數(shù)學(xué)分析3數(shù)分參考答案e13

1、13.1 平中的點(diǎn)集華南師范學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 東州 510631例題例 1 記 D = (x, y)|2x x2 + y2 4. 試解: 點(diǎn)集 D 的圖形如圖所. 滿不等式D, 外點(diǎn)所成的集合和邊界 D.點(diǎn)集 D 的2x x2 + y2 4的點(diǎn) (x, y) 都是 D 的內(nèi)點(diǎn), 因此 D 的是兩個(gè)圓 (x 1)2 + y2 = 1 和 x2 + y2 = 4 之間 (不含圓周)的部分, 即 D = (x, y)|2x x2 + y2 4;D 的外點(diǎn)是圓以外以及圓以內(nèi)的點(diǎn);D 的邊界是這兩個(gè)圓周, 即2222D = (x, y)|2x = x + y (x, y)|x + y = 4.2例 2

2、記 D = (x, y)|2x x2 + y2 4. 試點(diǎn)集 D 的導(dǎo)集和孤立點(diǎn).解: 點(diǎn)集 D 的圖形如圖所. 注意到個(gè)點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)當(dāng)然是此點(diǎn)集的聚點(diǎn), 外點(diǎn)不是聚點(diǎn); 又 D 的邊界 D 顯然也是 D 的聚點(diǎn). 因此, D 的導(dǎo)集是兩個(gè)圓 (x 1)2 + y2 = 1 和 x2 + y2 = 4 之間 (包含圓周)的部分, 即 D = (x, y)|2x x2 + y2 4.點(diǎn)集 D 的每個(gè)點(diǎn)的任意鄰域中都有 D 的窮多個(gè)點(diǎn), 因此 D 孤點(diǎn).2例 3 空集 和 R2 既是開(kāi)集又是閉集.解: 容易看出 R2 既是開(kāi)集又是閉集, 因?yàn)槠渲械拿奎c(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn), 且 R2 包含了的每個(gè)聚點(diǎn). 上已經(jīng)

3、論證過(guò) 是閉集, 知 = R2R2, 即空集作為 R2 的余集, 是開(kāi)集.例 4 判斷例 1 中的點(diǎn)集 D 是不是開(kāi)集或閉集.解: 點(diǎn)集 D 不是開(kāi)集, 因?yàn)閳A 2x = x2 + y2 上的點(diǎn)屬于 D 但卻不是 D 的內(nèi)點(diǎn);點(diǎn)集 D 也不是閉集, 因?yàn)閳A x2 + y2 = 4 上的點(diǎn)是 D 的聚點(diǎn)卻不屬于 D.例 5 判斷例 1 中的點(diǎn)集 D 是不是區(qū)域.22解: 連通的開(kāi)集 D = (x, y)|2x x2 + y2 4 是開(kāi)域; 閉集 D = (x, y)|2x x2 + y2 4 是閉域.點(diǎn)集 D 是區(qū)域, 因?yàn)?D 是由開(kāi)域= (x, y)|2x x2 + y2 0 夠, 使得 B

4、(x, y) 中沒(méi)有 A的任何點(diǎn)且完全包含在 B 中. 故點(diǎn)集 B 是開(kāi)集. B 的邊界是 B = (0, 1 0, 1) (0, 1) (0, 1) A.點(diǎn)集 B 顯然沒(méi)有孤點(diǎn). 容易看出, 點(diǎn)集 A 中的每個(gè)點(diǎn)還是 B 的聚點(diǎn), 實(shí)際上, 點(diǎn)集 B 的聚點(diǎn)全體構(gòu)成了閉矩形 0, 1 0, 1, 即 B = 0, 12.讀者可以根據(jù)定義, 逐驗(yàn)證這些結(jié)論, 并在 R2 中畫(huà)出這些點(diǎn)集的圖形.思考題2不是開(kāi)集的點(diǎn)集是否定是閉集? 不是閉集的點(diǎn)集是否定是開(kāi)集?個(gè)點(diǎn)集的邊界點(diǎn)是否定是這個(gè)點(diǎn)集的聚點(diǎn)? 反之又如何?在 R 中如何定義個(gè)集合的內(nèi)點(diǎn)? R 中的集合可以視為 R2 中位于 x 軸上的點(diǎn)集,

