彈性力學(xué)-張量

1、張量基本知識(shí)11.1 指標(biāo)記法1.1.1 求和約定、啞指標(biāo)第一章 張量代數(shù)21.1 基本概念 1.標(biāo)量：只有大小、沒有方向性的物理量，與坐標(biāo)系選擇無關(guān)。用字母表示，如溫度T、時(shí)間t、密度 等。標(biāo)量無下標(biāo)。2.矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢徑 （或黑體）、位移 、力 等。矢量可用一個(gè)方向來確定。 x3x2x1r其中 、 、 為坐標(biāo)的基矢量（單位向量、基矢），r1、r2、r3為r在坐標(biāo)軸的投影（分量），都有一個(gè)下標(biāo)。 3記法：（1）實(shí)體記法：（或黑體字母）r（2）分解式記法：同時(shí)寫出矢量的分量和相應(yīng)分解分量的基。（3）分量記法：將矢量用其全部分量的集合來表示r（ r1、r2、r3 )（4

2、）矩陣記法：43,張量：有大小，并具有多重方向性的量（可描述更復(fù)雜的物理量）。 如應(yīng)力 、應(yīng)變。 有些量不能只利用一個(gè)方向來確定。如應(yīng)力：它與兩個(gè)方向有關(guān)在 方向（ 為作用面的法矢），應(yīng)力矢為 ；而在 方向，應(yīng)力矢為這說明應(yīng)力矢本身有方向，而且還與其作用面方向有關(guān)，必須用兩個(gè)方向才能描述應(yīng)力矢。511eexxs31eexzt21eexyt常用的應(yīng)力單元體也是如此： 每一個(gè)應(yīng)力分量也必須用兩個(gè)方向才能描述，第一個(gè)方向?yàn)閼?yīng)力作用面的方向，第一個(gè)方向?yàn)閼?yīng)力作用的方向。每個(gè)分量用一個(gè)標(biāo)量（具有兩個(gè)下標(biāo)）與兩個(gè)并在一起基矢量（并矢）表示，稱為二階張量。 于是引入二階基： 6故矢量可稱為一階張量，標(biāo)量為零

3、階張量。標(biāo)量由1個(gè)分量組成，矢量由3個(gè)分量組成，二階張量由9個(gè)分量組成；三階張量由27個(gè)分量組成，n階張量由3n個(gè)分量組成。 從數(shù)學(xué)上說，可引入 階基， 階基中有 個(gè)基矢。與 階基相關(guān)連的量稱為 階張量。 時(shí)為標(biāo)量； 時(shí)為矢量； 時(shí)為二階張量（簡(jiǎn)稱張量）。71.2 張量表示 1.2.1.下標(biāo)記號(hào)法張量的最簡(jiǎn)潔的一種表示方法 點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z) （矢徑）點(diǎn)的位移(u,v,w) 點(diǎn)的速度應(yīng)力（張量）： 8應(yīng)力張量可表示為（i=1,2,3; j=1,2,3） 9應(yīng)變張量： 應(yīng)變張量可表示為（i=1,2,3; j=1,2,3）10微分符號(hào)： 11約定： 英文字母下標(biāo)表示三維指標(biāo)，取值1，2，3.

4、在該約定下，上述簡(jiǎn)寫表達(dá)式后的說明 或 在以后的寫法中將被略去。 n階張量可表示為 121.2.2求和約定 （ Einstein求和約定）矢量點(diǎn)積的實(shí)例 設(shè) 為兩矢量，其分量分別記為 ，則：?jiǎn)?biāo)：在表達(dá)式的某項(xiàng)中，若某指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)指標(biāo)在取值范圍內(nèi)遍歷求和。該重復(fù)指標(biāo)稱為“啞標(biāo)”或“偽標(biāo)”。 13顯然，指標(biāo) i, j, k 與求和無關(guān)，可用任意字母代替。為簡(jiǎn)化表達(dá)式，引入Einstein求和約定：每逢某個(gè)指標(biāo)在一項(xiàng)中重復(fù)一次，就表示對(duì)該指標(biāo)求和，指標(biāo)取遍正數(shù)1，2，n。這樣重復(fù)的指標(biāo)稱為啞標(biāo)。于是* 1、啞標(biāo)的符號(hào)可以任意改變（僅表示求和） 14是違約的，求和時(shí)要保留求和號(hào)*

