山東大學(xué)工程流體力學(xué)（杜廣生）課件第7章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動

1、第7章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動 7-1 流體流動的連續(xù)性方程 本節(jié)給出的連續(xù)性方程既適用于理想流體，也適用于粘性流體積分形式的連續(xù)性方程：推導(dǎo)一：由高數(shù)的高斯定理：取極限：CV0，控制體收縮為質(zhì)點(diǎn)，得：推導(dǎo)二：在x方向： 右面：流出控制體 左面：流入控制體 x方向單位時間內(nèi)的凈通量： 同理可得： y方向z方向單位時間流過微元體控制面的總凈通量 微元體內(nèi)總質(zhì)量的變化率為 ：取極限：CV0，控制體收縮為質(zhì)點(diǎn)，得：寫為矢量形式 ：討論：1. 定常流動 2. 不可壓縮流體流動 3. 柱坐標(biāo)系中 4. 球坐標(biāo)系中 例7-1 已知不可壓縮流體運(yùn)動速度 且在 z=0處，有：vz=0。求 vz解

2、：由不可壓縮流體連續(xù)性方程 積分之： 由已知條件 7-2 流體微團(tuán)的運(yùn)動分析 剛體 平動 轉(zhuǎn)動 流體 平動 轉(zhuǎn)動 變形 CBoAAdCdxyCBoAAdCdxy1. 平移運(yùn)動 CBoAxyCBoAxy2. 線變形運(yùn)動 CBoAxy3. 角變形運(yùn)動 CBoAxy4. 轉(zhuǎn)動 定義旋轉(zhuǎn)角速度:定義角變形速度:xyzO(x,y,z)A(x+x,y+y,z+z)o海姆霍茲(Helmholtz)速度分解定理 7-3 有旋流動和無旋流動 定義：1. 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不等于零的流動稱為有旋流動；2. 流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度等于零的流動稱為無旋流動， 無旋流動又稱為有勢流動。 無旋流動 有旋流動 判斷有旋/無

3、旋：由流體微團(tuán)本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，與流體微團(tuán)本身的運(yùn)動軌跡無關(guān) 。7-4 理想流體運(yùn)動微分方程式 歐拉積分和伯努里積分 一、運(yùn)動微分方程 牛頓第二定律： 理想流體運(yùn)動微分方程式 歐拉(Euler)運(yùn)動微分方程式 矢量式: 蘭姆（H.Lamb）運(yùn)動微分方程 矢量式: 在有勢的質(zhì)量力作用下，流場是正壓性的，則： 有勢質(zhì)量力正壓性矢量式: 二、歐拉積分 理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動 積分之： 理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動時，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能在流場中保持不變。 歐拉積分式三、伯努利積分 理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動 沿流線 ：dx=

4、vxdt，dy=vydt，dz=vzdt 理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動時，單位質(zhì)量流體的總機(jī)械能沿流線保持不變。 積分之： 伯努利積分式7-5 理想流體的旋渦運(yùn)動一、渦線、渦管、渦束和旋渦強(qiáng)度 渦量的定義： 1渦線 渦線是在給定瞬時和渦量矢量相切的曲線 渦線的微分方程為： 2渦管、渦束 在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時刻過該曲線每一點(diǎn)的渦線形成的管狀曲面稱作渦管 渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的流體稱為渦束 3旋渦強(qiáng)度（渦通量） 二、速度環(huán)量、斯托克斯定理 1速度環(huán)量： 流體速度矢量沿周線的線積分 規(guī)定繞行的正方向?yàn)槟鏁r針方向，即沿封閉軸線前進(jìn)時，封閉周線所包圍的面積

5、總在繞行前進(jìn)方向的左側(cè)；封閉周線所包圍曲面的法線正方向與繞行的正方向符合右手螺旋系統(tǒng)。 2斯托克斯定理 在渦量場中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強(qiáng)度，即 ：CBoAxy【例7-3】已知二維流場的速度分布為vx=-3y，vy=4x，試求繞圓 x2+y2=R2的速度環(huán)量。 【解】 采用極坐標(biāo)三、湯姆孫定理、亥姆霍茲定理 理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，沿任何封閉流體周線的速度環(huán)量不隨時間變化 1湯姆孫（Thomson）定理 渦旋不會自行產(chǎn)生，也不會自行消失 在流場中任取一由流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉周線K ，由湯姆遜定理可以看出： 對于理想的不可壓縮流體或可壓縮的正壓流體