5、 其內(nèi)點(diǎn)是否也是 R2 中的內(nèi)點(diǎn)?點(diǎn)集 (x, y) R2|xy 0 是否是區(qū)域?習(xí)題1. Cauchy 不等式證明向量的三形不等式和距離的三形不等式.證明. (1) 設(shè)向量 r1 = (x1, y1), r2 = (x2, y2), 則向量 r1 + r2 = (x1 + x2, y1 + y2), 下證： r1 + r2 r1 + r2.事實(shí)上，由 Cauchy 不等式 |r1 r2| r1 r2, 得222r1 + r2= (x1 + x2) + (y1 + y2)= x2 + 2x1x2 + x2 + y2 + 2y1y2 + y2121222= r1 + r2 + 2r1 r2 r1

6、2 + r22 + 2r1 r22= (r1 + r2) .故r1 + r2 r1 + r2.上, 任意兩點(diǎn) P1(x1, y1), P2(x2, y2) 之間的距離就是差向量OP1 OP2P2P1(2) 在R2的長(zhǎng)=度，記作 P1 P2, 即 P1 P2 =(x x ) + (y y ) , 下證：對(duì)上的任意三個(gè)點(diǎn)R2221212P1(x1, y1), P2(x2, y2) 和 P3(x3, y3)，成 P1 P2 P1 P3 + P3 P2.解法：如圖， P1(x1, y1), P2(x2, y2) 和 P3(x3, y3) 為平上不共線的三個(gè)點(diǎn) (共線時(shí)不等式的等號(hào)顯然成).令向量 P3

7、P1 = r1, P2P3 = r2, 則向量 P2P1 = r1 + r2, 由上證明的結(jié)論 r1 + r2 r1 +r2,得P1 P2 P1 P3 + P3 P2.3解法：由 Cauchy 不等式的三形式： a2 + b2 + c2 + d2 (a + c)2 + (b + d)2, 得P1 P3 + P3 P2 = (x1 x3)2 + (y1 y3)2 + (x3 x2)2 + (y3 y2)2 (x1 x3 + x3 x2)2 + (y1 y3 + y3 y2)2= (x2 x2)2 + (y2 y2)2= P1 P2.故P1 P2 P1 P3 + P3 P2.2. 設(shè) E R2 .

8、 證明 E 是有界集的充分必要條件是 d(E) .證明. (必要性) E 是有界集, 則存在某點(diǎn) P0(x0, y0) 和某個(gè)正數(shù) R, 使得 E U (P0; R),對(duì) P1, P2 E, 由距離的三不等式，得P1 P2 P1 P0 + P0 P2 R + R = 2R.則d(E) = supP1 P2|P1, P2 E 2R .必要性得證.(充分性) 對(duì)任意固定的 P0 E, 對(duì) P E, 有P0 P d(E) = supP1 P2|P1, P2 E ,故P U (P0, d(E),由 P 的任意性，有E U (P0, d(E).故 E 為有界集.充分性得證.3. 在平上畫(huà)出下列點(diǎn)集的圖形

9、, 說(shuō)明這些點(diǎn)集是開(kāi)集, 閉集, 區(qū)域或有界集等, 并寫(xiě)出這些點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn), 聚點(diǎn)和邊界點(diǎn)所成的點(diǎn)集:(1)E = (0, 1 1/2, 3/2);(2)(4)(6)E = (x, y)|x = y ;22E = (x, y)|x + y 2x ;22(3)(5)解: (1)E = (x, y)|x =y ;22E = (x, y)|x + y 2x 且x + y 2y ;2222E = (x, y)|x, y N .點(diǎn)集 E 不是開(kāi)集, 因?yàn)辄c(diǎn)集 (x, y)|0 x 1, y = 1/2 和點(diǎn)集 (x, y)|x = 1, 1/2 y 3/2上的點(diǎn)屬于 E 但卻不是 E 的內(nèi)點(diǎn);點(diǎn)集 E 也

10、不是閉集, 因?yàn)辄c(diǎn)集 (x, y)|0 x 1, y = 3/2 和點(diǎn)集 (x, y)|x = 0, 1/2 y 3/2 上的點(diǎn)是 E 的聚點(diǎn)卻不屬于 E.4(1). 圖中陰影部分為點(diǎn)集 E.點(diǎn)集 E 是區(qū)域, 因?yàn)?E 是由開(kāi)域 E = (0, 1) (1/2, 3/2) 連同其部分邊界 (x, y)|0 x 1,y = 1/2, (x, y)|x = 1, 1/2 y 3/2 所組成的點(diǎn)集, 但 E 本既不是開(kāi)域也不是閉域.點(diǎn)集 E 是有界集，因?yàn)?E 0, 1 1/2, 3/2 .內(nèi)點(diǎn)所成的點(diǎn)集: E = (0, 1) (1/2, 3/2)聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集: E = 0, 1 1/2, 3

