山東大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件03條件概率與乘法公式

1、由條件概率的定義：即 若P(B)0,則P(AB)=P(B)P(A|B) (2)而 P(AB)=P(BA)二、 乘法公式若已知P(B), P(A|B)時, 可以反求P(AB).將A、B的位置對調(diào)，有故 若P(A)0,則P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若 P(A)0, 則P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都稱為乘法公式, 利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率注意P(AB)與P(A | B)的區(qū)別！請看下面的例子例2 甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的. 而在這300個零件中，有189個是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)

2、準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000 個189個是標(biāo)準(zhǔn)件300個乙廠生產(chǎn)300個乙廠生產(chǎn)設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn)A=是標(biāo)準(zhǔn)件所求為P(AB) .設(shè)B=零件是乙廠生產(chǎn)A=是標(biāo)準(zhǔn)件若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是 P(A|B) .B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000 個189個是標(biāo)準(zhǔn)件300個乙廠生產(chǎn)例3 設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4. 問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？解：設(shè)A=能活20年以上，B=能活25年以上依題意， P(A)=0.8

3、, P(B)=0.4所求為P(B|A) .條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別 每一個隨機(jī)試驗都是在一定條件下進(jìn)行的，設(shè)A是隨機(jī)試驗的一個事件，則P(A)是在該試驗條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A)與P(A |B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個不同的概念,在數(shù)值上一般也不同. 而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個條件時A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.條件概率P(A|B)與P(A)數(shù)值關(guān)系 條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個條件時A發(fā)生的可能性大小. 那么,是否一定有:或 P(A|B) P(A)?P(A|B) P(A)?請思考！當(dāng)P(

4、A1A2An-1)0時，有P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)推廣到多個事件的乘法公式:乘法公式應(yīng)用舉例 一個罐子中包含b個白球和r個紅球. 隨機(jī)地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個與所抽出的球具有相同顏色的球. 這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率. （波里亞罐子模型）b個白球, r個紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球. ” 隨機(jī)取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個與所抽出的球具有相同顏色的球. 解: 設(shè)Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4

5、Rj=第j次取出是紅球， j=1,2,3,4b個白球, r個紅球用乘法公式容易求出 當(dāng) c0 時，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率. 這是一個傳染病模型. 每次發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.入場券5張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場券”，其余的什么也沒寫. 將它們放在一起，洗勻，讓5個人依次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大?！焙蟪榈拇_比先抽吃虧嗎？讓我們用概率論的知識來

6、計算一下。我們用Ai表示“第i個人抽到入場券” i1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5，P( )4/5第1個人抽到入場券的概率是1/5.也就是說，則 表示“第i個人未抽到入場券”因為若第2個人抽到了入場券，第1個人肯定沒抽到.也就是要想第2個人抽到入場券，必須第1個人未抽到，由于由乘法公式 計算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5 這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答. 同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到. 因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn), 每個人抽到“入場券” 的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后.也就是說， 最后我們

7、用本講內(nèi)容來解答囚犯和看守間關(guān)于處決誰是否要保密的問題. 監(jiān)獄看守通知三個囚犯, 在他們中要隨機(jī)地選出一個處決 , 而把另外兩個釋放. 囚犯甲請求看守秘密地告訴他, 另外兩個囚犯中誰將獲得自由. 如果你知道了你的同伙中誰將獲釋，那么，你自己被處決的概率就由1/3增加到1/2,因為你就成了剩下的兩個囚犯中的一個了.NO！因為我已經(jīng)知道他們兩人中至少有一人要獲得自由，所以你泄露這點消息是無妨的. 對于看守的上述理由, 你是怎么想的?解：看守說得不對. 理由如下： 在這個問題中, 當(dāng)情形是囚犯甲被處死時，看守告訴要獲得自由的人可以是囚犯乙或丙，有兩種情形. 而當(dāng)情形是囚犯乙 (或丙) 被處死時，看守可以告訴要獲得自由的人可以是囚犯丙(或乙) . 請回答.如圖示：情況囚犯的命運看守說這名囚犯將獲釋這種情況出現(xiàn)的概率甲乙丙乙丙丙乙被處死者甲甲乙丙1/61/61/31/3可見，不論看守泄露消息與否，囚犯甲被處決的概率不變.也可求解如下：用A、 B 、 C 表示囚犯甲、乙、丙被處決, D、 E分別表示看守告訴要獲釋的人是囚犯乙和丙.已知 P(A)=P(B)=P(C)=1/3=P(AD+AE)=2 P(AD)= 2 P(A)P(D| A)=2(1/3)(1/2)=1/