得,所以是平行四邊形,所以而,所以面(2)證明：因?yàn)? 所以又因?yàn)?且，所以而，所以(3)當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí),平面平面取DC的中點(diǎn)N,D1C1的中點(diǎn)N1,連接交于,連接.因?yàn)镹是DC中點(diǎn),BD=BC,所以；又因?yàn)镈C是面ABCD與面的交線

41、,而面ABCD面,所以又可證得,是的中點(diǎn),所以BMON且BM=ON,即四邊形BMON是平行四邊形,所以BNOM,所以O(shè)M平面,因?yàn)镺M面DMC1,所以平面平面.8【2016高考押題卷（3）【江蘇卷】（本小題滿分14分）在三棱錐中，若分別為的中點(diǎn)，且平面（1）求證：平面；（2）求證：平面【答案】（）詳見解析（）詳見解析【解析】證明：（1）由、E分別為的中點(diǎn)可知,，所以， 平面， 而平面，因此平面；9. 【2016高考押題卷（2）【江蘇卷】（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，分別為的中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)求證：平面平面的充要條件是【答案】（）詳見解析（）詳見解析【解析】（1）

42、連接BD，由已知，M為AC和BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镹為PD的中點(diǎn) 平面ABP （2）,BP、BC在平面BPC內(nèi)交于B， 充分性：，平面平面 必要性：過點(diǎn)B作于E平面平面 10【2016高考沖刺卷（4）【江蘇卷】(本小題滿分14分)如圖，在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分別為AB，PA的中點(diǎn)（1）求證：PB平面MNC；（2）若ACBC，求證：PA平面MNC.【答案】（）詳見解析（）詳見解析【解析】證：（1）因?yàn)镸，N分別為AB，PA的中點(diǎn)，所以MNPB 因?yàn)镸N平面MNC，PB平面MNC， 所以PB平面MNC. （2）因?yàn)镻APB，MNPB，所以PAMN. 因?yàn)锳CBC，A

43、MBM，所以CMAB. 因?yàn)槠矫鍼AB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB，所以CM平面PAB 因?yàn)镻A平面PAB，所以CMPA 因?yàn)镻AMN，MN平面MNC，CM平面MNC，MNCMM，所以PA平面MNC.11在半徑為2的球面上有不同的四點(diǎn)A、B、C、D，若，則平面BCD被球所截面圖形的面積為 .【答案】12.【浙江省效實(shí)中學(xué)2015屆高三上學(xué)期期中考試】異面直線所成的角為，過空間中定點(diǎn)，與都成角的直線有四條，則的取值范圍是 【答案】【解析】將異面直線平移使它們相交點(diǎn)，如圖平移后的直線分別用表示，作,則,滿足與都成角的直線有四條，所以必須在區(qū)域SOAB,SOBC,SOCD,S

44、OAD內(nèi)各有一條直線與AC,BD成60角，當(dāng)時(shí)，在區(qū)域SOAB沒有滿足條件的直線，當(dāng)，在區(qū)域SOAB滿足條件的直線只能在平面ABCD內(nèi)，此時(shí)只能有3條，所以，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角的范圍，所以的取值范圍是.13.【河南省開封市2015屆高三上學(xué)期定位考試模擬】三棱柱側(cè)棱與底面垂直，體積為，高為，底面是正三角形，若是中心，則與平面所成的角大小是_.【答案】14. 【吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2015屆高三第三次模擬考試】已知四棱錐中,底面是直角梯形, 平面平面R、S分別是棱AB、PC的中點(diǎn), （）求證：平面平面（）求證：平面（III）若點(diǎn)在線段上,且平面求三棱錐的體積.【解析】（）證明：因面面且相交于直線AB

45、， 而面,， 所以面，,又，所以面，因面，所以平面平面15. 【2015屆黑龍江省哈爾濱六中高三下學(xué)期第四次模擬】如圖，直三棱柱的底面是邊長為的正三角形，點(diǎn)M在邊BC上，是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形（1）求證：直線平面；（2）求三棱錐的高【解析】（1）連接，交于點(diǎn)N，連接MN,直三棱柱，平面,又平面，,平面，故為的中點(diǎn)，而為的中點(diǎn)，則, 平面 （2）設(shè)三棱錐的高為，平面，即，16.【2015屆浙江省桐鄉(xiāng)一中高三下學(xué)期聯(lián)盟學(xué)校高考仿真測(cè)試】如圖，四棱錐中，面EBA面ABCD，側(cè)面ABE是等腰直角三角形，（）求證：；（）求直線與面的所成角的正弦值17. 【江蘇省啟東中學(xué)2015屆高三下學(xué)期期初調(diào)研】如圖1所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90，CD為ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE4.如圖2所示，將BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，連結(jié)AB，設(shè)點(diǎn)F