11、/2邊界點(diǎn)所成的點(diǎn)集: E = 0, 1 1/2, 3/2 (0, 1) (1/2, 3/2)點(diǎn)集 E 不是開(kāi)集, 因?yàn)辄c(diǎn)集 E 的任何個(gè)點(diǎn)都不是它的的內(nèi)點(diǎn);(2)(2). 圖中兩條直線點(diǎn)集 E.點(diǎn)集 E 是閉集, 因?yàn)辄c(diǎn)集 E 的所有聚點(diǎn)都屬于 E.點(diǎn)集 E 不是區(qū)域, 因?yàn)辄c(diǎn)集 E 不具有連通性.點(diǎn)集 E 是界集，因?yàn)閷?duì) P0(x), y0) 和任意的 R, 都有 E 不含于 U (P0, R).5內(nèi)點(diǎn)所成的點(diǎn)集: E 沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)集.聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集: E = E邊界點(diǎn)所成的點(diǎn)集: E = E點(diǎn)集 E 是開(kāi)集, 因?yàn)辄c(diǎn)集 E 的任何個(gè)點(diǎn)都是它的的內(nèi)點(diǎn);(3)(3). 圖中陰影部分為點(diǎn)集 E.點(diǎn)

12、集 E 不是閉集, 因?yàn)辄c(diǎn)集 E = (x, y)|x2 = y2 上的點(diǎn)是 E 的聚點(diǎn)卻不屬于 E.點(diǎn)集 E 不是區(qū)域, 因?yàn)辄c(diǎn)集 E 不具有連通性.點(diǎn)集 E 是界集，因?yàn)閷?duì) P0(x), y0) 和任意的正數(shù) R, 都有 E 不含于 U (P0, R).內(nèi)點(diǎn)所成的點(diǎn)集: E = E.聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集: E = R2邊界點(diǎn)所成的點(diǎn)集: E = (x, y)|x2 = y2點(diǎn)集 E 不是開(kāi)集, 因?yàn)辄c(diǎn)集 (x, y)|x2 + y2 = 2x 上的點(diǎn)屬于 E 但卻不是 E 的內(nèi)點(diǎn);點(diǎn)集 E 是閉集, 因?yàn)辄c(diǎn)集 E 的所有聚點(diǎn)都屬于 E.(4)點(diǎn)集 E 是區(qū)域, 因?yàn)?E 是由開(kāi)域 E = (x,

13、 y)|x2 + y2 2x 連同其邊界 (x, y)|x2 + y2 = 2x 所組成的點(diǎn)集, 且 E 是閉域.點(diǎn)集 E 是有界集，因?yàn)?E (x, y)|x2 + y2 2x .內(nèi)點(diǎn)所成的點(diǎn)集: E = (x, y)|x2 + y2 0, 則 B(P ) B (P0), 即知 P 是U (P0) 的內(nèi)點(diǎn)，故 U (P0) 是開(kāi)集；(對(duì)于方領(lǐng)域) 對(duì)P (x, y) U (P0) = (x0 , x0+ )(y0 , y0+ ), 取 = min |xx0|, |yy0| 0,則 U (P ) = (x , x + ) (y , y + ) U (P0), 即知 P 是 U (P0) 的內(nèi)點(diǎn)

14、，故 U (P0) 是開(kāi)集.85. 證明 P0 是 E 的聚點(diǎn)等價(jià)于在 P0的任何個(gè)鄰域 U(P0) 中都有 E 的點(diǎn).證明. (必要性) P0 是 E 的聚點(diǎn)，根據(jù)聚點(diǎn)的定義, P0 的任何個(gè)鄰域 U (P0) 中都含有 E 中窮多個(gè)點(diǎn)，從在 P0 的任何個(gè)鄰域 U(P0) 中必有 E 的點(diǎn).必要性得證.(充分性) (反證法) 假設(shè) P0 不是 E 的聚點(diǎn), 則在 P0 的某個(gè)鄰域中只有 E 的有限個(gè)點(diǎn)， 記為minPk P0, 則 U(P0; ) E = , 與題設(shè)盾, 故假設(shè)不成,P0P1, P2, , Pn, 設(shè) =是 E 的聚點(diǎn).充分性得證.k=1,2, ,n6. 證明開(kāi)集和閉集的下

