安徽省蕪湖一中2020年自主招生數(shù)學(xué)試卷

1、蕪湖一中2020年高一自主招生考試數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分）一選擇題（本大題共7個(gè)小題，每小題6分，共42分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)正確，把正確的選項(xiàng)序號(hào)填在答題欄中）1.當(dāng)x=4時(shí)，S=_，+2旦=的值為()，尸4+12+4/3a,+12俯視圖3,設(shè)方程(x-a)(x-x=0的兩根為c,d,則方程(x-c)(x-d)+x=0的根為()A.一“一。B.a,bD.c,dTOC o 1-5 h z4.若乂y均為自然數(shù),則關(guān)于x,y的方程2.019x+53y=24的解（x,y）共有（）個(gè)（x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)）A.1B.2C.3D.4.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半

2、圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形A5C的斜邊6C,直角邊A&AC.八43。的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為H,其余部分記為IH.設(shè)I,II,HI的面積分別記為，,5263，則（）A.51=S2C.S2S3D,S=S2+S3第5題佟I第6題圖k.如圖，反比例函數(shù)y=。0）的圖像過面積等于8的長方形OA8C的對(duì)角線。8的中點(diǎn)，P為函數(shù)xTOC o 1-5 h z圖像上任意一點(diǎn)則。尸的最小值為（）A.1B./2C.VJD.27.已知為等腰用AA8C斜邊8C上的兩點(diǎn)，AB=AC=608W=3,NM4N=45,則NC=（）D.A.3B.-C.42二、填空題（本大題共7個(gè)小題，每小題7分，共4

3、9分）.關(guān)于的x方程料一4|=5的實(shí)數(shù)解為.經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn),如果這三種可能性大小相同，則三輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口時(shí)，至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)的概率為.某教師出了一份三道題的測(cè)試卷，每道題1分，全班得3分、2分、1分和。分的學(xué)生所占比例分別為30%、50%、10%和10%,則全班學(xué)生的平均分為分.11Q1.已知實(shí)數(shù)滿足一?y=3,2v4+F=-，貝iJf+4V4的值為x廠2x.如圖，圓。的內(nèi)接四邊形A8CD的頂點(diǎn)。關(guān)于3。的對(duì)稱點(diǎn)恰為的內(nèi)BD=3,則圓O的半徑為.已知電,，匕中=1,2,）的數(shù)值只能取-2、0J中的一個(gè)，且滿足$+x2+/=T7,+x22+-+xn

4、2=37.則（xj+x；+X：）2的值為.對(duì)于任意的正整數(shù)M,記=/表示父|y,且父小卜.則使得5|（98!+99!+100!）成立的最大整數(shù)為.三、解答題（本大題共5個(gè)小題，計(jì)59分，寫出必要的推算或演算步驟）.（本小題8分）解下列方程（組）(1)(20197)3+(x-2018)3=1：9/_3y1+9/一5工年1+9/29z2_3a-J+9z2T.（本小題12分）如圖所示，已知直線y=丘+2與軸的正半軸交于點(diǎn)A。,0）,與y軸交于點(diǎn)8,拋物線），=一/+加+。經(jīng)過點(diǎn)A與點(diǎn)8,點(diǎn)。在第三象限內(nèi)，且ACJ_AB,tanZABC=2.（1）當(dāng)7=1時(shí)，求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x,

5、y）,試用，分別表示x,y：（3）記Z=xy,求Z的最大值.（本小題13分）已知AO為銳角AA8C的高，G為AC中點(diǎn)，OELAB于點(diǎn)E,延長ED至尸，使得GF=G.(1)證明：AAED-MFC：(2)證明：AECF2=BEAF2；(3)若A8=6,8C=7,C4=8,求四邊形ACFO的面積.（本小題13分）已知機(jī)為正整數(shù).（1）證明：/+16帆+8不能表示為兩個(gè)以上連續(xù)整數(shù)的乘積：（2）若+16?+8能表示為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積，求機(jī)的最大值.19.（本小題13分）如圖1,設(shè)A43C是一個(gè)銳角三角形，且AB工AC,為其外接圓，。、”分別為其外心和垂心，CD為圓F直徑，M為線段8C上一動(dòng)點(diǎn)且滿足A

6、=20M.（1）證明：”為8c中點(diǎn)；（2）過0作BC的平行線交A6于點(diǎn)E,若尸為A”的中點(diǎn)，證明：EF1FC；（3）直線AM與圓的另一交點(diǎn)為N（如圖2）,以40為直徑的圓與圓的另一交點(diǎn)為P.證明：若AP、BC、。“三線共點(diǎn)，則A=N：反之也成立.圖1圖2蕪湖一中2019年高一自主招生考試數(shù)學(xué)答案一、選擇題（每小題6分，共42分）題號(hào)1234567答案ADBCADC二、填空題（每小題7分，共49分）8.99.10.211.712.62713.504114.26三、解答題（本大題共5小題，滿分59分，寫出必要的解答過程。）15.（本小題滿分8分）解：（1）令機(jī)=2019-工=x-2018則TOC

7、o 1-5 h z?3=1，m2-nui+=(，+n)2-2mn=I*mn=0HPm=。助?=0，x=2O19或20184分（2）易知（x,y,z）=（0,0,0）為一組解若不為09x23y-l)2=03zi?1i=丁,相加得(丁-1)2+(丁-1尸+(9)廣3z3x3y2綜上：(x,y,z)=(,一,)或(0,0,0)8分16.（本小題滿分12分）解：（1）當(dāng)f=l時(shí)，AQ0）,5（0,2）拋物線y=-a2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(E0)與點(diǎn)3(0.2),，所求拋物線的表達(dá)式為y=-X+2.(2)如圖：作CHJ.X軸，垂足為點(diǎn)H,得NAHC=NAOB=90,VACABAZOAB+ZCAH=90,X

8、VZCAH+ZACH=90,，NOAB=NACH,ASDACTJA.OAOBABAAOBACHA,=，CHAHACVtanZABC=r=2AB:.OA_OB_AB_1,*CHAHAC21VOA=/,OB=2,，CH=21,AH=4,TOC o 1-5 h z點(diǎn)C的坐標(biāo)為(/4,-2/)./.r=t4,y=2z.8分(3)由點(diǎn)A(r,O)在x軸的正半軸上，點(diǎn)C(/一4,一21)在第三象限內(nèi)得0u4.，Z=沖=Q-4)(-21)=-2J+81=-2-2y+8(0fv4).當(dāng)/=2時(shí)Z=孫取得最大值812分17.(本小題滿分13分)解：(1)：GA=GD=GC=GF3分.A,。,C四點(diǎn)共圓ZAFC=

9、ZADC=90又ZADE=ZACF,Rimedriafc(3)由(1)RMEDR9FC.AF_AECFED又.RtAEDRtADEF.AF_AE_DE孑茄一百eZAF.AEDEAE(廠=-=CFEDEBEBTOC o 1-5 h z即AECF2=BEAF27分AD1+BD1=364,A0所以7無解)考慮=0,1,2,3,分別有()=4x72,4=4x82,?=4x74,A?=4x36:.n=3,zn取整數(shù),此時(shí)2=2.13分.（本小題滿分13分）解：（1）連接AD83,則D4_LAC,DBVBC又為AA3C垂心BH1AC,AHLBC.四邊形ADBH為平行四邊形；.DB=AH=2OM,又。為CD中點(diǎn).為BC中點(diǎn)3分（2）過石作EG_L3C連接G4,由（1）可知四邊形EGF為平行四邊形，四邊形EGE4為平行四邊形：CHVAB,ABGF.CHGF.”為AFGC垂