6、，在有勢的質(zhì)量力的作用下速度環(huán)量和旋渦不能自行產(chǎn)生，也不能自行消失。 流場中原來有旋渦和速度環(huán)量的流體將保持有旋流動 原來沒有旋渦和速度環(huán)量的，就永遠(yuǎn)沒有旋渦和速度環(huán)量 流場中若出現(xiàn)沒有速度環(huán)量但有旋渦的情況，則此時旋渦是成對出現(xiàn)，并且每對旋渦的強(qiáng)度相等而方向相反。 2亥姆霍茲（Helmholtz）定理 亥姆霍茲第一定理：在理想正壓性流體的有旋流場中，同一渦管各截面上的旋渦強(qiáng)度相同。 亥姆霍茲第二定理（渦管守恒定理） 理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，流場中的渦管始終由相同的流體質(zhì)點(diǎn)組成。 亥姆霍茲第三定理（渦管強(qiáng)度守恒定理） 理想正壓性流體在有勢的質(zhì)量力作用下，任一渦管強(qiáng)度不隨時間變化。

7、在理性正壓性流體中，渦管既不能開始，也不能終止。但可以自成封閉的環(huán)狀渦管，或開始于邊界、終止于邊界。 作業(yè)：7-2(1)、(3)， 7-57-6 二維旋渦的速度和壓強(qiáng)分布二維旋渦rbrb渦核區(qū) 環(huán)流區(qū) 渦核區(qū)： 有旋流 環(huán)流區(qū)： 無旋流 一、在環(huán)流區(qū)內(nèi) 1. 速度分布為 r2. 壓強(qiáng)分布 由伯努里方程式 二、在渦核區(qū)內(nèi) 1. 速度分布為 2. 壓強(qiáng)分布 由歐拉運(yùn)動微分方程 邊界條件： 速度分布為 壓強(qiáng)分布 vppbppc7-7 速度勢和流函數(shù)一、速度勢函數(shù) 無旋流動也稱為有勢流動，簡稱勢流 vxdx+vydy+vzdz成為某一函數(shù) 的全微分的充要條件 ：速度勢的特性 1流線與等勢面相垂直 等勢

8、面的方程為 在等勢面上任取一微元矢量 2沿任一曲線切向速度的線積分等于曲線兩端點(diǎn)速度勢之差 3對于不可壓縮流體，速度勢是調(diào)和函數(shù)，滿足拉普拉斯方程。 對于封閉周線：不可壓縮流體連續(xù)性方程 柱坐標(biāo)系下 ：二、流函數(shù) 對于平面、不可壓縮流體 構(gòu)造某函數(shù) 使：由數(shù)學(xué)知識，其充要條件為：流函數(shù)的特性 1. 等流函數(shù)線為流線 流線微分方程 2. 流體通過兩流線間單位高度的體積流量等于兩條流線的流函數(shù)之差。 3. 對于不可壓縮流體的平面無旋流動，流函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，滿足拉普拉斯方程。 平面無旋流動 柱坐標(biāo)系下 ：三、速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系 對于不可壓縮流體的平面無旋流動，速度勢函數(shù)和流函數(shù)都是調(diào)和函數(shù) 柯

9、西黎曼（CauchyRiemen）條件 等勢線簇（=常數(shù)）和流線簇（ =常數(shù)）互相垂直的條件，即正交條件。在平面上將等勢線簇和流線簇構(gòu)成處處正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng) 【例7-6】已知不可壓縮流體平面勢流，其速度勢為：試求速度分量和流函數(shù) 7-8 幾種簡單的平面勢流一、均勻等速流 流線平行且流速相等的流動壓強(qiáng)在流場中處處相等 由于流場中各點(diǎn)的速度相同，流動又是無旋的，流場中各點(diǎn)都滿足伯努利方程， 二、點(diǎn)源和點(diǎn)匯 在無限大平面上，點(diǎn)源：流體從一點(diǎn)沿徑向直線均勻地向外流出的流動。 點(diǎn)匯；流體沿徑向均勻的流向一點(diǎn) 。點(diǎn)源點(diǎn)匯 根據(jù)流體的連續(xù)性，流體流過任意單位高度圓柱面的體積流量 都相等。 也稱為源流或匯流的強(qiáng)度 以上各式僅適用于 令 p=0 得： 三、點(diǎn)渦 令直線渦束的半徑 平面內(nèi)的流動（除原點(diǎn)外）稱為點(diǎn)渦或自由渦流 以上各式僅適用于 令 p