15、述性質(zhì): 開(kāi)集的余集是閉集, 閉集的余集是開(kāi)集; 有限個(gè)開(kāi)集的交 (并) 是開(kāi)集, 有限個(gè)閉集的并 (交) 是閉集.證明. (1) 不妨設(shè) E 是開(kāi)集，則下證 Ec 是閉集，即對(duì) Ec 的任聚點(diǎn) P0，都有 P0 Ec.事實(shí)上，對(duì) Ec 的任聚點(diǎn) P0， P0 的任鄰域都有不屬于 E 的點(diǎn)，這樣， P0 就不可能是 E 的內(nèi)點(diǎn)，從 P0 / E, 于是 P0 Ec, 故 Ec 是閉集.(2) 不妨設(shè) E 是閉集，則下證 Ec 是開(kāi)集，即 Ec 中的每點(diǎn)都是 Ec 的內(nèi)點(diǎn).反證法：假設(shè) Ec 不是開(kāi)集, 由開(kāi)集的定義知 Ec 中少有個(gè)點(diǎn)不是 Ec 的內(nèi)點(diǎn)，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為P0，根據(jù)內(nèi)點(diǎn)的定義知，對(duì)點(diǎn)

16、P0 的任何鄰域 U (P0), 都有 U (P0) 不含與 Ec, 即 U (P0) 中含有 E中的點(diǎn)，因此， P0 為 E 的聚點(diǎn)，由 E 是閉集知 P0 E，這與 P0 Ec 盾，故假設(shè)不成, 從 Ec 是開(kāi)集.注 1 下面在證明有限個(gè)開(kāi)集的交 (并) 是開(kāi)集, 有限個(gè)閉集的并 (交) 是閉集的過(guò)程中，限個(gè)”集合的個(gè)數(shù)為 n = 2.取“有不妨設(shè) F1, F2 為閉集，則下證 F1 F2 與 F1 F2 都為閉集.事實(shí)上，設(shè) P 為 F1 F2 的聚點(diǎn)，由實(shí)數(shù)完備性章節(jié)聚點(diǎn)的等價(jià)定義，存在個(gè)各點(diǎn)互不相同的收斂于 P 的點(diǎn)列 Pn F1 F2, 因 F1 和 F2 少有個(gè)集合含有 Pn 的

17、窮多項(xiàng)，不妨設(shè) Pnk F1, 于是也有 Pnk P (k ), 從 P 為 F1 的聚點(diǎn)，又因?yàn)?F1 為閉集，所以 P F1, 故 P F1 F2, 從 F1 F2 為閉集.同理，設(shè) P 為 F1 F2 的聚點(diǎn)，則存在個(gè)各點(diǎn)互不相同的收斂于 P 的點(diǎn)列 Pn F1 F2,于是，點(diǎn)列 Pn F1, 且 Pn P ，從 P 為 F1 的聚點(diǎn)；點(diǎn)列 Pn F2, 且 Pn P ,從 P 為 F2 的聚點(diǎn). 又因?yàn)?F1, F2 為閉集，所以 P F1 且 P F2 , 故 P F1 F2, 從 F1 F2 為閉集.不妨設(shè) E1, E2 為開(kāi)集，則下證 E1 E2 與 E1 E2 都為開(kāi)集.事實(shí)上

18、，對(duì) A E1 E2, 有 A E1 或 A E2, 不妨設(shè) A E1, 則存在點(diǎn) A 的某鄰域 U (A),使得 U (A) E1, 從有 U (A) E1 E2, 因此, E1 E2 為開(kāi)集.9(ii) 對(duì) B E1 E2, 有 B E1 且 B E2, 由于 E1, E2 為開(kāi)集, 則存在點(diǎn) B 的某鄰域 U (B, 1),使得 U (B, 1) E1, 也存在點(diǎn) B 的某鄰域 U (B, 2), 使得 U (B, 2) E2, 取 = min1, 2,則點(diǎn) B 的鄰域 U (B, ) E1 E2, 所以 E1 E2 為開(kāi)集.7. 試敘述 R 中開(kāi)集的定義, 并證明若 A 和 B 是 R

19、 中的開(kāi)集, 則 A B 亦然.解: (1) 如果點(diǎn)集 E 的每個(gè)點(diǎn)都是 E 的內(nèi)點(diǎn), 則稱 E 為開(kāi)集.對(duì) P (x, y) A B (其中 x A, y B),A 是開(kāi)集, 則 x 的個(gè) 鄰域, 使得 U (x, ) A, B 是開(kāi)集則 y 的個(gè) 鄰域, 使得 U (y, ) B,則有 (x , x + ) (y , y + ) A B,即存在點(diǎn) P 的鄰域 U (P ) A B,由 P 的任意性可知,A B 也是開(kāi)集設(shè) x0 是 A R 的聚點(diǎn), y0 是 B R 的聚點(diǎn), 證明 (x0, y0) 是 A B 的聚點(diǎn).證明. 任取點(diǎn) P (x0, y0) 的個(gè)領(lǐng)域 (x , x + ) (y ,