平面向量與復(fù)數(shù)

1、第五章平面向量與復(fù)數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算醫(yī)j也酉*HU躺GJILIKKHI適逼P滬闔駅二毬D金圃制導(dǎo)鹽必過教材關(guān)1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為ai|a|平行向量方向相同或相反的非零向量共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運

2、算律加法求兩個向量和的運算交換律：a+b=b+a;結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)三角形法則aB平行四邊形法則減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差ab=a+(b)1a三角形法則數(shù)乘求實數(shù)入與向量a的積的運算(1)1+口M(2)當心0時，入a的方向與a的方向相同；當X0時，入aX卩戸(入歸；(Hp)a=入屮p.a；+b)=xaXb的方向與a的方向相反;當X=0時，入a=03.共線向量定理向量a（a工0）與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)人使得b=入a小題體驗（教材習(xí)題改編）化簡：TOC o 1-5 h z（1）（AB+MB）+BO+OM=；（2）NQ+QP+MNMP=.答案：（1

3、）AB（2）0已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a+入與一（b3a）共線，貝Uk=,1答案：1（教材習(xí)題改編）如圖，設(shè)ABC三條邊的中線AD,BE,CF相交于點G,則下列三個向量：ABCB+CA，GA+GBCG,BFCDEA中，等于零向量的是（填序號）.解析：中，原式=AB+BC+CA=0.中，原式=GA+GB+GC=GC+GC=0.m4ThJ1中，原式=BF+DC+AE=2（BA+AC+BC）=BC工0.所以三個向量中等于零向量的是.答案：必過易措美1.在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯誤.2.在向量共線的重要條件中易忽視“az0”，否則入可能不存在，

4、也可能有無數(shù)個.3.要注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系.小題糾偏.已知a,b是任意向量，下列條件中可推得a與b共線的有（填序號）.a=b,|a|=|b|,a與b方向相反，a=0或b=0,a,b都是單位向量.解析：由向量共線的定義知填.答案：2.對于向量a與b,下列說法正確的是（填序號）.如果a與b共線，則a=b或a=b;如果a與b共線，則a與b平行；如果a與b共線，則存在實數(shù)入使得a=入b解析：a與b共線不能確定其長度關(guān)系，故錯誤；當a工0而b=0時，這樣的入不存在，故錯誤；向量平行和共線是相同的概念，故正確.答案：3若菱形ABCD的邊長為2,則|ABCB+CD|=.解析：|ABCB+CD|

5、=|AB+BC+CD|=|AD|=2.答案：2RETANGKAODIANHJPO圍能血4會的級聞53；?魚伺他圜應(yīng)庖考點一平面向量的有關(guān)概念基礎(chǔ)送分型考點自主練透題組練透1.下列說法正確的是.平行向量的方向一定相同；與任意向量都平行的向量一定是零向量;相等的向量一定是平行向量；共線向量一定在同一條直線上.解析：平行向量的方向也可能相反，所以錯誤；只有零向量與任意向量都平行,所以正確；顯然正確；共線向量只要方向相同或相反即可，不一定在同一條直線上，所以錯誤.答案：2.下列命題中正確的是.若a/b,則|a|=|b|；若|a|b|，則a0,k=1.由題悟法共線向量定理的3個應(yīng)用(1)證明向量共線：對

6、于向量a,b,若存在實數(shù)入使a=b則a與b共線.證明三點共線：若存在實數(shù)入使AB=入AC，則A,B,C三點共線.(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.提醒證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點.即時應(yīng)用Q如圖，在厶ABC中，D,F分別是BC,AC的中點，AE=3AD,A3AB=a,AC=b.（1）用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF；AD（2）求證：B,E,F三點共線.解：（1）延長AD到G,使AD=2AG,連結(jié)BG,CG,得至U?ABGC,所以AG=a+b,1AD=2AG=2（a+b）,21AE=3AD=尹+b）,1AF=2AC=?b,1111

7、BE=AEAB=3（a+b）a=（b2a）,nLa1BF=AFAB=?ba=2（b2a）.一一一_i2-(2)證明：由(1)可知BE=3BF,又因為BE,BF有公共點B,所以B,E,F三點共線.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快丄3圓83中迦豳l倉S3辺0昶_1.(2016蘇州測試)在厶ABC中，已知M是BC中點，設(shè)CB=a,CA=b,則AM=三三三三三，一三三三=7a,三三4三三=7a,-1解析：AM=AC+CM=-CA+2CB=-b+Qa.1答案：b+尹在四邊形ABCD中，AB=a+2b,BC=-4ab,CD=-5a3b,則四邊形ABCD的形狀是.解析：由已知，得AD=AB+BC+CD=-8a

8、-2b=2(-4a-b)=2BC，故AD/BC.又因為AB與CD不平行，所以四邊形ABCD是梯形.答案：梯形已知O,A,B,C為同一平面內(nèi)的四個點，若2AC+CB=0，則向量0C=.(用OA,OB表示)解析：因為AC=OC-OA,CB=OB-OC，所以2AC+CB=2(OC-OA)+(OB-OC)=OC-2OA+OB=0,所以O(shè)C=2OA-OB.答案：2OA-OB如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O,AB+AD=入AO，貝U入=.解析：因為ABCD為平行四邊形，所以AB+AD=AC=2AO,已知AB+AD=入AO，故入=2.答案：2設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC夕卜，