5、2、啞標(biāo)只能成對(duì)出現(xiàn),否則要加上求和號(hào)或特別指出 *3、同項(xiàng)中出現(xiàn)兩對(duì)（或多對(duì)）不同啞標(biāo)表示多重求和 雙重求和展開式（9項(xiàng)）15三重求和（27項(xiàng)）n 表示空間的維數(shù)，以后無特別說明，我們總?cè)=3。例題：16含偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的下標(biāo)記號(hào)表示法： *若重復(fù)出現(xiàn)的標(biāo)號(hào)不求和，應(yīng)特別聲明 171.2.3 自由指標(biāo)例如指標(biāo) i 在方程的各項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，稱之為自由指標(biāo)。一個(gè)自由指標(biāo)每次可取整數(shù)1,2, 3, , n，與啞標(biāo)一樣，無 特別說明總?cè)=3。于是，上式表示3個(gè)方程的縮寫：一個(gè)表達(dá)式中如果出現(xiàn)非重復(fù)的標(biāo)號(hào)或一個(gè)方程每項(xiàng)中出現(xiàn)非重復(fù)的的指標(biāo)，稱為自由指標(biāo)。對(duì)于自由指標(biāo)可以從最小數(shù)取到最大數(shù)。 18*1、

6、自由指標(biāo)僅表示為輪流取值，因此也可以換標(biāo)，但必須整個(gè)表達(dá)式換標(biāo) ； 出現(xiàn)雙重指標(biāo)但不求和時(shí)，在指標(biāo)下方加劃線 以示區(qū)別，或用文字說明（如i不求和）。規(guī)定：這里 i 相當(dāng)于一個(gè)自由指標(biāo)，而 i 只是在數(shù)值上等于 i，并不與 i 求和。 *2若重復(fù)出現(xiàn)的標(biāo)號(hào)不求和的表示：19又如，方程用指標(biāo)法表示，可寫成i 不參與求和，只在數(shù)值上等于 i *3由 不能得出 .20i 為自由指標(biāo)，j 為啞標(biāo)表示如下3個(gè)方程： 例題：21表示如下3個(gè)方程： i 為自由指標(biāo)，j 為啞標(biāo)等價(jià)為 22i ，j為自由指標(biāo)，k 為啞標(biāo)表示9個(gè)方程：231.3 Kronecker 符號(hào)在卡氏直角坐標(biāo)系下，Kronecker 符號(hào)

7、定義為：其中 i，j 為自由指標(biāo)，取遍1，2，3；因此， 可確定一單位矩陣：（kronecher delta） 24符號(hào)的性質(zhì)： 對(duì)稱性 可進(jìn)行換標(biāo)或運(yùn)算 笛卡爾坐標(biāo)系的基向量的點(diǎn)積 25若是相互垂直的單位矢量，則，但而，故26注意：是一個(gè)數(shù)值，即的作用：1）換指標(biāo)；2）選擇求和。例1：思路：把要被替換的指標(biāo) i 變成啞標(biāo)，啞標(biāo)能用任意字母，因此可用變換后的字母 k 表示27例2：例3：個(gè)數(shù)，項(xiàng)的和。求特別地，如果 ij 符號(hào)的兩個(gè)指標(biāo)中有一個(gè)指標(biāo)和同項(xiàng)中其它因子的指標(biāo)相重，則可以把該因子的那個(gè)重指標(biāo)替換成ij的另一個(gè)指標(biāo)，而 ij 自動(dòng)消失。ij 也稱為換標(biāo)符號(hào)。 28符號(hào)的應(yīng)用 矢量與代數(shù)

8、運(yùn)算 兩個(gè)任意向量點(diǎn)積 微分運(yùn)算 291.4 置換符號(hào)（Permutatisn Symbol） 一、定義：112312330例如： eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27個(gè)元素 123（不為0的共六項(xiàng)，三項(xiàng)為正1，三項(xiàng)為負(fù)1）。31可見：也稱為三維空間的排列符號(hào)。表明，標(biāo)號(hào)改變奇次位置時(shí)改變正、負(fù)號(hào)；標(biāo)號(hào)改變偶數(shù)次位置時(shí)不改變符號(hào)。排列符號(hào)的應(yīng)用： 排列符號(hào)的作用可以簡(jiǎn)化公式書寫 1 三階行列式 ：（共六項(xiàng)，三項(xiàng)為正，三項(xiàng)為負(fù)）。 二、322. 基向量的叉積：右手系 任意基向量的叉積可寫為 3向量叉積的展開式： 而 則 33三、常見的恒等式( i )( ii )( iii )( i

9、v )之關(guān)系 34證明：令即得（ i ），將（ i ）作相應(yīng)的指標(biāo)替換，展開化簡(jiǎn)，將得其余三式。指標(biāo)任意排列，經(jīng)過行列調(diào)整總可用右邊表示，兩個(gè)置換符號(hào)分別反映行、列調(diào)換及指標(biāo)重復(fù)時(shí)的正、負(fù)及零( i )35另證：由矢量恒等式 反復(fù)運(yùn)用 式，有 設(shè) 另一方面 (a)(b)36(a)(b)代入有（矢量恒等則矢量的各分量應(yīng)相等）由于對(duì)任意的 上式均成立： 若將上式中的下標(biāo)s換為j有 37若將上式中的下標(biāo) t換為k, 有 38二維置換符號(hào)其中從三維退化得到有下列恒等式39關(guān)鍵公式：40二維關(guān)鍵公式：411.5 指標(biāo)記法的運(yùn)算1.5.1 代入設(shè)(1)(2)把（2） 代入（1）mn or else3個(gè)方程