9、BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,則|AM|=.解析：由|AB+AC|=|AB-AC可知，AB丄AC,則AM為RtABC斜邊BC上的中線,1因此，IAM|=2BC|=2.答案：2保咼考，全練題型做到咼考達標（2016南通中學(xué)月考）設(shè)O是厶ABC的外心，則AO,BO,CO是.（填序號）相等向量；模相等的向量；平行向量；起點相同的向量.解析：由題意，知點O到三個頂點A,B,C的距離相等，所以AO,BO,CO是模相等的向量.顯然AO,BO,CO的起點不同且方向均不相同，故填.答案：已知向量a,b,c中任意兩個都不共線，但a+b與c共線，且b+c與a共線，則向量a+b+c=.解析：依題意，

10、設(shè)a+b=mc,b+c=na,則有（a+b）（b+c）=mcna,即卩ac=mcna.又a與c不共線，于是有m=1,n=1,a+b=c,a+b+c=0.答案：0在？ABCD中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M為BC的中點，貝UMN=（用a,b表示）._TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 3解析：由AN=3NC，得4AN=3AC=3（a+b）,AM=a+?b,所以MN=4（a+f、11b）a+2b=4a+4b.答案：1a+1b44（2016東中學(xué)月考）在邊長為1的正方形ABCD中，設(shè)AB=a,AD=b,AC=c,貝U

11、|ab+c|=.AaUDC解析：如圖所示，ab+c=ABAD+AC=ABAD+AB+AD=2AB=2a,*|ab+c|=2.答案：2設(shè)O在厶ABC的內(nèi)部，D為AB的中點，且OA+OB+2OC=0，則ABC的面積與AOC的面積的比值為&-三三三三三三=7a,二三解析：/D為AB的中點，則0D=2（OA+OB）,又0A+OB+2OC=0,二OD=OC,O為CD的中點,又D為AB中點,-SaAOC=二SADC=TABC,4則3=4.SaAOC答案：43.3一一6.設(shè)M是厶ABC所在平面上的一點，且MB+3MA+MC=0,D是AC的中點,則LMDJ的值為|BM|解析：/D是AC的中點，延長MD至E，使

12、得DE=MD,-TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark138 o Current Document 113四邊形MAEC為平行四邊形，MD=?MD=?(MA+MC)MB+?MA+|MDI|MD|BM|3MD|13._ HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 32MC=0,MB=2(MA+MC)=3MD,答案：1若點O是厶ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|OBOC|=|OB+OC2OA|,則ABC的形狀為.TLj解析：OB+OC2OA=OBOA+OCOA=AB+AC,OBOC=CB=ABAC,IAB+AC|=|ABAC|.故

13、AB丄AC,ABC為直角三角形.答案：直角三角形已知D,E,F分別為ABC的邊BC,CA,AB的中點，且BC=a,CA=b,給出下列命題:AD=2ab;BE=a+如CF=*a+2bAD+BE+CF=0.其中正確命題的個數(shù)為.11解析：BC=a,CA=b,AD=?CB+AC=尹b,故錯;11BE=BC+qCA=a+b,故正確；1111CF=2(CB+CA)=2(a+b)=?a+2b故正確；-1111AD+BE+CF=bqa+a+?b+尹qa=0.正確命題為.答案：39.在ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB=2GE，設(shè)AB=a,AC=b,試用a,b表示AD,AG.-

14、1-11解：AD=q(AB+AC)=交+qb.AG=AB+BG=AB+3BE=AB+3(BA+BC)2-1一-=3AB+(ACAB)=3ab+3Ac11=3a+3b.10.設(shè)e1,e?是兩個不共線的向量，已知AB=2e18雀CB=e1+3雀CD=2e1求證：A,B,D三點共線；若BF=3e1ke2,且B,D,F三點共線，求k的值.解：(1)證明：由已知得BD=CDCB=(2e1e2)(e1+3e2)=e14e2,TAB=2e18勺，AB=2BD.又AB與BD有公共點B,A,B,D三點共線.(2)由(1)可知BD=e14e2,BF=3e1ke2,且B,D,F三點共線，-BF=入BD(入R),即3

15、e1ke?=入e4入2,解得k=12.三上臺階，自主選做志在沖刺名校1.在直角梯形ABCD中，/A=90,/B=30,AB=23,BC=2,點E在線段CD上，若AE=AD+yAB，貝U的取值范圍是.解析：由題意可求得AD=1,CD=,艮所以AB=2DC.點E在線段CD上，DE=入DC（0w疋1）.AE=AD+DE，又AE=AD+yAB=AD+2yDC=AD+2DE,/寸=剛?cè)?1，即y=2T0W疋1，二0WyW勺即y的取值范圍是|0,1.答案:2.如圖，在ABC中，延長CB到D,使BD=BC,當點E在線段AD上移動時，若AE=XAB+yAC,t=入一y,貝Ut的最大值是解析：設(shè)AE=kAD(0

16、kw1)，則AE=k(AC+2CB)=kAC+A2(ABAC)=2kABkAC.；AE=入AB+yAC,.=2k,y=k,.t=入一y=3k,0wkw1,.當k=1時，t取得最大值3.答案：33.已知O,A,B是不共線的三點，且OP=mOA+nOB(m,nR).若m+n=1,求證：A,P,B三點共線；若A,P,B三點共線，求證：m+n=1.證明：(1)若m+n=1,則OP=mOA+(1m)OB=OB+m(OAOB),OPOB=m(OAOB),即BP=mBA,BP與BA共線.又BP與BA有公共點B,A,P,B三點共線.(2)若A,P,B三點共線，存在實數(shù)人使BP=入BA,0P0B=幷0A0B).

17、=又OP=mOA+nOB.”故有mOA+(n1)OB=xOA入OB,即(m為OA+(n+入一1)OB=0.O,A,B不共線，OA,OB不共線，m入=0,m+n=1.n+Z1=0,第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標運算KEQ1ANSHUAKGJILUDSHI平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)Z,Z,使a=2e土古2其中，不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底平面向量的坐標運算向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a=(X1,y1),b=(x2,y2),貝Ua+b=(x+x?,y+y?),ab=兇一x?,丫廠

18、y?),z=(Z1,入y|a|=X1+y2.向量坐標的求法：若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),貝UAB=(xg&,yg旳),Liiabi=寸兇二xJ+y/.平面向量共線的坐標表示設(shè)a=(X1,y1),b=(X2,y2),其中0.aIIb?xty22y1=0.小題體驗1.已知向量a=(1,m),b=(m,2)，若aIIb,則實數(shù)m=.解析：由aIIb,得1x2m2=0，所以m2=2,即卩m=2.答案：士,22.(教材習(xí)題改編)已知a=(2,1),b=(3,4),貝U3a+4b=.答案：(6,19)設(shè)ei,e2是平面內(nèi)一組基向量，且a=ei+2

19、冊，b=ei+包則向量ei+e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即ei+e2=a+b.解析：由題意，設(shè)ei+e2=ma+nb.因為a=ei+2e2,b=ei+e2，所以ei+e2=m(ei+2e2)+n(ei+e2)=(mn)ei+(2m+n)e2.由平面向量基本定理，得mn=i,2m+n=i,所以m=2,in=3.i答案：2-i必過易措美.若a,b為非零向量，當a/b時，a,b的夾角為0。或i80,求解時容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯；.要區(qū)分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向也有大小的信息；3.若a=(xi,yi),b=(x2,y

20、2),貝Ua/b的充要條件不能表示成=*因為x2，y2有可能等于0,應(yīng)表示為xiy2x2yi=0.小題糾偏i.已知A(i,2),B(4,2)，則把向量AB按向量a=(i,3)平移后得到的向量是.解析：當向量平移(起點和終點同時平移)時，不改變向量的大小和方向，所以所求的向量就是AB=(4,2)(i,2)=(3,0).答案：(3,0)已知直角坐標平面內(nèi)的兩個向量a=(i,2),b=(mi,m+3)，使得平面內(nèi)的任意一個向量c都可以唯一分解成c=入卅ub貝V實數(shù)m的取值范圍為.解析：依題意可知a,b為直角坐標平面內(nèi)的一對基底，所以a,b不共線.當a,b共線時，1x(m+3)2X(m1)=0，解得m

21、=5,所以a,b不共線時，只需m5.故實數(shù)m的取值范圍為(一a,5)U(5,+).答案：(一汽5)U(5,+a)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O,E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若AC=a,BD=b,貝UAF=(用a,b表示).解析：AC=a,BD=b,111AD=A0+OD=2AC+1BD=?(a+b).E是0D的中點，EB=3DE.由厶DEFBEA,1得DF=AB,11于是DF=-AB=3(0BOA)1一132BD-1AC.=6ac.11BD=1116a-6b=6(a-b)，1121-AF=AD+DF=2(a+b)+6(ab)=3a+b.1答案：衣+3b石

22、KETAHK.WDJAFiTltO闔能四中字館巒心級圃鑫詞命園圃庖考點一平面向量基本定理及其應(yīng)用基礎(chǔ)送分型考點自主練透題組練透1.在矩形ABCD中，0是其對角線的交點，若BC=e1,DC=e2,則用6,e?表示OC為.1解析：因為0是矩形ABCD對角線的交點，BC=e1,DC=e2,所以O(shè)C=?(AD+11AB)=2(BC+DC)=2(e1+e2).1答案：d+e2)2.（易錯題）如圖，以向量OA=a,OB=b為鄰邊作11BM=1BC,CN=3CD，用a,b表示OM,ON,解：TBA=OAOB=ab,111BM=6ba=6a6b,15OM=OB+BM=1a+：b.tOD=a+b,1i11-ON