10、，右邊為9項(xiàng)之和421.5 指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.2 乘積設(shè)則不符合求和約定431.5 指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.3 因式分解考慮第一步用表示有換指標(biāo)的作用所以即441.5 指標(biāo)記法的運(yùn)算1.5.4 縮并使兩個(gè)指標(biāo)相等并對(duì)它們求和的運(yùn)算稱為縮并。如各向同性材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系縮并啞標(biāo)與求和無關(guān)，可用任意字母代替為平均應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系451.5 指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.5 例題 熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換求和約定同樣適用于微分方程。不可壓縮牛頓流體的連續(xù)性方程：其普通記法或461.5 指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.5 例題 熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換不可壓縮牛頓流體的Navier-Stokes方程：寫出其普

11、通記法471.5 指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.5 例題 熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換彈性力學(xué)平衡方程方程：寫出其指標(biāo)記法481.5 張量的定義1.5.1 坐標(biāo)系的變換關(guān)系（笛卡兒右手直角坐標(biāo)系）坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換oxyABcD引例:(平面直角坐標(biāo)系)49新舊基矢量夾角的方向余弦：舊坐標(biāo)系：?jiǎn)挝换噶浚盒伦鴺?biāo)系：?jiǎn)挝换噶浚簒3x2x1x3x2x1501.5.1 坐標(biāo)系的變換關(guān)系x3x2x1x3x2x151圖解（二維）：在解析式中記：521.5.1 坐標(biāo)系的變換關(guān)系從坐標(biāo)變換的角度研究標(biāo)量、矢量和張量（對(duì) i 求和，為自由指標(biāo)）張量的性質(zhì): 張量不是對(duì)稱張量 1)因?yàn)?，而 ，所以 x3x2x1x3x2x

12、153張量是正交張量 張量的轉(zhuǎn)置記為 第一式兩邊乘以 第二式兩邊乘以 ,有于是 即 或541.5.2 標(biāo)量（純量 Scalar）在坐標(biāo)變換時(shí)其值保持不變，即滿足如數(shù)學(xué)中的純數(shù)，物理中的質(zhì)量、密度、溫度等。時(shí)間是否標(biāo)量？551.5.3 矢量（Vector）設(shè) a 為任意矢量，其在新、舊坐標(biāo)系下的分量分別為即（對(duì) i 求和）（對(duì) i 求和）滿足以下變換關(guān)系的三個(gè)量 定義一個(gè)矢量561.5.3 矢量（Vector）啞標(biāo)換成 k 比較上式兩邊，得即該變換是正交的571.5.4 張量（Tensor）對(duì)于直角坐標(biāo)系，有九個(gè)量按照關(guān)系變換成中的九個(gè)量則此九個(gè)量定義一個(gè)二階張量。將矢量定義加以推廣：（增加指標(biāo)

13、和相應(yīng)的變換系數(shù)）581.6 張量的分量 設(shè)ei為卡氏直角坐標(biāo)系xi軸的單位基矢量，a為任一矢量，其分量為ai，于是 59對(duì)于一個(gè)二階張量T，它可以將a變換成另一個(gè)矢量b，即 稱為二階張量T的分量 令60可理解為矢量Tej在ei上的分量，即 61因此，有下面三種等價(jià)的表達(dá)式： 62其中稱為在基矢量組e1, e2, e3下二階張量 T 的矩陣。注意：矢量 a、b 及張量T本身與坐標(biāo)系無關(guān)，但其分量 ai, bi, Tij 通過基矢量組e1, e2, e3與坐標(biāo)系相關(guān)。 631.7.1 張量的加法和減法 設(shè)T、S均為二階張量，將它們的和、差用下式表示： 仍為二階張量。64若a為一矢量，則 其分量為： 其矩陣形式為： 651.7.2 張量和標(biāo)量的乘積 設(shè)T為二階張量， 為一標(biāo)量，它們的乘積記為 ，則 仍為二階張量。66因?yàn)楦鶕?jù)坐標(biāo)變換，有 可見， 為二階張量。 671.7.3 并矢積、并矢記法、基張量 矢量 a 和矢量 b 的并矢積 ab 定義為按下列規(guī)則變換任意矢量的變換： 二階張量 一階 零階 68關(guān)于是二階張量的證明： 即證明 滿足張量的定義： 是一個(gè)線性變換。 設(shè)有任意矢量 ，及標(biāo)量 ，則由并矢積定義 69可見： 滿足張量的定義。