23、=OC+?CD=1OD+6ODTOC o 1-5 h z22=0D=a+b HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 333b，-221511MN=ONOM=3a+3bgb=?a&b.-1E-22-11綜上，OM=za+zb,ON=2a+Tb,MN=za-b.63326謹記通法用平面向量基本定理解決問題的一般思路先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運算來解決.在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便另外，要熟練運用平面TOC o 1-5 h z幾何的一些性質(zhì)定理，如“題組練透”第2題.考點二平面向量的坐標運

24、算基礎(chǔ)送分型考點一一自主練透題組練透1(2016撫順二模)若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=0,于，貝Vc可用向量a,b表示為解析：設(shè)c=xa+yb,則0,于=(2x-y,x+2y),2x-y=0,x=1所以$5解得$2x+2y=；,4I2、y=1,貝Vc=2a+b.1答案：c=a+b2.已知點M(5,6)和向量a=(1,-2)，若MN=-3a,則點N的坐標為解析：MN=-3a=-3(1,-2)=(3,6),設(shè)N(x,y),則MN=(x5,y+6)=(3,6),y+6=6,y=0.答案：(2,0)3.已知A(2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(shè)AB=a,BC=b,CA=c,

25、且CM=NW.3c,CN=-2b,求3a+b-3c；求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n;(3)求M,N的坐標及向量MN的坐標.解：由已知得a=(5,-5),b=(6,3),c=(1,8).3a+b3c=3(5,5)+(6,3)3(1,8)=(1563,15324)=(6,42)./mb+nc=(6m+n,3m+8n),6m+n=5,m=1,解得弋3m+8n=5,n=1.設(shè)O為坐標原點，TCM=OMOC=3c,OM=3c+OC=(3,24)+(3,4)=(0,20).M(0,20).又tCN=ONOC=2b,-ON=2b+OC=(12,6)+(3,4)=(9,2),N(9,2),MN=(9,18)

26、.謹記通法平面向量坐標運算的技巧向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標.解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.考點三平面向量共線的坐標表示重點保分型考點一一師生共研典例引領(lǐng)已知a=(1,0),b=(2,1).(1)當k為何值時，kab與a+2b共線；若AB=2a+3b,BC=a+mb,且A,B,C三點共線，求m的值.解：(1)/a=(1,0),b=(2,1),kab=k(1,0)(2,1)=(k2,1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),kab與a+2b共線，2(k2)(

27、1)X5=0,(2)AB=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),BC=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).A,B,C三點共線，第佃頁共49頁第仃頁共49頁AB/BC,8m3(2m+1)=0,由題悟法向量共線充要條件的2種形式a/b?a=入(b0);a/b?xiy2x2yi=0(其中a=(Xi,yi),b=(x2,y2).當涉及向量或點的坐標問題時一般利用（2）比較方便.即時應(yīng)用1.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(k,10),且A,B,C三點共線，則k解析：AB=OBOA=(4k,7),AC=OCOA=(2k,2).va,B,C二二三點共線，AB,AC共線，.一2

28、X(4k)=7X(2k),解得k=答案：22.(2016無錫調(diào)研)已知向量a=(2,3),b=(1,2)，若ma+4b與a2b共線，則m的值為.解析：ma+4b=(2m4,3m+8),a2b=(4,1)，由于ma+4b與a2b共線，一(2m4)=4(3m+8)，解得m=2.答案：2hEHOU、譏對E】y.tl磐弟$開因匱1%朋匍窗Q鑫籃匍冏般鴿一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且AB=a,AD=b,則BE=.（用a,b表示）一一亠11解析：BE=BA+AD+DE=a+b+尹=ba.1答案：b尹（2016南通調(diào)研）若AC為平行四邊形ABCD的一條對角線

29、，AB=（2,4）,AC=（1,3）,則AD=.解析：由題意可得AD=BC=ACAB=(1,3)-(2,4)=(1,1).答案：(1,1)(2015南京四校聯(lián)考)已知向量a=(5,2),b=(4,3),c=(x,y),若3a2b+c=0，貝Uc=.23+x=0,解析：由題意可得3a2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以*解得12+y=0,x=23,i所以c=(23,12).y=12,答案：(23,12)(2015蘇北四市調(diào)研)已知向量a=(1,3),b=(2,1),c=(3,2).若向量c與向量ka+b共線，則實數(shù)k=.解析：ka+b=k(1,3)+(2,1)=(k2,3k+1),

30、因為向量c與向量ka+b共線，所以2(k2)3(3k+1)=0,解得k=1.答案：15若三點A(1,5),B(a,2),C(2,1)共線，則實數(shù)a的值為.fa.解析：AB=(a1,3),AC=(3,4),據(jù)題意知AB/AC,4(a1)=3X(3),即即4a=5,5a=_4.答案：-4保咼考，全練題型做到咼考達標1.已知在？ABCD中，AD=(2,8),AB=(3,4),對角線AC與BD相交于點M，則AMTOC o 1-5 h z11解析：因為在?ABCD中，有AC=AB+AD,AM=2AC，所以AM=(AB+AD)=2X(1,12)=2,6.答案：-2，6一一2一2.(2016徐州一中月考)已

31、知向量a=(m,1),b=(m2).若存在入R，使得a+入b0,則m=.第 頁共49頁22m+入m=0,解析：/a=(m,1),b=(m2),a+入b0,二(m+入m1+2舟=(0,0)，即$1+2U0,1解得2m=0或2.答案：0或2已知平行四邊形ABCD中，AD=(3,7),AB=(-2,3),對角線AC與BD交于點O,則CO的坐標為.解析：AC=AB+AD=(-2,3)+(3,7)=(1,10).-OC=!ac=15.V。=-1，-5.答案：一2，一PC=PA+AC=(-2,7),設(shè)向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac),d的有向

32、線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d=.解析：設(shè)d=(x,y),由題意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),又4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0)，解得x=-2,y=-6,所以d=(2,6).答案：(2,-6)(2016鹽城調(diào)研)如圖，點A,B,C是圓O上三點，線段OC與線段TOC o 1-5 h zAB交于圓內(nèi)一點P.若OC=mOA+2mOB,AP=XAB,則匸.解析：由題意，設(shè)OP=nOC.又AP=OP-OA=XOB-OA),故nOCOA=OBOA),n(mOA+2mOB)O

33、A=?(OBOA),即(mn+1)OAmn+1=0,2+(2mn-OB=0.而OA與OB不共線，故有解得入=2mn=0,解析：AQ=PQ-PA=(-3,2),二AC=2AQ=(-6,4).二BC=3PC=(-6,21).答案：(6,21)7.(2015南京模擬)如圖所示，在厶ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N，若AB=mAM,AC=nAN，貝Um+n的值為.解析：連結(jié)AO,則AO=1(AB+AC)=mAM+2AN.又M,O,N三點共線，mn+1，即m+n=2.2答案：28.P=a|a=(1,1)+m(1,2),mR,Q=b|b=(1,2)+n(2,3

34、),nR是兩個向量集合，則Pnq等于.解析：P中，a=(1+m,1+2m),Q中，b=(1+2n,2+3n).1+m=1+2n,m=12,貝,得*1+2m=2+3n.n=7.此時a=b=(13,23).答案：13,239.平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(1,2),c=(4,1).求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n;若(a+kc)/(2ba),求實數(shù)k.解得5m=9,8解：(1)由題意得(3,2)=m(1,2)+n(4,1),m+4n=3,所以2m+n=2,(2)a+kc=(3+4k,2+k),2ba=(5,2),由題意得2x(3+4k)(5)X(2+k)=0,解得k=芳.1310.(20

35、16啟東模擬)在厶ABC中，已知A(3,1),B(1,0),C(2,3).判斷ABC的形狀；設(shè)O為坐標原點，OD=mOC(mR)，且(ABmOC)/BC，求|OD|.解：由兩點間的距離公式，得|AB|=|AC|=5.vAB=(2,1),AC=(1,2),二AB-AC=2-2=0,ABC為等腰直角三角形.由題，可知AB=(-2,-1),OC=(2,3),BC=(1,3),則ABmOC=(2-2m,-13m).又(AB-mOC)/BC，則有3(-2-2m)+(1+3m)=0,故m=-5.3由兩點間的距離公式，得|OC|=13,|OC|=13,|OD|=|m|OC|=弩3.三上臺階，自主選做志在沖刺

36、名校向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=入a卩&人卩R),則=解析：以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設(shè)每個小正方形邊長為1),則A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),a=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(-1,-3).-c=入ab-(1,3)=幷一1,1)+皿6,2),即+6=1,+2尸3,解得=2,尸1,=4.2答案：42.如圖，半徑為且/COB=30若1的扇形AOB的圓心角為120OC=入OA+jiOB，貝V入+=12，解得233解析：由已知，可得0A丄0C,以0為坐標原點，OC,OA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系

37、，則有C(1,0),A(0,1),B(cos30,-sin30),即B-2-,-1.于是OC=(1,0),OA=(0,1),OB=密，-2丿，由C=入OA+QB，得(1,0)=40,1)+胄,-2=I?d-尸3.答案：33.如圖，G是厶OAB的重心，P,Q分別是邊OA,OB上的動點,且P,G,Q三點共線.設(shè)PG=XPQ，將OG用人OP,OQ表示；11設(shè)OP=xOA,OQ=yOB，證明：+y是定值.解：OG=OP+PG=OP+入PQ=OP+4OQ-OP)=(1-4OP+入OQ.(2)證明：一方面，由(1)，得OG=(14OP+xOQ=(1-4xOA+入QB；另一方面，G是厶OAB的重心,一一一一

38、21OG=3OM=3x1(OA+OB)=3OA+1OB.而OA,OB不共線,由，得*4x=3,14y=J.解得1=3-3第二節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用必垃數(shù)材美平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為0,把數(shù)量|a|bCosB叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.即ab=|a|b|cos0,規(guī)定0a=0.向量數(shù)量積的運算律ab=b_a.(2)(入)b=4ab)=af入b(a+b)c=ac+bc.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a=(Xi,yj,b=(x2,y2)結(jié)論幾何表示坐標表小模|a|=x/aa|a|=/x2+yj夾角cos0=-JOJb|X1X

39、2+y1V2cos0j22t22VxytTx2a丄b的充要條件ab=0X1X2+y1y2=0|ab|與|a|b的關(guān)系|ab|wJaUbJ|X1X2+y1y2|w寸小題體驗1.(2015全國卷n改編)向量a=(1,-1),b=(-1,2)，則(2a+b)a=,解析：法一：a=(1,-1),b=(1,2),a2=2,ab=3,從而(2a+b)a=2a2+ab=43=1.法二：a=(1,1),b=(1,2),2a+b=(2,2)+(1,2)=(1,0),從而(2a+b)a=(1,0)(1,1)=1.答案：12.(教材習(xí)題改編)已知向量a,b滿足|a|=|b|=2,且ab=2，則a與b的夾角為解析：因

40、為cos=-=所以a,b=f|a|b|23答案:(教材習(xí)題改編)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60,則|ab|解析：|ab|=寸(abf=+b2ab=12+222X1X2cos60=3.答案：3已知兩個單位向量ei,e的夾角為3，若向量0=ei2僉，6=3ei+4僉，貝V切b2=解析：bi=ei2勺,b=3ei+4勺,貝Vbib2=(ei2e2)(-3ei+4e2)=3e22eie28盒因為ei,e為單位向量，ei,e2=f,3i所以bib2=32Xi8=6.答案：6必過易措關(guān)(i)0與實數(shù)0的區(qū)別：Oa=0工0,a+(a)=0豐0,a0=0工0;(2)0的方向是任意

41、的，并非沒有方向，0與任何向量平行，我們只定義了非零向量的垂直關(guān)系.ab=0不能推出a=0或b=0，因為ab=0時，有可能a丄b.在運用向量夾角時，注意其取值范圍0,n.在用|a|=a2求向量的模時，一定要把求出的a2再進行開方.小題糾偏.給出下列說法：若ab0,貝Ua和b的夾角為銳角，若ab0,即i8+4t0，解得t；.但當t=8時，兩向量同向，應(yīng)舍去，故實數(shù)t的取值范圍是一舟,8U(8,+).答案:(8,+)3.已知向量a=(2cos0,2sin妨，牙，n,b=(0,1)，則a與b的夾角為解析：以坐標原點O為起點，可知向量a和b如圖所示，易知它們的夾角為3-5答案：3nKETANUKAUD

42、IANTUPU考點一平面向量的數(shù)量積的運算基礎(chǔ)送分型考點一一自主練透題組練透1.(易錯題)設(shè)向量a=(1,2),b=(m,1),如果向量a+2b與2ab平行，那么ab=解析：a+2b=(1+2m,4),2ab=(2m,3)，由題意得3(1+2m)4(2m)=0,則m=2,所以ab=1x答案：5設(shè)向量a,b均為單位向量，且|a+b|=1,貝Ua與b的夾角為解析：/|a+b|=1,.a2+2ab+b2=1.2n3.1又|a|=|b|=1,cos=.又a,b0,na,b答案：竽(2016蘇州中學(xué)檢測)如圖，已知e1,e2為互相垂直的兩個單位向量，則|a+b|=17解析：由題設(shè)，知a=壬1?e2,31

43、b=2&2。2,所以a+b=2ei4,所以|a+b|=寸（2&4e2j=寸4e1+16eie2+16e2=20=25.答案：254.（2015天津高考）在等腰梯形ABCD中，已知AB/DC,AB=2,BC=1,/ABC=60點E和F分別在線段BC和DC上，且BE=3BC,DF=1DC，則AE-AF的值為解析：取BA,BC為一組基底，則AE=BEBA=fBCBA,AF=AB+BC+CF=BA+BC+卷BA=右BA+BC,AE-AF=3BCBA-BA+BC=$|BA|2-IfBA-BC+2|BC|22512=12X418X2X1X2+32918.答案：29謹記通法向量數(shù)量積的2種運算方法方法運用提

44、示適用題型定義法當已知向量的模和夾角B時，可利用定義法求解，即ab=|a|b|cos0適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題坐標法當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a=(論，yj,b=(X2,y2),貝Uab=X1X2+y1y2適用于已知相應(yīng)向量的坐標求解數(shù)量積的有關(guān)計算問題考點二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)常考常新型考點一一多角探明命題分析平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純?nèi)容，題型多為填空題，難度適中，屬中檔題.常見的命題角度有:平面向量的模；平面向量的夾角；題點全練平面向量的垂直.角度一：平面向量的模-、，11.(2015浙江高考)已知ei,e2是平面單位向量，且ei血=若平面向

45、量b滿足bei=be?=1，則|b|=.1解析：/e1e2=,|e1|e2|cose1,e2e1,e2=60b,e2=30又Tbe1=be2=10,.b,e1=1|b|=由b6=1,得|b|e1|cos30答案：%32.(2016南京一中檢測)若a,b,c均為單位向量，且ab=0,(ac)(b-c)0,則|a+bc|的最大值為.解析：由題意，知a2=1,b2=1,c2=1.由ab=0及(ac)(bc)0,知(a+b)O1.因為|a+bc|2=a2+b2+c2+2ab2ac2bc,所以|a+bc|2=32(ac+bc)=0.T|b|=4|a|,.2|a|2+4|a|2cos=0, HYPERLI

46、NK l bookmark86 o Current Document 12n-cos=,=.答案：(2016南京名校聯(lián)考)在厶ABC中，AB=(2,3),AC=(1,2)，則ABC的面積為.解析：由題意得，(|AB|AC|)2=(|AB|AC|cosAB,AC)2+(|AB11AC|sinAB,AC)2,即(IAB|AC|)2=(AB-AC)2+(|AB|AC|2sinAB,AC),IAB|AC|sinAB,AC=2-3,1-&abc=2IAB|-AC|sinAB,AC答案：i23角度三：平面向量的垂直(2014重慶高考改編)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1)，且(2a3b

47、)丄c,則實數(shù)k=.解析：因為2a3b=(2k3,6),(2a3b)丄c,所以(2a3b)c=2(2k3)6=0,解得k=3.答案：3已知向量AB與AC的夾角為120,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=入AB+AC,且AP丄BC，則實數(shù)入的值為.解析：BC=ACAB，由于AP丄BC，所以APBC=0,答案:712即(入AB+AC)(ACAB)=入AB+AC+(x3x2X于=0,解得入=$.AB*AC=9入+4+(入方法歸納平面向量數(shù)量積求解問題的策略(1)求兩向量的夾角：cosB=|a|b|,要注意茨，n.兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a丄b?ab=0?|ab|=|a+b|

48、.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：a2=aa=|a|2或|a|=aa.|a|=a)2=a2翌ab+bl若a=(x,y),則|a|=0 x2+y2.考點三平面向量與三角函數(shù)的綜合重點保分型考點一一師生共研典例引領(lǐng)(2016蘇北四市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ab,其中a=(2cosx，寸3sin2x),b=(cosx,1),R.求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；在厶ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,f(A)=1,a=7，且向量=(3,sinB)與n=(2,sinC)共線，求邊長b和c的值.解：(1)f(x)=ab=2cos2xV3sin2x=1+cos2x3sin

49、2x=1+2cos2x+,n令2knW2x+3W2kn+nkZ),解得knWxWkn+(kZ),63所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為n,nikn6,kn+3jkZ).n(2)/f(A)=1+2cos2A+3-=1,cos2A+n=1.nnx7n又n=訂b廠1，aa與b的夾角為?答案：2nT225.給出下列命題：0a=0;ab=ba:a=|a|:(ab)c=a(bc):|ab|ab,故錯誤.答案：3保咼考，全練題型做到咼考達標1.(2016常州調(diào)研)已知向量a=(3,1),b=(0,1),c=(k,3)，若a+2b與c垂直，則k=.解析：因為a+2b與c垂直，所以(a+2b)c=0,即ac+2bc=

50、0,所以.3k+3+23=0，解得k=3.答案：32.(2016洛陽質(zhì)檢)已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2，則向量a與b的夾角為解析：a(ba)=aba2=2,所以ab=3,所以C0S=|a|臥1X6=2,所以a，b=3.答案：n3.(2015鹽城調(diào)研)平面四邊形ABCD中，AB+CD=0,(ABAD)AC=0，則四邊形ABCD的形狀是.解析：因為AB+CD=0,所以AB=CD=DC，所以四邊形ABCD是平行四邊形.又(ABAD)AC=DBAC=0,所以四邊形對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形.答案：菱形B4.（2016開封質(zhì)檢）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=1

51、，/A=60,點M在AB邊上，且AM=1aB，則DM-DB等于.ja解析：因為DM=DA+AMAM=DA+3AB,DB=DA+AB,saa.-a=j.f-fj.=*、satf=-所以DM-DB=(DA+3ABDA+AB)TOC o 1-5 h z212444=|DA|2+AB|2+3DA-AB=1+3-AD-AB7-4=3-31AD|-AB|cos604x1x2x|a+b|12=a2+2ab+b2=16+2x(16)+64=48,二|a+b|=43.t|4a2b|2=16a216ab+4b2=16x1616x(16)+4x64=768,a|4a2b|=163.=1.2答案：15.(2016江蘇

52、太湖高級中學(xué)檢測)在直角梯形ABCD中，AB/CD,AD丄AB,B=45AB=2CD=2,M為腰BC的中點，貝UMAMD=.=I=IS=_aB1Jg=*a*、解析：由題意，得MAMD=2CB+BA-faa.-=J.a*-=J.-2CB+CD=-4|CB|2+2CBCD-；CB-BA+BACD=-；x(2)2+jx2x1Xcos135xcos135+2x1xcos01+1+2=2.2答案：26.已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2)，若c=a-(ab)b,則|c|=解析：由題意可得ab=2x1+4x(2)=6,c=a-(ab)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),|c|=

53、82+82=82.答案：82AOB中，OA7.（2015湖南師大附中月考）如圖所示，在等腰直角三角形TOC o 1-5 h z=OB=1,AB=4AC，貝UOC（OBOA）=.IJ解析：由已知得|AB|=2,|AC|=；hW*J則OC(OBOA)=(OA+AC)AB=OA-AB+AC-AB=/cos+x2答案：-18.在ABC中，/ACB為鈍角，AC=BC=1,CO=xCA+yCB，且x+y=1.若函數(shù)f(m)=|CA-mCB|(mR)的最小值為申，則|CO|的最小值為.解析：由CO=xCA+yCB,且x+y=1,可知A,O,B三點共線，所以|CO|的最小值為AB邊上的高，又AC=BC=1，即

54、O為AB的中點，且函數(shù)f(m)=|CA-mCB|的最小值為寧，即點A到BC邊的距離為#又AC=1，所以/ACB=120,11從而可得ICO|的最小值為-.答案：129.已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120.計算：|a+b|,|4a2b|;當k為何值時，(a+2b)丄(kab).解：由已知得,16.2(t2)=0,二t=62;若/C=90，則ACBC=0,即2(6t)+t(t2)=0,無解.滿足條件的t的值為2或6也2.若四邊形ABCD是平行四邊形，則AD=BC，設(shè)點D的坐標為(x,y),則(x4,x=10t,y)=(6t,t2),ly=t2,即D(10t,t2),IOD|=p(10

55、-tf+(t-22=p24t+104,當t=6時，|OD|取得最小值4：2三上臺階，自主選做志在沖刺名校1.已知a,b是單位向量，ab=0，若向量c滿足|cab|=1,則|c|的取值范圍是.解析：/a,b是單位向量，|a|=|b|=1.又ab=0,|a+b|=2,|cab|2=c22c(a+b)+2ab+a2+b2=1,2c(a+b)=c2+1,c2+1=22|c|cosq0是c與a+b的夾角).又一1cos耗1,：1Wc2+122|c|,.c222|c|+1W0,.,21w|C|W2+1.答案：21,2+1已知點OABC所在平面內(nèi)一點，且OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,則點O

56、定為ABC的(填“重心”“垂心”“外心”“內(nèi)心”中的一個).解析：OA2+BC2=OB2+CA2,OA2OB2=CA2BC2,(OAOB)(OA+OB)=(CA+BC)(CABC),BA(OA+OB)=BA(CABC),BA(OA+OBCA+BC)=0,BA(OA+AC+OC)=0,-BAOC=0,.BA丄OC.同理可得，CA丄OB,CB丄OA,OABC的垂心.答案：垂心已知向量a=(1,2),b=(3,4),c=a+入b氏R).當入取何值時，|c|最??？此時c與b的位置關(guān)系如何？當入取何值時，c與a的夾角最??？此時c與a的位置關(guān)系如何？解：(1)/c=a+入b(1,2)+%3,4)=(13入

57、2+4?),|c|2=(13%2+(2+4滬=5+10入+25%=25%+52+4,1當匚時，|c|最小,此時c=5，5.又cb=J6)(-3,4)6=5X(3)+孑4=0,b丄c.1當=1時，|c|最小，此時b丄c.5設(shè)c與a的夾角為0,貝Ucos0=5+5入1+入:;：5.25?+10H55笊+2入+1若c與a的夾角最小，貝Ucos0最大.t=寸5(t1$+2(t1+1設(shè)1+?=t,即?=t1,cos0=1當-=1,t=1時,cos0取得最大值1,此時？=0,c=(1,2),當？=0時，c與a的夾角最小，此時c與a平行.第四節(jié)復(fù)數(shù)HEQ1A芮怦GJILUO5HI必過教材關(guān)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)

58、的概念：形如a+bi(a,bR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a,b分別是它的實部和虛部.若b=0,貝Ua+bi為實數(shù)；若bz0，貝Ua+bi為虛數(shù)；若a=0且0，貝Ua+bi為純虛數(shù).復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,dR).共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?a=c,b=d(a,b,c,dR).復(fù)平面建立直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面.x軸叫做實軸,y軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點都表示非純虛數(shù).(5)復(fù)數(shù)的模：向量0Z的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)的模，記作|z咸|a+bi|,即|z|=|a+bi|=Ja2+b2.

59、復(fù)數(shù)的幾何意義對應(yīng)(1)復(fù)數(shù)z=a+br復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)(a,bR).-對應(yīng)_復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)平面向量OZ.復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)習(xí)=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),貝U加法：可+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;減法：Z1-z2=(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i;乘法：Z1z2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i;除法：Z1=a+bi=a+bicdi=z2c+di(c+dicdi)ac+bdbead臣孑土i(c+di豐0).復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何

60、可，z2,z3C,有z1+z2=z2+z1,(可+z2)+z3=Z1土Z2土?3小題體驗TOC o 1-5 h z(2015全國卷I改編)已知復(fù)數(shù)z滿足(z1)i=1+i,貝yz=.答案：2i(教材習(xí)題改編)如果(x+y)+(y1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，貝Ux=,y=答案：423.(教材習(xí)題改編)ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A,B,C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,i,2+i,則點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.答案：3+5i必過易措美判定復(fù)數(shù)是實數(shù)，僅注重虛部等于0是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義.兩個虛數(shù)不能比較大小.3.利用復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di列方程時，注意a,b,c,dR的前